Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Leione n Vettoi. Lavoo della foa elettostatica. Indipendena dal cammino Campo Elettico e linee di campo Anno Accademico 28/29

2 Vettoi I vettoi sevono pe appesentae gandee caatteiate da modulo, dieione, veso Pe definilo occoono te quantità In coodinate catesiane si utiliano le poieioni sui te assi Intoduciamo una tena di vesoi lungo i te assi ˆ e v O v ˆ e ˆ e v v v v = v v ˆe = ˆe = ˆe = ˆe ˆe = ˆe ˆe = ˆe ˆe = Utiliando i te vesoi si può scivee v = v ˆe + v ˆe + v ˆe Nomalmente in fisica si utiliano i vettoi applicati Un vettoe applicato al punto si ottiene taslando il vettoe v in modo che la sua oigine sia nel punto In tal caso si scive v() = ˆe + ˆe + ˆe O v () Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 28

3 Vettoi I vesoi sono vettoi che individuano una dieione I vesoi hanno modulo unitaio Dato un abitaio vettoe w abbiamo visto che il vesoe della sua dieione si definisce come wˆ = w w = w = w + w + w w Un vesoe di paticolae impotana è quello associato al vettoe posiione ˆ = = + + ˆ = ŷ = ˆ = ˆ e ˆ ˆ + ˆ + ˆ = ˆ = ˆˆe + ˆˆe + ˆˆe Definiamo infine i te angoli che il vesoe fa con i te assi E analogamente = ˆ ˆe = ˆ ˆe cos α = cos α ˆ ˆ = cos α ˆ = cos α Abbiamo definito i te coseni diettoi. Possiamo scivee cos α ˆ = cos α cos α α α α ˆ = cos + cos + cos = Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 29 α α ˆ α

4 Vettoi Consideiamo adesso uno spostamento infinitesimo dalla posiione = ˆe + ˆe + ˆe d = dˆe + dˆe + dˆe + d = ( + d) ˆe + ( + d) ˆe + ( + d) ˆe O d + d Lo spostamento infinitesimo definito è abitaio I diffeeniali d, d, d sono abitai Spesso, pe evitae confusione in alte situaioni si usano notaioni altenative Ad esempio ds = dˆe + dˆe + dˆe dl = dˆe + dˆe + dˆe Capiemo meglio il significato di queste definiioni altenative quando intoduemo le cuve nello spaio Nel caso di una cuva i te diffeeniali non sono abitai Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 3

5 La Foa Elettostatica è Consevativa Un'impotantissima popietà della Foa Elettostatica (Foa di Coulomb) è che si tatta di una foa consevativa Dipende dalla natua centale della foa Le caiche possono esee (in geneale lo sono) mantenute nelle posiioni assegnate da foe non elettiche Possiamo comunque immaginae di spostae una caica da una posiione all'alta con un movimento estemamente lento, bilanciando istante pe istante la foa elettica che agisce sulla caica in esame Consideiamo il lavoo fatto pe spostae una caica q 2 che inteagisce con una caica q posta nell'oigine Calcoliamo il lavoo seguendo una taiettoia abitaia da A a B Suddividiamo la taiettoia in segmenti con gusci sfeici centati a = q 2 q 2 B q 2 q 2 B q A q A Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 3

6 La Foa Elettostatica è Consevativa Consideiamo lo spostamento ds compeso fa i due gusci concentici passanti pe e + ds La caica q 2 è in equilibio sotto l'effetto delle foe elettica e meccanica F m = F el qq 2 ˆ La foa elettica F el in quel punto è F = 4πε Il lavoo fatto dalla foa meccanica F m è qq 2 dw = Fm ds = Fel ds = ˆ ds 4πε 2 Il podotto scalae ˆ ds è la poieione di ds lungo la dieione adiale Calcoliamo esplicitamente il podotto scalae Calcoliamo d el 2 F m q F el q 2 ds α ˆ ds = ˆ ds cos α ˆ = ˆ ˆ ˆ + + = e e e ds = dˆe ˆ ˆ + de + de d + d + d = + + ˆ ds = È un diffeeniale esatto d = d + d + d ˆ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 32

7 La Foa Elettostatica è Consevativa Calcoliamo le deivate d = d + d + d = = = = = Abbiamo petanto veificato che d + d + d ˆ ds = = d Il lavoo pe spostae una caica da A a B è petanto W B = A B qq 2 Fm ds = qq ˆ 2 B ds = d 4 2 A πε 2 4πε A = qq 2 4πε B A Dipende solo dalle posiioni iniiale e finale W qq = 2 4πε B A Non sono più vettoi Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 33

