Fisica Generale B. Conduttori e condensatori. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico Maurizio Piccinini

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1 Fisica Geneale B Conduttoi e condensatoi Scuola di Ingegneia e Achitettua NIBO Cesena Anno Accademico 4 5

2 Campo elettostatico nei conduttoi Conduttoe In un conduttoe, una pate delle paticelle caiche (gli elettoni di conduzione nel caso dei metalli) sono libee di muovesi pe tutto il copo come un gas. In condizioni statiche (assenza di movimento) la foza elettica, e con essa il campo elettico debbono essee nulli in tutto il conduttoe (altimenti gli elettoni di conduzione, non vincolati, soggetti a una foza si metteebbeo in movimento). Isolante (dielettico) In un isolante (detto anche dielettico), le caiche elettiche in dotazione a una molecola sono vincolate a muovesi soltanto all inteno della molecola. n campo elettico esteno non poduce un movimento di caiche, se non su piccola scala (polaizzazione) dovuto a una defomazione delle molecole o a un oientamento delle molecole.

3 Campo elettostatico nei conduttoi Pesa una supeficie chiusa abitaia S, intena al conduttoe, il campo elettico deve essee nullo su tutta la supeficie. Segue che il flusso del campo elettico attaveso la supeficie S è nullo e uindi, pe la legge di Gauss, la caica elettica totale all inteno della supeficie S abitaia, intena al copo, è nulla: + All inteno di un conduttoe non vi possono essee caiche in eccesso (la densità di caiche positive è uguale alla densità di caiche negative). Se il conduttoe viene caicato, all euilibio la caica aggiuntiva immessa si dispone sulla supeficie del conduttoe. S Ε Ε Ε

4 Conduttoe cavo schemo elettostatico In pesenza di una cavità intena al conduttoe, l eventuale caica supeficiale totale intena deve essee nulla ma il campo nella cavità saebbe diveso da zeo, e uindi la cicuitazione lungo una linea chiusa come uella disegnata saebbe divesa da zeo ma ciò contaddice il fatto che il campo elettostatico è consevativo. uindi non vi sono caiche sulla supeficie intena e il campo è nullo anche nella cavità. 4

5 Conduttoe cavo schemo elettostatico S In pesenza di una caica intena alla cavità, viene indotta una caica totale sulla supeficie intena. Viene altesì indotta una caica supeficiale estena. Il campo elettico all inteno del conduttoe è sempe. uicktime Movie ventuali cambiamenti di posizione della caica intena al conduttoe, cambiano la distibuzione della caica ma non alteano il campo all inteno del conduttoe. La distibuzione supeficiale di dipende uindi soltanto dalla geometia del conduttoe e non dalla distibuzione delle caiche intene. n involuco metallico chiuso schema sia l inteno dall esteno sia l esteno dall inteno. Schemo elettostatico Gabbia di Faaday 5

6 Conduttoi alte popietà Campo in un punto esteno molto vicino a un conduttoe (Teoema di Coulomb) La supeficie del conduttoe è euipotenziale, infatti il campo elettico sulla supeficie deve essee pependicolae alla stessa: se non lo fosse le sue componenti tangenti muoveebbeo le caiche. nˆ dl dv Pe la stessa agione, siccome dento il volume tutto il volume del conduttoe è euipotenziale, con: Vvol Vsup Pessione elettostatica: df d ˆ lon dsn p d ds lon nˆ vic nˆ lon lon nˆ nˆ 6

7 Conduttoi alte popietà Campo in un punto esteno molto vicino a un conduttoe (Teoema di Coulomb) ˆ n 7 R Campo nelle vicinanze di una sfea metallica di aggio R: 4 R π ˆ 4 n R π

8 Conduttoi alte popietà ffetto punte V V nˆ R R 4π R 4π R 4π R R R R > R Il campo elettico ha maggioe intensità in coispondenza del aggio di cuvatua più piccolo. Pe un conduttoe geneico, il campo ha intensità maggioe vicino alle zone più appuntite. 8

9 Popietà dei conduttoi Riepilogo. Il campo elettico all inteno di un conduttoe è nullo.. All inteno di un conduttoe non vi possono essee caiche in eccesso. Se sul conduttoe viene immessa una caica, essa si dispone sulla supeficie. 3. Non vi sono caiche sulla supeficie intena di un conduttoe cavo e il campo è nullo anche nella cavità. 4. Sulla supeficie di un conduttoe il campo elettico è dietto pependicolamente alla supeficie stessa. Tutti i punti del conduttoe, supeficiali e inteni, sono allo stesso potenziale elettostatico. 5. n involuco metallico chiuso schema sia l inteno dall esteno che l esteno 6. dall inteno (gabbia di Faaday). Il campo in un punto esteno molto vicino a un conduttoe vale nˆ (Teoema di Coulomb) 7. La caica in eccesso in un conduttoe ha densità maggioe nelle egioni che hanno minoe aggio di cuvatua. Sulle punte la densità è molto elevata (effetto punte). 8. Le caiche supeficiali subiscono una pessione elettostatica p 9

