1. Aspetti fenomenologici

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1 4/3/.. spetti fenomenologici Intoduione all elettomagnetismo Tutti i fenomeni della ealtà uotidiana sono di natua elettomagnetica L inteaione elettomagnetica è molto più intensa di uella gavitaionale: Rappoto ta la foa elettica e gavitaionale ta due potoni: F e / F g 36 La mateia è stabile gaie alla sostaniale neutalità elettica Diffeena ta Meccanica ed lettomagnetismo Meccanica: lettomagnetismo Cenni stoici la foa è dominante i campi sono dominanti L esistena di fenomeni elettici è nota dall antichità lekton amba in geco Studio sistematico dalla II metà del 7 Coulomb, Faada, Mawell

2 4/3/. lettiaione pe stofinio Se stofiniamo una bacchetta di amba (plastica) o veto con un panno uesta attae piccoli pei di cata Una bacchetta di amba attae una bacchetta di veto sospesa ad un filo e espinge una bacchetta di amba sistono caiche di tipi che chiamiamo e lcuni mateiali non si caicano pe stofinio Questo avviene peché le caiche si dispedono (conduttoi) Se consideiamo un conduttoe con un manico isolante uesto si caica pe stofinio Isolanti e conduttoi (stuttua micoscopica) La mateia è costituita da atomi: Nucleo con potoni e neutoni (m p m n -7 kg, caica ) lettoni (m e -3 kg, caica -) numeo di massa, Z numeo atomico Le popietà della mateia sono deteminate dagli elettoni Negli isolanti gli elettoni sono legati agli atomi o alle molecole Nei conduttoi gli elettoni degli obitali esteni sono libei di muovesi in tutto il mateiale Consevaione della caica Nell elettiaione pe stofinio la caica viene idistibuita

3 4/3/.3 lcuni elettoni (ad esempio 6 ) si tasfeiscono dal veto al panno (caica -) o dal panno all amba (caica ) La caica NON si cea ma si idistibuisce Quando si geneano delle paticelle a patie da enegia (ceaione di coppie e e - ) la caica si conseva ( tot ) La consevaione della caica deiva da una simmetia della natua Quantiaione della caica Da affinati espeimenti si è ossevato che le caiche libee sono multiple della caica fondamentale (caica e dell elettone e del potone) e.6-9 C Questa caica è così piccola che negli espeimenti usuali la caica può essee consideata continua speimento di Millikan misua della caica dell elettone L elettoscopio a foglie L elettoscopio a foglie mette in evidena la pesena di caiche su un mateiale (isolante o conduttoe) Funiona anche sena contatto. Come e possibile? Induione elettostatica L induione elettostatica pemette di caicae un conduttoe sena contatto

4 4/3/.4 La caica elettica come gandea fisica Definiione: Un insieme di enti costituisce una classe di gandee fisiche uando ta gli enti è possibile stabilie elaioni di confonto (uguale, maggioe e minoe) ed effettuae le opeaioni di somma e diffeena (e uindi di podotto pe un numeo e di appoto) L elettoscopio consente di effettuae opeaioni di confonto ta le caiche possedute da due copi Possiamo sommae le caiche o meglio dividele pe un fattoe abitaio (mediante idistibuione su conduttoi uguali) La caica e una gandea fisica Pe misuala usiamo un pocedimento indietto consideando la foa che si esecita ta due copi caichi (foa di Coulomb) In uesto modo saebbe possibile definie la caica elettica come gandea deivata È pefeibile definie la caica come gandea fondamentale In ealtà si definisce come gandea fondam. la caica pe unità di tempo (intensità di coente)

5 4/3/.5. Il campo elettostatico Legge di Coulomb Pe studiae la legge di Coulomb usiamo una bilancia di tosione F k u TTNZION: La foa agente su una caica elettica è data da uesta espessione solo se la caica è fema (elettostatica) Si noti la dipendena della foa elettica dall inveso del uadato della distana. Veifica indietta (Th. di Gauss) La foa è centale come la foa gavitaionale La foa è attattiva o epulsiva a seconda del segno delle caiche Divese espessioni della costante k Sistema c.g.s. k caica unità deivata Sistema Intenaionale fondamentale (coulomb) k /( ) Caica unità In ealtà come unità fondamentale si definisce l ampee () coulomb/ secondo ε C kg - m -3 s [oppue più usualmente Faad/m] F u

