LABORATORIO DI MATEMATICA LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

Transcript

1 LABORATORIO DI MATEMATICA LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ESERCITAZIONE GUIDATA Toviamo, con l aiuto di Deive, le coodinate dei vetici del tiangolo ABC l l l, ottenuto con una otazione di attono all oigine del tiangolo ABC, sapendo che i lati di ABC stanno sulle ette di equazioni: AB: y =- x +, AC: y = x - 6, BC: y = x +. Tacciamo poi i gafici dei due tiangoli in un ifeimento catesiano monometico. 1. Risolviamo il poblema con gli stumenti immediati di Deive La sessione di lavoo Inseiamo le equazioni delle te ette (figua 1). Toviamo le coodinate dei punti A, B e C, applicando pe te volte il comando Risolvi_ Sistema, mettendo a sistema a due a due le equazioni dei lati. Immettiamo nella #10 le fomule della otazione attono all oigine di angolo a; = xcos a-ysen a ) (figua ). = xsen a+ ycos a Con Semplifica_Sostituisci vaiabili sostituiamo di seguito nella #10 le coodinate tovate dei punti A, B e C e l ampiezza dell angolo, uscendo ogni volta dalla finesta di dialogo con un clic su Semplifica. Riassumiamo in due matici le coodinate dei vetici del tiangolo oiginale e di quello tasfomato (ipetiamo le coodinate del pimo pe chiudee il disegno dei tiangoli). Entiamo in gafica D e disegniamo i due tiangoli con Taccia il gafico, dopo ave scelto Sì nel campo Collega di Opzioni_Visualizzazione Punti. Con Imposta_Intevallo del gafico Massimo/minimo sistemiamo la zona del piano catesiano, stabilendo - e 6 pe la x con 9 tacche e -1 e 8 con 9 tacche pe la y. Rendiamo monometico il sistema dando Imposta_Rappoto di Aspetto Resetta. Sciviamo i nomi dei punti con Inseisci_ Annotazione. Al temine vediamo il gafico di figua. Figua 1 Figua Figua Copyight 01 Zanichelli editoe S.p.A., Bologna Questo file è una estensione online dei cosi di matematica di Massimo Begamini, Anna Tifone e Gaziella Baozzi 1

2 . Costuiamo due funzioni di Deive Costuiamo le funzioni aventi le seguenti caatteistiche: Nome Dati d ingesso Risultati in uscita In_ R_1 i coefficienti delle equazioni esplicite di due ette le coodinate di un punto P e l ampiezza di un angolo le coodinate della loo intesezione le coodinate del punto Pl in una otazione del punto P di angolo a attono all oigine e le utilizziamo pe isolvee il poblema. Le funzioni ispondono al caso geneale, mente lasciamo a Deive le indicazioni dei casi paticolai. Pe studiae più dettagliatamente i casi limite e quelli di non esistenza della soluzione del poblema, stendeemo un pogamma nel successivo punto. La sessione di lavoo Scegliamo Paola nel campo Vaiabili di Opzioni_Modalità Input. Nella iga di editazione delle espessioni sciviamo la pima funzione, che sfutta l opeatoe di Deive SOLVE: In_(m1, q1, m, q) = SOLVE([y = m1 * x + q1, y = m * x + q], [x, y]) Con invio la endiamo nota al sistema (figua ). La impieghiamo pe te volte pe tovae le coodinate dei te vetici. Sciviamo la seconda funzione, basata sulle fomule di otazione attono all oigine: R_1(x, y, a) = [x * COS(a) - y * SIN(a), x * SIN(a) + y * COS(a)] Con invio la endiamo nota a Deive. La usiamo, dando le coodinate tovate e l angolo di otazione, pe deteminae le coodinate dei vetici del tiangolo uotato. Figua. Sciviamo un pogamma nel linguaggio di Deive Sciviamo un pogamma che legga i coefficienti delle equazioni dei te lati di un tiangolo ABC e l ampiezza di un angolo, che contolli l esistenza del tiangolo e che dia in uscita le coodinate dei vetici del tiangolo ABC e del suo tasfomato AlBlCl attaveso una otazione antioaia attono all oigine dell angolo dato. Applichiamo il pogamma alla soluzione del poblema iniziale. La sessione di lavoo Nella iga di editazione sciviamo il listato del pogamma: Rot_1(m1, q1, m, q, m, q, a) = PROG IF(m1 = m 0 m1 = m 0 m = m RETURN Il tiangolo non si foma ), A = SOLUTIONS([y = m1 $ x + q1, y = m $ x + q], [x, y]), Copyight 01 Zanichelli editoe S.p.A., Bologna Questo file è una estensione online dei cosi di matematica di Massimo Begamini, Anna Tifone e Gaziella Baozzi

