Consideriamo, ancora, il momento angolare del punto materiale rispetto al centro delle forze:!!!!!

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Vanessa Salvatori
4 anni fa
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1 Moto in un campo di foe centali. Moto in un campo di foe centali Planaità del moto In un campo di foe centali avemo sempe: dl F( ) F 0 L cost. e quindi il moto è piano. Si tatta di una delle caatteistiche pincipali dei campi di foe centali. Più pecisamente, in un campo di foe centali, il momento angolae ispetto al cento di foa O si conseva. Nota bene: non è vea, in geneale, l implicaione invesa. Se infatti il momento angolae è costante, avemo cetamente che il momento della foa isultante si annulla, ma ciò può coispondee a due situaioni diffeenti: a) F( ) il punto mateiale P si muove effettivamente in un campo di foe centali di cento O. b) il punto mateiale P non è soggetto ad alcuna inteaione e quindi si muove di moto ettilineo unifome. Enegia poteniale centifuga L enegia di un punto mateiale P di massa m che si muove con velocità scalae v in un campo di foe centali e si tova a distana dal cento delle foe: E ( ) + m v Poiché siamo in un campo di foe centali, il moto è piano (il momento angolae si conseva, ed in paticolae la sua dieione esta costante); sciviamo alloa la velocità vettoiale di P in d d un sistema di coodinate polai nel piano del moto: v uˆ + u ˆ e dunque il quadato della velocità scalae vale v v ' v Sostituendo questa espessione in quella dell enegia otteniamo: E ( ) + m d $ & + % m d' $ & % v + v ( & $ % d + & $ % d( Consideiamo, ancoa, il momento angolae del punto mateiale ispetto al cento delle foe: d L m v m( v uˆ + v uˆ ) m v uˆ uˆ m uˆ e quindi l ultimo temine nell espessione dell enegia può essee scitto in temini di modulo del momento angolae, e pende il nome di enegia poteniale centifuga del punto mateiale P nel campo di foe centali: ' d( $ L m % (cent) & m Poiché infatti questo temine non dipende esplicitamente dal modulo della velocità scalae, ma solo dalla distana, come l enegia poteniale, può essee intepetato come se fosse un enegia poteniale, benché in ealtà sia stato icavato dall espessione dell enegia cinetica.

2 Il suo effetto è lo stesso che avebbe una foa epulsiva (centifuga, appunto) appaente (in un sistema non ineiale). Se infatti scegliamo un sistema di ifeimento con l asse paallelo all asse di otaione di P e che uota con la stessa velocità angolae (istantanea) di P, in tale sistema di ifeimento abbiamo effettivamente una foa appaente centifuga, e la sua enegia poteniale ha popio l espessione intodotta sopa, e il moto di P, in questo sistema di ifeimento, diventa monodimensionale, dietto lungo l asse. Pe dimostae l asseto, calcoliamo l enegia poteniale della foa centifuga: F cent L L L m% uˆ uˆ L d $ m m m Enegia poteniale efficace Di conseguena definiamo un enegia poteniale efficace del campo di foe centale come la somma dell enegia poteniale della foa del campo e dell enegia poteniale centifuga: + (cent) ( ) + L m L enegia poteniale efficace appesenta l enegia poteniale totale del punto mateiale nel sistema non ineiale sopa definito. In un campo di foe centali attattivo, l enegia poteniale del campo è sempe negativa, (come pe il campo gavitaionale); l enegia poteniale efficace, invece, può essee negativa, positiva o nulla a seconda che pedomini il temine dovuto alla foa del campo o il temine centifugo (che è sempe positivo), o infine i due temini si bilancino esattamente. Le condiioni iniiali del moto stabiliscono il valoe del momento angolae, quindi l andamento dell enegia poteniale efficace al vaiae della distana, e l enegia totale del punto mateiale P, che si conseva duante il moto; Il tipo di taiettoia che si ottiene dipende da queste due condiioni. E (cent) p ( )

