Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n spansione Multipolae Campo elettico geneato dalla mateia polaizzata Densità di caica di polaizzazione nno ccademico 18/19

2 spansione multipolae Vale la pena a questo punto fae una piccola digessione pe intodue l'espansione multipolae del potenziale elettico (o del campo elettico) Il dipolo che abbiamo studiato è il multipolo di odine 1 bbiamo visto che il potenziale elettico di una distibuzione abitaia di caica si scive come (vedi diapositiva 6 48 ) ( ) ( ) d 1 ρ R V 1 V ( ) d ρ L'appossimazione di questa fomula pe distanze molto maggioi delle dimensioni della distibuzione di caica ci ha potato all'intoduzione del dipolo saminiamo il denominatoe 1 1 ( cosθ ) 1/ R 1/ 1 1 cos θ 1 1 δ ( ) 1/ δ cosθ lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 7

3 spansione multipolae Utilizziamo adesso l'espansione in seie di (1δ) 1/ ( ) 1/ 1 δ 1 1 δ δ 5 δ 8 16 Utilizzando questa espansione otteniamo δ δ δ 8 16 cosθ Intoducendo l'espessione pe δ e accogliendo le stesse potenze di '/ 1 1 cos θ 1 5cos θ cosθ 1 cosθ Sopendentemente (in ealtà non tanto ) i polinomi in cosθ che compaiono sono i polinomi di Legende che abbiamo incontato Intoduciamo la fomula tovata nel potenziale 1 ρ( ) d ( ) cos θ 1 ρd cos θ ρd ρd lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 74 V δ

4 spansione multipolae cosθ 1 ( ) ρd cos θ ρd ρd etanto otteniamo il seguente sviluppo del potenziale ( ) K K K 1 Le quantità K n sono gli integali della densità di caica ( cos θ ) ρ( ) n K d n n L'espansione scitta si chiama espansione multipolae del potenziale I coefficienti K n sono i momenti di multipolo della distibuzione di caica Il momento K è detto momento di monopolo Il momento K 1 è detto momento di dipolo Il momento K è detto momento di quadupolo ottupolo. NB: le espessioni tovate pesuppongono che il punto sia sull'asse z e abitaio le fomule utilizzano le amoniche sfeiche 1 1 n ( ) 1 n K n lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 75

5 spansione multipolae 1 1 n ( ) 1 L'utilità di questa espansione sta nel fatto che a gandi distanze il potenziale è completamente deteminato dal pimo momento non nullo dello sviluppo I temini successivi vanno a zeo più apidamente con potenze di 1/ maggioi Se K il potenziale ha un andamento di monopolo Il potenziale di una caica puntifome nell'oigine Se K alloa il possimo temine impotante è K 1 K ( ) d Il temine impotante è K 1, il dipolo che abbiamo studiato Se anche K 1 alloa si va ai temini supeioi, ad esempio il quadupolo I momenti di multipolo dipendono dalle simmetie (o asimmetie) della distibuzione di caica n ρ Il sistema è neuto K ( cos θ ) ρ( ) n K d n n n lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 76

6 Campo elettico della mateia polaizzata Calcoliamo adesso il campo elettico podotto dalla mateia polaizzata Supponiamo di avee un blocco di mateia polaizzata e il momento non chiediamoci come sia stata polaizzata Immaginiamo che i dipoli siano allineati in una ceta diezione, supponiamo lungo l'asse z Supponiamo che ci siano N dipoli pe unità di volume Supponiamo che ogni dipolo abbia valoe p z dv Intoduciamo il vettoe densità di polaizzazione Np Le sue dimensioni sono (momento di dipolo)/m C-m/m C/m : Coulomb pe m N (e quindi ) possono essee funzioni della posizione Supponiamo che N sia tanto gande che in un volume dv (infinitesimo pe la geometia del poblema ma macoscopico su scala atomica) ci sia un enome numeo di dipoli Diciamo alloa che un elemento di volume dv del blocco di mateia ha un momento di dipolo dp dv x y lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 77