3 B = SOLUTIONS([y = m1 $ x + q1, y = m $ x + q], [x, y]), C = SOLUTIONS([y = m $ x + q, y = m $ x + q], [x, y]), A_p = [COS(a), - SIN(a); SIN(a), COS(a)] $ A ROW 1, B_p = [COS(a), - SIN(a); SIN(a), COS(a)] $ B ROW 1, C_p = [COS(a), - SIN(a); SIN(a), COS(a)] $ C ROW 1, RETURN [A ROW 1, B ROW 1, C ROW 1; A_p, B_p, C_p]) Con invio lo inseiamo nella zona algebica come vediamo in figua 5. Impostiamo l esecuzione del pogamma nel caso pevisto dal poblema con Rot_1(-1,,, -6, 1,, /) e con Semplifica_Base la facciamo svolgee. Note al pogamma Il pogamma contolla l esistenza del tiangolo, nel caso vi siano due o più lati paalleli. Vediamo dall uscita dei dati se le te ette passano pe uno stesso punto. Otteniamo le coodinate dei punti tasfomati moltiplicando la matice della tasfomazione (nel nosto caso quella di una otazione attono all oigine di angolo a) pe il vettoe contenente le coodinate dei punti oiginali. Le coodinate dei punti oiginali si tovano, come isultato del l opeatoe SOLU- Figua 5 TIONS, nelle matici A, B e C (fomate da una iga e da due colonne). Pe inseile nel podotto come vettoe, dobbiamo petanto estale con l opeatoe ROW (in inglese ow sta pe iga) come iga 1 ispettivamente di A, di B e di C. Esecitazioni Con l aiuto del compute isolvi i seguenti poblemi. Rappesenta gaficamente la soluzione. 1 Tova l equazione della ciconfeenza ottenuta uotando attono all oigine di un angolo a = 1 la ciconfeenza c di cento C(1; 1) e aggio. Ricava con l opeatoe VECTOR le equazioni di ciconfeenze, uotando c di un angolo a vaiabile da 0 a con incementi di e tacciane il gafico. [ x y + - 6x - y - = 0] 1 5 Applica la simmetia assiale che tasfoma il punto A(; ) nel punto Al(; ) alla paabola avente il vetice in A e passante pe Al. [ x =- y + x-1] Applica l affinità che tasfoma il tiangolo A(; 1), B(8; 1), C(8; 9) nel tiangolo Al(-10; 15), Bl(-10; ), Cl(6; ) alla ciconfeenza passante pe A, pe B e pe C. [ x + y + x-18y- 15 = 0] Detemina le coodinate dei vetici del tiangolo ottenuto applicando un omotetia con cento nell oigine e appoto al tiangolo ABC, ettangolo in C (; 8), che ha l ipotenusa AB sulla etta di equazione x + y - 1 = 0 e con l ascissa del punto B uguale a 6. [(0; 1), (1; - ) e (6; 16)] La paabola p ha l asse paallelo all asse y, passa pe C(1; 1) e inconta la etta di equazione y = 5 in A e in B. Sapendo che A appatiene all asse y, che B si tova nel pimo quadante e che il segmento AB è lungo come l odinata di B, detemina l equazione della paabola simmetica di p ispetto al punto B. [ y =- x + 15x-5] Copyight 01 Zanichelli editoe S.p.A., Bologna Questo file è una estensione online dei cosi di matematica di Massimo Begamini, Anna Tifone e Gaziella Baozzi

