UNITÀ 4 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

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1 UNITÀ 4 LE TRSFORMZIONI GEOMETRICHE NEL PINO 41 Intoduzione Il tema tasfomazioni geometiche nel piano è spesso tascuato o, in genee, sviluppato come un capitolo a pate, non integato con gli alti agomenti geometici Cominciamo con il sottolineae che le tasfomazioni geometiche pemettono, innanzitutto, un efficace appoccio opeativo attaveso un attività sia manipolativa (piegatua della cata, costuzione di modelli conceti di oggetti), sia legata al disegno, fino a quella laboatoiale, con l uso di stumenti sempe più igoosi (cata, iga, squada, compasso, Cabi ) Questi pecosi divesi, legati, ovviamente, all età degli allievi, potano a definizioni via via più puntuali e fomali dei concetti e, nel contempo, ad una pogessiva astazione, futto del più geneale pocesso di appendimento, visto, appunto, come un gaduale pocesso di costuzione L agomento si pesta, inolte, ad uno sviluppo intedisciplinae, anche gazie a sollecitazioni e ad esempi che povengono dall ossevazione della ealtà (basti pensae alle simmetie nell ate, nella natua, nella stuttua dei cistalli e delle molecole, ) ttualmente, nell insegnamento della geometia si confontano due gandi appocci, il pimo basato sull impostazione euclidea ed il secondo sulla geometia delle tasfomazioni La nascita del secondo appoccio si identifica con la pubblicazione nel 1872 del cosiddetto Pogamma di Elangen, ad opea di Felix Klein ( ) In tale occasione Klein intese la geometia come lo studio (o l insieme) delle popietà delle figue che estano invaiate ( invaianti ) quando su di esse si opea con un deteminato guppo di tasfomazioni Se come tasfomazioni si scelgono quelle del guppo delle omogafie, delle affinità, delle similitudini, delle isometie, si otteà ispettivamente la geometia poiettiva, affine, simile, euclidea, : un qualunque guppo di tasfomazioni fa nascee, quindi, una nuova geometia In paticolae, la geometia euclidea del piano diventa lo studio delle popietà delle figue che estano invaiate quando su di esse si opea con il guppo delle isometie, cioè con le tasfomazioni del piano in sé che consevano le distanze (simmetie assiali - simmetie centali - taslazioni - otazioni) Il nosto sfozo mia ad integae i due appocci: insisteemo sulle costuzioni geometiche, attenti, peò, a non idue il tema al semplice studio delle tasfomate delle figue e a iflettee, piuttosto, sul concetto di funzione, con lo studio del piano non localmente ma nella sua globalità E' impotante ossevae che il temine tasfomazione viene ifeito, in genee, a cambiamenti, spesso ievesibili, ilevati, in un ceto soggetto, nel confonto ta un pima e un dopo e legati, 1

2 peciò, allo scoee del tempo (passaggio di stato della mateia, modificazione/acquisizione di popietà, evoluzione di un essee vivente, ) In tale accezione, le simmetie, le taslazioni e le otazioni non potebbeo essee chiamate tasfomazioni, dato che non modificano alcuna popietà delle figue, né possono essee viste come movimenti fisici: le figue geometiche, in quanto insiemi di punti ideali, non si muovono! In Matematica, quando si pala di tasfomazioni geometiche, ci si tova di fonte simultaneamente a due (o più) figue e quello che inteessa è la maniea in cui esse si coispondono, il che significa palae di una coispondenza, cioè di una funzione definita non solo ta i punti che fomano due figue coispondenti, ma ta tutti i punti dello spazio geometico consideato Più pecisamente, se S indica uno spazio geometico, ad esempio il piano, una tasfomazione geometica di S è una funzione biunivoca ta i punti di S, ossia tale che ad ogni punto di S coisponde uno ed un solo punto di S e, vicevesa, ogni punto di S è il coispondente di uno ed un solo punto di S Essa, petanto, non implica alcun legame con il tempo e con il movimento ed è caatteizzata dalla evesibilità Non è, dunque, coetto sostenee che lo studio delle tasfomazioni geometiche favoisca una visione dinamica della geometia, uno studio dinamico delle figue 1, in quanto il legame che intecoe ta una figua e la sua tasfomata è statico e il movimento fisico (o igido) consente solo di mateializzae, di endee, cioè, visibile il concetto di tasfomazione geometica che non è ad esso iducibile, in quanto è elazione ta enti astatti Nei paagafi successivi viene affontato lo studio delle tasfomazioni geometiche fondamentali ( le tasfomazioni isometiche ) e viene avviato il discoso sui guppi di tasfomazioni che, gazie all analogia stuttuale, pemettono una visione unitaia delle divese geometie (euclidea e non euclidea) L appofondimento si avà, poi, con lo studio delle tasfomazioni non isometiche (l omotetia, la similitudine, l affinità) e, anco dopo, con le equazioni delle vaie tasfomazioni 1 lo studio della geometia taà vantaggio da una pesentazione non statica delle figue, che ne enda evidenti le popietà nell atto del loo modificasi; saà anche oppotuno utilizzae mateiale e icoee al disegno La geometia dello spazio non saà limitata a consideazioni su singole figue, ma dovà altesì educae alla visione spaziale E in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema delle tasfomazioni geometiche [dai Nuovi Pogammi della scuola media (DM 9 febbaio 1979)] 2

3 42 Il concetto di tasfomazione geometica Si chiama tasfomazione geometica una coispondenza biunivoca fa i punti di un piano, cioè una funzione biunivoca (o, è lo stesso die, bigettiva o biiettiva) che associa ad ogni punto P di un piano uno ed un solo punto P' dello stesso piano (fig 1): P' P fig 1 Nel caso di una geneica figua F, essendo questa un sottoinsieme di punti del piano, una tasfomazione geometica associa a ciascun punto della figua F uno ed un solo punto di F' (fig 2): C C' ' P P' ' fig 2 Il punto P' [la figua F'], che si ottiene mediante una tasfomazione geometica viene detto/a il/la tasfomato/a (o l immagine o il/la coispondente o, ancoa, l omologo/a) del punto P [della figua F] di patenza Utilizzando la simbologia delle funzioni, se g è il nome della tasfomazione che associa al punto P [alla figua F] il punto P' [la figua F'], possiamo scivee indiffeentemente: g : P P' [g : F F'] g P P' g [F F'] g (P) = P' [g (F) = F'] 3