7 Campo elettico della mateia polaizzata e calcolae il campo elettico geneato all'esteno del mateiale suddividiamo il blocco in tante "colonne" veticali Calcoliamo il campo elettico geneato da una "colonna" Consideiamo un elemento della colonna dv dadz dp dv Il potenziale geneato da questo dipolo è dato da (vedi diapositiva ) d d ˆ p ( ) dp cos θ z z dp da θ dz 1 d ( ) z 1 z dadz cos θ d ( ) da z 1 z dz cos θ x z 1 y lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 78

8 Campo elettico della mateia polaizzata e calcolae l'integale osseviamo la elazione fa d e dz Osseviamo che quando z vaia da z 1 a z vaia da 1 a e diminuisce bbiamo petanto dz z dz cosθ d θ d Inseiamo nella fomula del potenziale d ( ) da d z 1 z ( ) dz cos θ da d da Questa fomula è identica a quella del potenziale geneato da una caica da posta a z e una caica da posta a z 1 Il calcolo viene concluso integando sulla supeficie del blocco di dielettico ( ) da 1 1 S 1 1 z dp z 1 da θ dz y 1 lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 79

9 Campo elettico della mateia polaizzata ( ) da 1 1 etanto il isultato del calcolo è che il blocco di mateiale polaizzato genea un potenziale elettico identico a quello di due densità di caica supeficiale poste sulle supefici estene del blocco La densità supeficiale di caica è data dal modulo del vettoe densità di polaizzazione σ 1 Sottolineiamo che abbiamo fatto molte assunzioni olaizzazione unifome Dietta lungo l'asse z S ttenzione e calcolae il campo elettico all'esteno si usano SOLMNT i due piani di caica FR I INI C'È IL VUOTO lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 8

10 Campo elettico della mateia polaizzata bbiamo visto che una colonna di mateiale polaizzato genea un campo equivalente a quello di due piccoli stati di caica da e da posti sulle facce supeioe e infeioe del cilindo ossiamo convinceci del isultato pecedente in un modo meno matematico e più fisico, più intuitivo Suddividiamo la colonna in tanti cilindetti infinitesimi Il singolo cilindetto ha un volume dv da dz Il suo momento di dipolo è p dv i fini del campo geneato all'esteno del cilindetto possiamo sostituilo con due stati cicolai di caica positiva e negativa dq ± ±da Il cilindetto e i due stati hanno lo stesso momento di dipolo p dqdz dadz dv p da dz da da da Geneano lo stesso campo all'esteno Se facciamo lo stesso con tutti i cilindetti otteniamo la condizione in figua Tutti gli stati di caica intemedi si cancellano Rimangono solo i due stati sulla faccia supeioe e quello sulla faccia infeioe lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 81

11 Campo elettico della mateia polaizzata La sostituzione del blocco di dielettico con due stati di caica è adeguato pe il calcolo del campo all'esteno del mateiale In paticolae pemette di calcolae l'integale fa due punti qualunque puché esteni al blocco di dielettico È sufficiente infatti calcolae l'integale utilizzando il campo geneato dai due stati di caica B 1 d l B dl bbiamo dimostato che i due sistemi sono equivalenti pe il campo esteno B Questa semplice e banale ossevazione ci pemette di fane un'alta, pe nulla banale nche se il campo all'inteno del mateiale è molto complicato sappiamo calcolae il suo integale fa due punti sulla supeficie 1 d l B L 1 lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 8 dl dl d l d l L 1 L 1 B 1 B L B L L L 1 B

12 Campo all'inteno del dielettico Supponiamo adesso che lo spessoe del blocco che stiamo studiando sia sottile Stiamo inolte supponendo che la polaizzazione sia unifome: costante Rimaniamo comunque lontani dai bodi In queste condizioni il campo fa i due stati è σ ε ˆz ˆz ε La diffeenza di potenziale ε B ε ll'inteno del dielettico il campo è estemamente complicato B Vicino ad un atomo il campo elettico aggiunge valoi dell'odine di 1 11 V/m Vicino ad una molecola polae (diciamo a 1 Å di distanza) il campo aggiunge valoi dell'odine di V/m 1 p p 6 1 C-m lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 8 t 9 7 t m V/m

