Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di ilano Leione n Sfea in campo unifome agneti pemanenti Onde elettomagnetiche Anno Accademico 8/9

2 Sfea in campo magnetico unifome Supponiamo di avee un campo di induione magnetica B unifome in tutto lo spaio B μ H μ H e μ H (cos θˆe sin θˆe ) ˆ Inseiamo adesso una sfea di aggio R, di mateiale magnetico, lineae, con pemeabilità magnetica elativa μ Il campo magnetico isulta modificato Nel poblema non ci sono coenti libee petanto Il poblema può essee isolto H H utiliando il poteniale scalae Il poblema ha simmetia aimutale e si isolve più facilmente utiliando le coodinate sfeiche In paticolae Φ (, θ) < R Φ (, θ) > R Fissiamo le condiioni al contono All'infinito il poteniale deve ipodue il campo unifome Φ Sulla supeficie della sfea H H K nˆ θ θ f B ( R, θ) B ( R, θ) (, θ) H cosθ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 36 φ ( R, θ) φ ( R, θ) θ Φ μμh ( R, θ) μh ( R, θ)

3 Sfea in campo magnetico unifome atematicamente il poblema è identico a quello della sfea di dielettico in campo unifome (pate I diapositiva 3) I poteniali possono essee sviluppati utiliando i polinomi di Legende e le potene di : l e l Sopavvivono solo i temini Φ (, θ) C cosθ Il valoe asintotico ( ) di Φ fissa C Imponiamo la continuità del poteniale sulla supeficie Φ Pe finie la componente nomale H Φ Risolvendo le equaioni cos θ Φ (, θ) C cosθ + D Φ (, θ) Hcosθ ( R, θ) Φ ( R, θ) cos lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 36 C H CR HR + D 3 3 D H C θ H H cos θ + cos θ 3 D μ H R μ + 3 C CR HR + D μ 3 H μ + 3 3

4 Sfea in campo magnetico unifome Il poteniale è petanto 3 μ 3 cos θ Φ (, θ) H cosθ Φ (, θ) H cosθ + H R μ + μ + I coispondenti campi sono φ φ Η φ ˆe ˆe θ θ All'inteno della sfea ( < R) 3 H H cos θ μ + H 3 + H θ μ μ + sin θ 3 H H (cos θˆe sin θˆe ) θ All'esteno della sfea ( > R) μ cos θ H H cos θ + H R 3 3 μ + μ sin θ H H sin θ + H R 3 θ 3 μ + 3 μ 3 H H ˆe H H ˆe + H R ( cos θˆe + sin θˆe ) θ μ + μ + Petanto all'inteno della sfea il campo è unifome All'esteno della sfea al campo unifome si sovappone un campo dipolae lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 36

5 Sfea in campo magnetico unifome Poiché il mateiale della sfea è lineae possiamo scivee la magnetiaione come 3( μ ) χ μ m χ H H ˆe m μ + La magnetiaione è unifome e dietta lungo l'asse La magnetiaione causa una densità di coente supeficiale 3( μ ) 3( μ ) K e H ˆe ˆe H ˆ μ + μ + sin θˆe φ Il poblema che omai abbiamo isolto tante volte È la densità di coente supeficiale dovuta alla magnetiaione che genea il campo dipolae che modifica il campo unifome lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 363

6 agneti pemanenti La soluione del poblema magnetostatico in mei lineai pemette di tovae Il poteniale vettoe A e quindi il campo di induione magnetica B A Attaveso le elaioni lineai posiamo inolte calcolae Il campo di intensità magnetica H B/μ La magnetiaione χ m H Se il poblema è elativo a un magnete pemanente, in assena di coenti estene, il poblema si può isolvee in due metodi diffeenti Pimo metodo: con il poteniale vettoe (J f, definito) H Da questa si giunge come nel caso pecedente La soluione è B μ A μ μ J μ ( ) A( ) J dv 4π Se è discontinuo sulla supeficie del magnete compae un temine supeficiale ( ) A ( ) μ ( ) μ J K dv + da 4π 4π V S lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 364 B μ J K( ) ( ) n J

7 agneti pemanenti Secondo metodo: uso di un poteniale scalae (J f, definito) Quando J f si ha H petanto H è un gadiente H Φ Pe definie completamente H occoe conoscee la sua divegena Utiliiamo la divegena di B B B μ H + μ H Utiliando queste equaioni si ottiene l'equaione pe Φ H Φ Φ Abbiamo ancoa una volta un'equaione di Poisson Pe mettee in isalto le analogie con l'elettostatica definiamo ρ Φ ρ La funione ρ () appesenta una FITTIZIA densità di caica magnetica La soluione pe questo poblema è nota Φ () 4π ρ ( ) dv Φ () L'integale è da tattae con attenione peché in geneale ρ contiene una pate singolae 4π Φ ( ) dv lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 365