6 4/3/.6 La foa ta due caiche di C ad un meto è di 9 N!! Il coulomb è una unità molto gande In un sistema di ifeimento catesiano: F F F [( ) ( ) ( ) ] 3 Il pincipio di sovapposiione Il legame ta foe e caica è lineae Vale il pincipio di sovapposiione Legge di composiione vettoiale pe la foa agente ta più caiche F i i i i i Il campo elettostatico Nella legge di Coulomb possiamo pensae che una caica elettica genei una petubaione nello spaio (campo elettico) e che l alta caica ne isenta gli effetti Pe definie il campo elettico dividiamo la foa pe una caica sonda che deve essee molto piccola

7 4/3/.7 F(,,) (,,) u u Scomposiione nelle componenti catesiane: (,,) (,,)... (,,)... [( ) ( ) ( ) ] 3 Unità di misua: newton/coulomb (N/C) kg m s - C - Piu usualmente: volt/meto (V/m) Ovviamente F nche pe il campo vale il pincipio di sovapposiione Distibuione di caiche puntifomi: i i i i i Distibuione continua di caiche (volume): ρ coulomb/meto 3 ρ(,, )d d d (,,) u τ Distibuione continua di caiche (supeficie): σ coulomb/meto

8 4/3/.8 σ(,, )ds (,,) u Σ Distibuione lineae di caiche: λ coulomb/meto λ(,, )dl (,,) u L Il campo elettico si appesenta con le linee di foa e, come vedemo con le supefici euipoteniali Le linee di foe escono dalle caiche positive ed entano in uelle negative Le linee di foe si incontano solo in coispondena delle sogenti e si chiudono all infinito sempi di campi elettici: Caica puntifome, caiche uguali, caiche divese, stato di caiche con distibuione unifome Il lavoo della foa elettica La foe elettica è centale il campo elettostatico è consevativo Consideiamo una caica che si muove nel campo geneato da una caica. Il lavoo della foa elettica è: ds dl F ds ds dscosϑ d

9 4/3/.9 L B B F ds Se il punto B è all : L p B d Definiamo poteniale elettostatico V in un punto P del campo geneato da una caica puntifome il lavoo che la foa del campo compie uando la caica unitaia si sposta da P al ifeimento ( ) V(p) Diffeena di poteniale ta punti del campo: V V B V B ds Lavoo che la foa elettica compie uando una caica si sposta dal punto al punto B: L B V ( V V ) U Il segno (-) che compae nella fomula pecedente dipende dal fatto che ad un lavoo positivo della foa del campo coisponde una diminuione di enegia poteniale In un punto geneico del campo: B B U(p) V(p) Se il campo è geneato da più caiche puntifomi o da una distibuione continua di caiche il poteniale si calcola con il pincipio di sovapposiione

10 4/3/. V i i i V τ ρ(,, )d d d La cicuitaione del campo elettostatico lungo un pecoso chiuso è sempe nulla: ds Si può dimostae facilmente dividendo in tatti un ualsiasi pecoso chiuso Il campo elettostatico è consevativo Questa cicostana più che un vantaggio è un limite peché una caica in moto lungo un cicuito chiuso non compiebbe lavoo Non funioneebbe nessuna macchina elettica In condiioni non statiche il campo elettico non è consevativo Legame ta poteniale e campo elettostatico: Pe la definiione di poteniale dv d ( d d d) V deve essee una funione continua e deivabile dv V d V d V d Quindi V d V d V d

11 4/3/. gad V V Intepetaione geometica del gadiente: Il gadiente fonisce la dieione di massimo incemento di una funione scalae, il veso dell incemento positivo ed il tasso di incemento V V n Teoema del gadiente: dv V ds V B V Opeatoe : u deivata nomale gadv ds V ds u B V ds u Può essee scitto anche in alti sistemi di coodinate. Fomalmente si pesenta come un vettoe che deve essee applicato ad uno scalae o moltiplicato pe un alto vettoe In coodinate sfeiche: u ϑ u ϑ sinϑ La elaione ta poteniale V e campo è utile pe calcolae il campo φ Si calcolano gli integali di sovapposiione di una funione scalae (V) e si ottenee il vettoe tamite la elaione: u φ

12 4/3/. -gadv Rappesentaione di un campo mediante le supefici euipoteniali Otogonalità delle linee di foe e delle supefici euipot. sempi illustativi di sup. euipoteniali Il teoema di Gauss Definiamo una uantità che deiva da un paallelo idodinamico e pende il nome di flusso di un vettoe attaveso una supeficie Dato un campo vettoiale v si definisce flusso elementae del vettoe v attaveso la supeficie infinitesima ds il podotto: v dϕ v unds d v v un nomale alla supeficie ds v cosϑds Il flusso attaveso una supeficie estesa S e' dato dall'integale v v u S N ds Data una supeficie chiusa S, si dice flusso uscente del vettoe v l integale esteso alla supeficie chiusa v ϑ un ds v u S N ds u N nomale uscente