4 6 = kx + a Nelle equazioni dell affinità ) detemina il valoe dei paameti a, b e k, in modo che l affinità = ky + b tasfomi la ciconfeenza di equazione x + y = 1 nella ciconfeenza di equazione x + y + x = 0; applica le due affinità tovate al segmento di estemi (1; 0) e (0; 1). [( 00 ; ),(- ; );(-0 ; ),(-;-] 7 Detemina l equazione della paabola y = ax + bx + c in modo che sia tasfomata nella paabola di = y+1 equazione x = y dall affinità di equazioni ) [ a = 1, b = 0ec =-1] =-x Pe ognuno dei seguenti poblemi costuisci delle semplici funzioni di Deive che ichiedano in ingesso i dati e diano in uscita i isultati indicati. Utilizza poi le funzioni pe isolvee il poblema. Pe veifica taccia dei gafici Detemina l equazione della paabola simmetica ispetto all asse y della paabola, con asse paallelo all asse y, passante pe i punti A(-1; 0), B(; -6), C(; 10). f_01 Ingesso le coodinate di te punti Uscita l equazione della paabola con asse paallelo all asse y t_01 Ingesso i coefficienti dell equazione di una paabola p con asse paallelo all asse y Uscita l equazione della paabola simmetica di p ispetto all asse y [ y= x + x-6] Date le coodinate dei te vetici consecutivi A(-1; -1), B(; -1) e C(; 1) del paallelogamma ABCD, detemina le coodinate dei vetici del paallelogamma AlBlClDl taslato di ABCD secondo il vettoe v( - 5 ; ). f_0 Ingesso le coodinate dei te vetici consecutivi di un paallelogamma Uscita le coodinate del quato vetice t_0 Ingesso le coodinate dei vetici di un paallelogamma e le componenti di un vettoe Uscita le coodinate dei loo taslati secondo il vettoe [(-6 ; ),(-1 ; ),(-1 ; ) e( -6 ; )] Detemina le equazioni delle ciconfeenze simmetiche, ispetto all asse x e all asse y, della ciconfeenza di diameto A(-1; ) e B(5; ). f_0 Ingesso le coodinate di due punti A e B Uscita l equazione della ciconfeenza di diameto AB t_0 Ingesso i coefficienti dell equazione di una ciconfeenza c Uscita le equazioni di c e delle sue simmetiche ispetto all asse x e all asse y Scivi le equazioni delle affinità che fanno coispondee ispettivamente ai seguenti punti A, B, C, i punti Al, Bl, Cl: a) A(-1; 0), B(; -6), C(; 10); Al(-1; 0), Bl(; -6), Cl(; 10); b) A(-; -), B(-; -1), C(1; -8); Al(6; 1), Bl(8; -1), Cl(; 6); c) A(-8; ), B(-1; ), C(1; 10); Al(-; -5), Bl(-5; ), Cl(-11; 11). t_05 Ingesso le coodinate di sei punti Uscita i coefficienti delle equazioni dell affinità che fa coispondee ai pimi te punti ispettivamente i secondi te = x =- x+ =-y-1 = a) ) ; b) ) ; c) ) G = y =-y- = xy Copyight 01 Zanichelli editoe S.p.A., Bologna Questo file è una estensione online dei cosi di matematica di Massimo Begamini, Anna Tifone e Gaziella Baozzi

5 1 Date le equazioni delle seguenti affinità, tova, se esiste ed è unico, il punto unito. = x+ y+ = y-1 = x+ y-1 a) ) ; b) ) ; c) ). =- x+ y- = x+ 1 = y+ t_06 Ingesso i coefficienti delle equazioni di un affinità Uscita le coodinate del punto unito, se è unico, altimenti nulla [U( -; -); il punto unito o non esiste o non è unico (infiniti); il punto unito o non esiste o non è unico (nessuno)] Esecizi con la pogammazione Scivi un pogamma che legga le coodinate di un punto A e che dia in uscita le equazioni delle eventuali paabole p e q passanti pe l oigine e pe A e tangenti alla etta y = x - 1 e le equazioni delle paabole pl e ql simmetiche di p e di q ispetto ad A. Pova il pogamma con A(-1; ). Pe veifica taccia dei gafici. [y = x - x, y = 9x + 7x, y = - x - 5x -, y = - 9x - 9x - 18] Scivi un pogamma nel linguaggio di Deive che legga i coefficienti a, b e c dell equazione di una ciconfeenza f, i coefficienti m e q dell equazione esplicita di una etta, il coefficiente k di una etta p paallela all asse x e che dia in uscita le eventuali coodinate dei punti A e B, intesezioni della etta con la ciconfeenza f, e dei simmetici dei punti A e B ispetto alla etta p. Pova il pogamma con x + y - x + 6y + = 0, y = - x + e y = -. [A(; 0), B(5; -); Al(; -), Bl(5; -)] Scivi un pogamma nel linguaggio di Deive che legga i coefficienti a, b e c dell equazione di una paabola p, le coodinate di un punto S, un valoe di un paameto k e che dia in uscita le coodinate dei punti A, B e C, eventuali intesezioni di p con gli assi catesiani, e dei punti Al, Bl e Cl, coispondenti di A, B e C in un omotetia di cento S e appoto k. 1 Pova il pogamma con y = x + x+, S( 0 ; ) e k =. 8 : Ab 1 - ; 0 l, Bb- ; 0 l, Cb 0 ; l; Al( -60 ; ), Bl( -0 ; ), Clb-; ld 8 Copyight 01 Zanichelli editoe S.p.A., Bologna Questo file è una estensione online dei cosi di matematica di Massimo Begamini, Anna Tifone e Gaziella Baozzi 5