13 Campo all'inteno del dielettico Tuttavia, nonostante la complessità del campo elettico all'inteno del mateiale abbiamo visto una sua popietà sopendente L'integale di linea fa due punti e B t è uguale a quello del campo podotto da due stati di caica σ ± B d l σ ε t t ε Ovviamente è anche indipendente dal paticolae cammino Infatti, pe quanto si tatti di un campo molto complesso si tatta comunque di un campo elettostatico che obbedisce alle leggi dell'elettostatica In paticolae la cicuitazione di è nulla d l Lungo una linea si incontano campi di enome intensità con gandi vaiazioni In un millesimo di millimeto ( 1μm 1 6 m) si incontano cica 1 4 dipoli Gan pate dei contibuti all'integale si elidono Se il mateiale non fosse polaizzato il isultato saebbe nullo È natuale suppoe che queste cancellazioni avvengano anche se si sommano i campi pesenti in moltissimi punti adiacenti lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 84 B

14 Campo all'inteno del dielettico Significa che se consideiamo un volumetto infinitesimo Δv Gande a livello micoscopico Che contiene tanti atomi o dipoli Δv Se sommiamo il campo misuato in punti divesi all'inteno del volumetto molti contibuti si elidono Questo isultato induce a pensae che si possa definie un valo medio di La media è calcolata in volumi infinitesimi su scala macoscopica ma gandi abbastanza da contenee un gande numeo di dipoli In questo modo si eliminano le vaiazioni dovute a possibili fluttuazioni nelle cancellazioni dei campi micoscopici Nel sistema che stiamo analizzando (il blocco di dielettico polaizzato) il valoe di questa media è molto semplice È un sistema molto semplice La polaizzazione è unifome 1 Δ V ΔV ε dv lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 85

15 Campo all'inteno del dielettico llo stesso modo si possono calcolae le medie di alte gandezze finoa definite solo a livello micoscopico ρ 1 Δ V Δ V ρdv 1 Δ V Δ Queste definizioni isulteanno utili solo se le leggi dell'elettostatica valgono anche pe le quantità mediate Si veifica che valgono! d a Q ε d l questo punto possiamo anche ossevae che una volta veificato che le cose funzionano possiamo abbandonae questa notazione "pesante" In pesenza di dielettici si lavoa sempe ad una scala macoscopica Le gandezze fisiche sono sempe medie di gandezze micoscopiche Si elimina il simbolo di media <X> che viene sottinteso ρ ε V dv ρ ε lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 86

16 Campo all'inteno del dielettico Nelle consideazioni fin qui svolte abbiamo consideato noto il vettoe densità di polaizzazione Tuttavia abbiamo visto che la polaizzazione compae in seguito all'applicazione di un campo elettico al dielettico La elazione fa ed può essee molto complessa Nei casi più semplici la elazione è lineae χ e ε La costante χ e (adimensionale) si chiama suscettività elettica I dielettici pe cui vale questa elazione sono detti lineai e isotopi Nei dielettici non lineai la suscettività dipende da : χ e ()ε Nei dielettici non isotopi ed non sono paalleli La suscettività è una matice (è un tensoe) χ ε i ik k k 1 Ci limiteemo ai dielettici lineai e isotopi La suscettività elettica e la costante dielettica non sono indipendenti Sottolineiamo che il campo elettico che detemina la polaizzazione è il campo elettico totale esistente nel dielettico Sia il campo esteno che il campo geneato dalla mateia stessa lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 87 ε χ

