ESERCITAZIONE N.4 ESERCIZIO 1. Relazione di equivalenza su ZxZ

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Carmelo Palla
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1 ESERCIZI. ESERCITAZINE N.4 30 ottobe 007 Relazione di equivalenza su ZZ In ZZ è data la coispondenza (,) (z,w) (-z)=(-w). Povae che è una elazione d equivalenza Relazioni d equivalenza Classi di equivalenza Poviamo la iflessiva, ossia poviamo che ogni elemento di ZZ è in elazione con se stesso: (,)~(,) pe ogni (,) ZZ. Cosa vuol die (,)~(,)? Nella definizione questo coisponde a z Nella definizione questo coisponde a w Alloa (,)~(,) se e solo se isulta (-) = (-) ossia 0=0, che è veo! Quindi la popietà iflessiva è povata pe TUTTI gli elementi (,) del nosto insieme ZZ. Rosalba Baatteo

2 Poviamo la simmetica : dobbiamo veificae che se (,)~(z,w) alloa (z,w)~(,) pe tutti gli (,),(z,w) ZZ L ipotesi è (,)~(z,w) che equivale a (-z)=(-w). La tesi è (z,w)~(,) che equivale a (z-)=(w-). Come si fa ad ottenee dall uguaglianza (-z)=(-w), l uguaglianza (z-)=(w-)? Basta cambiae di segno! Alloa è vea la tesi. Poviamo infine la tansitiva: dobbiamo veificae che se (,)~(z,w) e (z,w)~(p,q) alloa (,)~(p,q) pe tutti gli (,), (z,w), (p,q) ZZ Ipotesi : (,) ~ (z,w) che equivale a (-z)=(-w) () (z,w) ~(p,q) che equivale a (z-p)=(w-q) () Tesi : (,) ~ (p,q) che equivale a (-p)=(-q) (3) Come ottenee (3) da () e ()? Sommando m. a m. () e () si ha (3), alloa la tesi è vea. UN MD ALTERNATIV DI MSTRARE CHE ~ È REL. DI EQUIV. Un caso in cui è apido veificae l equivalenza di una coispondenza è quando coincide con la elazione d equivalenza associata ad una funzione. Se f:a B è una funzione, la elazione d equivalenza associata ad f è R f : In A R f f() =f(). Si tatta di individuae f. In ZZ: (a,b) (c,d) (a-c)=(b-d) Una funzione giusta è f:zz A t.c. f(a,b)= f(c,d) A, con A insieme oppotuno. Tascivo (a-c)=(b-d) così : a-b=c-d, e oa ponendo f(,) = - isulta: - f(a,b) = a-b, f(c,d)=c-d - essendo,,,- intei - è inteo A=Z. Dunque f:zz Z è definita da f(,)= -. E si ha (a,b) (c,d) f(a,b)=f(c,d). Quindi la elazione coincide con R f ed è quindi una elazione d equivalenza. 3

3 ESERCIZI. a = { Z a}= { Z =a oppue =-a}= {a,-a} Classi di equivalenza a) Data in Z la elazione di equivalenza a b a=b oppue a=-b Descivee le classi di equivalenza e stabilie se hanno lo stesso numeo di elementi. b) Data in RR la elazione d equivalenza (,) (z,w) (-z)=(-w), deteminae la classe di (0,0) e la classe di (π,). Descivee le classi. a) In Z: a b a=b oppue a=-b Ricodiamo che un modo pe povae che è una elazione d equivalenza è notae che coincide con la elazione d equivalenza R f associata alla funzione f:z Z definita da f()= (oppue f:z N) Desciviamo qualche classe, ad esempio (classe di ) = { Z }= { Z = oppue =-}= {,-} Le classi hanno tutte due elementi, tanne la classe 0 che ne ha uno. Le classi sono a due a due disgiunte e l unione dà Z: ciò vale in geneale, si dice che sono una patizione di Z. L insieme delle classi si chiama insieme quoziente. Ad ogni elazione di equivalenza è associata una patizione e vicevesa. b) In RR (,) (z,w) (-z)=(-w), ( 0,0) (la classe di (0,0))={(,) RR (,) (0,0)} ={(,) RR (-0)=(-0)} ={(,) RR -=0} ={(, ), al vaiae di in R} 0 = { Z 0} = {0} - = { Z -},ma - = pechè - 4

4 (π,) = {(,) RR (,) (π,)} = {(,) RR (-π)=(-)} = {(,) RR --π+0=0} π + 0 = {(, ), al vaiae di in R} Geometicamente: ( 0,0) ={(,) RR -=0} ESERCIZI 3. Relazione di equivalenza in Q Data in Q la coispondenza - Z a) Veificae che è una elazione d equivalenza È LA RETTA DISEGNATA b) Deteminae la classe di 0 e la classe di 3. a) (π,) = {(,) RR --π+0=0} È una etta s paallela ad : il coefficiente angolae è lo stesso di (m= = ). b a s La pima popietà da mostae è che la coispondenza è iflessiva, che vuol die : se è un numeo azionale (qualsiasi!), alloa è in elazione con se stesso. Sappiamo come è definita la elazione: se - Z alloa ~. a - vale zeo, che appatiene a Z, quindi è veo che ~. Le classi di equivalenza sono tutte ette paallele di coeff. angolae. La seconda popietà da mostae è la simmetica: se, sono due qualsiasi numei azionali e ~, dobbiamo povae che alloa ~. 6 7

5 Pe ipotesi ~, e pe come è definita la coispondenza ciò vuol die che - Z. La tesi è : ~, che saà povata se mostiamo che - Z. Dall ipotesi abbiamo - Z, se oa cambiamo di segno al numeo -, abbiamo il numeo (-) = -+ = - che appatiene a Z, peché è l opposto di -, che, pe ipotesi sappiamo essee un numeo inteo. b) La classe di 0 è pe definizione l insieme { Q ~0 } e pe def. di ~ si ha : { Q ~0 } = { Q -0 Z } = {X Q X Z } = Z QUINDI LA CLASSE D EQUIV. DI 0 È Z La teza popietà è la tansitiva: ipotesi : ~, ~t, con,, t Z tesi: ~t ~ - Z () ~t -t Z () Analogamente la classe di 3 è : {X Q X~ 3 } = {X Q X- 3 Z } = {X Q X- 3 =n,con n Z} Sommiamo le infomazioni : (-)+(-t) = -t La classe di 3 = {X Q X= 3 +n,con n Z} è quindi l insieme di tutti i numei azionali - Z pe () -t Z pe () Ma la somma di due numei intei è ancoa un numeo inteo e quindi -t Z e ciò equivale a ~t, la tesi è così povata n del tipo 3 + n (= ), con n Z ( ad esempio 3, 3 = 3 +, = 3 3-3,, etc. sono tutti numei che appatengono alla classe di 3 ). 9

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