Liceo scientifico e opzione scienze applicate

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1 PROVA D ESAME SESSIONE SUPPLETIVA 7 Liceo scientifico e opzione scienze applicate Il candidato isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 quesiti del questionaio Duata massima della pova: oe È consentito l uso di calcolatici scientifiche e/o gafiche puché non siano dotate di capacità di calcolo simbolico (OM n 57 At 8 comma 8) PROBLEMA Un gioco si svolge su un tabellone, che è suddiviso in te settoi A, B, C, come in figua A C P B Figua Nei vai settoi possono essee collocate alcune pedine I settoi confinano a due a due attaveso te vachi (appesentati nella figua con tatti ondulati) Pima di ogni patita, pe ciascun vaco si effettua un soteggio che stabilisce se esso saà apeto oppue chiuso La pobabilità che un vaco sia apeto è pai a un ceto valoe (lo stesso valoe pe tutti e te) ed i te soteggi sono ta loo indipendenti Duante il gioco, una pedina potà spostasi attavesando i vachi apeti In questo modo, a seconda di quali vachi sono apeti, la pedina P, inizialmente collocata in A, potebbe aggiungee o tutti e i settoi, oppue solo (A e un alto), oppue solo (non può uscie da A) Indichiamo con p^h, p^h, p^h le pobabilità che i settoi aggiungibili dalla pedina P patendo da A siano solo, oppue, oppue Dimostae che p^h ^ h, p^h ^h, p^h + ^ h e tacciae, in uno stesso diagamma, i gafici delle funzioni p^h, p^h, p^h pe! È veo che, qualunque sia! almeno una delle pobabilità p^h, p^h, p^h deve essee maggioe di, e almeno una deve essee minoe di,? Povae che esiste un unico tale che: p^h p^h e stabilie se vale la disuguaglianza: Discutee inolte, al vaiae di in [; ], quali delle te possibilità indicate (che i settoi aggiungibili da P siano, o ) sono più pobabili e quali meno Stabilie quali sono i te valoi medi delle funzioni che espimono le pobabilità p^h, p^h, p^h Nel caso quali sono il valoe medio e la vaianza della vaiabile casuale che fonisce il numeo di settoi aggiungibili da P? Zanichelli Editoe, 8

2 PROBLEMA Data una funzione g: R " R ovunque deivabile, consideiamo la funzione f^h g^hsin^h Dimosta che i gafici delle funzioni f e g sono tangenti nei loo punti di ascissa + k, con k numeo inteo Detemina la funzione g^h in modo tale che sia soddisfatta l equazione diffeenziale gl^hg^h e che isulti g^h Il gafico della funzione f pesenta dei massimi elativi nei punti di ascissa + k (k inteo)? Pesenta dei flessi in tutti i suoi punti d intesezione con l asse? Motiva le tue isposte Detemina il valoe di I e, posto + f^hd H f^h d + dimosta che H è finito e detemina in modo appossimato il suo valoe Che cosa appesentano, in temini geometici, i valoi di I e H? QUESTIONARIO 5 Consideiamo la funzione f^h e Peso un numeo eale a, sia R a la egione illimitata fomata dai punti aventi ascissa a che sono compesi ta il gafico di f e l asse Pe quale valoe di a l aea di R a isulta pai a? Deteminae l equazione della etta pependicolae nel punto (; ; ) al piano di equazione + z Una vaiabile aleatoia, i cui valoi appatengono all intevallo [; ], è distibuita secondo la densità di pobabilità data da p^h k$ ^ h, dove k è una costante oppotuna Si stabilisca il valoe medio della vaiabile aleatoia consideata Rappesentae il gafico della funzione: f^h Veificae se negli intevalli [; ] e [; ] valgono le ipotesi del teoema di Lagange, e in caso affemativo tovae i punti la cui esistenza è pevista dal teoema di Lagange Esiste un intevallo [a; b] in cui si possa applicae il teoema di Rolle? Giustificae la isposta ^7 h Sia f^h sin^h+ cos^h Deteminae f ^h, esplicitando, in modo chiao ed esauiente, il pocedimento seguito Deteminae la distanza ta il punto P(; ; 8) e la etta: z + ) z + Zanichelli Editoe, 8