4 Esempio: Definiamo una tasfomazione del piano pocedendo nel seguente modo: fissiamo un punto qualsiasi O del piano e ad ogni punto P del piano, diveso da O, associamo il punto medio P' del segmento OP (fig 3): O P P' fig 3 Si osseva che, in tal modo, è stata definita una funzione biunivoca, diciamola g, del piano in sé (PROV TU) o Pe ottenee il tasfomato del segmento, si costuiscono i tasfomati dei punti e (fig 4): O ' o ' o fig 4 Il segmento '' è il tasfomato del segmento nella nosta tasfomazione (puoi veificae che '' // ) o Pe ottenee la tasfomata della etta, si pendono due qualsiasi punti di essa e, pocedendo come sopa, si ottiene la etta s, tasfomata di (fig 5): O P' o Q' s (puoi veificae che s // ) P o Q fig 5 4

5 o E ancoa, pe ottenee il tasfomato del tiangolo C, etto in C, si deteminano le immagini di,, C (ispettivamente ', ', C') e si ha il tiangolo ''C' (fig 6): O C' ~ o ' ' ~ C o fig 6 (puoi veificae che '' //, 'C' // C, 'C' // C e che il tiangolo ''C', tasfomato del tiangolo C, è etto in C') Da quanto sopa, isulta evidente che la nosta tasfomazione non modifica deteminate popietà geometiche (conseva, cioè, alcune popietà), come la diezione e la pependicolaità, mente modifica alte popietà, come la distanza fa due punti Si danno, quindi, le seguenti definizioni: Si dicono invaianti di una tasfomazione geometica le caatteistiche che imangono inalteate nella tasfomazione Si dicono vaianti di una tasfomazione geometica le caatteistiche che si modificano nella tasfomazione Osseviamo, poi, che gli elementi che si coispondono in una tasfomazione non sono, in genee, lo stesso oggetto; vi possono essee, peò, elementi che hanno pe coispondenti se stessi e che, pe tale motivo, si dicono punti uniti della tasfomazione geometica Così, se indichiamo con una tasfomazione geometica, si ha che: o un punto P si dice unito se coincide con la sua immagine, cioè se (P) = P ; o una etta si dice unita se coincide con la sua immagine, cioè se () = ; o una figua F si dice unita se coincide con la sua immagine, cioè se (F) = F 5

6 Ta le tasfomazioni geometiche del piano, vi è, in paticolae, quella che associa ad ogni punto se stesso; tale tasfomazione si dice tasfomazione identica o identità Indicando l identità con i, si ha: P : i (P) = P, cioè, in una identità, tutti i punti sono uniti Una tasfomazione può essee applicata più volte; pe esempio, nella tasfomazione di fig 7, il punto ha pe tasfomato il punto e, nella stessa tasfomazione, il punto ha pe tasfomato il punto C: C fig 7 [paleemo in seguito del podotto di tasfomazioni ] Si dice involutoia una tasfomazione che, applicata due volte, fa tonae ogni elemento su se stesso e, quindi, è quella tasfomazione che composta con se stessa, dà la tasfomazione identica In simboli: g involutoia g o g = i Poiché una tasfomazione geometica è una coispondenza biunivoca fa i punti di un piano, si ha che, pe ogni tasfomazione g del piano, esiste la tasfomazione invesa g -1 (pag 208, Tomo 1, algeba) Si ha quindi (fig 8): g P' g : P P' P g -1 fig 8 g -1 : P' P Inolte, componendo due funzioni biunivoche, si ottiene ancoa una funzione biunivoca (PROV TU), pe cui, in paticolae, la composizione di una tasfomazione con la sua invesa è una tasfomazione del piano che associa ad ogni punto se stesso: g -1 o g : P P P, e petanto è la tasfomazione identica (pag 212, Tomo 1, algeba); cioè: g -1 o g = i 6

7 Una tasfomazione si dice dietta se ha come invaiante l oientamento dei punti, cioè se conseva il veso delle figue geometiche La tasfomazione di cui in fig 6 è dietta peché il tiangolo C è letto in veso antioaio: C così come quello tasfomato ''C': C' ' ' Una tasfomazione si dice invesa se non ha come invaiante l oientamento dei punti, cioè se non conseva il veso delle figue geometiche (fig 9): C / o ' / o ' C' fig 9 OSSERVZIONE: L esame della fig 9 pemette di affemae che la nosta tasfomazione è invesa in quanto i vetici,, C del tiangolo C si susseguono in veso antioaio mente i vetici ', ', C' del tiangolo tasfomato ''C' si susseguono in veso oaio 7

8 In questa unità ci occupeemo delle tasfomazioni geometiche che mantengono inalteate le lunghezze dei segmenti (isometie) 43 Le isometie Si dice isometia o tasfomazione isometica una tasfomazione del piano in sé che conseva la distanza In alte paole, l isometia è una tasfomazione geometica che associa a due punti qualsiasi e del piano i punti ' e ', dello stesso piano, tali che '' [L isometia ha, quindi, come invaiante la distanza fa i punti, cioè la distanza fa due punti è conguente alla distanza fa le loo immagini ] (fig 10): f ' ' fig 10 Due figue che si coispondono in una isometia si dicono isometiche Deteminiamo gli elementi invaianti pe isometia, dimostando alcuni teoemi TEOREM Siano, e C te punti allineati, con C inteno al segmento e sia f un isometia lloa i tasfomati ', ' e C' sono allineati e C' è inteno al segmento '' C Hp:,, C punti allineati C f isometia ' = f () ' = f () C' = f (C) ', ', C' punti allineati Th: C''' Dimostazione Siano, pe ipotesi,, e C te punti allineati, con C inteno al segmento Si ha, quindi: C + C () 8

9 Essendo f un isometia tale che: f : ' ; f : ' ; f : C C', isulta: '' ; C 'C' ; C C'', e quindi, sostituendo nella elazione (), si ha: '' 'C' + C'' () La elazione () ci assicua che i punti ', ' e C' sono allineati e che C' è inteno al segmento '' (peché?) La figua seguente illusta il teoema pecedente: C ' C' ' Si dice anche che: Ogni isometia è una collineazione COROLLRIO Ogni isometia tasfoma una etta in una etta 9

