Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n Soluzioni dell'equazione di Laplace Equazione di Poisson Funzione delta di Diac Anno Accademico 8/9

2 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche Pe questo poblema sono più adatte le coodinate sfeiche Il vettoe posizione è individuato da (,θ,φ) Il potenziale dipende da queste vaiabili: V(,θ,φ) Notiamo che il sistema è simmetico pe otazioni intono all'asse paallelo al campo elettico e passante pe il cento della sfea (asse z) Il potenziale non dipende dall'angolo azimutale φ Le condizioni al contono sono La supeficie della sfea è equipotenziale Dato che il potenziale è definito a meno di una costante poniamo a zeo il potenziale della sfea V (, θ ) Pe z il campo elettico non isentià della pesenza della sfea nell'oigine Il campo saà di nuovo unifome E z ( ) E ˆ lim V, θ E z E cosθ y z z θ φ y sin θcosφ sin θsin φ cos θ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8

3 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche Nelle esecitazioni icaveemo la foma dell'equazione di Laplace in coodinate sfeiche V V V + sin θ + sin θ θ θ sin θ φ Se scegliamo l'asse z paallelo al campo elettico unifome il poblema è simmetico pe otazioni intono all'asse z e il potenziale non dipende da φ V V + sin θ sin θ θ θ Come nel caso delle coodinate catesiane ipotizziamo una soluzione del tipo (, θ) R( ) Θ( θ) V Le funzioni R e Θ dipendono solo da e θ ispettivamente Sostituendo nell'equazione di Laplace in coodinate sfeiche R Θ Θ + R sin θ sin θ θ θ Dividendo pe V R Θ + sin θ R Θsin θ θ θ Abbiamo eliminato il fattoe / Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 84

4 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche R Θ + sin θ R Θsin θ θ θ La situazione è identica al caso delle coodinate catesiane Il pimo temine dipende solo da Il secondo temine dipende solo da θ Devono essee due costanti d dr d d S Θ Rd d sin θ Θ sin θdθ dθ S La pima equazione diventa S + S S l( l + ) d dr l( l + ) R d d Si veifica facilmente che la soluzione è S B l l ( ) A l + l R + Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 85

5 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche La seconda equazione è d dθ sin θ l( l + ) Θsin θ dθ dθ Questa equazione non è semplice Pe l inteo non negativo le soluzioni sono i Polinomi di Legende Θ ( θ) P l ( cosθ) I polinomi di Legende di odine l abitaio possono essee tovati con la fomula di Rodiguez P ( ) l d l Pl ( ) P ( ) ( ) l l! d P ( ) ( )/ I Polinomi di Legende sono funzioni molto impotanti Si incontano nella descizione delle otazioni e del momento angolae Semplici popietà P l contiene solo potenze pai o dispai di secondo che l sia pai o dispai P l () t + t n P ( ) t n n Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 86

6 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche L'equazione di Legende è del secondo odine e quindi deve esseci un'alta soluzione Ci sono alte soluzioni ma divegono pe θ e/o θ π Ad esempio θ Θ ( θ ) ln tan Possiamo scatae queste soluzioni peché non appesentano sistemi fisici La soluzione sepaabile geneale che abbiamo tovato è petanto B V A l P l + l l l (, θ) + ( cosθ) La somma di soluzioni con l diffeente è ancoa una volta una soluzione Bisogna sommae un numeo sufficiente di soluzioni e tovae oppotuni A l e B l pe soddisfae le condizioni al contono Petanto, in geneale V A P B l l + l l l (, θ) + ( cosθ) l Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 87

7 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche Toniamo al poblema della sfea Le due condizioni al contono sono V (, θ ) V ( θ) Ricodiamo che in coodinate polai z cosθ Imponiamo la pima condizione al contono Ricodiamo la soluzione geneale B V A P l + Deve essee nullo ogni temine A l lim, E cos θ Veniamo alla seconda condizione al contono Pe il temine / l+ diventa tascuabile Peché V si compoti asintoticamente come la seie deve contenee solo il temine l Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa l l (, θ) l l l + l ( cosθ) V ( θ) A l Pl ( θ) l l l + l B l + B A + ( θ) AP ( θ) lim V, cos A cosθ l l B, + cos l + l l V ( θ) A P ( θ) l +, l cos l + l l A E

