Analisi e Geometria 1 Primo appello, 18 febbraio Punteggi degli esercizi: Es.1: 9 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 9 punti.

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Romano Paolini
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1 Analisi e Geometia 1 Pimo appello, 18 febbaio 13 Punteggi degli esecizi: Es.1: 9 punti; Es.: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 9 punti. 1. (a) Scivee la definizione di: g(x) = o(h(x)), pe x a. (b) Sia f una funzione deivabile n volte in un intono di un punto x R. Scivee la fomula di Taylo di odine n di f, con il cento in x e il esto nella foma di Peano. (c) Calcolando le oppotune deivate, tovae lo sviluppo di Taylo di f(x) = tan x, con cento in x =, aestato al tezo odine, con il esto di Peano. (d) Calcolae il ite Soluzione. (d) Utilizziamo gli sviluppi: e x 1 + ln(1 x) x tan x x e x = 1 + x + x! + x3 3! + o(x3 ) ln(1 + x) = x x + x3 (1) da cui icaviamo e x = 1 x + x! x3 3! + o(x3 ) ln(1 x) = x x x3 () e tan x = x + x3 actan x = x x3 Alloa: Vesione A e x 1 + ln(1 x) x tan x x x + x! + x3 = x = 6 + o(x3 ) 3! + o(x3 ) x x x3 = 1

2 Vesione B e x 1 + ln(1 x) x actan x x x + x! + x3 3! = + o(x3 ) x x x3 x x3 = 6 + o(x3 ) x3 = 1 Vesione C e x 1 + ln(1 + x) x tan x x x + x! x3 3! + o( ) + x x = x = 6 + o(x3 ) + x3 = 1 Vesione D e x 1 + ln(1 + x) x actan x x x + x! x3 3! + o( ) + x x = + x3 x x3 = 6 + o(x3 ) x3 = 1

3 . (a) Tovae la soluzione f = f(t) del poblema di Cauchy: x (t) = 4t 3 x(t) x(1) = 1 (b) Tovae il valoe minimo e il valoe massimo di f sull intevallo [1, 3]. Soluzione. Vesione A (a) L equazione x (t) = 4t 3 x(t) è a vaiabili sepaabili, e anche lineae omogenea del pimo odine. Risolviamola come equazione a vaiabili sepaabili. L equazione x (t) = 4t 3 x(t) ha la soluzione identicamente nulla x(t) =, t R, che peò non soddisfa la condizione iniziale x(1) = 1. Vicino x = 1, la soluzione x(t) del poblema di Cauchy si manteà sicuamente divesa da zeo (più pecisamente si manteà negativa, poiché x(1) = 1). Alloa, dividendo pe x(t), si ha x (t) x(t) = 4t3 da cui si icava con C costante positiva, ossia ln x(t) = t 4 + c, x(t) = Ce t4, x(t) = Ke t4 con K costante abitaia. La condizione x(1) = 1 impone K = 1/e. Quindi la soluzione del poblema di Cauchy è x(t) = 1 e et4 (Contollae la soluzione con un calcolo dietto). (b) Sull intevallo I = [1, 3] la funzione x(t) = 1 e et4 è decescente (peché x (t) < pe ogni t I). Quindi il valoe massimo M e il valoe minimo m sono assunti agli estemi dell intevallo I = [1, 3]: M = x(1) = 1 m = x(3) = 1 e e34 = 1 e e81 Vesione B (a) La soluzione del poblema di Cauchy x (t) = 4t 3 x(t) x(1) = è x(t) = e et4. (b) Il valoe massimo M e il valoe minimo m di x = x(t) su I = [1, 4] sono: M = x(1) = m = x(4) = e e44 = 1 e e56 Vesione C (a) La soluzione del poblema di Cauchy x (t) = 4t 3 x(t) x(1) = 3

4 è x(t) = 3 e et4. (b) Il valoe massimo M e il valoe minimo m di x(t) = 3 e et4 su I = [ 3, 1] sono: M = x( 1) = 3 m = x( 3) = 3 e e81 Vesione D (a) La soluzione del poblema di Cauchy x (t) = 4t 3 x(t) x(1) = 4 è x(t) = 4 e et4. (b) Il valoe massimo M e il valoe minimo m di x(t) = 4 e et4 su I = [ 4, 1] sono: M = x( 1) = 4 m = x( 3) = 4 e e81

5 3. Sia γ il filo di equazioni paametiche x = cos θ y = sin θ θ [, π] (con > ) munito della densità di massa δ(θ) = e θ. (a) Calcolae la massa totale M di γ. (b) Calcolae le coodinate del baicento B del filo γ. Vesione A Risposta: (a) Indicata con f(θ) = ( cos θ, sin θ) la funzione vettoiale che paametizza la cuva γ, si ha f (θ) = ( sin θ, cos θ) e f (θ) =. i. La massa totale di γ è M = δ ds = γ π δ(θ) f (θ) dθ = π ii. Le coodinate del baicento B di γ sono x B = 1 δ x ds = 1 π δ(θ) x(θ) f (θ) dθ = M γ M M y B = 1 δ y ds = 1 π δ(θ) y(θ) f (θ) dθ = M M M γ e θ dθ = (e π 1). π π e θ cos θ dθ e θ sin θ dθ. Integando due volte pe pati, si ha e θ cos θ dθ = e θ cos θ + e θ sin θ dθ = e θ cos θ + e θ sin θ e θ cos θ dθ da cui si ottiene e θ cos θ dθ = eθ (cos θ + sin θ). Integando ancoa pe pati e usando l integale appena tovato, si ha Petanto, si ha e θ sin θ dθ = e θ sin θ x B = y B = In conclusione, si ha (e π 1) (e π 1) B [ e θ e θ cos θ dθ = eθ ] π (sin θ + cos θ) [ e θ (sin θ cos θ) ( eπ + 1 e π 1 ] π, eπ + 1 e π 1 (sin θ cos θ). = eπ + 1 e π 1 = eπ + 1 e π 1 ). Ossevazione. Pe la posizione del baicento ispetto alla cuva, si veda la figua seguente.