10 TEOREM In ogni isometia a ette incidenti coispondono ette incidenti s = P f isometia P P' Hp: ' = f () s' = f (s) P' = f (P) s' Th: ' s' = P'} s ' Dimostazione Sappiamo che: s = P} e che f è un isometia tale che: f : ' ; f : s s' ; f : P P' Quindi: P P'' Ps P's' (peché l isometia tasfoma una etta in una etta); (peché l isometia tasfoma una etta in una etta), pe cui: ' s' = P'} CVD 10

11 TEOREM In ogni isometia a ette paallele e distinte coispondono ette paallele // s, s Hp: f isometia ' = f () s' = f (s) s s' ' Th: ' // s' Dimostazione Sappiamo che: // s e che f è un isometia tale che: f : ' f : s s' Dobbiamo dimostae che ' // s' Supponiamo, pe assudo, che le ette ' e s' non siano paallele ma siano incidenti Sia, cioè: ' s' =P'} (fig 11): s s' ' P' fig 11 Detto P il punto del piano tale che: f (P) = P', si avebbe che: P Ps (dal momento che l immagine di una etta mediante una isometia è una etta) 11

12 e quindi: P s s Ciò è assudo peché contasta con l ipotesi che // s Petanto deve essee: ' // s' CVD TEOREM Ogni isometia tasfoma un tiangolo in un tiangolo ad esso conguente C C' C tiangolo f isometia Hp: ' = f () ' = f () ' C' = f (C) Th: C ''C' ' Dimostazione Pe ipotesi, C è un tiangolo ed f un isometia tale che: f : ' ; f : ' ; f : C C' Consideiamo i tiangoli C e ''C'; essi hanno: '' peché f isometia; C 'C' peché f isometia; C C'' peché f isometia I due tiangoli, avendo i te lati odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 3 citeio di conguenza dei tiangoli CVD OSSERVZIONE: Da quanto sopa, discende che gli angoli, e C del tiangolo C sono conguenti, ispettivamente, agli angoli ', ' e C' del tiangolo tasfomato ''C' Questa consideazione pota a concludee che l isometia conseva gli angoli 12

13 [ Pocediamo, comunque, nella dimostazione dietta del TEOREM: Ogni isometia tasfoma un angolo in un angolo ad esso conguente (fig 12): s s' ' Hp: f isometia f : s 's' V Th: s 's' V' fig 12 Dimostazione Sia f un isometia tale che: ' = f () ; s' = f (s) Poiché: s = V}, si ha: ' s' = V'} V' = f (V) (peché, in un isometia, a ette incidenti coispondono ette incidenti) Oa, consideiamo sulle semiette ed s, ispettivamente, i punti e ed indichiamo con ' e ' i loo tasfomati nell isometia f Si ha: '' s 's' (fig 13): s s' V ' ' ' V' fig 13 13

14 Consideiamo i tiangoli V e V''' (fig 14): s s' V ' ' ' V' fig 14 COMPLET: Essi hanno: V V'' peché peché peché I due tiangoli, avendo CVD] COROLLRIO Le isometie consevano la pependicolaità Le ossevazioni pecedenti pemettono la seguente genealizzazione: due figue che si coispondono in un isometia sono sempe conguenti, peché i lati e gli angoli coispondenti sono conguenti e, vicevesa: se due figue sono conguenti, tutti gli elementi (lati ed angoli) sono odinatamente conguenti e quindi esiste una tasfomazione del piano (un isometia), che associa ogni punto al suo coispondente nella conguenza Possiamo petanto concludee che: Due figue isometiche sono conguenti e, vicevesa, se due figue sono conguenti esiste una isometia nella quale le due figue si coispondono 14

15 Riassumendo si ha che gli invaianti di una isometia sono: la lunghezza dei segmenti; l allineamento dei punti; l incidenza ta ette; il paallelismo; l ampiezza degli angoli Le isometie del piano si possono classificae in: simmetia assiale; simmetia centale; taslazione; otazione 15

16 44 La simmetia assiale Fissata una etta del piano, si dice simmetia assiale (o simmetia di asse ) la tasfomazione geometica, indicata con σ, che associa ad un punto P del piano il punto P', dello stesso piano, tale che la etta sia asse del segmento PP' (fig 15): P H P' fig 15 è l asse di simmetia; P' è il simmetico di P ispetto alla etta [σ (P) = P'] d ogni punto di un piano è, quindi, possibile associae il suo simmetico ispetto alla etta Tale associazione è una coispondenza biunivoca fa i punti di un piano e, peciò, è una tasfomazione geometica Se P, alloa σ (P) = P ; quindi ogni punto di è simmetico di se stesso ispetto ad, cioè i punti dell asse di simmetia sono punti uniti della tasfomazione Petanto: σ () =, cioè è una etta unita, luogo dei punti uniti O O' P P' Q Q' L asse di simmetia è etta unita, luogo di punti uniti Pe deteminae la figua F', simmetica di una geneica figua F ispetto ad un asse, si deve deteminae il simmetico, ispetto ad, di ogni suo punto L opeazione isulta facilitata nel caso che F sia una figua paticolae (punto, segmento, etta, poligono, ), come si osseva negli esempi seguenti [Pocediamo nella costuzione di figue simmetiche, ispetto ad un asse, di date figue, pima ancoa di dimostae teoemi che, spesso, sono alla base del modo stesso di opeae] 16

17 a) Costuzione del simmetico di un punto P ispetto ad una data etta (asse di simmetia) P Segui il seguente pocedimento: 1) conduci pe il punto P la etta pependicolae all asse di simmetia ed indica con O il loo punto d inconto P O 2) pendi su tale pependicolae, sulla semietta opposta a OP, il punto P' tale che P'O PO: P O P' P' = σ (P) Il punto P' è il simmetico del punto P ispetto all asse di simmetia Quindi possiamo die che: Il punto P', simmetico di P ispetto all asse di simmetia, si tova sulla pependicolae ad condotta da P, ad uguale distanza da, nel semipiano individuato da non contenente P 17

18 b) Costuzione del simmetico di un segmento ispetto ad una data etta (asse di simmetia) Segui il seguente pocedimento: 1) conduci dai punti e le ette pependicolai all asse di simmetia ed indica con H e K, ispettivamente, i punti di inconto di tali pependicolai con : H K 2) pendi su tali pependicolai, sulle semiette opposte ad H e a K, ispettivamente, i punti ' e ' tali che 'H H e 'K K o H K o ' ' '' = σ () Il segmento '' è il simmetico del segmento ispetto all asse di simmetia (Si compende facilmente che abbiamo applicato, agli estemi del segmento dato, il pocedimento di cui al punto a) 18