8 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche Petanto la soluzione al nosto poblema è (, ) V θ E cosθ Il campo elettico è il gadiente del potenziale Non abbiamo ancoa deivato la foma del gadiente in coodinate sfeiche Espimiamo il potenziale in coodinate catesiane V E cosθ cosθ E z z + y + z ( ) E E Calcoliamo il campo elettico Iniziamo con la componente z z z V 5 z E E + zz + z z E + Notiamo che pe E z E Inolte pe, y, z Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 89

9 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche V (, y, z) E z z ( ) + y + z Passiamo alle coodinate e y V 5 E E z z yz E Analogamente E y E Calcoliamo in paticolae il campo elettico sulla sfea Sulla sfea, z cosθ. Limitiamoci alla poiezione z ( y ): E y E z cos E θ + sin, θ θ cosθ E E ( ) Il modulo del campo elettico sulla sfea E E cos θ z E E sinθcosθ + z ( ) ( cos + sin cos ) ( E ) ( ) cos θ cos θ + sin θ 4 E E E E θ θ θ E E cosθ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

10 Sepaazione Vaiabili: Coodinate Sfeiche sin cos Ez E cos θ E E θ θ Infine la caica totale sulla sfea è nulla L'elemento di supeficie da π sinθdθ E E cosθ Osseviamo che il campo elettico è pependicolae alla supeficie della sfea Utilizzando il modulo del campo E z E z E E E sin θ Ez E cosθ θ La densità di caica sulla sfea è popozionale alla componente nomale del campo elettico θ E Il campo elettico è pependicolae π σ( θ) εe εe cosθ σ( θ ) > θ q π ε E cos θ π sin θ d θ π σ( θ ) < q + ε E cosθπ sinθ d θ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9 π θ π dq σ( θ) π E 6 πε cos θ sin θdθ da πε π/ πεe cos θ πε E π E cosθ

11 Equazione di Poisson Tamite la legge di Gauss abbiamo fomulato una elazione fa il campo elettico e le sue sogenti ρ E ε Inolte sappiamo che il campo elettostatico è consevativo E d s φ Sappiamo già che combinando le due equazioni otteniamo l'equazione di Poisson ρ φ ε Il poblema geneale dell'elettostatica è Deteminae tamite l'equazione di Poisson il potenziale (e il campo elettico) una volta definite le caiche elettiche (la densità ρ) e le condizioni al contono D'alto canto, data la densità ρ il potenziale φ è E φ p ( ) V ( ) d ρ Riflettiamo sulla diffeenza fa i due appocci Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

12 Equazione di Poisson La funzione φ p () soddisfa l equazione di Poisson ρ( ) d φp () Lo vedemo fa beve V Saà conveniente intodue la funzione delta di Diac In geneale, questa soluzione non soddisfa paticolai condizioni al contono Non isolve il poblema se olte alla densità ρ sono pesenti conduttoi a potenziali fissati ρ Da un punto di vista matematico φ equazione non omogenea φ Natualmente se φ soddisfa l equazione di Poisson e φ l equazione di Laplace la somma φ + φ è ancoa soluzione dell equazione di Poisson Il poblema è Sia dato un domino D delimitato da supefici S n All inteno di D sia definita la densità di caica ρ() Siano definiti i valoi del potenziale sulle supefici S n La soluzione del poblema è la somma di una soluzione dell equazione di Laplace più la soluzione paticolae dell equazione di Poisson φ p () La somma delle due soluzioni deve soddisfae le condizioni al contono su S n Intoduciamo adesso la funzione delta di Diac ε equazione omogenea Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