8 La Foa Elettostatica è Consevativa Una taiettoia abitaia può intesecae i gusci più di una volta Ad esempio la taiettoia in figua Ci sono te spostamenti all'inteno dei gusci fa e + d: ds, ds 2, ds 3 Tutti e te gli spostamenti hanno una poieione ds d adiale che ha la stessa lunghea (in modulo): d ds2 Tuttavia due sono nel senso positivo e uno q 2 nel senso negativo Il campo elettico ha sempe lo stesso modulo (il modulo di è costante sul guscio) q ds 3 Il contibuto al lavoo dello spostamento ds 2 cancella uno degli alti due Rimane un solo contibuto È facile convincesi che imangono solo i contibuti che sommati danno ancoa una volta W = qq 2 πε 4 B A Il lavoo non dipende dalla paticolae taiettoia ma solo dal punto di patena e quello di aivo Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 34

9 Enegia di un sistema di caiche Ci limitiamo a sistemi elettostatici in cui le caiche sono feme Come abbiamo visto la foa elettostatica è consevativa In geneale le caiche sono mantenute nelle posiioni da foe non elettiche Possiamo comunque immaginae di spostae una caica da una posiione all'alta con un movimento estemamente lento, bilanciando istante pe istante la foa elettica che agisce sulla caica in esame In pesena di alte caiche sulla caica in esame saà esecitata una foa elettostatica F el Duante il moto è applicata una foa F m che bilancia la foa F el Nel coso del movimento la foa F m Potà "fenae" la caica Angolo fa F m e ds maggioe di π/2 Lavoo negativo, enegia guadagnata dal sistema meccanico, pesa dal sistema elettostatico Potà "spingee" la caica Angolo fa F m e ds minoe di π/2 Lavoo positivo, enegia pesa dal sistema meccanico, guadagnata dal sistema elettostatico A F m ds F el B Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 35

10 Enegia di un sistema di caiche L'enegia elettostatica di un sistema di caiche è definita come il lavoo fatto sul sistema (enegia guadagnata dal sistema elettostatico) pe costuie una data configuaione di caiche elettiche iniialmente poste all'infinito Consideiamo il caso più semplice Un sistema di due caiche poste a distana d Consideiamo una caica q posta nell'oigine Taspotiamo una caica q 2 dall'infinito a una distana d dalla pima caica Pe semplicità lungo una taiettoia ettilinea Il lavoo fatto sul sistema elettostatico è dato dall'integale W d Fm ds + = q d q 2 q 2 + Il segno di questo integale deve essee tattato con cua Concettualmente la foa F m e lo spostamento sono nello stesso veso Tuttavia il diffeeniale ds è positivo quando si allontana dall'oigine Il podotto scalae è negativo Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 36

11 Enegia di un sistema di caiche Supponiamo, pe fissae le idee, che le due caiche abbiano lo stesso segno La foa elettica F el su q 2 è epulsiva, dietta nel senso positivo dei vettoi posiione che patono dall'oigine La foa meccanica F m è dietta veso l'oigine qq 2 Fm = ˆ F 2 el 4πε Lo spostamento ds si allontana dall'oigine Ricodiamo il lavoo d d qq 2 W = dw = m d + F s = + 4 Ricodiamo inolte Otteniamo W qq d 2 = 4 πε + 2 d πε + d + d + d ˆ ds = = d d 2 πε + qq = 4 d ˆ ds 2 = qq 4πε 2 d q F m d q 2 ds Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 37

12 Il Campo Elettico La legge di Coulomb pemette di tovae le foe che si esecitano fa le caiche elettiche che costituiscono un sistema elettostatico È tuttavia paticolamente inteessante fomulae il poblema in modo diffeente Si definisce un sistema elettostatico composto da N caiche elettiche q, q j, q N poste nelle posiioni, j, N Ci si chiede qual è la foa che viene esecitata su una caica q posta in una posiione abitaia La legge di Coulomb fonisce immediatamente la isposta Abbiamo usato il pincipio di sovapposiione (lineaità) F = 4πε = A questo punto intoduciamo il campo elettico E nel punto come il appoto fa la foa F e la caica q E ( ) = F ( ) N qj evidentemente E = q 4πε j = Il campo elettico E() pemette di calcolae la foa su una caica abitaia q in una posiione abitaia : F = q E() j N qq j j 2 ˆ j ˆ j = 2 j j ˆ j j Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 38

13 Il Campo Elettico Pe fissae meglio i concetti appena esposti consideiamo in maggioe dettaglio un caso molto semplice Il campo elettico di una caica puntifome q posta nel punto La fomula pecedente, specialiata al caso di una sola caica è N j = ˆ 2 j 4πε j = j ( ) E q ( ) = E ˆ 2 4πε q ˆ Il vesoe punta dalla posiione in cui è posta la caica al punto dove vogliamo conoscee il campo Semplifichiamo ulteiomente ponendo la caica nell'oigine = e chiamando invece che il punto geneico ˆ Il vesoe diventa il vesoe che dall'oigine punta a, cioè ˆ In definitiva il campo elettico di una caica puntifome è ˆ E( ) 4πε ( ) = E q 2 ˆ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 39