13 4/3/.3 Consideiamo una caica puntifome ed una supeficie sfeica con cento in e aggio R Il flusso uscente del vettoe attaveso la supeficie vale: ϕ S u N ds S ds R ( 4πR ) ε Il flusso non dipende da R, ma solo dalla caica contenuta ento la supeficie R G G Il isultato ottenuto vale in geneale pe ualunue supeficie chiusa M G Consideiamo una geneica supeficie chiusa S che contenga una caica puntifome m e calcoliamo il flusso di dω angolo solido sotto il uale la supeficie infinitesima ds e vista dal punto P distana dell elemento di supeficie ds da P l elemento di supeficie ds può essee scitto come dω dscos ϑ dω ds cos ϑ Integiamo lungo la supeficie chiusa S φ S u N ds S cos ϑds M dω u n ds ϑ u

14 4/3/.4 φ S dω cos ϑ cos ϑ 4π dω Il teoema di Gauss può essee applicato anche a caiche distibuite con densità ρ il flusso del campo attaveso una supeficie chiusa e' pai all'integale della densità di caica esteso al volume acchiuso dalla supeficie ϕ ε ρ( )d Vol Il teoema di Gauss consente di calcolae in tutti i casi in cui il sistema pesenta paticolai simmetie ε Campo elettico di una sfea con densità di caica ρ omogenea e aggio R Le linee di foa del campo sono adiali pe simmetia il campo è lo stesso in tutti i punti di una ualunue sup. sfeica concentica con m pplichiamo il teoema di Gauss ad una geneica supeficie sfeica di aggio Pe <R si ha φ ρ( ) d ε τ 4 4π π ε 3 3 ρ

15 4/3/.5 Pe >R ρ 3ε 4π ε Il campo gavitaionale geneato da una distibuione sfeica di caica m è uguale al campo che la stessa caica geneeebbe se fosse tutta nel cento ( ) V( ) Stato di caica Campo nell intono di uno stato sup. di caica ds ds ds ds t t R t t u ds u ds n n n n In definitiva: σ σ ε un ε σ ( ) ds ds ε

16 4/3/.6 Le popietà del campo elettico in foma locale Teoema di Gauss Flusso attaveso un paallelepipedo infinitesimo dφ u dd d u dd... dφ ddd... dφ dφ div vendo posto: dτ dτ ddd div La divegena di un vettoe in un punto P appesenta il flusso del vettoe attaveso la sup. che acchiude un elemento di volume dτ nell intono di P diviso il volume dτ Pe un volume esteso: Il flusso che attavesa elementi di volume adiacenti si elide esta solo il flusso attaveso la supeficie lateale Σ φ( ) unds dτ (Th della divegena) τ

17 4/3/.7 Il flusso di un vettoe attaveso una supeficie chiusa Σ è pai all integale della div nel volume acchiuso dalla supeficie Σ Pe il campo elettico: φ( ) Quindi: Σ Nel vuoto: u n ds dτ ρ ε Consevatività del campo elettico Rotoe di un campo vettoiale τ Cicuitaione lungo un pecoso ettangolae element. dc (, )d τ ρ ε dτ [ (,) (, d) ] d [ ( d, )d (,)] dd ( d, )d dd (, d)d (, )d d dc dd Componente secondo del vettoe ot

18 4/3/.8 ot u Componenti del otoe: u u u u u dc dl n ds ot n ds La cicuitaione di un vettoe lungo una linea che contona una supeficie infinitesima è data dal flusso del otoe del vettoe attaveso la supeficie La componente del ot lungo una ceta dieione è data dal appoto della cicuitaione di lungo il contono di una supeficie infinitesima otogonale alla dieione e l aea della supeficie Vicevesa il otoe di un campo indica la dieione lungo la uale deve essee pesa la nomale ad una supeficie infinitesima pe ottenee la massima cicuitaione lungo una linea che la contona Teoema di Stokes: Σ ot nds C dl Σ concatenata La cicuitaione di un campo vettoiale lungo una linea chiusa C è uguale al flusso del otoe del campo attaveso ualsiasi supeficie Σ concatenata con la linea C con C

19 4/3/.9 Nel caso del campo elettico, poiché la cicuitaione è sempe nulla si ha anche: ot Identità vettoiale: ot ot(gad V) V