19 c) Costuzione della simmetica di una etta t ispetto ad una data etta (asse di simmetia) (PROV TU) [asta pendee due punti sulla etta t, tovae i suoi simmetici e disegnae la etta u che passa pe tali punti] t COMPLET = σ (t) La etta è della ispetto d) Costuzione del simmetico di un poligono CD ispetto ad una data etta (asse di simmetia) D C PROV TU, pocedendo come ai punti a) e b) e COMPLET = σ (CD) Il è il simmetico del 19

20 Casi paticolai: e) Costuzione del simmetico di un punto P appatenente all asse di simmetia P P' P' P quindi σ (P) = f) Costuzione del simmetico di un segmento che attavesa l asse di simmetia Conduci dai punti e le ette pependicolai all asse di simmetia CONTINU Cosa ossevi al temine della costuzione? g) Costuzione del simmetico di un poligono con qualche lato che attavesa l asse di simmetia (in figua il poligono è il tiangolo C) C PROV TU, pocedendo come al solito Cosa ossevi al temine della costuzione? 20

21 TEOREM La simmetia assiale è un isometia Hp: σ simmetia assiale Th: σ isometia Dobbiamo dimostae che σ ha come invaiante la lunghezza dei segmenti tale scopo, fig 16, siano: o e due punti qualsiasi del piano; o una etta; o ' = σ () il simmetico di ispetto ad ; o ' = σ () il simmetico di ispetto ad H ' ' H 'H ' K 'K // K // ' fig 16 Dobbiamo, quindi, dimostae che: '' (pe evitae confusione non uniamo, pe oa, con, né ' con ') Consideiamo i tiangoli HK e 'HK (fig 17): H ' // K // ' fig 17 21

22 Essi hanno: H 'H peché ' simmetico di ispetto ad ; HK in comune (o HK HK pe la popietà iflessiva della conguenza) HK 'HK peché entambi etti; I due tiangoli, avendo due lati e l angolo fa essi compeso odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 1 citeio di conguenza dei tiangoli (o pe il citeio di conguenza dei tiangoli ettangoli) vanno, petanto, tutti gli alti elementi coispondenti conguenti, in paticolae: K 'K ( segnae K e 'K con il simbolo o ); KH 'KH (segnae KH e 'KH con il simbolo ) La fig 18 illusta la situazione attuale : H ' o o // K // ' fig 18 Uniamo, oa, con e ' con ' e consideiamo i tiangoli K e ''K' (fig 19): H ' o o // K // ' fig 19 22

23 Essi hanno: K 'K' pe pecedente dimostazione; K 'K peché ' simmetico di ispetto ad ; K 'K' peché complementai di angoli conguenti (KH 'KH entambi etti e KH 'KH pe pecedente dimostazione) I due tiangoli, avendo due lati e l angolo fa essi compeso odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 1 citeio di conguenza dei tiangoli vanno, petanto, tutti gli alti elementi coispondenti conguenti, in paticolae: '' CVD Questo teoema pemette di concludee che due figue che si coispondono in una simmetia assiale sono conguenti PROV TU a dimostae la conguenza dei tiangoli C e D (fig 20), che si coispondono nella simmetia di asse la etta, senza utilizzae i citei di conguenza dei tiangoli C D fig 20 Rifeendoti anche al teoema pecedente e alla elativa figua, PROV TU che la simmetia assiale, in quanto isometia, gode di tutte le popietà delle isometie; pecisamente ha come invaianti: la lunghezza dei segmenti; l allineamento dei punti; l incidenza ta ette; il paallelismo; l ampiezza degli angoli 23

24 Inolte, la simmetia assiale gode delle seguenti popietà: una etta a, incidente l asse di simmetia in un punto P e che foma un angolo α con tale asse (fig 21), ha pe tasfomata una etta a', che inteseca l asse sempe in P e foma con esso un angolo conguente ad α P α a fig 21 Hp: Th: σ simmetia assiale di asse a = P} σ : a a' a' = P} a' a Dimostazione Si ha che: σ : a a' σ : a = P} σ : P P e quindi: a' = P} a' a pe ipotesi; poiché l asse è una etta unita; pe ipotesi; poiché i punti dell asse sono punti uniti, poichè in una isometia a ette incidenti coispondono ette incidenti; poichè in una isometia ad ogni angolo coisponde un angolo ad esso conguente Petanto si ha (fig 22): a P α α a' fig 22 CVD 24

25 una etta a, pependicolae all asse di simmetia, ha pe tasfomata se stessa (fig 23) a H Hp: Th: σ simmetia assiale di asse a σ : a a fig 23 Dimostazione Ogni punto P di a, pe definizione di simmetia assiale, è tasfomato in un punto P', appatenente alla etta passante pe P e pependicolae all asse, con P'H PH (fig 24): a P H P' fig 24 Vista l unicità della etta passante pe un punto e pependicolae ad una etta data, il punto P' deve appatenee necessaiamente ad a Petanto la etta a contiene il tasfomato di ogni suo punto e, dunque, è una etta unita TTENZIONE Osseviamo che la etta unita a non è una etta luogo di punti uniti peché ciascun punto della etta non ha pe tasfomato se stesso (l unico punto unito è il punto d intesezione della etta a con l asse di simmetia ) E' evidente che in una simmetia assiale tutte le ette pependicolai all asse di simmetia sono ette unite (e, quindi, esistono infinite ette unite) 25

26 una etta a, paallela all asse di simmetia, ha pe tasfomata una etta a', anch essa paallela alla etta (e, quindi, a' // a) [fig 25] a σ simmetia assiale di asse Hp: σ : a a' a // a' Th: a' // fig 25 Dimostazione Poiché: a // pe ipotesi, si ha che i punti di a sono equidistanti da e quindi, pesi due geneici punti P e Q su a, si ha che: PH QK (fig 26): P H Q K a a' fig 26 Inolte: σ : a a' pe ipotesi, pe cui: PH P'H e QK Q'K (fig 27): P H P' Q K Q' a a' fig 27 26