13 La funzione δ() di Diac Consideiamo il campo vettoiale F( ) ˆ Riconosciamo la funzione vettoiale che abbiamo utilizzato pe il campo elettico di una caica puntifome E La divegenza di F ha un compotamento bizzao vicino l'oigine Calcoliamo la divegenza F ( ) Otteniamo petanto ( ) Calcoliamo adesso il flusso di F su una sfea di aggio R centata all'oigine Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 94 q F + / ( + y + z ) e analoghe pe y e z y z + + 5/ 5 ( ) y z F ˆ ( + + ) y z 5 π π π π F da dθ ˆR sin θdφ Ssfea sin θdθ R 5 ˆ dφ 4π non dipende da R

14 La funzione δ() di Diac F F da 4π Ssfea Possiamo calcolae l'integale di supeficie utilizzando il teoema della divegenza S sfea Pe endee i due isultati compatibili dobbiamo concludee che avee assunto F anche pe è sbagliato Infatti il isultato coetto è Questo compotamento non è quello di una funzione nomale Il isultato vale pe qualunque sfea centata sull'oigine Anche pe aggi piccolissimi tendenti a zeo Questo è il compotamento di un funzionale o distibuzione F da FdV V sfea Ma abbiamo appena visto che F!! Otteniamo F da FdV S sfea Vsfea V sfea FdV 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 95

15 La funzione δ() di Diac Intoduciamo adesso la funzione delta di Diac unidimensionale δ ( ) b ( a, b) δ ( ) d a ( a, b ) È definita divesa da zeo solo in un punto dove è infinita L'integale non è coetto (Riemann o Lebesgue). Infatti è un funzionale I fisici la tattano come una funzione Alla fine dei calcoli compae sempe in un integale È impotante icodae come si compota in un integale b f ( ) δ ( ) d f ( ) a Può essee pensata come il limite di una successione di funzioni u n () di aea unitaia: esempio tiangoli isosceli + + u d f u d f n ( ) ( ) n ( ) ( ) Il limite di u n non appatiene allo spazio delle funzioni Notiamo infine che se ha una dimensione ( es.: [] L ) δ() ha le dimensioni invese ([δ()] L ) È una densità u n y n n Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 96

16 Popietà della funzione δ() + ( ) δ ( ) ( ) f d f ( ) δ( ) ( ) δ( ) f f δ k ( k ) δ( ) δ( ) δ( ) ( ) δ f θ δ ( ) N δ ( k ) k sono zei della funzione f() ( k ), f ( ) k < k d d θ ( ) δ ( ) d d f d f d f d d + + ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) + ik e dk π f k N Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 97 y y

17 La funzione δ() di Diac Analogamente si definisce la funzione delta di Diac tidimensionale δ ( ) δ ( ) dv δ ( ) ddydz La funzione delta tidimensionale si espime tamite te funzioni unidimensionali δ δ δ y y δ z z Notiamo che ha le dimensioni di una densità di volume Ritoniamo alla divegenza della nosta funzione vettoiale La funzione F è sempe nulla escluso pe dove è infinita Il suo integale è diveso da zeo Si compota come una funzione delta Infine sappiamo che ( ) F ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Vsfea FdV F 4πδ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 98 ( ) 4π Abbiamo la fondamentale elazione ( ) 4πδ

18 Caiche puntifomi Possiamo espimee le elazioni tovate in foma più geneale Non necessaiamente con i campi centati nell'oigine F 4πδ uˆ ( ) F ( ) 4πδ ( ) uˆ Tamite la funzione delta si possono appesentae le caiche puntifomi come densità di caica Ad esempio una caica q nella posizione q ρ( ) ρ( ) qδ ( ) ρ( ) δ ( ) Veifichiamo che la fomula geneale pe il campo elettico podotto da una distibuzione di caica poduce il isultato coetto (diapositiva ) ( ) E Intoduciamo ρ() q δ (- ) ( ) E V ( ) d ρ uˆ V qδ ( ) uˆ d dv q dv q Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 99 uˆ q