10 V V d A Conduttoi potenziale e capacità Dento il conduttoe B B A Fuoi dal conduttoe R Il appoto C Due punti ualsiasi di un conduttoe si tovano allo stesso potenziale Potenziale ispetto all infinito di una sfea conduttice con caica totale, scegliendo V( ) : V V ( R) V ( ) + d 4π 4π R C R si chiama capacità, è definibile pe ogni conduttoe e dipende solo dalla geometia del conduttoe. Nel caso della sfea suddetta C 4π R NB.: V(R) appesenta il lavoo necessaio pe potae una caica unitaia, dall infinito alla supeficie della sfea di aggio R.

11 Conduttoi potenziale e capacità C V La popozionalità ta la caica totale di un conduttoe ed il suo potenziale elettostatico isulta dall ossevazione speimentale. L Lavoo necessaio pe caicae un conduttoe sfeico: ( ) δ L d dv V ( ) 4π R C 8π R C L δ L V ( ) d d 4π R Vaiazione dell enegia potenziale del sistema. Vai a enegia L unità di misua della capacità elettica è il faad (F). F C/V. Valoi comuni di C sono espessi in µf ( 6 F) o pf ( F). sempio: capacità elettica della tea: C 7 µf.

12 Conduttoi potenziale e capacità Sistema di due o più conduttoi Dati n conduttoi di fome e dimensioni abitaie e fisse, le ispettive caiche e potenziali sono legati da elazioni lineai. α V + α V α V n α V + α V α V n... α V + α V α V n n n nn n n n V β + β β n V β + β β n... V β + β β n n n nn n n n I coefficienti α e β dipendono solo dalle fome e posizioni ecipoche dei conduttoi.

13 Conduttoi potenziale e capacità Il condensatoe n sistema di due conduttoi con caica uguale e segno contaio pende il nome di Condensatoe V β β ( β β β β ) V β β V V V + C / ( ) C β β β + β C Capacità elettica del condensatoe V Tale situazione viene detta di induzione completa. I due conduttoi vengono chiamati amatue del condensatoe 3

14 Conduttoi Induzione elettostatica S A S B Induzione completa nˆa ds A nˆ nˆb dsb ds ds Legge di Gauss: nˆ ds + nˆ ds A A B B S A ds A A A B B B ds ds A A B B A A S B B ind B ds 4

15 Condensatoi Condensatoe sfeico ( ) ( ) V V d V d 4π 4π C 4π V C lim S d C lim 4 π 5

16 + Condensatoi Condensatoe piano C V d V d C S S d d O π l π l π h î Condensatoe cilindico π h π λ π π h l d 6

17 Condensatoi ( ) ( ) V V d Condensatoe cilindico ˆ π h h d V ln π h C h π h V ln + d ( ) ) d d d ln + + O +... C π h d lim S d 7

18 Sistemi di condensatoi Collegamento in paallelo C V + VC + VC V C + C VC ( ) V C C + C Collegamento in seie V V V + V C + C C + C C ( ) V V CC + C C C C C + C 8

19 Sistemi di condensatoi C C V V 3 3 C 3 V Noti V, C, C e C 3, uanto valgono le estanti gandezze? V V + V CC C C C C C + C C CC V C C3 C + C + + C3 V C + C 3 3 C C C C C + C C V V V ( ) C ( ) C( ) V ( ) V C + C 9

20 negia elettostatica negia potenziale di un sistema di caiche lavoo fatto pe costuilo, potando ogni caica dall infinito con una foza estena ispetto a uella dovuta al campo elettostatico podotto dalle alte caiche. Vai a Cond. Sf. est L L V V ( ) ( ) est B B x z O y L est 4π L est π 3 4π 3 est L est L π 3 3 est L 4 n n j i i j i π i j

21 negia elettostatica Distibuzione disceta di caiche puntifomi. Peché delle caiche si possano consideae ecipocamente puntifomi occoe che la distanza elativa ta esse sia molto più gande delle dimensioni delle egioni in cui sono localizzate. est L 4 n n j i i j i π i j V n n n n i i j i j i j i i j i n n n n V V ( ) i i j i i i i i j i i i V i j 4π j V i j i i j i j i n j i i j n i i

22 est L 4 negia elettostatica Distibuzione continua di caiche. n n j i i j i π i j ρ ( ) NB.! ρ ( ') dv' dv 4 π ' d ρ ( ) dv ρ ( ) ( ) V dv Se le caiche sono localizzate sulle supefici di un insieme di n conduttoi: n n V ds V ds ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i n V i i i