27 Petanto, pe la popietà tansitiva della conguenza, si ha che: e quindi: P'H Q'K a' // CVD Le popietà esaminate, isultano di più facile compensione se la simmetia assiale viene intepetata come un ibaltamento del nosto foglio di lavoo, dove l asse di simmetia è la etta che contiene la piegatua del foglio In tale ottica sono visti, nella figua che segue, i coispondenti del punto P e del quadilateo CD nella simmetia di asse (ipiegando il foglio su se stesso, il punto P e il quadilateo CD si sovappoanno ispettivamente al punto P' e al quadilateo ''C'D') D P P' D' C C' ' ' OSSERVZIONE: L esame della figua pecedente ci pemette di concludee che la simmetia assiale non conseva l oientamento dei punti: pe sovappoe il quadilateo CD al quadilateo ''C'D', si deve opeae un ibaltamento attono alla etta (non si può imanee nel piano del foglio ma bisogna uscie da esso) 27

28 Osseviamo, oa, la fig 28: ' P C P' C' ' F D G E E' G' D' Q Q' F' H H' fig 28 Se consideiamo la simmetia di asse, ogni punto della nosta figua ha come coispondente un punto che appatiene sempe alla figua, cioè la simmetica della figua F è F stessa: F è una figua unita nella simmetia di asse Diciamo alloa che: una figua F possiede un asse di simmetia, o che F è simmetica ispetto ad, se essa è unita ispetto alla simmetia di asse In simboli: PF σ (P)F Esempi di figue che possiedono assi di simmetia: Il segmento ha come asse di simmetia il suo asse M Infatti: σ () = ed M è il punto unito della tasfomazione 28

29 Un angolo ha come asse di simmetia la sua bisettice O a P H P' b Infatti: σ (a) = b peché a b ed O è il punto unito della tasfomazione Inolte il tasfomato di un qualsiasi punto P inteno all angolo è ancoa un punto inteno in quanto deve essee: POH P'OH Dal momento che ogni punto dell angolo ha pe simmetico un punto che appatiene ancoa all angolo, la bisettice è asse di simmetia Un tiangolo ha asse di simmetia solo se è isoscele C In questo caso l asse è la etta della bisettice dell angolo al vetice del tiangolo (che è anche altezza e mediana elativa alla base) Infatti, nel tiangolo C, isoscele sulla base C, indicata con la etta della bisettice dell angolo al vetice, si ha: σ () = e σ () = C pe cui il simmetico di ciascuno dei te vetici è ancoa un vetice del tiangolo 29

30 [Un tiangolo equilateo ha, quindi, te assi di simmetia peché è isoscele ispetto a ciascuno dei suoi lati, assunti come base: le ette delle te bisettici (o, è lo stesso die, delle te altezze o delle te mediane) sono gli assi di simmetia] Una stiscia, individuata da due ette paallele a e b, ha come asse di simmetia la etta, paallela ad a e b, tale che la sua distanza da a sia conguente alla sua distanza da b e, essendo illimitata, anche ciascuna delle ette pependicolai alle ette a e b b b a 1 2 a Seguono alti esempi di figue, oggetto di studio nelle possime unità, ma che già conosci, e che possiedono assi di simmetia Un ombo ha due assi di simmetia: le ette a cui appatengono le diagonali Un quadato ha quatto assi di simmetia: gli assi dei lati paalleli e le ette cui appatengono le diagonali PROV TU a fae alti esempi di figue che possiedono un asse di simmetia 30

31 45 La simmetia centale Fissato nel piano un punto O, la simmetia centale di cento O, indicata con σ o, è la tasfomazione geometica che ad ogni punto P fa coispondee il punto P' tale che O sia il punto medio del segmento PP' (fig 29): P O P' fig 29 Il punto O si dice cento di simmetia I punti P e P' si dicono simmetici ispetto ad O Così come pe la simmetia assiale, pe deteminae la figua F', simmetica di F ispetto ad un cento O, si deve deteminae il simmetico, ispetto ad O, di ogni suo punto nche qui, l opeazione isulta facilitata nel caso che F sia una figua paticolae (punto, segmento, etta, poligono ), come isulta dagli esempi seguenti [Pocediamo, come pe la simmetia assiale, nella costuzione di figue simmetiche di date figue, ispetto ad un cento O, pima ancoa di dimostae teoemi che spesso sono alla base del modo stesso di opeae] I Costuzione del simmetico di un punto P ispetto al punto fissato O (cento di simmetia) P O Segui il seguente pocedimento: 1) conduci da P la etta passante pe O: P O 2) pendi su tale etta, sulla semietta opposta a OP, il punto P' tale che P'O PO: P O Il punto P' è il simmetico del punto P ispetto al cento di simmetia P' 31

32 II Costuzione del simmetico del tiangolo C ispetto al punto fissato O (cento di simmetia) C O Segui il seguente pocedimento: 1) conduci pe, e C le ette passanti pe O: C O 2) sulla etta condotta da pendi il punto ' tale che 'O O (cioè O è punto medio di ') e così sulle alte ette: 'O O e C'O CO: C o ~ // O // ~ o ' Il tiangolo ''C' è il simmetico del tiangolo C ispetto al cento di simmetia (simmetia centale) ' asta ipetee il pocedimento di cui al punto I pe i vetici C' del tiangolo (e, in geneale, di qualsiasi alta figua) La simmetia centale conseva l oientamento dei punti: pe potae il tiangolo C a coincidee col tasfomato ''C' non si esce dal piano del foglio [PROV TU con un foglio di cata lucida] 32

33 TEOREM La simmetia centale è un isometia Hp: σ o simmetia centale Th: σ o isometia Dimostazione Dobbiamo dimostae che σ o ha come invaiante la lunghezza dei segmenti tale scopo, fig 30, siano: o, e O te punti; o ' = σ o () il simmetico di ispetto ad O; o ' = σ o () il simmetico di ispetto ad O // O // ' ' fig 30 Dobbiamo, quindi, dimostae che: '' Consideiamo, a tale scopo, i tiangoli O e ''O (fig 31): // // ' Essi hanno: O 'O peché e ' simmetici ispetto ad O; O 'O peché e ' simmetici ispetto ad O; O 'O' peché angoli opposti al vetice O ' fig 31 I due tiangoli, avendo due lati e l angolo fa essi compeso odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 1 citeio di conguenza dei tiangoli vanno, petanto, tutti gli alti elementi coispondenti conguenti, in paticolae: '' CVD Questo teoema pemette di concludee che due figue simmetiche ispetto ad un punto sono conguenti 33