8 agneti pemanenti La pesena di un eventuale integale di supeficie si può compendee nel modo seguente Si può dimostae che il poteniale magnetico scalae di un dipolo magnetico m posto nel punto è μ Φ () Come in elettostatica il isultato è μ m ( ) 3 4π Notiamo che è fomalmente identico al poteniale di un dipolo elettico, vedi pate I, diapositive 5 e 85 Si può petanto calcolae il poteniale scalae magnetico di un blocco di mateia con magnetiaione () con un calcolo identico a quello fatto pe l'elettostatica (vedi ancoa pate I, diapositiva 85 e seguenti) dm ( ) ( ) ( ) dφ () dm ( ) dv Φ () dv 3 3 4π 4π ( ) ( ) nˆ Φ () dv + da 4π 4π V S lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 366

9 agneti pemanenti Petanto nel caso di una magnetiaione () continua all'inteno del mateiale e che diventa buscamente nulla fuoi dal mateiale abbiamo ( ) ( ) nˆ Φ () dv + da 4π 4π V L'effetto della magnetiaione viene appesentato come dovuto alla pesena di due densità di caiche magnetiche FITTIZI Una densità di volume ρ Una densità di supeficie σ n Illustiamo i concetti pecedenti pe un magnete pemanente cilindico La magnetiaione all'inteno del cilindo è unifome La soluione con il poteniale vettoe fa ifeimento alle coenti di magnetiaione supeficiali e di volume J K ˆe ˆe Il campo geneato da una coente supeficiale unifome è il campo di un solenoide finito con n spie pe unità di lunghea e coente I tali che K ni ( ) A μ 4π S ρ S ( ) K φ da K lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 367

10 agneti pemanenti Qualitativamente il campo B è come in figua Nel caso di solenoide infinito il campo saebbe All'esteno saebbe nullo Nel caso di lunghea finita Il campo non è unifome La componente tangeniale, paallela alla supeficie, è un po' infeioe al valoe del solenoide finito La discontinuità alla supeficie dove c'è la coente supeficiale è Poiettiamo lungo B μ ni ˆe μ ˆe B B μ K e et int ˆρ μ e ˆ et int Petanto all'esteno, vicino alla supeficie lateale, B è dietto veso il basso Il campo è poco intenso Sulle supefici supeioe e infeioe non ci sono coenti nˆ ntambe le componenti di B sono continue B B μ B μ + B < et int B lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 368

11 agneti pemanenti Discutiamo adesso la soluione con il poteniale scalae ( ) ( ) nˆ Φ () dv + da 4π 4π Il pimo integale è nullo: Il secondo temine si iduce all' integale su due densità unifomi Qualitativamente il campo H Φ è come in figua σ nˆ ± All'inteno del magnete le linee del campo H vanno dall'alto veso il basso La componente nomale di H ha una discontinuità (vedi diapositiva ) Non ci sono coenti libee e petanto V ( ) H H sopa sotto sopa sotto H d l Se si segue una linea di campo si incontano le supefici dove le linee cambiano veso S H +σ σ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 369

12 Coente supeficiale Una densità di coente supeficiale infinita genea un campo magnetico paallelo al piano della coente e pependicolae alla dieione della stessa La legge di Biot e Savat implica che B non possa essee paallelo a K e quindi B La componente B deve essee nulla pe simmetia Infatti se u u deve anche essee B B a la tasfomaione della velocità può essee ottenuta da una otaione di π intono all'asse Non cambia il segno di B e quindi B Petanto il campo magnetico è dietto lungo l'asse Sempe utiliando la legge di Biot e Savat ci si può convincee che B Bˆe > B + Bˆe < Utiliiamo la legge di Ampèe BL μ KL B e > + μ K e < ˆ ˆ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 37 μ K B B db L K σu B μ ˆ dl i 4π B

13 Un'onda elettomagnetica Consideiamo ancoa l'esempio pecedente Ignoiamo il campo elettico geneato dal piano di caica Possiamo sempe immaginae che ci sia un alto B piano di densità σ che si muove con velocità u Il piano è femo pe t <, iniia a muovesi a t Pe t < il campo magnetico è nullo Pe t > il campo diventa B μ K/ Tuttavia pe distane > vt il campo deve essee nullo Chiamiamo v la velocità di popagaione del campo magnetico Visto dall'alto il campo magnetico appae come in figua La egione di tansiione fa B e B è deteminata dal modo in cui il piano di caica passa dallo stato di quiete al moto Se l'acceleaione è molto apida B la tansiione è più netta B B vt Δ vδt B > vt vt K σu B entante uscente B lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 37