3 7 8 9 Albeto e Babaa giocano lanciando un dado Quando esce,, o Albeto fa punto, quando esce 5 o Babaa fa punti Vince chi aiva pe pimo a punti Qual è la pobabilità che entambi ealizzino almeno punto nel coso della patita? Qual è la pobabilità che, in un ceto momento della patita, il punteggio sia di a? Stabilie se le ette: : 5, s: + 5 sono tangenti alla cuva d di equazione: + + Data la funzione: f^h +! R deteminae il volume del solido ottenuto dalla otazione attono all asse delle della pozione di piano delimitata dal gafico di f^h e dall asse delle ascisse pe! [; ] Tovae una funzione g, il cui insieme di definizione sia un qualsiasi intevallo contenente, tale che: ^ g^h, gl^h, gll^h, glll^h, g h ^h e g ^5 ^ h h Zanichelli Editoe, 8

4 SOLUZIONE SESSIONE SUPPLETIVA 7 Liceo scientifico e opzione scienze applicate PROBLEMA Compiliamo una tabella dove indichiamo, pe ogni vaco, se è apeto o chiuso, il numeo di settoi aggiungibili dalla pedina patendo da A, e la pobabilità che tale evento si veifichi Poiché i soteggi sono indipendenti, la pobabilità che si veifichi una data combinazione di vachi apeti/ n m chiusi è data dal podotto ^ h, dove n è il numeo di vachi apeti ed m il numeo di vachi chiusi Vaco AB Vaco AC Vaco BC Numeo settoi aggiungibili a patie da A Pobabilità apeto apeto apeto apeto apeto chiuso ( ) apeto chiuso apeto ( ) apeto chiuso chiuso ( ) chiuso apeto apeto ( ) chiuso apeto chiuso ( ) chiuso chiuso apeto ( ) chiuso chiuso chiuso ( ) Gli eventi sono indipendenti, quindi la pobabilità che la pedina P, patendo da A, possa aggiungee solo un settoe (cioè che non possa uscie dal settoe A) è data dalla somma delle pobabilità indicate in tabella coispondenti alle ighe «numei settoi» Otteniamo: p ^h ^ h + ^ h ^ h ^+ h ^ h Analogamente, p^h è dato dalla somma delle pobabilità indicate in tabella coispondenti alle ighe «numei settoi»: p ^h ^ h + ^ h ^h Infine: p ^h + ^ h+ ^ h+ ^ h + ^ h Studiamo le te funzioni pe tacciae i loo gafici in uno stesso diagamma catesiano nell intevallo [; ] Tutte le funzioni sono polinomiali, quindi definite e deivabili in [; ] p ^ h ^ h è una paabola di vetice (; ) che volge la concavità veso l alto; la paabola passa pe il punto (; ) p ^ h ^ h ^ + h + è una cubica passante pe (; ) e pe il punto di tangenza (; ) ( è zeo doppio) Pe deteminae il punto estemante in ]; [, calcoliamo la deivata pima: pl^ h 8+ ^ + h Studiamo il segno:!! p l^ h " + " " ; Zanichelli Editoe, 8

5 pl^h e p^h cescente pe pl^h e p^h decescente pe ; p^h ammette quindi massimo elativo in, con p ` j + La deivata seconda pll^ h 8 è positiva pe 8 ", quindi p^h volge la concavità veso l alto pe e veso il basso pe p ^ h + ^ h ^ + h ^ h + è una cubica passante pe (; ), che è punto di tangenza, e (; ) pl^h + ^ h è positiva in ]; [, quindi la funzione è stettamente cescente pll^ h + si annulla in ed è positiva a sinista e negativa a desta di p^h volge quindi la concavità veso l alto pe e veso il basso pe Possiamo disegnae i te gafici Nel gafico pecedente abbiamo disegnato anche le ette di equazione, e, Osseviamo che la pobabilità p^h è sempe minoe di,, poiché il massimo di p^h è 7 8 9,,, Quindi, pe ogni! [;], è veo che almeno una delle te pobabilità è minoe di, Inolte, la quota del punto di intesezione fa i gafici di p^h e p^h isulta maggioe di,, quindi imane veificato anche che, pe ogni! [;], almeno una delle pobabilità è maggioe di, Dobbiamo veificae che l equazione p ^h p ^h " ^ h + " + ammette una sola soluzione in [; ] o, in maniea equivalente, dobbiamo mostae che la funzione f^h p ^h p ^h + inteseca l asse in un sol punto nell intevallo [; ] Deteminiamo gli intevalli in cui la funzione f^h è cescente o decescente fl^ h ^ h;! + fl^h " " " Poiché fl^h è negativa pe, la funzione f^h è stettamente decescente in [; ],, O p p Figua p 5 Zanichelli Editoe, 8

