Funzioni trigonometriche

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1 Funzioni tigonometiche Coso di accompagnamento in matematica Lezione 5

2 Sommaio 1 Angoli Funzioni tigonometiche simmetie fomule 3 Equazioni tigonometiche 4 Popietà dei tiangoli Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 / 1

3 Angoli Consideiamo due semiette (, s) uscenti da un punto O nel piano s (, s) coppia odinata β otazioni in senso antioaio α α angolo convesso β angolo concavo O Angoli paticolai (misue in gadi sessagesimali) se = s = α = 0 se s = α = 90 cioè, e s sono otogonali se = = α = 180 Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 3 / 1

4 Radianti Sistema catesiano con oigine 0 semiasse positivo delle ascisse C(0, R) ciconfeenza cento 0 e aggio R > 0 P = C(0, R) s AP lunghezza aco da A a P 0 R C(0, R) P s α A = (R, 0) Misua in adianti dell angolo(, s): α = AP/R Angoli paticolai gadi ad Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 4 / 1

5 Funzioni tigonometiche: y = sin C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) 0 P P = (cos, sin ) La funzione seno dom(f) = R, im(f) = [ 1, 1] peiodica T = ; 1 sin(0) = sin() = 0; / sin ( ) = 1 e sin ( 3 ) = 1; / sin( ) = sin(). 1 Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 5 / 1

6 Funzioni tigonometiche: f() = cos C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) 0 P P = (cos, sin ) La funzione coseno dom(f) = R, im(f) = [ 1, 1] peiodica T = ; cos ( ( ) = cos 3 ) = 0; cos(0) = 1 e cos() = 1; / 1 / cos( ) = cos(). 1 Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 6 / 1

7 Funzioni tigonometiche: f() = tan C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) 0 P P = (cos, sin ) La funzione tangente y = tan = sin cos dom(f) = R\ { + k, k Z} ; im(f) = R peiodica T = ; / / tan(0) = 0; tan( ) = tan(). Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 7 / 1

8 Fomule tigonometiche fondamentali C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) 0 P sin + cos = 1 Angoli notevoli sin ( ) 6 = 1 sin ( ) 3 = 3 sin ( ) 4 = cos ( ) 6 = 3 cos ( ) 3 = 1 cos ( ) 4 = tan ( ) 6 = 3 3 tan ( ( 3) = 3 tan 4) = 1 Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 8 / 1

9 Angoli associati e simmetie I C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) 0 P P 1 P 1 = (cos( +), sin( +)) = ( cos, sin ) Relazioni notevoli sin( + ) = sin() cos( + ) = cos() tan( + ) = tan() Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 9 / 1

10 Angoli associati e simmetie II C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) 0 P P 1 P = (cos( ), sin( )) = (cos, sin ) Relazioni notevoli sin( ) = sin( ) = sin() cos( ) = cos( ) = cos() tan( ) = tan( ) = tan() Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 10 / 1

11 Angoli associati e simmetie III C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) P 3 0 P P 3 = (cos( ), sin( )) = ( cos, sin ) Relazioni notevoli sin( ) = sin() cos( ) = cos() tan( ) = tan() Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 11 / 1

12 Angoli associati e simmetie IV C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) P 4 0 P P 4 = ( ( ) ( )) cos +, sin + = ( sin, cos ) Relazioni notevoli sin ( + ) = cos cos ( + ) = sin tan ( + ) = cot Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 1 / 1

13 Angoli associati e simmetie V C(0, 1) ciconfeenza goniometica (R = 1) P = (cos, sin ) 0 P P 5 P 5 = ( ( ) ( )) cos, sin = (sin, cos ) Relazioni notevoli sin ( ) = cos cos ( ) = sin tan ( ) = cot Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 13 / 1

14 Fomule di addizione e di sottazione Fomule di addizione sin( + y) = sin cos y + sin y cos cos( + y) = cos cos y sin sin y Fomule di sottazione Usae f( y) = f( +( y)), fomule di addizione e simmetie sin( y) = sin cos y sin y cos Fomule di duplicazione Usae = + e fomule di addizione sin() = sin cos Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 14 / 1

15 Fomule di Wene e postafeesi Fomule di Wene sin cos y sin sin y cos cos y = 1 (sin( + y)+sin( y)) = 1 (cos( y) cos( + y)) = 1 (cos( + y)+cos( y)) Fomule di postafeesi sin ± sin y cos + cos y cos cos y = sin ±y cos y = cos +y cos y = sin +y sin y Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 15 / 1

16 Equazioni tigonometiche I Si cecano R : sin() = c se c > 1 = nessuna soluzione se c 1 = infinite soluzioni della foma α 1 [, ], α1 + k α = α 1, α + k c c 1 α 1 α 3 1 Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 16 / 1

17 Equazioni tigonometiche II Si cecano R : cos() = c se c > 1 = nessuna soluzione se c 1 = infinite soluzioni della foma α 1 [0,], α 1 + k α = α 1, α + k c c 1 α α Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 17 / 1

18 Equazioni lineai in seno e coseno Dati a, b, c, R, si cecano R : a sin()+b cos() = c Si pongono e si isolve, in t e s t = sin(), s = cos() at + bs = c t + s = 1 Se ( t, s) soluzioni, si cecano R : { sin() = t cos() = s Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 18 / 1

19 Eqz. omogenee di II gado in seno e coseno Dati a, b, c, R, si cecano R : a sin ()+bcos ()+csin() cos() = d a d a = d d = d(cos ()+sin ()) si isolve cos()[( b d) cos +c sin ]=0 d = d(cos ()+sin ()) si divide pe cos () si isolve il sistema (a d)t +ct+(b d) = 0 t soluzioni R : tan() = t Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 19 / 1

20 Equazioni e disequazioni tigonometiche Indicazioni geneali scivee tutte le funzioni tigonometiche in temini di seno e coseno scivee le funzioni utilizzando lo stesso angolo se non ci sono temini noti, scivee l equazione come podotto di vai fattoi studiae attentamente i valoi ammissibili quando si fanno cete opeazioni algebiche, come, ad esempio, dividee pe una ceta funzione metodo gafico intepetazione geometica icoendo all esame della ciconfeenza tigonometica Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 0 / 1

21 Popietà dei tiangoli Teoema dei seni a sinα = b sinβ = c sinγ A α b c C γ a β B Teoema di Canot a = b + c bc cosα b = a + c ac cosβ c = a + b ab cosγ Caso: α = b = a sinβ = a cosγ c = a sinγ = a cosβ b = c tanβ c = b tanγ Coso di accompagnamento Funzioni tigonometiche Lezione 5 1 / 1