3 . Caatteistiche del moto in un campo di tipo gavitaionale Consideiamo oa il caso di un campo di foe centali attattivo la cui enegia poteniale dipenda dall inveso della distana dal cento di foe, come nel caso del campo gavitaionale pecepito da una massa m in pesena di una massa M >> m, o come nel caso del campo elettostatico pecepito da una paticella caica leggea in pesena di una seconda paticella di caica opposta molto più pesante: ( ) k. L enegia poteniale efficace saà dunque ( ) k + L m Osseviamo che l enegia poteniale efficace saà positiva pe valoi bassi di, poiché in questo caso pedomina il contibuto centifugo, invesamente popoionale al quadato di, e negativa pe valoi alti di, dove pedomina il contibuto attattivo, invesamente popoionale ad (pe tendeà a eo, poiché entambi i contibuti tendono ad annullasi) (vedi figua). Il valoe limite che sepaa la ona a valoi positivi da quella a valoi negativi è: L. Nella ona a km valoi negativi è pesente il punto di minima enegia poteniale efficace, in coispondena della distana doppia di quella pe cui l enegia si annulla: min L km. Il minimo di enegia poteniale efficace vale:,min k m L. Caatteistiche del moto in un campo attattivo di tipo gavitaionale Applichiamo quando icavato in pecedena pe individuae le pincipali caatteistiche del moto. Le condiioni iniiali stabiliscono il momento angolae L e l enegia totale E, che si consevano; la dieione di L stabilisce il piano del moto, mente dal suo modulo dipende l entità dell enegia poteniale centifuga, e quindi i valoi, min ed E p,min. Possiamo fae le seguenti ossevaioni: Oss. Poiché isulta E m d $ & + ( ) ' ( ), avemo anitutto che, fissato il % valoe di L, saà cetamente E,min, essendo sempe m d $ & una quantità positiva. % L uguagliana, poi, può valee solo nel caso in cui la velocità adiale sia nulla (in modo che l enegia totale coincida con l enegia poteniale efficace), ed al tempo stesso la distana dal cento delle foe coisponda popio al minimo di enegia poteniale efficace. Inolte: Oss. Se l enegia totale è negativa ( E E < 0), avemo che anche l enegia poteniale efficace deve sempe estae negativa, ed in paticolae al di sotto del valoe E < 0. Di conseguena il punto mateiale P si tova confinato ento una buca di poteniale, e la sua E O E,min pe ( ) E (eff) p 0 min (cent) ( ) af ( )

4 distana dal cento delle foe vaieà ta un valoe minimo ed un valoe massimo (vedi figua); la taiettoia, petanto è una cuva chiusa, che si dimosta essee una ellisse. Il peielio e l afelio si tovano alle distane pe,af tali che sia: ( pe,af ) k > pe con:,min k E pe,af + k % $ ' E & L E > E m pe,af m pe,af k m L E < 0 L m E ; af k E + km pe,af + L 0 > k % $ ' E & L m E Se, in paticolae, l enegia totale (negativa) coincide con l enegia poteniale efficace minima, la taiettoia è una ciconfeena, ed infatti le distane coispondenti al peielio e all afelio vanno a coincidee peché la adice si annulla, ed entambe valgono popio min. Oss. Se l enegia totale è positiva ( E E > 0), il punto mateiale P è libeo di sfuggie alle foe del campo (vedi figua), la taiettoia è apeta, e si dimosta essee un ipebole; il massimo avvicinamento consentito al cento delle foe si detemina imponendo velocità adiale nulla e quindi uguagliana fa l enegia poteniale efficace e l enegia totale. Si ottiene il valoe: 0 k $ & E % + L ' k con E > 0 me E (l alta soluione dell equaione va scatata peché isulta negativa) Oss.4 Se infine l enegia totale della paticella è nulla, avemo che essa possiede l enegia minima necessaia pe sfuggie al campo, e la sua taiettoia si dimosta essee una paabola. Il punto di massimo avvicinamento è a distana, ove l enegia poteniale efficace si annulla, e quindi coincide con l enegia totale. Velocità di fuga La velocità minima che un copo deve possedee sul suolo di un pianeta pe pote sfuggie al campo gavitaionale del pianeta pende il nome di velocità di fuga. Pe calcolala, in base a quanto visto sulla foma delle obite, basta impoe che l enegia totale del copo sia nulla. Infatti, all istante iniiale (copo sulla supeficie del pianeta), avemo: M T m M T m E p, i ; Ec, i mvi Ei + mvi RT RT All istante finale (copo all infinito), avemo invece:, f 0 ; E c, f 0 E f 0 Poichè il sistema di foe è consevativo, dovà essee M T m R T + m v i E i E f 0, equaione che fonisce la soluione: v i v fuga Tea. M T R T cica uguale ad. km/s pe la 4

5 Oss. La velocità di fuga appesenta la minima velocità iniiale che il punto mateiale deve avee al suolo pe pote sfuggie all attaione gavitaionale del pianeta. Oss. La velocità di fuga è la stessa in tutte le dieioni, essendo stata icavata da un equaione scalae. Oss. Notiamo infine che, pe come è stata icavata, la velocità di fuga è misuata ispetto ad un sistema di ifeimento assoluto, femo ispetto al pianeta, che invece è in otaione su se stesso. Quindi la velocità di lancio ispetto alla supeficie (SdR elativo) necessaia pe la fuga è infeioe alla velocità di fuga sopa calcolata, pechè un copo femo sulla supeficie del pianeta possiede già una velocità ben maggioe di eo nel SdR assoluto (femo ispetto al pianeta), pai alla velocità di tascinamento del SdR elativo, che ha modulo R T cos(), dieione tangente al paallelo locale di latitudine e veso da ovest ad est. Poichè tale velocità di tascinamento è massima all equatoe ( 0), pai a cica km/s pe la Tea, è più conveniente effettuae lanci spaiali da egioni equatoiali in dieione est (chiaamente lanciae in dieione ovest non conviene se si vuole aggiungee la velocità di fuga). 5

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