17 Condensatoe con dielettico Ritoniamo al condensatoe con dielettico che abbiamo utilizzato pe intodue l'agomento del campo elettico nella mateia Un dispositivo esteno (una batteia) mantiene una diffeenza di potenziale 1 fa le amatue del condensatoe Sappiamo che nel vuoto s 1 è la supeficie delle amatue ossiamo adesso utilizzae le gandezze 1 macoscopiche che abbiamo definito In paticolae il campo macoscopico pesente nel dielettico Natualmente l'integale di linea del campo macoscopico deve essee s d l 1 1 σ Q ε s σ Questo significa che la caica TOTL nella egione dell'amatua supeioe deve essee la stessa (Q ) che si aveva nel caso del condensatoe nel vuoto Questa affemazione può essee dimostata utilizzando la legge di Gauss L'integale sulla supeficie è sempe Q /ε 1 1 Deve essee lo stesso che nel vuoto s lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 88

18 Condensatoe con dielettico Il campo elettico polaizza il dielettico Il dielettico acquista una polaizzazione unifome data dal vettoe densità di polaizzazione Sulle supefici del dielettico compae una caica supeficiale σ σ σ Q σ Q s La caica Q dovà petanto isultae dalla somma Della caica sull'amatua del condensatoe: Q Della caica supeficiale di polaizzazione: Q' Nel discoso intoduttivo avevamo intodotto la costante dielettica κ Q κq Q ( 1 κ) Q Q Q Q ossiamo intepetae il condensatoe con dielettico come Un condensatoe nel vuoto con caica κq Un blocco di dielettico con polaizzazione ntambi geneano un campo elettico La somma dei due campi elettici dà il campo elettico Q Q Q κ > 1 Il campo elettico è meno intenso di quello geneato da κq nel vuoto lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 89

19 Condensatoe con dielettico Il condensatoe nel vuoto (con caica κq ) genea un campo Nel dielettico con polaizzazione c'è un campo elettico Il campo elettico nel sistema completo composto è bbiamo definito la suscettività elettica come χ e ε Otteniamo χε ε e ( κ 1) κ ε κ Sottolineiamo infine che il campo elettico nel condensatoe è deteminato dalla diffeenza di potenziale Dato 1 campo elettico è petanto lo stesso con o senza dielettico Cambia la quantità di caica che fluisce sulle amatue dall'esteno 1 χe ( κ 1) κ ε κ ε 1 χe lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 9

20 olaizzazione e caica supeficiale Nell'esempio del condensatoe bbiamo visto che sulle supefici del dielettico all'inteno del conduttoe compae una caica supeficiale Vogliamo appofondie questo fenomeno Nella mateia polaizzata appaiono dipoli allineati La polaizzazione è descitta dal vettoe Densità di polaizzazione Np N dà il numeo di dipoli pe unità di volume Il singolo dipolo è schematizzato come una coppia di caiche di segno opposto poste ad una distanza h q q Consideiamo un'aea da sulla supeficie del dielettico Il numeo di dipoli pesenti in un volume hda è dn Nhda La caica pesente nel volume è dq qdn qnhda Npda da Ossevazioni La caica negativa dei dipoli nel volume hda è cancellata dalla caica positiva dello stato infeioe Lo stesso agomento vale pe la supeficie infeioe Nell'esempio è pependicolae alle supefici Si possono unificae le due fomule σ nˆ h p σ σ dq da dq da qh lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 91

21 olaizzazione e caica supeficiale Vediamo cosa succede se il vettoe non è pependicolae alla supeficie Supponiamo sia paallelo alla supeficie Consideiamo un'aea da sulla supeficie del dielettico Come nel caso pecedente, il numeo di dipoli pesenti in un volume hda è dn Nhda La caica pesente nel volume è nulla Tutti i dipoli si neutalizzano a vicenda Osseviamo che la egola tovata in pecedenza è ancoa valida σ nˆ e finie il caso di un angolo abitaio θ fa e la nomale alla supeficie Non è difficile convincesi che la stessa supeficie da individua un numeo infeioe di dipoli non neutalizzati Una fazione popozionale a cosθ etanto anche in questo caso geneale σ n ˆ θ lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 9