34 Inolte, ifeendoti anche al teoema pecedente e alla elativa figua, PROV TU che: due segmenti [ette] che si coispondono in una simmetia centale sono paalleli [paallele]; il cento di simmetia è l unico punto unito; esistono infinite ette unite (sono le ette che passano pe il cento) che non sono, peò, luogo di punti uniti; la simmetia centale è involutoia; a ette paallele coispondono ette paallele; a due ette incidenti, che fomano un angolo α, coispondono due ette incidenti che fomano un angolo conguente ad α; l odinamento dei punti è invaiante nche pe le simmetie assiali, possiamo chiedeci se esistono delle figue che estano unite in una simmetia centale In fig 32, il poligono CDEF è unito ispetto alla simmetia che ha cento nel punto O E D F // O o o // C Nella σ o si ha: σ o () = D ; σ o () = E ; σ o (C) = F fig 32 [Quindi: Una figua F ha un cento di simmetia se è unita nella simmetia che ha cento in quel punto, cioè se il simmetico di ogni vetice del poligono è ancoa un vetice del poligono] Esempi di figue che possiedono un cento di simmetia: Il segmento ha un cento di simmetia: il suo punto medio Infatti, dato un segmento ed indicato con O il suo punto medio, si ha: σ o () = peché O O O 34

35 La stiscia definita da due ette paallele a e b ha come cento di simmetia un qualunque punto che appatiene al suo asse di simmetia O 1 O 2 O 3 b a O 1 cento di simmetia della stiscia; O 2 cento di simmetia della stiscia; O 3 cento di simmetia della stiscia; Seguono alti esempi di figue che saanno oggetto di studio nelle possime unità, ma che già conosci, e che possiedono un cento di simmetia Il paallelogamma ha come cento di simmetia il punto d intesezione delle due diagonali // // O La ciconfeenza ha come cento di simmetia il suo cento O PROV TU a fae alti esempi di figue che possiedono un cento di simmetia 35

36 46 La taslazione Dato un segmento, è possibile fissae su di esso un veso di pecoenza, da veso o da veso (segmento oientato) Indichiamo con: il segmento oientato da veso (figua a lato): il segmento oientato da veso (figua a lato): Diamo la seguente definizione: Due segmenti oientati si dicono equipollenti se hanno: la stessa lunghezza; la stessa diezione (appatengono a ette paallele); lo stesso veso Nell insieme dei segmenti oientati di un piano, la elazione essee equipollenti è una elazione di equivalenza, peché gode della popietà iflessiva, simmetica e tansitiva (PROV TU) La elazione di equipollenza suddivide, quindi, i segmenti oientati del piano in classi di equivalenza Ogni classe è chiamata vettoe e contiene tutti e soli i segmenti fa loo equipollenti Ogni vettoe viene indicato con una lettea somontata da una feccia, v, oppue con il segmento oientato che lo appesenta Un vettoe è caatteizzato da: il modulo o l intensità, che si indica con o semplicemente, cioè la misua della lunghezza del segmento ; la diezione, cioè la diezione della etta a cui appatiene il segmento; il veso Inolte: Si chiama vettoe nullo, e viene indicato 0, il vettoe che ha modulo nullo, diezione e veso indeteminati Si chiama vettoe opposto di un vettoe, e si indica, il vettoe che ha lo stesso modulo, stessa diezione ma veso opposto a quello di (fig 33): fig 33 opposto ad 36

37 Diamo oa la seguente definizione: Fissato un vettoe v, si definisce taslazione di vettoe v, e si indica τ v, una tasfomazione geometica che ad ogni punto P fa coispondee il punto P' tale che PP' sia equipollente a v (fig 34): v P P' fig 34 (si conduce da P la semietta di oigine P paallela a v, nel veso di v, e si considea su di essa il punto P' tale che il segmento PP' abbia la stessa lunghezza di v ) Il vettoe v è detto vettoe taslazione Una taslazione è deteminata quando è assegnato il vettoe taslazione Se il vettoe v è il vettoe nullo, la taslazione è la taslazione identica (o nulla) e viene indicata con I Il punto P' si dice taslato del punto P nella taslazione di vettoe v e si scive: τ v : P P' o P' = τ v (P) Data una figua F, deteminiamo la figua F' taslata di F in una taslazione di vettoe assegnato: o Costuzione del taslato di un segmento ispetto ad una taslazione di dato vettoe v non nullo v ' ' asta costuie i taslati ' e ' degli estemi e del segmento Il segmento '' è il coispondente di nella taslazione di vettoe v In simboli: τ v : '' 37

38 o Costuzione della taslata di una etta ispetto ad una taslazione di dato vettoe v non nullo v ' ' ' Si fissano due punti e su e si deteminano i punti ' e ' coispondenti, ispettivamente, di e di nella taslazione di vettoe v La etta passante pe ' e ' è la etta cecata o Costuzione del taslato di un tiangolo ispetto ad una taslazione di dato vettoe v non nullo v C ' C' asta deteminae i punti ', ', C' coispondenti, ispettivamente, dei vetici,, C nella taslazione di vettoe v Il tiangolo ''C' è il tiangolo cecato ' OSSERVZIONE: Relativamente all ultima costuzione, osseviamo che, nel tiangolo C, i vetici,, C si susseguono in senso antioaio, così come avviene pe i vetici ', ', C', del tiangolo ''C', taslato del tiangolo C Si conclude che la taslazione conseva l oientamento dei punti; cioè: τ v è una tasfomazione dietta 38

39 TEOREM La taslazione è un isometia Hp: τ v taslazione Th: τ v isometia Dimostazione Dobbiamo dimostae che τ v ha come invaiante la lunghezza dei segmenti tale scopo, (fig 35), siano: e due punti; ' = τ v () il tasfomato di nella τ v ; ' = τ v () il tasfomato di nella τ v ' v ' fig 35 Dobbiamo, quindi, dimostae che: '' Consideiamo, a tale scopo, i tiangoli ' e '' (fig 36): ' ' fig 36 Essi hanno: ' ' peché moduli di vettoi equipollenti ( segnae ' e ' con il simbolo ); ' in comune (o ' ' pe la popietà iflessiva della conguenza); ' '' peché angoli inteni ispetto alle paallele ' e ' tagliate dalla tasvesale ' ( segnae ' e '' con il simbolo ) 39

