Lezione del 18 Dicembre Figure 1: Sergey Brin e Larry Page.

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1 PageRankTM e tasfomazioni lineai Lezione del 18 Dicembe 2015 Figue 1: Segey Bin e Lay Page Questi appunti infomali hanno il fine di mostae come il concetto di TRASFORMAZIONE LINEARE intevenga nella definizione del PageRank TM usato da Google TM pe quantificae l impotanza di un sito web La tattazione è volutamente molto semplificata e veanno illustate soltanto le idee pincipali Pe compendee quanto veà detto saanno sufficienti i concetti di matice, podotto fa matici, tasfomazione lineae e sua appesentazione maticiale, limite di una successione eale e di una successione Decembe 26, 2015

2 di matici eali Saebbe utile avee anche qualche conoscenza di calcolo delle pobabilità ma veanno evitati ichiami espliciti alla teoia Consideiamo l insieme di tutti i siti web del mondo: {w 1,, w n } (Alla data in cui stiamo scivendo n è supeioe a 500 milioni Immaginiamo, semplificando, che l insieme di tutti questi siti sia popolato di visitatoi e che, a ogni secondo, una pecentuale p i j dei visitatoi del sito w j decida di passae al sito w i (natualmente questo accade, contempoaneamente, pe ogni i e ogni j Il valoe p i j saà un numeo eale compeso fa 0 e 1 e potà anche essee visto come una pobabilità A questo punto abbiamo una matice quadata p 1 1 p 1 2 p 1 n p 2 1 p 2 2 p 2 n P = p n 1 p n 2 p n n Notate che p i j 0 pe ogni i e j; p i i espime la fazione di visitatoi di w i che decide di imanee su quel sito; n pi j = 1 pe ogni j Nella ealtà è agionevole suppoe p i j > 0 pe ogni i e j e dunque faemo questa ipotesi (esiste sempe una pobabilità non nulla pe ogni scelta del visitatoe 1 A cosa seve la matice P? Supponiamo che a un ceto istante t la popolazione dei navigatoi del web sia suddivisa, sito pe sito, in questo modo: (s 1 t,, s n t È facile endesi conto che all istante successivo t + 1 la popolazione saà distibuita così: ( p 1 i s i t,, p n i s i t (veificatelo! 2

3 Quindi la funzione che pota la distibuzione dei visitatoi all istante t nella distibuzione dei visitatoi all istante t + 1 è una tasfomazione lineae T : R n R n e la sua matice associata è, ispetto alla base canonica, popio la matice quadata P Sappiamo che la matice associata alla tasfomazione lineae T t = t volte {}}{ T T è la matice P t Quindi, indicando con (s 1 0,, la distibuzione sito pe sito dei navigatoi del web all istante iniziale 0, la popolazione all istante t saà data da s 1 0 P t s 2 0 Notate, comunque, che non conosciamo i valoi s i 0 Possiamo invece appossimae i valoi p i j peché siamo in gado di scopie, navigando sulla ete, se esiste un link che poti dal sito w j al sito w i e qual è il numeo m j di link che potano dal sito w j ad alti siti (consideando anche un link fittizio che pota dal sito w j in se stesso Questo ci pemette di valutae come 1 m j la pobabilità p i j del passaggio da w j a w i In paole povee stiamo supponendo che una pecentuale 1 m j dei visitatoi pesenti su w j a un ceto istante t decida di tasfeisi su w i all istante successivo t + 1 Notate che il valoe della pobabilità di tasfeisi da w j a w i dipende non solo dall esistenza di almeno un link da w j a w i, ma anche dal numeo totale di link che patono da w j NOTA: Secondo il pecedente metodo di calcolo p i j isulta nullo qualoa non esistano link da w j a w i Pe pendee in consideazione anche la possibilità che un visitatoe di w j decida di passae a w i scegliendo questo sito a caso (quindi senza uso di link possiamo scegliee un valoe d vicino a 1 e quantificae empiicamente come 1 d n (valoe positivo vicino a zeo! la pobabilità del tasfeimento casuale da w j a w i Dobbiamo alloa anche cambiae la valutazione 1 m j pe p i j in d m j + 1 d n In patica al tempo t c è una pate dei visitatoi di w j (data da d s j t che decide di spostasi usando un link e una pate (data da (1 d s j t che decide di spostasi su un sito scelto a caso 3