6 Inolte f^h e f^h, quindi pe il pimo teoema di unicità dello zeo possiamo asseie che esiste un solo! ]; [ tale che f^ h, ovveo tale che p^h p^h Infine, poiché f ` j e la funzione f^h è decescente in [; ], deduciamo che lo zeo di f^h deve tovasi a sinista di, cioè deve essee Il valoe di non lo iusciamo a calcolae in modo esatto pe via elementae a patie dall equazio ne + Povando peò con il valoe, bche è minoe di l toviamo $, $, $, + 8,, quindi come pima appossimazione di possiamo consideae, Mettiamo in evidenza nel disegno seguente le intesezioni dei te gafici In paticolae: è l ascissa del punto di intesezione dei gafici di p^h e p^h, come icavato qui sopa; è l ascissa (non nulla) del punto di intesezione dei gafici di p^h e p^h; è l ascissa (divesa da ) del punto di intesezione dei gafici di p^h e p^h p p p O Figua Ricaviamo p ^h p ^h " + + " 7 + " soluzione non nulla ^ 7+ h 7 + " 7! 9 8 " , + 8 9, " 7 7 8, Ricaviamo p ^h p ^h " ^ h ^ h " ^h^ h " " Siamo in gado di discutee, al vaiae di! [; ], quali possibilità (numeo di settoi aggiungibili) sono più pobabili e quali meno Zanichelli Editoe, 8

7 Pobabilità maggioi: se #, è più pobabile aggiungee settoe; se #, è più pobabile aggiungee settoi; se, è ugualmente pobabile aggiungee o settoi, e tale pobabilità è maggioe che aggiungee settoi Pobabilità minoi: se, è meno pobabile aggiungee settoi; se, è meno pobabile aggiungee settoi; se, è meno pobabile aggiungee settoe; se, le pobabilità infeioi di aggiungee settoi o settoi si equivalgono; se, le pobabilità infeioi di aggiungee settoi o settoe si equivalgono In paticolae: se, tutti i vachi sono chiusi e si ha l evento ceto «la pedina P imane in A»; se, tutti i vachi sono apeti e si ha l evento ceto «la pedina P può aggiungee tutti i settoi» In geneale, il valoe medio di una funzione integabile f^h su un intevallo [a; b] è dato da b m f d b a ^ h a Nel caso delle te pobabilità toviamo: ; m p d d ^ h ^ + h : + D + ; m p d d ^ h ^ + h : + D + m p d d ^ h ^ + h : + D + Poniamo oa e consideiamo la vaiabile casuale S «numeo dei settoi aggiungibili», che può assumee i valoi s, s e s Le pobabilità associate alla vaiabile S sono: p p^s h p` j ` j ; p p^s h p` j ` j ` j + ` j ; p p^s h p` j ` j + ` j Il valoe medio è: 9 m s$ p+ s$ p+ s$ p $ + $ + $ 5, La vaianza è: va ^s mh $ p+ ^s mh $ p+ ^s mh $ p ` j $ + ` j $ + ` j $ 875, 7 Zanichelli Editoe, 8