6 Vesione B Sia γ il filo di equazioni paametiche x = cos θ θ [π, π] (con > ) y = sin θ munito della densità di massa δ(θ) = e θ. Tovae la massa totale M e il baicento B del filo. ( e Risposta: M = (e π 1)e π π ) + 1 e B e π 1, + 1 eπ e π. 1 Vesione C Sia γ il filo di equazioni paametiche x = cos θ y = sin θ θ [, π] (con > ) munito della densità di massa δ(θ) = e θ. Tovae la massa totale M e il baicento B del filo. ( 1 + e Risposta: M = (1 e π π ) e B 1 e π, 1 + ) e π 1 e π. Vesione D Sia γ il filo di equazioni paametiche x = cos θ y = sin θ θ [π, π] (con > ) munito della densità di massa δ(θ) = e θ. Tovae la massa totale M e il baicento B del filo. ( 1 + e Risposta: M = (e π 1)e π π e B 1 e π, 1 + ) eπ 1 e π.

7 4. Nello spazio R 3, sia la etta passante pe A = (1,, ) e B = (3, 4, 1) e sia s la etta intesezione dei piani x y 1 = e y + z =. (a) Stabilie se e s sono incidenti, paallele o sghembe. (b) Nel fascio di piani il cui sostegno è la etta s, deteminae il piano P paallelo alla etta. (c) Calcolae la distanza ta le ette e s. SOLUZIONE (Vesione A) a) Le equazioni paametiche di e di s sono x = 1 + t, y = 4t, z = t; e x = t + 1, y = t, z = t. Le ette sono sghembe. b) Il fascio di sostegno s ha equazione: x y 1 + λ(y + z) =. I piani del fascio hanno vettoe nomale n = (1, + λ, λ). Imponendo che n (, 4, 1) = si tova λ =. Il piano del fascio paallelo a ha equazione x + z 1 = c) La distanza ta le due ette si può calcolae scegliendo un punto qualunque P e calcolando la distanza di P da π. Quindi d(, s) = d(a, π) = 4. 5 Vesione B Sia la etta passante pe A = (, 1, ) e B = (4, 3, 1) e s la etta di equazione catesiana x z 1 = y + z =. (a) Stabilie se e s sono incidenti, paallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la etta s deteminae il piano π paallelo alla etta. (c) Calcolae la distanza ta e s. SOLUZIONE (Vesione B) a) Le equazioni paametiche di e di s sono x = 4t, y = 1 + t, z = t; e x = t + 1, y = t, z = t. Le ette sono sghembe. b) Il fascio di sostegno s ha equazione: x z 1 + λ(y + z) =. I piani del fascio hanno vettoe nomale n = (1, λ, + λ). Imponendo che n (4,, 1) = si tova λ = 6. Il piano del fascio paallelo a ha equazione x 6y 8z 1 = c) La distanza ta le due ette si può calcolae scegliendo un punto qualunque P e calcolando la distanza di P da π. Se P = (, 1, ), si ha che d(a, π) = Vesione C Sia la etta passante pe A = (1,, ) e B = (3, 1, 4) e s la etta di equazione catesiana x y 1 = x + z =. (a) Stabilie se e s sono incidenti, paallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la etta s deteminae il piano π paallelo alla etta. (c) Calcolae la distanza ta e s.

8 SOLUZIONE (Vesione C) a) Le equazioni paametiche di e di s sono x = 1 + t, y = t, z = 4t; e x = t, y = t + 1, z = t. Le ette sono sghembe. b) Il fascio di sostegno s ha equazione: x y 1 + λ(x + z) =. I piani del fascio hanno vettoe nomale n = ( + λ, 1, λ). Imponendo che n (, 1, 4) = si tova λ = 5. Il piano del fascio 6 paallelo a ha equazione 7x 6y 5z 6 = c) La distanza ta le due ette si può calcolae scegliendo un punto qualunque P e calcolando la distanza di P da π. Quindi d(, s) = d(a, π) = Vesione D Sia la etta passante pe A = (, 1, ) e B = (1, 4, 3) e s la etta di equazione catesiana y z + 1 = x + y =. (a) Stabilie se e s sono incidenti, paallele o sghembe. (b) Nel fascio di sostegno la etta s deteminae il piano π paallelo alla etta. (c) Calcolae la distanza ta e s. SOLUZIONE (Vesione D) a) Le equazioni paametiche di e di s sono x = t, y = 1 + 3t, z = 3t; e x = t, y = t, z = t + 1. Le ette sono sghembe. b) Il fascio di sostegno s ha equazione: y z λ(x + y) =. I piani del fascio hanno vettoe nomale n = (λ, + λ, 1). Imponendo che n ( 1, 3, 3) = si tova λ = 3. Il piano del fascio paallelo a ha equazione 3x y + z = c) La distanza ta le due ette si può calcolae scegliendo un punto qualunque P e calcolando la distanza di P da π. Quindi d(, s) = d(a, π) = 3 14.

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