19 Equazione di Poisson Possiamo veificae anche un'alta cosa impotante Il potenziale definito con la fomula geneale (diapositiva 6 48 ) soddisfa l'equazione di Poisson ρ( ) d ( ) φ 4πδ V Infatti ( ) ρ d φ( ) ρ( ) d V ρ( ) d V 4π ρ ρ( ) ε Infine il potenziale di una caica puntifome soddisfa l'equazione di Poisson V ρ( ) 4πδ( ) d V ( ) φ ρ ( ) q ( ) qδ ( ) φ( ) q q 4πδ ( ) q δ ε ( ) ρ ε φ ( ) ρ ε Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

20 Equazione di Poisson A questo punto possiamo discutee l'equazione di Poisson È un poblema elettostatico in cui vengono date le distibuzioni di caica Date le distibuzioni di caica il potenziale si calcola come φ ( ) ( ) d ρ Tuttavia questa soluzione non ispetta paticolai condizioni al contono Ad esempio pe la pesenza di conduttoi Eventuali caiche indotte distocono il campo Ad esempio una caica e un piano conduttoe Facciamo una impotante ossevazione Supponiamo che φ () soddisfi l'equazione di Poisson E inolte supponiamo che φ () soddisfi l'equazione di Laplace ρ φ ( ) φ ( ) Φ ( ) ε Alloa Φ() φ ()+φ () soddisfa ancoa l'equazione di Poisson con la stessa ρ() data pecedentemente Φ( ) φ( ) φ ( ) ρ + φ ( ) + φ ( ) + ε La stessa ρ() può geneae campi divesi pe le condizioni al contono Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa V ρ ε

21 Equazione di Poisson Si può alloa usae la funzione φ () pe soddisfae le condizioni al contono Ad esempio, pe il poblema della caica puntifome e un piano conduttoe infinito Da isolvee nel semispazio supeioe Alloa φ () saebbe la funzione che soddisfa l'equazione di Poisson senza paticolai condizioni al contono Ovviamente il campo elettico che coisponde al potenziale φ () non è pependicolae al piano Il piano non è equipotenziale ( ) φ? φ ( ) in tutti i punti del piano q Si ceca quindi una soluzione φ () dell'equazione di Laplace Tale che il campo elettico deivato dal potenziale φ () annulli le componenti tangenziali del campo Che petanto enda il piano equipotenziale Come abbiamo visto φ () + φ () soddisfa ancoa l'equazione di Poisson pe la distibuzione di caica data Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

22 Equazione di Poisson Anche pe l'equazione di Poisson vale un teoema di unicità Una volta definite le distibuzioni di caica e fissate le condizioni al contono la soluzione dell'equazione di Poisson che le soddisfa è unica Consideiamo una egione delimitata dalla supeficie S e (eventualmente all'infinito) e da un ceto numeo di conduttoi S k All'inteno della egione siano anche definite le distibuzioni di caica I potenziali sulle supefici sono fissati dalle condizioni al contono Supponiamo che esitano due soluzioni Φ e Φ che assumono le stesse condizioni al contono. Ovviamente φ ρ/ε e φ ρ/ε La funzione Φ d Φ Φ soddisfa l'equazione di Laplace (non Poisson! ) L'opeatoe laplaciano è lineae ( Φ Φ ) Φ d Inolte sulle supefici S Φ Φ ( S ) ( S ) ( S ) d k k k Ma una funzione amonica non può avee massimi o minimi locali Petanto concludiamo che Φ d che implica a sua volta che Φ Φ La soluzione è unica Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa S φ S S φ φ k +q S k ρ ρ ε ε Φ Φ Φ φ φ k k φ S e

23 Caiche immagine Toniamo al poblema della caica e di un piano infinito Un piano conduttoe infinito +q Una caica positiva +q posta ad una distanza h dal piano h Possiamo assumee che il conduttoe iempia tutto il semispazio sotto il piano Matematicamente il poblema è quello di tovae una soluzione dell'equazione di Poisson nello spazio al di sopa del piano Le condizioni al contono sono Potenziale costante sul piano Assumiamo V Potenziale che si annulla all'infinito Osseviamo che abbiamo dimostato il teoema di unicità delle soluzioni dell'equazione di Laplace con le condizioni di Diichelet Abbiamo appena dimostato che il teoema di unicità vale anche pe le soluzioni dell'equazione di Poisson Vedemo fa poco che si può tovae in modo molto semplice una soluzione dell'equazione di Poisson che nello spazio al di sopa del piano soddisfa le condizioni al contono Pe il teoema di unicità questa è l'unica soluzione Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 4