8 PROBLEMA Sia g^h una funzione deivabile su R e f^h g^h$ sin^h Quindi anche f^h è deivabile su R peché podotto di funzioni deivabili Osseviamo che se g^h anche f^h e le due funzioni sono tangenti! R, in paticolae nei punti + k, con k! Z Possiamo suppoe quindi g^h! I gafici di g^h e f^h sono tangenti se sono contempoaneamente soddisfatte le due condizioni: f^h g^h g^h $ sin^h g^h ) " ) fl^ h gl^ h gl^ h $ sin^h + g^h$ cos^h gl^ h g^h!, quindi dalla pima equazione icaviamo sin^h " + k " + k Sostituendo nella seconda equazione otteniamo l identità gl ` + kj$ + g` + kj$ gl` + kj Concludiamo che i gafici di g^h e f^h sono tangenti pe + k, k! Z L equazione gl^hg^h è un equazione diffeenziale a vaiabili sepaabili Osseviamo che la funzione identicamente nulla g^h è soluzione paticolae dell equazione diffeenziale ma non soddisfa la condizione iniziale Pe g! possiamo isolvee nel seguente modo: g dg d " g dg d " ln g + c " g e " g^h! e " g^h! e $ e " g^h h$ e + c + c c con h costante eale non nulla Imponiamo la condizione iniziale: $ g^h " h$ e " h " g^h e La funzione f^h da consideae è oa: f^h e $ sin^h Se i punti di ascissa + k sono massimi elativi deve essee fl^h Come veificato pima, il gafico di f^h è tangente a quello di g^h nei punti di ascissa + k, quindi se fl^h anche gl^h, ovveo se gl` + kj Poiché gl^h 8e assume sempe valoi negativi e non si annulla mai, deduciamo che f^h non ha massimi elativi in + k Pe quanto iguada i flessi, deteminiamo in quali punti il gafico di f^h inteseca l asse : e! f^h " e $ sin^h sin^h " k " k La funzione f^h pesenta dei flessi in tali punti se in coispondenza la deivata seconda si annulla: fl^h 8e $ sin^h+ 8e cos^h 8e cos^h sin^h@ ; f e cos sin 8e ll^ h ^ h ^ h@ + sin^h cos^h@ e cos^h; k f k e k ll` j cos`k je cos^kh, 8 Zanichelli Editoe, 8

9 In paticolae: f k e k m` j se k è pai, f k + e k m` j se k è dispai In ogni modo, la deivata seconda non si annulla nei punti di ascissa k e quindi la funzione f^h non ha flessi in tali punti Consideiamo l integale impopio + t t t " + t " + I f^hd lim e $ sin^hd lim : $ e $ sin^hdd e calcoliamo a pate l integale indefinito Pensando e come fattoe diffeenziale e sin^h come fattoe finito, toviamo: da cui: e $ sin^hd e $ sin^hd e : $ sin^h e $ cos^hdd e $ sin^h e $ cos^hd e $ sin^h : e $ cos^h+ e $ sin^hdd e $ sin^h e $ cos^h e $ sin^hd, e $ sin^hd e $ sin^h e $ cos^h " e $ sin^hd e sin^h+ cos^h@ + e Possiamo calcolae l integale definito: t $ e $ sin^hd e sin^h+ cos^h@@ t Infine, l integale impopio isulta: t $ " e sin^th+ cos^th@," e sin^$ h+ cos^$ h@, t e sin^th+ cos^th@ t I lim " e sin^th+ cos^th@, t " + Nell ultimo passaggio si ha t lim " e sin^th+ cos^th@, t " + peché si tatta del limite del podotto fa un infinitesimo e una funzione limitata Valutiamo il compotamento di H f^h d + Innanzi tutto osseviamo che vale f^h e $ sin^h e sin^h, 9 Zanichelli Editoe, 8

