Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Leione n Campo di una spia cicolae Poteniale Vettoe Poteniale di una spia Anno Accademico 8/9

2 Campo magnetico di una spia Calcoliamo il campo di induione magnetica in un punto fuoi dall asse La simmetia aimutale del poblema consente di scegliee il punto sul piano sin ˆe + cos ˆe Consideiamo un tatto dl sul filo È individuato dal vettoe ˆeacos φ + ˆeasin φ Calcoliamo d' l d φ ( ˆe sin + ˆe cos ) d d d dφ l contibuto a è d φ φ φ ad ( ) dl i a φ dl φ dl i sin ˆe + cos ˆe ˆe acos φ ˆe asin φ ( sin acos φ ) + a sin φ + cos a + a sincosφ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8

3 Campo magnetico di una spia ( ˆ sin ˆ cos ) dl e φ + e φ adφ sin ˆe + cos ˆe ˆe acos φ ˆe asin φ Calcoliamo il podotto vettoiale d ˆe sin φ + ˆe cos φ l ( ) ( ) ( sin acos φ ) ˆ ˆasinφ + cosˆ adφ e e e coscosφ ˆ cossin φ ˆ ( a sincos φ ) ˆ adφ e + e + e l campo è petanto π cos cos φ ˆe + cos sin φ ˆe + ( a sin cos φ ) ˆe () i adφ a asincosφ + Notiamo innanitutto che il temine popoionale a ˆ e è nullo asta fae la sostituione φ' + π e si ottiene una funione dispai in integata da π a +π Petanto π cos cos φ ˆe + ( a sin cos φ ) ˆe () i adφ a + asincosφ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 84 a φ cos cos φ ˆ cos sin φ ˆ ( asin φ acos φ sin cos φ ) ˆ e + e + + e adφ dl i

4 Campo magnetico di una spia () Notiamo inolte che cos cos ˆ + ( sin cos ) ˆe π φ e a φ i + sincosφ a a adφ cos Posto π dφ a a sin cos φ + Otteniamo ˆe sin ˆe ˆe ˆe cos ˆe sin ˆe () ia ˆe X + ia (cosˆe sin ˆe ) Le due espessioni / e X / sono iconducibili a integali ellittici Vedi anche elettomagnetismo diapositiva 9 X π cos φ dφ + sincosφ a a () ia cos ˆe + ia ( X a sin ) ˆe Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 85

5 Campo magnetico di una spia X π cos φdφ Tasfomiamo gli integali in una foma oppotuna ispetto alle definiioni standad degli integali ellittici Pima di tutto opeiamo un cambio di vaiabile: φ π + t limiti di integaione diventano φ t π/ φ π t +π/. nolte dφ dt La funione tigonometica: cos(π+t) cost + sin t Chiamiamo A il adicando A + a a sincosφ + a + a sin 4a sinsin t Definiamo a + asincosφ ξ + a + a sin k 4a sin + a + a sin Osseviamo che pe π e < abbiamo k Pe l integale / otteniamo π π + dφ dt 4 a + a sin cos φ ξ π ( k sin t) ξ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 86 π a a sin cos + dφ φ + dt π ( k sin t)

6 Campo magnetico di una spia Ricodiamo le definiioni degli integali ellittici di pimo e secondo tipo π π dφ Kk () Ek () k sinφ dφ k sin φ Da Gadshten Rhik 7.67 otteniamo π dφ F() k Ek () k sin φ k π Pe l integale X / osseviamo innanitutto cos X Sostituendo a sinx cos φ ( sincos φ ) a sin + a + a a a a π π ( + a ) dφ ( a + asincos φ ) dφ a asincosφ + a + asincosφ π 4( + a ) E( k) dφ ξ k a + asincosφ.s. Gadshten and.m. Rhik Tables of ntegals, Seies, and Poducts Academic Pess 7 S. Datta Electic and magnetic field fom a cicula coil using Elliptical integals Phsics Education Septembe - Octobe 7 p. Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 87 φ dφ + sincosφ 4( + a ) E( k) 4 Kk () ξ k ξ

7 Campo magnetico di una spia n definitiva otteniamo () ia cos ˆe + ia ( X a sin ) ˆe Con 4 Ek () 4( + a ) E( k) 4 X K() k ξ k a sin ξ k a sinξ ξ + a + a sin k Sostituendo 4 Ek () 4( + a) Ek () 4 4 Ek () () ia cos ˆe + i K() k a sin ˆ ξ k sinξ k sinξ e ξ k n definitiva le componenti di sono Ek () (, ) ia cos 4 ξ k 4a sin + a + a sin 4( + a) Ek ( ) 4 4 Ek ( ) (, ) i K() k a sin sinξ k sinξ ξ k Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 88