14 Un'onda elettomagnetica Nella egione di tansiione c'è una vaiaione del campo magnetico nello spaio e nel tempo Studiamo la tansiione con l'equaione di awell εμ B Il otoe ha una sola componente non nulla Le componenti B e B sono nulle B ( B) εμ Petanto nella egione di tansiione compae un campo elettico Δt dt εμ Δt B B vt Δ vδt J solo pe B B dt εμ lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 37 Δ B B d v ΔB εμv ( B) K σu B B B B B B B B B ( ) ( ) εμv B εμv ΔB db

15 Un'onda elettomagnetica Possiamo utiliae anche l'alta equaione di awell B B t Dato che solo la componente di B è divesa da eo solo ( ) ( ) B B t La componente potebbe essee costante. La assumiamo nulla Tutto il nosto agionamento è definito a meno di campi costanti Possiamo calcolae il campo magnetico B dt La vaiaione del campo elettico genea a sua volta un campo magnetico Le due elaioni tovate devono essee compatibili B B v v εμv εμv εμ La velocità di popagaione è deteminata dalle costanti ε e μ d lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 373 Δ t Δ t dt Δ Δ v v v d v

16 Un'onda elettomagnetica Riassumiamo quanto abbiamo capito Il passaggio dallo stato di quiete allo stato di moto del piano di caica genea un'onda elettomagnetica L'onda viaggia con velocità v εμ v isulta essee la velocità della luce Nelle immediate vicinane della coente supeficiale il campo magnetico è geneato dalla coente supeficiale Allontanandosi dalla sogente i campi sono geneati dalle loo vaiaioni spaio-tempoali B t Le vaiaioni del campo B geneano localmente il campo (Faada) Le vaiaioni del campo geneano localmente il campo B (awell) I campi sono pependicolai fa di loo Pependicolaità imposta dalle equaioni di awell (intodotta dal otoe) I campi sono pependicolai alla dieione di popagaione Vedemo che dipende dalle equaioni e B c εμ με B K σu B lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 374

17 Un'onda elettomagnetica Supponiamo che dopo un tempo T lo stato di caica venga aestato L'andamento della coente nel tempo è stato come in figua La coente non genea più il campo magnetico K Si foma una ona sena campo Il campo geneato nell'intevallo t T continua a viaggiae nelle due dieioni Complessivamente il fenomeno è stato La coente ha geneato un'onda elettomagnetica Radiaione Il campo si è disaccoppiato dalla sogente I campi e B si sostengono a vicenda Popagaione Nelle egioni in cui i campi sono divesi da eo è immagainata enegia U ε dv U μ B dv Questa enegia poviene dal lavoo fatto pe geneae l'onda Nello "spingee" la caica si deve vincee una "esistena" di adiaione ct ct ct T ct t lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 375

18 quaione dell'onda Sciviamo adesso l'equaione di popagaione dei campi e B dopo che l'onda è stata geneata Utiliiamo le equaioni di awell nel vuoto con ρ e J Si tatta di un sistema di equaioni diffeeniali accoppiate Pe disaccoppiae i campi e B calcoliamo il otoe delle ultime due equaioni Utiliiamo l'identità (diapositiva ) ( V) ( V) V Applichiamola alla tea equaione Utiliiamo la quata equaione B t B B ( ) ( ) B t È una foma compatta pe indicae le te equaioni c B t lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 376 c c c B t c εμ

19 quaione dell'onda Si può dimostae che anche le componenti B, B, B del campo magnetico soddisfano la stessa equaione B Inolte veificheemo in seguito che anche il poteniale vettoe A e il poteniale scalae φ soddisfano la stessa equaione dell'onda Da un punto di vista matematico si tatta di una equaione diffeeniale alle deivate paiali di tipo ipebolico Pe isolvela occoe definie le condiioni iniiali f (,) h ( ) Ad esempio nel caso unidimensionale f f c h f lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 377 c B f c f f (,) (, t ) t h h ( ) f (,)

20 Soluioni dell'equaione dell'onda Le equaioni tovate sono una genealiaione a te dimensioni dell'equaione dell'onda in una dimensione (, ) (, ) f t f t c (, t) Com'è noto nel caso unidimensionale la soluione geneale è ( ) f t, u ( ct) + v ( + ct) Natualmente la funione μ ckr T ( ct) soddisfa il nosto poblema della coente supeficiale infinita Pe coenti paallele ai piani e le soluioni avebbeo potuto essee (, t ) La caatteistica saliente di queste soluioni è che il campo è costante sui piani pependicolai alla dieione di popagaione ( k ) Nel caso in cui la dieione di popagaione ˆk sia abitaia u,v sono funioni continue (con deivata continua) μ ( ) μ ckr ( ct) ckr ct T ct kˆ ct f T R T c f T t lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 378