22 olaizzazione e caica di volume Fino ad oa abbiamo supposto che il vettoe densità di polaizzazione fosse unifome in tutto il volume del dielettico Nel caso geneale può vaiae Supponiamo pe semplicità che vai solo lungo l'asse z Facendo ifeimento alla figua è facile convincesi che dento una scatola posta all'inteno del dielettico non si ha la completa neutalizzazione dei dipoli ossiamo calcolae la caica non neutalizzata all'inteno come diffeenza fa le caiche pesente sulle due supefici In ealtà la diffeenza cambiata di segno ( 1 ) dq ( z ) da ( ) ( ) ( ) dq z da dq dq dq Definiamo la densità volumetica della caica di polaizzazione ρ Se vaia in tutte le diezioni ρ z z z da 1 dzda z dq dzda z dv z x y z ρ x y z lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 9 dv z z 1 ρ

23 Densità di caica σ e ρ I isultati pecedenti possono essee ottenuti in modo più fomale Ricodiamo la fomula pe il potenziale di un dipolo 1 ˆ p Se il dipolo non è 1 ( ) p ( ) nell'oigine ma in ' ( ) Supponiamo di avee un blocco di dielettico polaizzato L'elemento di volume dv' ha un momento di dipolo dp ( ) dv Genea un potenziale z 1 ( ) dp 1 ( ) ( ) d( ) dv y x Il potenziale geneato dal copo polaizzato è ( ) ( ) V d 1 ( ) ( ) L'integale è esteso a tutto il volume del copo Se è noto la fomula pecedente isolve il poblema V dv dv lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 94

24 Densità di caica σ e ρ 1 ( ) dv V La fomula pecedente può essee elaboata e messa in una foma molto inteessante Si pate dalla seguente, impotante elazione 1 x y z Utilizzando questa elazione possiamo iscivee il potenziale ( ) ( ) Il passo successivo è utilizzae la elazione ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dv ( ) V f f f lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 95

25 Densità di caica σ e ρ Veifichiamo la elazione f f x y f ( f) x y z z ( ) f f f f x x f x x f y y f y y f z z f z z Ritoniamo al potenziale f x f y f x f y f z f x x y y z z z f f 1 1 dv ( ) ( ) ( f ) f f V ( ) ( ) poniamo ( ) ( ) ( ) ( ) dv V 1 f lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 96 ( )

26 Densità di caica σ e ρ ( ) ( ) 1 1 ( ) dv V ossiamo adesso tasfomae il pimo integale utilizzando il teoema della divegenza V ( ) ( ) ˆ n dv da S V dv nˆ da S questo punto intoduciamo La densità supeficiale di caica di polaizzazione La densità di volume di caica di polaizzazione Sostituiamo nella fomula del potenziale σ nˆ ρ ( ) ( ) σ ( ) 1 ρ 1 dv da V S lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 97

27 Densità di caica σ e ρ saminiamo il isultato ottenuto 1 ρ( ) 1 σ( ) ( ) dv da V i fini del calcolo del potenziale il blocco di mateiale polaizzato è equivalente a Una distibuzione volumetica di caica nel volume del dielettico La densità di caica è data dalla divegenza del vettoe densità di polaizzazione ρ Una distibuzione di caica supeficiale sulle supefici del dielettico La densità di caica è data dalla componente nomale alla supeficie del vettoe densità di polaizzazione σ Natualmente, una volta scelta questa modalità di calcolo, non si considea più l'integale di patenza 1 ( ) ( ) ( ) dv O l'uno o l'alto! V lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 98 nˆ S

28 Densità di caica σ e ρ Qualche ossevazione pe concludee questo punto La deivazione è stata puamente matematica Tuttavia concoda con le consideazioni fisiche fatte in pecedenza L'integale di supeficie è esteso a tutte le supefici del dielettico nche eventuali supefici intene che delimitano cavità nche sulle supefici delle cavità compae una caica supeficiale Non bisogna dimenticae che si tatta di un dielettico Le caiche non sono libee di muovesi In paticolae non si possono dispoe abitaiamente come nei conduttoi pe annullae il campo elettico all'inteo o endee equipotenziali le supefici Il campo elettico non è sempe pependicolae alle supefici del dielettico lettomagnetismo of. Fancesco Ragusa 99