23 negia elettostatica ρ ( ) V ( ) dv V V V + V V V ( ) V ( ) dv V V + V dv V V ds + S d V V d V d V + V R V ds + d S sfea V sfea S 4π R V R R V lim V ds R S sfea Spazio d V 3

24 negia elettostatica V ρ ( ) V ( ) dv d Spazio V d Densità di enegia u dv del campo elettostatico R u sempe >? dove si tova fisicamente l enegia elettostatica? 4

25 negia elettostatica Distibuzione disceta v/s continua. 4 n n j i i j i π i j Il concetto di caica puntifome è fisicamente un paadosso: Implica che una caica finita sia contenuta in uno spazio pivo di dimensioni, cioè il punto. Nel caso delle due caiche puntifomi appesentate in figua: 4π V appesenta l enegia di inteazione o di accoppiamento ta la caica e il campo geneato dalla caica. 5

26 negia elettostatica Distibuzione disceta v/s continua. ρ ( ') dv' ρ ( ) dv 4 π ' Spazio d V Con uesto fomalismo non vi è paadosso: se dv tende a zeo (punto) anche la caica in esso contenuta tende a zeo dv + dv + dv ( ) Spazio Spazio Spazio Autoenegia + + negia di inteazione (o di accoppiamento) 4π 6

27 negia elettostatica Condensatoe Sia enegia elettostatica di un condensatoe con caica. C V ( ) V ( ) δ L V d C C ( V ) C ( S ( V V) ) d C V S d Sd d S C d Condensatoe a facce piane paallele: u d C n V i i i Sd 7

28 negia elettostatica + Condensatoe sfeico 4π u 3π u 4 udv 4 d d 3π 8 π 4 π V 8 π u V d d 8π 8π R C R; 8

29 negia elettostatica O + x î Foza ta le amatue di un condensatoe C F x ( ) x ( ) S S x F x ˆ i x S iˆ F S V x ( ) F p p S S Ha validità geneale! Pessione elettostatica 9

30 lettostatica nei dielettici Speimentalmente, uando si intoduce un dielettico fa le amatue di un condensatoe caicato con caica, aumenta la sua capacità e diminuisce la diffeenza di potenziale fa le sue amatue. C C V C C V ; > è la costante dielettica elativa C C (al vuoto) del mateiale inseito. Pe un condensatoe a facce piane e paallele con dielettico: S C d 3

31 lettostatica nei dielettici Polaizzazione del dielettico: pe defomazione pe oientamento Defomazione: coefficiente di polaizzabilità α. Alcune stuttue anisotope ichiedono una descizione mediante un tensoe di polaizzabilità. Oientamento: possibile solo se le molecole possiedono un momento di dipolo intinseco p. F d sinϑ V V V V d d ϑ + + d + ϑ ( ) l cos + p d F P α M d M p negia Potenziale del dipolo elettico immeso in un campo elettico omogeneo p 3

32 lettostatica nei dielettici Dielettico nomale: lineae, omogeneo ed isotopo. ' ' Suscettività : χ ' p ' Ad pˆ ' χ χ p ' Intensità di polaizzazione P: p P V ' pˆ P χ 3

33 lettostatica nei dielettici D + P Campo di induzione elettica D: P χ D ( + χ ) χ D Il campo di induzione elettica D è collegato alle sole caiche libee, anche nei casi più geneali di dielettici non nomali. La definizione di D ui sopa ipotata imane valida in geneale, ma la elazione ta P ed va icavata speimentalmente in uanto può dipendee dalla posizione nel dielettico, dal modulo di e dalla tempeatua. Se ci si limita ai mateiali isotopi si può scivee P χ (, ) dove χ è la suscettività elettica. 33

34 lettostatica nei dielettici b a + C C + C C S d x C xb d C d ( a ) d x b C C i b d ( ) C x + a x C d ( ) b x + a x d F ( x) ˆ i b x + ( a x) 34

35 lettostatica nei dielettici b + a x F x ( ) d b x + a x ( ) iˆ C C i F a ( ) d b a iˆ F ( ) d b ( a) iˆ 35

36 m lettostatica nei dielettici Dipolo in un campo elettico stazionaio e omogeneo: negia ifeita a min p d m d d F cosϑ f f f f V V dl dl dl dl + i ϑ ϑ + F f ( ) cosϑ cosϑ + i + i i + + i ( f f ) d d + ( cosϑ ) ( cosϑ ) ( cosϑ ) i i m dx dx + d p p p ( ϑ ) ( ϑ ) ( cosϑ cosϑ ) 36