21 Soluioni dell'equaione dell'onda Cechiamo le soluioni dell'equaione dell'onda unidimensionale utiliando la tasfomata di Fouie La tasfomata di Fouie è definita come iωt F( ω) f( t) e dt (, ) (, ) f t f t c Le fomule pecedenti sono facilmente genealiabili al caso di una funione di due vaiabili ik i t + ik + iωt Fk ω (, ω) fte (,) e ddt ft (,) Fk (, ω) e e dkdω ( π) Calcoliamo le deivate di f(,t) + ik + iωt ft (,) kfk (, ω) e e dkdω ( π) ω + ik + iωt ft (,) Fk (, ω) e e dkdω c ( π) c Intoduciamo nell'equaione ( ) f, t f (, t ) ω + ik + iωt k F(, k ) e e dkd + ω ω c ( π) c lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa iωt f () t F( ω) e dω π

22 Soluioni dell'equaione dell'onda Petanto la tasfomata di f(,t) deve soddisfae la seguente elaione ω ik i t k + + ω F(, k ω) e e dkdω + ω k F(, k ω) ( π) c c Significa che Fkω ω (, ) escluso il caso k nel qual caso F c può essee qualsiasi D'alto canto + ik + iωt ft (,) Fk (, ω) e e dkdω deve essee Fkω (, ) ( π) Vediamo che F ha popietà simili a quelle di δ() È quasi sempe nulla Il suo integale è finito È una funione singolae Fk ω (, ω) F (, kω) δ k c F (, k ω) c δ( c k ω ) F (, k ω ) cδ [( p ω )] p( ω) k c ω Utiliiamo la popietà della funione δ() δ( ) l δ p ( ) p ( ) l p ( ) l lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 38 l

23 Soluioni dell'equaione dell'onda Applichiamo al nosto caso δ( ) ω kc l δ p ( ) p( ω) c k ω p ( ω ) kc l p ( ) ω kc l l Otteniamo c c c δ( k c ω ) δ( ω kc) + δ( ω + kc) k k (, ) c F k ω δ( ω kc ) δ( ω kc ) k + + c F (, k kc ) δ ω kc + F (, k kc ) kc k δ ω + Poniamo c Uk () F c (, kkc) Vk () F (, k kc) π k π k Integiamo in dω + ik + iωt ft (,) Uk () δ( ω kc) + Vk () δ( ω + kc) e e dkdω π ( ) ( ) ik + ikct ikct ft (,) e Uke () + Vke () dk ( π) k + ik( + ct ) + ik( ct ) ft (,) Uke () + Vke () dk π f (,) t u ( + ct) + v ( ct) lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 38

24 Soluioni dell'equaione dell'onda saminiamo la soluione tovata + ik( + ct ) + ik( ct ) ft (,) Uke () + Vke () dk π f (,) t u( + ct) + v( ct) La soluione geneale dell'equaione è la somma di due onde Un'onda che popaga nel senso positivo delle Un'onda che popaga nel senso negativo delle È facile veificae che pe una abitaia funione h(), due volte continua h( ± ct) è soluione dell'equaione delle onde Inolte osseviamo che le funioni ep[±ik( ± ct)] sono soluioni dell'equaione delle onde Sono funioni sinusoidali I paameti ω e k non sono indipendenti ω ± kc Dette anche onde monocomatiche di fequena ω kc La soluione geneale, espessa sotto foma di tasfomata, è una sovapposiione (integale) di onde sinusoidali lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 38

25 Soluioni dell'equaione dell'onda Pe finie deteminiamo U(k) e V(k) in funione delle condiioni iniiali ik + ik f (,) h ( ) H () k h () e d h ( ) H ( k) e dk π f (, t) ik + ik h ( ) H () k h () e d h ( ) H ( k) e dk π t Abbiamo + ik( + ct ) + ik( ct ) ft (,) Uke () Vke () dk π + + ik f (,) Uk () Vk () e dk π + H () k U () k + V () k Inolte ik( ct ) ik( ct) ft (,) ft (,) ikcuke () Vke () dk π ik f + (,) ikcuk () Vk () e dk π Otteniamo Uk () H() k + H () k ikc Vk () H() k H () k ikc U () k V () k H () k ikc lettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 383