24 Caiche immagine Cechiamo di faci un'idea qualitativa della +q soluzione Dalla caica positiva patono linee di campo h Molto vicino alla caica le linee sono adiali La caica positiva induce caiche negative sul piano metallico Le caiche fanno compaie una densità supeficiale di caica La densità è maggioe nelle posizioni più vicine alla caica positive La densità di caica è simmetica pe otazioni intono alla nomale al piano passante pe la posizione della caica q Le caiche positive invece sono espinte all'infinito e non contibuiscono La densità di caica negativa: Genea un campo elettico che modifica il campo adiale della caica q Insieme al campo elettico della caica puntifome geneano un campo pependicolae al piano Il piano diventa equipotenziale Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5

25 Caiche immagine Il campo elettico che cechiamo deve avee le seguenti popietà Essee soluzione dell'equazione di Poisson (caica puntifome): φ ρ/ε Inolte deve essee costante (in paticolae φ ) sul piano z Il piano z è una supeficie equipotenziale Cechiamo una soluzione sotto la foma φ φ + φ La funzione φ è il potenziale della caica +q posta nella posizione + (altezza h sul piano) φ ( ) q 4 πε + La funzione φ soddisfa l'equazione di Poisson La funzione φ deve essee soluzione dell'equazione di Laplace nel semispazio z > e endee nullo il potenziale a z Consideiamo il potenziale geneato da una caica puntifome q posta sull'asse z a distanza h dall'oigine (posizione ) φ ( ) q Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6 +q q z h h + (,, + h ) y (,, h )

26 Caiche immagine Sottolineiamo che ai fini del poblema entambe le funzioni φ e φ sono definite SOLO nel semispazio z Il potenziale nel punto z è la somma dei due potenziali +q φ φ + φ φ ( ) q q + Nel semispazio z La funzione φ () soddisfa l'equazione di Poisson La caica è in + La funzione φ () soddisfa l'equazione di Laplace sempe Complessivamente soddisfano l'equazione di Poisson ρ ( ) φ( ) ε Sciviamo esplicitamente la dipendenza da, y, z φ ( yz,, ) ( ) ( ) ( ) ( yz,, ) q q + y + z h + y + z + h ( ) ( ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 q h h + (,, + h ) y (,, h )

27 Caiche immagine φ ( yz,, ) q q + y + z h + y + z + h ( ) ( ) Si veifica immediatamente che φ(,y,) Il piano z è equipotenziale Petanto il potenziale soddisfa una delle due condizioni al contono Inolte il potenziale si annulla pe La seconda condizione al contono Il potenziale soddisfa l'equazione di Poisson Petanto il potenziale è la soluzione del nosto poblema Inolte, pe il teoema di unicità, è l'unica soluzione +q ( yz,, ) q z h h + (,, + h ) y (,, h ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8

28 Caiche immagine Sottolineiamo che la soluzione tovata vale solo nel semispazio supeioe La caica negativa non esiste Pende il nome di caica immagine Calcoliamo il campo elettico sul piano q q φ( yz,, ) + y + z h + y + z + h ( ) ( ) Semplifichiamo la notazione intoducendo due vaiabili e + + ( ) + y + ( z + h) φ( yz,, ) y z h La componente z del campo elettico φ q ( z h) ( z + h) E z z Specializzando sul piano (z ) q q z h z + h E z q (, y,) h w + y w + h Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

29 Caiche immagine Inolte si può facilmente veificae che sul piano ( ) ( ) E, y, E, y, y + y w + h q h Ez (, y,) w Possiamo tovae il valoe della densità supeficiale di caica q h σ εez (, y,) 4π w La densità di caica dipende dalla distanza dal punto sul piano di minima distanza dalla caica Calcoliamo la caica totale sul piano dq σda da πd q hq 4π hq ( + h ) / ( + h ) / q πd hq ( + h ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa / d