Compito di fisica I. 11 luglio 2011

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Bernarda Gallo
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1 Compito di fisica I. luglio 0 Meccanica Una uota di massa M, aggio R e momento d inezia I sale senza stisciae sotto l azione di un momento motoe τ m lungo un piano, inclinato di un angolo θ ispetto all oizzontale. Detto A l attito con il suolo, deteminae: a. l acceleazione del CM della uota; b. detto µ s il coefficiente di attito statico con il suolo, il massimo valoe del momento motoe pe cui si ha otolamento puo. c. La uota aiva su un tatto di stada innevato (il momento sia ancoa τ m ), in cui il coefficiente di attito statico e` minoe, e comincia a slittae. Si detemini l acceleazione del CM della uota. a) Applichiamo le eqq. cadinali: e la condizione di otolamento: α a R N W cosθ 0 A W sinθ ma τ RA Iα Questo è un sistema di 4 eqq. nelle incognite N, A, a, α, la cui soluzione, posto m' I R è

2 N W cosθ a τ m RW sinθ R m + m' A ( ) m m + m' ( m'gsinθ +τ m R) b) il massimo momento si ha in coispondenza del massimo valoe d attito statico A µ s N ovveo τ m Rg [ µ s ( m + m' )cosθ m'sinθ] c) Le eqq. cadinali sono le stesse di pima, ma la foza d attito è di tipo dinamico: A µ d N. Ne segue che l acceleazione del CM è a g ( µ d cosθ sinθ) Gavitazione E` possibile stabilie se una cometa e` un membo pemanente o tempoaneo del sistema solae misuandone la velocita` e la distanza dal Sole? Giustificae la isposta. Affinche la cometa sia un membo pemanente del sistema solae basta che la sua enegia meccanica totale sia minoe di zeo: E mv GMm < 0 Dividendo pe la massa incognita della cometa otteniamo Ovveo v < GM. GM v < 0 Quindi la conoscenza di v ed e` sufficiente pe ispondee affemativamente alla domanda. In ealta` bisogneebbe agionae sulla paticella fittizia di massa idotta µ. La condizione di appatenenza al sistema e` oa E µv GMm < 0 Ove µ e v sono le gandezze elative alla massa idotta.

3 La elazione ta paticella fittizia e cometa, pe quanto iguada la velocita`, e` la seguente: M v c v M + m Intodotta questa elazione, e quella della massa idotta, nella condizione di appatenenza, otteniamo M v c < G GM M + m Oa si pone il poblema che bisogna conoscee la massa della cometa pe pote ispondee alla domanda, ma possiamo notae che il isultato coincide paticamente con quello icavato pecedentemente, visto che la massa della cometa (incognita) e` molto minoe di quella del Sole. E` popio la dispaita` ta queste masse che ci ha pemesso fin dall inizio di confondee la cometa con la paticella fittizia. emodinamica Una massa di ghiaccio M a tempeatua t -0 C e` posto in un temostato ideale a tempeatua t 0 C. Supposto che la tasfomazione avvenga alla pessione atmosfeica estena e supposti noti i caloi specifici in funzione della tempeatua, calcolae: a. La vaiazione di entopia del ghiaccio e dell acqua che ne isulta dalla fusione, una volta aggiunta lo stato di equilibio finale; b. La vaiazione di entopia del temostato (si tenga pesente che i caloi scambiati nelle tasfomazioni isobae ievesibili sono uguali a quelli delle coispondenti tasfomazioni evesibili). a) Dividiamo la tasfomazione in te pati:, iscaldamento del ghiaccio da t a t 0 0 C;, fusione del ghiaccio a t 0 ; 3, iscaldamento dell acqua di fusione da t 0 a t. Pe il calcolo dell entopia immaginiamo una tasfomazione isobaa, una isobaa e isotema, una 3 di nuovo isobaa, tutte evesibili. La vaiazione dell entopia è: S Mc p S ( ) d S Mq S 3 Mc p L ( ) d Ove q e` il caloe latente di fusione, le tempeatue sono espesse in kelvin e gli apici dei caloi specifici si ifeiscono al ghiaccio (S) e all acqua (L). b) L entopia del temostato si calcola immaginando che il caloe effettivamente scambiato con il sistema sia scambiato in modo isotemo evesibile alla tempeatua del temostato: S amb Q Mc S p ( )d S amb Mq S amb 3 Q 3 Mc L p ( )d

4 i segni meno significano che il temostato cede caloe al sistema. Eletticita` Una sfea cava conduttice di aggi R, R 3 e caica netta negativa Q contiene una seconda sfea conduttice di aggio R e caica netta positiva Q. Pe fissae le idee, si ponga, ad es., Q> Q. Deteminae: a. le caiche Q, Q 3 pesenti sulla supeficie intena (S) ed estena (S3) della sfea maggioe (suggeimento: scivee l espessione del campo elettico nella cane del conduttoe esteno in funzione delle caiche e impoe la condizione di staticita`); b. il campo elettico in tutto lo spazio; c. l enegia elettostatica del sistema. a) Vale la elazione Q + Q Q' 3. Inolte il campo elettico nello spessoe della sfea maggioe dev essee nullo. Pe il pincipio di sovapposizione questo campo e` dato dalla somma dei campi dovuti alla sfea intena e alla supeficie S: L annullasi del campo compota positiva). b) Il campo elettico vale E ( ) Q E + Q Q 4πε 0 E + E k k. Q Q Q' +. Ne segue che Q 3 (la caica Q 3 isulta 0... < R Q... R < < R 0... R < < R ( ) Q + Q'... R < 3 3

c) L enegia elettostatica e` la somma di quella elativa al capacitoe fomato dalle supefici S, S e quello fomato dalla supeficie S3 e l infinito: Magnetismo U U + U 3 Q C + ( Q + Q' ) C 3 Q 8πε 0 R R

5 c) L enegia elettostatica e` la somma di quella elativa al capacitoe fomato dalle supefici S, S e quello fomato dalla supeficie S3 e l infinito: Magnetismo U U + U 3 Q C + ( Q + Q' ) C 3 Q 8πε 0 R R + ( Q + Q' ) ) E` dato un filo ettilineo di aggio p, pecoso dalla coente i. Una supeficie semicilindica di aggio R e altezza H e` posta ispetto al filo come in figua: il filo si tova sul diameto del semicechio a distanza minima a dalla supeficie. R 3 Calcolae il flusso del campo magnetico del filo attaveso la supeficie (suggeimento: applicae la legge di Gauss pe il campo magnetico). ) Una spia quadata ABCD di lato L, giace in un piano pependicolae ad un filo ettilineo pecosa da coente i. Il cento della spia giace sul filo. ovae l integale di linea del campo magnetico del filo sul lato AB.

) utte le linee di campo intene ad un cilindo di aggio a ed asse coincidente con il filo (evidenziato in giallo nella figua seguente) danno contibuto nullo al flusso, in quanto non intesecano la

Applicando la legge di Gauss del campo magnetico alla supeficie fomata dalle supefici semicilindiche AC, AB e il ettangolo BC, otteniamo Φ ( B) B da B da + B da + S AC AB BC B da Il pimo membo e`

6 ) utte le linee di campo intene ad un cilindo di aggio a ed asse coincidente con il filo (evidenziato in giallo nella figua seguente) danno contibuto nullo al flusso, in quanto non intesecano la supeficie. Si puo` quindi notae che le linee che intesecano la supeficie semicilindica AC intesecano anche il ettangolo con base BC. Applicando la legge di Gauss del campo magnetico alla supeficie fomata dalle supefici semicilindiche AC, AB e il ettangolo BC, otteniamo Φ ( B) B da B da + B da + S AC AB BC B da Il pimo membo e` nullo pe la legge di Gauss. Nel secondo membo il secondo temine e` nullo pe quanto detto inizialmente. Ne segue: AC B da BC B da Con ifeimento all oientazione scelta della supeficie, il secondo membo e` positivo e vale BC B da µ i µ 0 0 Hd Hi log π π Ra a R a a ) Applicando la legge di Ampèe, la cicuitazione lungo tutto il quadato vale µ 0 i. Pe simmetia ogni lato contibuisce allo stesso modo alla cicuitazione, quindi l integale di linea lungo un lato vale

7 µ 4 0 i

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