40 [Si ha, quindi, la seguente figua (fig 37): ' ' fig 37 ] I due tiangoli, avendo due lati e l angolo fa essi compeso odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 1 citeio di conguenza dei tiangoli vanno, petanto, tutti gli alti elementi coispondenti conguenti, in paticolae: '' CVD TEOREM In una taslazione, le ette che hanno la stessa diezione del vettoe taslazione sono ette unite (fig 38) v Hp: τ v taslazione // v fig 38 Th: τ v : Dimostazione Consideiamo un geneico punto P (fig 39): v P fig 39 40

41 Pe la definizione data di taslazione di vettoe v, si ha che: τ v : P P' tc PP' equipollente a v (fig 40): v P' P fig 40 e quindi P' Petanto, data la genealità di P, si ha che, nella τ v, ogni punto di ha il taslato che appatiene ancoa ad e quindi è etta unita CVD TEOREM In una taslazione, ad una etta, che non ha la stessa diezione del vettoe taslazione, coisponde una etta ', distinta da, paallela ad (fig 41) v Hp: τ v taslazione τ v : // ' Th: ' //, ' fig 41 Dimostazione Pendiamo due punti P e Q su e diciamo, ispettivamente, P' e Q' i loo taslati nella taslazione di vettoe v, cioè: P' = τ v (P) Q' = τ v (Q) (fig 42): v P' Q' P Q fig 42 41

42 Congiungiamo il punto P' con Q e Q' (fig 43): v P' Q' P Q fig 43 e consideiamo i tiangoli PQP' e P' Q' Q; essi hanno: PP' QQ' peché i segmenti oientati PP' e QQ' sono equipollenti; P'Q in comune (o P'Q P'Q pe la popietà iflessiva della conguenza); PQ P'Q' peché segmenti che si coispondono in una taslazione I due tiangoli, avendo i te lati odinatamente conguenti, sono conguenti pe il tezo citeio di conguenza dei tiangoli vanno, petanto, tutti gli alti elementi coispondenti conguenti, in paticolae: PQP' QP'Q' ( segnae PQP' e QP'Q' con il simbolo ) [fig 44]: v P' Q' P Q fig 44 Di conseguenza, le ette PQ e P'Q' sono paallele peché, tagliate dalla tasvesale P'Q, fomano angoli alteni inteni conguenti (fig 45): v P' Q' ' // ' P Q fig 45 CVD 42

43 47 La otazione Fissati nel piano un punto O e un angolo α, su cui è fissato un veso di pecoenza (angolo oientato), la otazione di cento O e angolo α, indicata con ρ O,α, è quella tasfomazione geometica che ad ogni punto P fa coispondee il punto P' tale che: OP' OP; l angolo POP' è conguente ad α ed ugualmente oientato ad esso (fig 46): P' α O α P fig 46 Si ha che: o il punto O si dice cento di otazione; o l angolo α si dice angolo di otazione (o ampiezza della otazione); o con il simbolo + α, o semplicemente α, indichiamo l angolo oientato in senso, o veso, antioaio; con il simbolo α quello oientato in senso, o veso, oaio o una otazione è deteminata quando sono assegnati sia il cento O di otazione sia l angolo oientato α ; o il punto P' (fig 46) si dice uotato del punto P nella otazione di cento O ed angolo oientato α In simboli: P' = ρ O,α (P) o anche: ρ O,α : P P' In geneale, data una figua F, pe indicae che la figua F' è coispondente di F, nella otazione di cento O e angolo α, si scive: F' = ρ O,α (F) o anche: ρ O,α : F F' 43

44 Osseviamo che: pe deteminae l immagine P' di un punto P, in una otazione di cento O ed angolo oientato α, si costuisce l angolo POQ, conguente ed ugualmente oientato ad α, e si pende il punto P'OQ, tale che OP' OP ; pe deteminae l immagine di una etta, in una fissata otazione, così come fatto pe le alte tasfomazioni geometiche, basta tovae le immagini di due suoi punti (PROV TU); pe deteminae l immagine di un poligono C, in una fissata otazione, basta tovae le immagini ', ', C', dei suoi vetici e, poi, congiungele in tale odine (PROV TU) Esecizio svolto Dati il tiangolo C, un punto O ed un angolo α, sottoponiamo il tiangolo ad una otazione di angolo + α ( veso antioaio ) e ad una di angolo α ( veso oaio ) C α ' ' + α O - α '' C'' C' '' Il tiangolo ''C' è il tasfomato del tiangolo C nella otazione di angolo + α Il tiangolo ''''C'' è il tasfomato del tiangolo C nella otazione di angolo α 44

45 TEOREM La otazione, ρ O,α, di cento O e angolo oientato α, è un isometia Dimostazione Siano: O il cento della otazione; α l ampiezza della otazione; e due punti geneici del piano; ' = ρ O,α () il coispondente di nella ρ O,α ; ' = ρ O,α () il coispondente di nella ρ O,α Hp: ρ O,α otazione Th: ρ O,α isometia Dobbiamo, quindi, dimostae che: '' Esaminiamo pima il caso in cui O, e siano allineati (fig 47): O α ' O' O O' O ' In tal caso si ha:: '' O' O' O O fig 47 Esaminiamo il caso in cui O, e non siano allineati (fig 48): ' o O α α o ' fig 48 45

46 Consideiamo i tiangoli O e O'' (fig 49): ' o O α α o ' fig 49 Essi hanno: O O' peché ' è il coispondente di nella ρ O,α ; O O' peché ' è il coispondente di nella ρ O,α ; O 'O' peché diffeenze di angoli conguenti (O' O' α; 'O 'O) I due tiangoli, avendo due lati e l angolo fa essi compeso odinatamente conguenti, sono conguenti pe il 1 citeio di conguenza dei tiangoli vanno, petanto, tutti gli elementi coispondenti conguenti, in paticolae: '' CVD In definitiva, la otazione ρ O,α associa, a due punti e, due punti ' e ' tali che '' e dunque la otazione isulta un isometia (dietta) La otazione gode, quindi, di tutte le popietà delle isometie ed in paticolae tasfoma una figua in un alta ad essa conguente Valgono inolte le seguenti popietà: il solo punto unito della tasfomazione è il cento di otazione; non esistono ette unite se non quelle che si coispondono in una otazione di ampiezza pai ad un angolo piatto o ad un suo multiplo e che passano pe il cento di otazione (in tal caso si ottiene la simmetia di cento O) [fig 50]: α = 180 O fig 50 46