8 l poteniale vettoe Abbiamo già notato che il poteniale vettoe è di scasa utilità pe i poblemi elementai che tattiamo in questo coso Vogliamo tuttavia familiaiae un po' con questa nuova gandea Putoppo il calcolo del poteniale vettoe del filo infinito con la fomula intodotta nella diapositiva 79 non è possibile La coente non va a eo all'infinito l calcolo del poteniale vettoe pe una spia cicolae è complesso come lo è stato il calcolo di con gli integali ellittici È semplice solo sull'asse della spia Non è sufficiente pe calcolane il otoe e quindi il campo Tuttavia cechiamo di capie la foma del poteniale vettoe in alcuni semplici casi sena l'uso della fomula integale citata Faemo il pecoso inveso: noto il campo toveemo il poteniale A! l caso più semplice è quello del poteniale vettoe di un campo magnetico costante Assumiamo lungo l'asse :, Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 89

9 Poteniale vettoe di un campo costante Una possibile scelta potebbe essee Una scelta altenativa A A A A A A O anche la media delle due soluioni tovate A A A Con una fomulaione indipendente dall'oientamento di A Si veifica facilmente che A A Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

10 Poteniale vettoe di un filo Consideiamo un filo di aggio a pecoso da una coente All'inteno del filo la densità di coente J è unifome e vale J J J πa Ricodiamo la fomula pe il poteniale vettoe ( ) A J ( ) dv Osseviamo peliminamente che J J A A A ( ) A () J ( ) da d + d J ( ) ρ + dv + d A () A (, ρ ) 4 π ρ + ( ) 4 π + ρ d + Sfotunatamente pe la densità di coente data la fomula pe A divege Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

11 Poteniale vettoe di un filo nfatti d + ρ + ln + ρ ρ Facciamo il calcolo pe un filo di lunghea finita L A (,) ρ π L d + ρ n definitiva L ρ A (,) ρ ln π + ρ L + ρ + π ln ρ L L + ρ + L π ln ρ pe A (,) ρ ln L π ρ L ρ Possiamo anche scivelo come A ( ρ, ) ln ρ + c c ln L π π Nel caso di filo infinito la costante è infinita Come avveniva nel caso elettostatico di un filo di caica φ λ ( ) ln A ( ) iln πε a ρ π ρ a λ πε π Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

12 Poteniale vettoe di un filo A ( ) ln π Calcoliamo il campo magnetico La componente è nulla (A A ) Calcoliamo le componenti e ρ a ρ + ˆ e πρ φ ρ φ πρ ρ sin φ πρρ πρ πρ ρ cos φ πρρ πρ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

13 Poteniale di una spia Calcoliamo infine il poteniale vettoe di una spia Facciamo un calcolo utile pe il futuo del nosto studio Una fomula appossimata pe distane gandi dal cento della spia Analogo alla foma del dipolo elettico Saà utile nello studio dei campi magnetici nella mateia Utiliiamo una deivaione matematica utiliando i vettoi Sviluppiamo il denominatoe Appossimando al pimo odine di / Otteniamo C ( ) A ( ) + + d A ( ) d ( ) d + C C + + Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 94

14 Poteniale di una spia l pimo temine è nullo Sviluppiamo l'integando del secondo temine Utiliiamo l'identità A ( C) (A C) C(A ) nolte A ( ) d ( ) d + C Sommiamo le due equaioni temini ( d ) si elidono C ( d ) ( d ) d ( ) ( ) ( ) + ( ) d d d ( ) d ( ) + ( d ) d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d + Utiliiamo la elaione tovata nel secondo integale di A() odine scambiato Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 95

15 Poteniale di una spia A( ) π d 4 d ( ) ( d ) C l pimo integale è ancoa una volta un diffeeniale esatto L'integale su un cammino chiuso è nullo Definiamo il momento magnetico m del cicuito + C C A ( ) ( d ) C m d C Otteniamo l'espessione finale pe il poteniale vettoe di una spia (dipolo) Sottolineiamo che si tatta di una fomula appossimata Valida solo pe molto maggioe delle dimensioni del cicuito Appossimaione di dipolo l temine di monopolo è nullo d m ( ) A Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 96 C

16 l momento di dipolo magnetico m d C Cechiamo adesso di compendee meglio il significato della definiione di momento magnetico della spia Specialiiamolo al caso di una spia cicolae ˆ ˆ eacos + easin d d d ( ˆe sin ˆ + e cos ) ad d ( ˆe cos + ˆe sin ) a ( ˆe sin + ˆe cos ) d ad ( ˆe ˆ cos ˆ ˆ e e e sin ) ad ( ˆe ˆe cos + ˆe ˆe sin ) Petanto il momento magnetico è m JS d J d C C ˆe ad l momento magnetico m è un vettoe Pependicolae al piano che contiene la spia l modulo è uguale al podotto della coente pe la supeficie della spia a d ad πa ˆe π e aˆ m J m d ˆa d e Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 97