10 quindi vale la catena di disuguaglianze: f^h f^h e Passando agli integali otteniamo: f^hd f^h d e d " f^h d e d poiché il pimo integale della catena appesenta I D alto canto, l ultimo integale della disuguaglianza vale: + t t e d lim e d lim t " + t " + t lim ^ e + h t " + L integale H isulta dunque finito e il suo valoe è compeso fa e : H Intepetiamo gli integali dal punto di vista geometico Il gafico di f^h in ; + individua infinite egioni di piano altenativamente al di sopa e al di sotto dell asse delle ascisse, ciascuna limitata e di aea finita Il valoe I appesenta la sommatoia delle aee di tali egioni, consideate col segno positivo se al di sopa dell asse e col segno negativo se al di sotto dell asse Il gafico di f^h individua infinite egioni di piano che si tovano tutte al di sopa dell asse Quindi, pe calcolae H, l aea di tutte le egioni viene consideata col segno positivo Rappesentiamo in figua la situazione Pe disegnae il gafico appossimativo di f^h e $ sin^h senza effettuae lo studio della funzione, possiamo ossevae che esso è compeso fa i gafici di e e di e, dove l oscillazione è individuata da sin^h O e e f() f() O Figua Zanichelli Editoe, 8

11 QUESTIONARIO Rappesentiamo la situazione in figua Il gafico di f^h e si ottiene ibaltando ispetto all asse quello di e e taslando veso desta di unità 5 a Calcoliamo l aea della egione R a in funzione di a: + a t e d lim e d lim t " + a t " + a a lim ^e e h e t " + Imponiamo che tale aea sia : a t e R a a e " a ln " a ln, O a 5 Figua 5 Le ette pependicolai al piano di equazione + z hanno vettoe di diezione ^ ; ; h, dato dai coefficienti delle incognite dell equazione del piano Fa tali ette pependicolai, individuiamo quella passante pe il punto (; ; ); con la foma paametica toviamo: + k + k * + k " * k, con k! R z k z k Ricaviamo le equazioni in foma catesiana: Z ] k k + ] k " [ * k " z k z z k z " * ( + ] \ La funzione p^h k ^ h definisce una densità di pobabilità sull intevallo [; ] se è sempe positiva o nulla su tale intevallo e se p^hd Pe la positività, deve essee k $ Calcoliamo l integale: p d k d k k ^ h ^ h 8 B ` 8 j k Imponiamo che tale integale definito sia uguale a : k " k La densità di pobabilità su [; ] è quindi definita da: p ^ h ^ h Il valo medio della vaiabile casuale associata è dato da: M p d d 5 5 $ ^ h ^ h 8 B ` 5 j 5, Zanichelli Editoe, 8

12 La funzione f^h si ottiene passando al valoe assoluto della funzione omogafica h^h, che è un ipebole di asintoti e passante pe i punti ` ; j e ^; h, come mostato in figua f() h() O h() Figua La funzione f^h pesenta dunque gli asintoti e, è continua nel dominio! e ha un punto angoloso di ascissa Non soddisfa quindi il teoema di Lagange in [; ], peché in ]; [ ha un punto di non deivabilità La funzione soddisfa invece il teoema in [; ], dove isulta deivabile In tale intevallo deve quindi esistee un punto c tale che: f^h f^h fl^ ch Poiché in [; ] possiamo scivee f ^h ^ h + ^ h e fl^ h, da cui: ^ h ^ h ^ h $ $ " " ^c h " c! " ^c h ^c h c + 7, Non esiste alcun intevallo [a; b] dove valga il teoema di Rolle In tale intevallo, infatti, dovebbeo valee le te condizioni: f^ah fb ^ h; f ^ h continua in [a; b]; f ^ h deivabile in ]a; b[ Come si deduce dalla figua a pagina seguente, gli intevalli [a; b] pe i quali è f^ah fb ^ h sono tali che a b oppue a b (sono individuati dall intesezione del gafico di f^h con ette paallele all asse ) Zanichelli Editoe, 8