4 Comunque, il fatto fondamentale è ossevae che i valoi p i j sono appossimabili consultando i siti pesenti sulla ete (tamite del softwae appositamente pedisposto Cosa accade alla distibuzione dei visitatoi sulla ete quando il tempo t viene fatto tendee all infinito? Pe scopilo dobbiamo fae qualche ossevazione matematica sulle potenze P t della matice P 2 Le popietà della matice P t Pe studiae le popietà della matice P t indichiamo con A = (a i j la matice P t e con B = (b i j la matice P t+1 Indichiamo con γ min > 0 il minimo di tutti temini di P Elenchiamo oa alcune popietà inteessanti: 1 Pe qualunque tempo t tutti i temini di P t sono positivi Dimostiamolo pe induzione su t L affemazione è vea pe t = 1 peché è vea pe P Se è vea pe t è vea anche pe t+1, infatti b i j = n pi h ah j pi 1 a 1 j > 0 2 La somma dei temini in ciascuna colonna di P t è uguale a 1 Dimostiamolo pe induzione su t L affemazione è vea pe t = 1 peché è vea pe P Se è vea pe t è vea anche pe t + 1, infatti isulta ( ( b i j = p i h a h j = p i h a h j = ( p i h 3 Pe qualunque indice i si ha che ( max a i max a h j = a h j = 1 b i (max a i min a i γ min Pe dimostalo pocediamo come segue Fissiamo un indice i a piacee 4

5 e scegliamo un indice i tale che a i i = max a i Osseviamo che a i i b i s = a i i a i i p h s p h s a i h p h s = a i h p h s = (a i i a i h p h s (a i i a i k γ min pe qualunque s e k (Attenzione!: qui stiamo sfuttando il fatto che a i i a i h 0 pe qualunque h Ne consegue che max a i b i s (max a i a i k γ min pe qualunque s e k Se pendiamo s e k in modo tale che b i s = max b i e a i k = min a i otteniamo che max a i max b i (max a i min a i γ min 4 Pe qualunque indice i si ha che ( min b i min a i (max a i min a i γ min Pe dimostalo pocediamo come segue Fissiamo un indice i a piacee e scegliamo un indice i tale che a i i = min a i Osseviamo che b i s a i i = a i h p h s a i i a i h p h s a i i p h s = p h s = (a i h a i i p h s (a i k a i i γ min pe qualunque s e k (Attenzione!: qui stiamo sfuttando il fatto che a i h ai i 0 pe qualunque h Ne consegue che b i s min a i (a i k min a i γ min pe qualunque s e k Se pendiamo s e k in modo tale che b i s = min b i e a i k = max a i otteniamo che min b i min a i (max a i min a i γ min 5