14 Il Campo Elettico Quanto fatto fino a oa non aggiunge nulla alla legge di Coulomb Vedemo tuttavia che il concetto di campo ha delle implicaioni molto impotanti che potemo appeae completamente quando tatteemo fenomeni vaiabili nel tempo Nell'esempio descitto le N caiche elettiche avevano una posiione fissata In geneale sono tenute nelle posiioni date da foe di tipo non elettico che mantengono le caiche nelle posiione date Quando intoduemo i conduttoi tatteemo poblemi in cui le caiche possono muovesi Il questi casi occoe assicuasi che l'intoduione della caica q non modifichi la posiione delle caiche In patica q deve essee molto piccola Si espime questo equisito modificando la definiione di campo elettico E ( ) E ( ) = F q Questa espessione definisce matematicamente il campo elettico Tuttavia speimentalmente si sconta con la cicostana che la caica più piccola ossevata è la caica dell'elettone e Speimentalmente si chiede che la caica q non modifichi il sistema Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 4 = lim F q q

15 Il Campo Elettico Continuiamo a elaboae il concetto di campo Il sistema di N caiche elettiche q, q j, q N genea una popietà dello spaio Ad ogni punto dello spaio è assegnato un vettoe, il vettoe di E(), che descive in modo esauiente l'inteaione di una caica abitaia q con il sistema di N caiche Le N caiche sono le sogenti del campo Si dice anche che le N caiche elettiche geneano il campo elettico E Nello spaio vuoto, fissate le caiche elettiche (il loo valoe e la loo posiione) il campo elettico può essee calcolato con la fomula N j = ˆ 2 j 4πε j = j ( ) E Nella mateia o in pesena di conduttoi occoe sviluppae dei metodi più potenti pe calcolae il campo elettico Si utiliano le equaioni diffeeniali alle deivate paiali Si fissano oppotune condiioni al contono q Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 4

16 Il Campo Elettico Sottolineiamo un aspetto impotante di questa fomulaione Il campo elettico è una popietà locale dello spaio In linea di pincipio, potebbe succedee che In un dato punto dello spaio una caica di valoe q Coulomb sente una foa F Nello stesso punto una caica del valoe 2q potebbe sentie una foa divesa da 2F La foa potebbe dipendee dalla disposiione e dai valoi di tutte le caiche che costituiscono il sistema, inclusa la caica 2q Se fosse così l'intoduione del Campo Elettico saebbe inutile Invece la conoscena del campo in un punto e nell'intono è tutto quello che seve pe deteminae la foa su una caica abitaia Non impota come il campo è stato geneato Questo è il significato dell'aggettivo "locale" Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 42

17 Visualiaione del Campo Elettico Con il calcolo del Campo Elettico si assegna ad ogni punto dello spaio un vettoe E() È sottinteso che E() è un vettoe applicato nel punto La visualiaione di un campo elettico con metodi gafici è difficile Comunque inadeguata. Un'appossimaione Il metodo più utiliato è quello delle linee di campo Si tatta di linee cuve che sono tangenti al campo elettico in ogni punto Consideiamo pe cominciae il campo elettico di una caica puntifome Tacciamo una linea allontanandoci dalla caica positiva ichiedendo che sia sempe tangente a E() Lo stesso pe le alte Notiamo che le linee "escono" dalla caica positiva È una sogente Pe una caica negativa la situaione è analoga Le linee "entano" nella caica negativa È un poo Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 43

18 Visualiaione del Campo Elettico Consideiamo adesso il campo geneato da una caica q + = +3 e una caica q = (unità abitaie) Tacciamo una linea allontanandoci dalla caica positiva ichiedendo che sia sempe tangente a E() Lo stesso pe le alte Bassa densità di linee campo elettico piccolo Alta densità di linee campo elettico elevato Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 44

19 Visualiaione del Campo Elettico Si potebbe dae una definiione analitica delle linee di campo Un beve accenno e un esempio si tovano nel testo di Maoldi, Nigo, Voci Non ci addenteemo nella desciione analitica delle linee di campo Poteste utiliae il vosto compute e le tecniche di pogammaione dei laboatoi di infomatica pe appesentae gaficamente alcuni campi elettici È bene tenee pesente alcune popietà delle linee di campo In ogni punto la tangente alla linea dà la dieione del campo elettico La densità locale delle linee di campo è maggioe dove il campo elettico è più intenso In patica si disegnano un numeo di linee popoionale al valoe delle caiche positive Temineanno sulle caiche negative o all'infinito Le linee di campo non si incociano mai Se si incociasseo nel punto di incocio il campo elettico avebbe due dieioni simultaneamente? impossibile Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 45

20 Visualiaione del Campo Elettico Le linee di campo oiginano dalle caiche positive e teminano su quelle negative Oppue possono patie o teminae all'infinito Il numeo di linee che oiginano da una caica (o teminano su una caica) è popoionale alla gandea della caica Caso paticolae: in un sistema con due caiche uguali tutte le linee che oiginano dalla caica positiva teminano sulla caica negativa Eventualmente passando pe l'infinito Anche pe sistemi con più di una caica, a distane molto piccole dalle caiche puntifomi le linee di campo sono adiali Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 46