17 Esempio : una spia non piana Consideiamo adesso la spia in figua La coente della spia è Supponiamo che tutti i segmenti abbiano la stessa lunghea w Metà della spia giace nel piano L'alta metà della spia giace nel piano La spia è equivalente a due spie piane Le due coenti evideniate in osso e in blu si elidono quando si combinano le due spie piane pe fomae la spia iniiale l momento magnetico delle due spie è semplice Pe la spia Pe la spia m m wˆ e wˆ e w w m m m l momento magnetico della spia composta dalle spie e è petanto m m + m w( ˆe ˆ + e ) Un vettoe nel piano, inclinato di 45 o ispetto all'asse e di modulo m w Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 98

18 Poteniale di una spia Specialiiamo al caso di un cicuito con momento magnetico dietto lungo l'asse Ad esempio la spia dell'esempio pecedente ( ) A m me ˆ ˆe + ˆe + ˆe ˆe ˆe ˆe + ˆe + ˆe Le componenti del poteniale vettoe sono ( ) ˆe ˆe ˆe + ˆe ˆe ˆe ˆe A A A m m m m sin φ cosφ Le linee di campo di A() sono ciconfeene concentiche con l'asse m φ A ˆe + A( ) m ˆ e φ sin A( ) m ˆ e φ ˆe Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 99

19 l campo magnetico del dipolo Possiamo adesso calcolae il campo magnetico È conveniente fae il calcolo in coodinate sfeiche l poteniale vettoe ha solo la componente A φ Ricodiamo l'espessione del otoe in coodinate sfeiche La componente φ è nulla (A A ) sin A( ) m ˆ e ( ) ˆ sin ( ) ˆ A A A e + A e + A ˆ sin φ sin φ e φ φ φ sin cos ( sin Aφ ) sin m cos m sin sin ( Aφ) m m sin φ sin m cos ε m E ( ˆe cos + ˆe sin) p Da confontae con il campo del dipolo elettico Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

20 l campo magnetico del dipolo sin m m cos Le linee di campo sono come in figua Sottolineiamo che le fomule danno il campo a gandi distane A piccole distane i campi sono molto diffeenti Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

21 Foa fa due fili pecosi da coente Abbiamo iniiato la tattaione della magnetostatica citando la legge di Ampèe sulla foa fa due fili pecosi da coente (vedi diapositiva 74 ) ii l πa, Ricaviamo la legge di Ampèe alla luce di quanto fin qui studiato l campo magnetico di un filo infinito Le linee del campo sono ciconfeene Nella posiione del filo il campo magnetico vale La foa sul secondo filo è Sostituendo il valoe del campo magnetico l modulo della foa è quello della legge di Ampèe F π ( ) ˆe φ a F F ( ) ˆe df i dl idle F ile ˆ ˆ a l i π a i ii ii F ilˆe ˆe ˆ ˆ l e e F l ˆe π a π a π a i i Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

22 Foa e momento della foa Abbiamo scitto l'espessione della foa su un cicuito nella diapositiva F dl Se il campo magnetico è unifome si può fattoiae l'integale Abbiamo già notato che l'integale di dl su un cicuito chiuso è nullo Concludiamo che in un campo magnetico unifome la foa su una spia è nulla Tuttavia in geneale il momento delle foe non è nullo Consideiamo la spia quadata di lato w in figua È pecosa da una coente ; il momento magnetico è m Può uotae intono ad un asse che giace sull'asse l campo magnetico è lungo l'asse F F Sui quatto lati agiscono le foe F, F, F, F 4 ( cos α sin α) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa C ( d ) F l F w ˆe + ˆe ˆe F w cos αˆe F wˆe ˆe we ˆ F F F F 4 C w α w F 75 w m F 4

23 Foa e momento della foa Calcoliamo il momento delle foe ispetto all'asse di otaione della spia (asse ) Le foe F e F sono lungo l'asse l loo momento è nullo Le foe F e F 4 sono applicate nei punti individuati dai vettoi e 4 momenti delle foe sono w ( ˆe cos α + ˆe sin α ) F we ˆ 4 F F l momento magnetico foma un angolo α π/ con l'asse L'angolo di m con l'asse è π/ (α π/) π α Otteniamo petanto F F 4 4 w w τ F ( ˆe cos α + ˆe sin α) wˆe sin ˆ αe τ 4 ( ) ( F) τ τ τ + τ wsin αˆe ˆ 4 m sin αe sin α sin τ τ m m sin ˆe α w m 4 m α π w Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 4

24 Foa e momento della foa Petanto il momento delle foe è dietto lungo l'asse delle La spia uota in senso antioaio l momento magnetico si allinea con il campo magnetico Quando e m sono paalleli il momento è nullo Supponiamo di avee una spia con momento magnetico m allineato con il campo magnetico Applichiamo una foa meccanica pe uotae lentamente la spia l lavoo fatto dalla foa estena bilanciando esattamente il momento della foa magnetica è ( τ et τ ) U dw τ d et Definiamo l'enegia poteniale della spia nel campo magnetico du dw du dw τ d α ( ) U π π m L'enegia poteniale è definita a meno di una costante U ( ) U ( ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5 F τ d τd w m 4 τ F 4 m m sin αα d m m cos U m π U ( ) m m