6 Possiamo oa dimostae il seguente teoema: Teoema 21 Esiste L = lim t P t Le colonne di L sono tutte uguali fa loo, i temini di L sono tutti positivi e la somma dei temini in ciascuna colonna di L è uguale a 1 Dimostazione Le popietà 3 e 4 viste pima implicano che pe ogni i min a i min b i max b i max a i Questo significa che il minimo di ogni iga di P t non diminuisce al cescee del tempo t e che il massimo di ogni iga di P t non aumenta al cescee del tempo t Quindi esistono l i = lim t min a i (coincidente con lim t min b i e l i = lim t max a i, e sono entambi positivi (visto che tutti i temini della matice P sono positivi Inolte lim t max a i lim t min a i Passando al limite pe t che tende all infinito nella disuguaglianza (, si ha 0 = l i l i ( lim max t a i lim t min a i γ min 0 e dunque (lim t max a i lim t min a i γ min = 0 Dato che γ min > 0, se ne deduce che lim t max a i = lim t min a i Ciò significa che tutti i temini della i-esima iga della matice P t tendono a un unico valoe c i = l i = l i > 0 quando t tende all infinito Dunque esiste L = lim t P t, le colonne di L sono tutte uguali fa loo e i loo temini sono tutti positivi Pe la popietà 2 la somma dei temini in ciascuna colonna di L è uguale a 1 (visto che questa popietà vale pe la matice P t e si conseva passando al limite pe t che tende all infinito Il teoema pecedente dimosta che, patendo da una distibuzione iniziale (s 1 0,, dei visitatoi sui siti della ete, esiste un unica distibuzione limite a cui si tende al passae del tempo Questa distibuzione limite è data da lim P t t s 1 0 = L s 1 0 c 1 c 1 = c n c n s 1 0 c 1 (s = c n (s dove c c n = 1 e tutti i c i sono positivi Si noti che i valoi c 1,, c n NON dipendono dalla distibuzione iniziale (s 1 0,, 6

7 Indicando con S il numeo totale di navigatoi sul web si ha ovviamente che S = s e dunque s 1 lim P t 0 c 1 = S t c n Dividendo i due temini dell ultima uguaglianza pe S si ottiene che s 1 0/S c 1 lim P t = t /S Ciascun valoe c i appesenta (sostanzialmente il PageRank TM del sito w i : indica la pecentuale della popolazione della ete che si tova, dopo un tempo infinito, nel sito consideato È chiao che un sito dove si tovano molti visitatoi è, in linea di pincipio, un sito itenuto impotante dalla comunità della ete, ed è popio questo fattoe a essee misuato dal PageRank TM NOTA DA MATEMATICO UN PO PIGNOLO: ossevate che il Teoema 21 non vale più se togliamo l ipotesi che tutti i p i j siano stettamente positivi Infatti se pendiamo ( 0 1 P = 1 0 vediamo che non esiste lim t P t 3 Alcune ossevazioni finali Nel seguito indicheemo il vettoe c 1 c n c n col simbolo (c Sappiamo già che c c n = 1 (peché la somma dei temini in ciascuna colonna di L fa 1 Risulta dunque che c 1 (c c n L (c = c n (c c n 7 = (c

8 Quando si ha che M (x = λ (x pe una matice M M n (R e un vettoe non nullo (x R n si dice che (x è un autovettoe di M associato all autovaloe λ Quindi, nel nosto caso si ha che (c è un autovettoe pe L associato all autovaloe 1 e che la somma delle sue componenti fa 1 Osseviamo anche che P L = P lim t P t = lim t P t+1 = lim t P t = L e dunque P L = L Da questo e da quanto detto sopa segue che P (c = P L (c = L (c = (c Quindi si ha che (c è un autovettoe anche pe la matice P (associato all autovaloe 1 D alta pate, se ( c = ( c 1,, c n è un autovettoe di L associato all autovaloe 1 e isulta anche c c n = 1, alloa si ha che c 1 ( c c n ( c = L ( c = = (c c n ( c c n Dunque l unico autovettoe ( c di L associato all autovaloe 1 pe il quale c c n = 1 è il vettoe (c Se invece ( c è un autovettoe pe la matice P associato all autovaloe 1 si ha che ( L ( c = ( lim P t ( c = lim P t ( c = ( c t t Quindi si ha che ( c è anche un autovettoe pe L associato all autovaloe 1 Peciò se ( c = ( c 1,, c n è un autovettoe di P associato all autovaloe 1 e isulta anche c c n = 1, alloa si ha che ( c = (c Dunque l unico autovettoe ( c di P associato all autovaloe 1 pe il quale c c n = 1 è il vettoe (c Tutto questo ci pemette di dae una definizione altenativa di PageRank TM : l n-upla dei PageRank TM pe i nosti n siti è data dall unico autovettoe di L (o, equivalentemente, di P che sia associato all autovaloe 1 e i cui temini abbiano somma uguale a 1 8