47 la otazione di angolo nullo, ρ O,o, coincide con la tasfomazione identica (fig 51): O P P' fig 51 la otazione di ampiezza pai ad un angolo gio coincide con la tasfomazione identica (fig 52): O P P' fig 52 la otazione conseva l oientamento dei punti (vedi fig 41) 48 Composizione di tasfomazioni Possiamo pensae di applicae successivamente più tasfomazioni geometiche, di eseguie, cioè, quello che viene chiamato un podotto di tasfomazioni Dimostiamo innanzitutto il seguente: TEOREM Il podotto di due (o più) isometie è una isometia Hp: Th: Dimostazione Dobbiamo fa vedee che f 2 f 1 conseva la lunghezza dei segmenti f 1 isometia f 2 isometia f 2 f 1 isometia Siano dati, quindi, due punti e del piano ed applichiamo ad essi l isometia f 1 ; cioè: f 1 : ' f 1 : ' con '' pe definizione di isometia pplichiamo oa ai due punti ' e ' l isometia f 2 ; cioè: f 2 : ' '' f 2 : ' '' con '' '''' pe definizione di isometia 47

48 Petanto si ha: '''' pe la popietà tansitiva della conguenza e quindi f 2 f 1 è un isometia CVD PROV TU, oa, ad eseguie i seguenti podotti : 1 il podotto di due simmetie assiali con assi ed s coincidenti: C s Cosa deduci? 2 il podotto di due simmetie assiali con assi ed s incidenti (applica pima la simmetia di asse e, successivamente, quella di asse s): C O s 48

49 COMPLET: Il podotto di due simmetie assiali con assi incidenti è una otazione che ha cento nel, angolo α oientato dal asse al secondo asse ed ampiezza dell angolo fomato dai due assi 3 il podotto di due simmetie assiali con assi ed s ta loo pependicolai (applica pima la simmetia di asse e, successivamente, quella di asse s): Q P O s Cosa succede se applichi pima la simmetia di asse s e, successivamente, quella di asse? VERIFIC, quanto da te dedotto, consideando, al posto del segmento PQ, un tiangolo C Sottoponi, poi, le tue figue, il segmento PQ e il tiangolo C, alla simmetia con cento nel punto O d intesezione dei due assi Cosa deduci? 4 il podotto di due simmetie assiali con assi ed s ta loo paallele (applica pima la simmetia di asse e, successivamente, quella di asse s): s C Pensi che tale podotto sia legato alla taslazione? In caso di isposta affemativa, cosa puoi concludee? 49

50 Come esecizio, appesenta i seguenti casi di podotti di tasfomazioni, cui sottoponi una figua F a tua scelta: il podotto di due simmetie centali con centi distinti O e O 1, eseguite nell odine [è una taslazione secondo un vettoe che ha come modulo il doppio della distanza fa i due centi, come diezione quella di OO 1 e come veso quello da O ad O 1 ] VERIFIC che tale podotto non è commutativo il podotto di due taslazioni [è una taslazione che ha come vettoe il vettoe somma dei vettoi delle due taslazioni date] VERIFIC che tale podotto è commutativo il podotto di due otazioni con lo stesso cento [è una otazione che ha cento nello stesso punto ed ampiezza uguale alla somma delle ampiezze delle due otazioni date] il podotto di due otazioni con centi divesi: [ è una taslazione, se gli angoli delle due otazioni sono opposti; è una otazione, avente pe cento un punto, in genee distinto dai due centi, e ampiezza uguale alla somma algebica delle ampiezze delle due otazioni, se gli angoli delle due otazioni non sono opposti] il podotto di una otazione con una taslazione (ototaslazione) VERIFIC, con un esempio, che, se ρ O,α è la otazione e τ v la taslazione, si ha: ρ O,α τ v τ v ρ O,α, cioè le due isometie non sono pemutabili il podotto di una simmetia assiale con una taslazione paallela all asse di simmetia (antitaslazione) VERIFIC, con un esempio, che, se σ è la simmetia assiale e τ v la taslazione, con v //, si ha: τ v σ = τ v σ, cioè le due isometie sono pemutabili 50

51 49 Guppi di tasfomazioni Se consideiamo l insieme delle taslazioni T del piano e componiamo due taslazioni (podotto di taslazioni), e C, otteniamo la taslazione C che ha come vettoe il vettoe somma dei vettoi delle due taslazioni date; cioè: C = C (simbolismo analogo a quello utilizzato pe le funzioni) Questo significa che: L insieme T delle taslazioni è chiuso ispetto all opeazione di composizione, cioè la composizione di taslazioni è un opeazione intena a T Inolte l opeazione di composizione gode in T delle seguenti popietà (PROV TU): è associativa In simboli: ( C CD ammette elemento neuto In simboli: PQ I = PQ = I PQ ) = ( C ) CD ogni elemento di T ammette l inveso, cioè pe ogni taslazione esiste la taslazione invesa In simboli: PQ QP = I = QP PQ Petanto l insieme delle taslazioni, ispetto all opeazione di composizione, ha la stuttua di guppo; cioè: (T, ) è un guppo Inolte: l opeazione di composizione è commutativa In simboli: C = C pe cui: (T, ) è un guppo commutativo 51

52 PROV TU che l insieme delle otazioni ispetto ad uno stesso cento è un guppo commutativo Cosa puoi die pe l opeazione di composizione di otazioni con centi divesi? E pe quella di composizione di simmetie assiali? COMPLET: L insieme delle isometie, ispetto all opeazione di composizione, ha una stuttua di Ciò non accade pe l insieme delle isometie che non è chiuso ispetto all opeazione di 410 Conclusioni L esame dei vai casi affontati pemette di concludee che ogni isometia può essee pensata come composizione di simmetie assiali Pecisamente: Inolte: o una simmetia centale può essee pensata come composizione di due simmetie assiali con gli assi pependicolai; o una taslazione può essee pensata come composizione di due simmetie assiali con gli assi paalleli; o una otazione può essee pensata come composizione di due simmetie assiali con gli assi incidenti la composizione di due isometie diette è una isometia dietta; la composizione di due isometie invese è una isometia dietta; la composizione di due isometie, una dietta e una invesa, è un isometia invesa Pensando alla seguente coispondenza: simmetia dietta + simmetia invesa itoviamo le noste composizioni nella tabella moltiplicativa ta numei elativi: Si può dimostae che le isometie si ottengono solo mediante la composizione di simmetie assiali pe cui non esistono isometie divese da quelle studiate nella pesente unità 52