13 O a b a b Figua 7 Nel pimo tipo di intevallo la funzione non è deivabile in, nel secondo la funzione non è continua (e quindi deivabile) in In entambi i casi, quindi, non possiamo applicae il teoema di Rolle 5 Le deivate delle funzioni goniometiche elementai si ipetono uguali ogni gadi di deivazione Se ^h sin, pe esempio, abbiamo: ^ h ^h sin, ^ h ^h cos, ^ h ^h sin, ^ h ^h cos, ^ ^h sin h, ^n ^n+ e in geneale saà ^h ^h La funzione f^h sin+ cos è data dalla somma di due funzioni goniometiche elementai, quindi anche le sue deivate si ipetono uguali ogni gadi di deivazione Dato che 7 5 $ +, isulta: h h ^7 ^ f ^h f ^h fl^ h cossin h h La distanza di P^8 ; ; h dalla etta z + : ) z + coincide con la distanza di P dal punto Q individuato dall intesezione fa e il piano a passante pe P e pependicolae a Cechiamo le equazioni paametiche di : k+ k k z + z+ + ) " ) " k " k, con k! R z + z + * + * z k z k Il piano a passante pe P e pependicolae a è dato alloa da: $ ^ h+ $ ^ h+ $ ^z 8h " + + z Deteminiamo l intesezione Q fa e a: ^ kh+ ^k h+ k " 9k+ k + k " k " k da cui: $ Q: * " Q^9 ; ; h z La distanza cecata PQ è uguale a: PQ ^9 h + ^ h + ^ 8h Zanichelli Editoe, 8

14 7 8 A ogni lancio del dado, Albeto ha pobabilità di fae un punto, mente Babaa ha pobabilità di fae punti Possiamo calcolae la pobabilità che sia Albeto sia Babaa ealizzino almeno un punto in una patita mediante la tecnica dell evento contaio Albeto fa zeo punti se Babaa vince lanci consecutivi (totalizzando + + punti), e questo avviene con pobabilità: ` j 7 Con agionamento analogo, Babaa fa zeo punti se Albeto vince lanci consecutivi, con pobabilità: ` j 79 La pobabilità che Albeto e Babaa ealizzino ciascuno almeno un punto in una patita è alloa data da: a + 79 k , Pe quanto iguada la pobabilità che, a un ceto punto della patita, il punteggio sia di a, osseviamo che tale situazione avviene se Albeto ha vinto lanci e Babaa lanci Su lanci, quindi, Albeto deve ave vinto esattamente volte Poiché la distibuzione è binomiale, possiamo calcolae questa pobabilità p col teoema delle pove ipetute:! 8 p ` j` j ` j! $! $ 8 $ 9 5 $ 8 $, La etta di equazione ^h 5 è tangente al gafico di f ^h + + se etta e gafico hanno un punto in comune e se in tale punto il coefficiente angolae è lo stesso, cioè deve essee soddisfatto il sistema: f ^ h ^ h ) " ( " ( l f ^ h l^ h 5 + Risolviamo l equazione di secondo gado:! +! " " Veifichiamo se tali valoi sono soluzione anche della pima equazione, quella di tezo gado: ` j ` j ` j + " " 7 " FALSO; $ $ + 7 " " " FALSO; quindi la etta non è tangente al gafico di f^h in alcun punto Ripetiamo il pocedimento pe la etta s di equazione s^h + 5: s f ^ h ^ h ) " ( " ( ; sl f ^ h l^ h +! +! 8 " " ; ^h ^h ^h " 8 8+ " " VERO; ` j ` j ` j " 7 9 " FALSO Quindi la etta s è tangente al gafico di f^h nel suo punto di ascissa Zanichelli Editoe, 8

15 9 Rappesentiamo la situazione in figua + 8 O Figua 8 Il volume del solido individuato dalla otazione attono all asse della egione sottesa al gafico di f^h + nell intevallo [; ] si può icavae col metodo dei gusci cilindici: V f^hd ^ + hd : + D ` + j 55, 5 Cechiamo la funzione g^h fa le funzioni polinomiali di gado 5 (peché 5 è l odine maggioe della deivata non nulla in ): 5 g^h a + b + c + d + e + f Deiviamo la funzione g^h fino al quinto odine: gl^h 5a + b + c + d + e, gll^h a + b + c+ d, glll^h a + b + c, ^ g h^h a + b, ^5 h g ^h a, e isolviamo il sistema individuato dalle condizioni fonite: ) g^h, gl^ h, gm^ h f, e, d 5 " " glll ^ ^ ^h, g ^h, g ^h ( h h c, b, a f, e, d * c, b, a La funzione cecata è dunque: g^h che è definita su R e quindi su ogni intevallo contenente 5 Zanichelli Editoe, 8