( 1) I momenti. I momenti dall origine. I momenti centrali

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Massimiliano Cattaneo
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1 I oenti Data una vaiabile X dieo oento di potenza di odine dall oigine A la Media aitetica delle eesie potenze degli scati fa ogni valoe assunto dalla vaiabile e la costante A. analiticaente aveo: A [( x A) ] M I oenti dall oigine Si icavano dall espessione geneale dei oenti ponendo A0. In questo caso il deponente, collocato sulla sinista della lettea geca, viene oesso: M [( x) ] E appesenta la edia delle eesie potenze dei dati. I oenti centali Sono la edia delle eesie potenze degli scati centati sulla edia aitetica: appesentano dunque lo sviluppo della foula geneale pe A: [( x ) ] M I oenti centali si possono deteinae in funzione dei oenti dall oigine: i i 0 i i i ( 1)

2 ESERCIZIO Dati i seguenti valoi: 1, 2,, 6, 7 a) calcolae il oento centale di sesto odine; b) diostae la elazione esistente fa tale oento e i oenti dall oigine, c) veificae la elazione tovata al punto b). SOLUZIONI a) 6 M[(x-) 6 ] n i 1 ( x ) i n x 6 5 i 1 ( x i 5 ) ,2 5 5 i 1 x 5 xi 20/5 x (x-) 6 x 2 x x x 5 x i b) 6 ( 1) i i i i i c) 6 ( 1) i i i i 0 69,2-6*5128*+15*79**-20*126,***+15*21,2****- 5****** 17,2 (c.v.d.)

3 INDICI DI FORMA La foa di una distibuzione si studia attaveso l analisi della SIMMETRIA e dell APPIATTIMENTO. INDICI DI ASIMMETRIA Definizione: Una distibuzione di fequenze f(x) si dice sietica ispetto ad una asse di sietia x 0 se sussiste la seguente elazione: f(x 0 -h) f(x 0 +h) (pe ogni valoe di h) Nelle distibuzioni uniodali, se la distibuzione è sietica alloa la Media Aitetica e la Mediana della distibuzione coincidono (: M(X)Med(X)). Inolte: - Se la distibuzione è obliqua a sinista (asietia negativa) alloa M(X)<Moda(X). - Se la distibuzione è sietica (sietia) alloa M(X)Med(x)Moda(X). - Se la distibuzione è obliqua a desta (asietia positiva) alloa M(X)>Moda(X).

4 Coefficiente di Skewness o Indice di Asietia di Peason S k MODA Si tatta di un indice noalizzato, che assue valoi nell intevallo [-1,+1]. Se S k >0 c è asietia POSITIVA. Se S k 0 c è sietia. Se S k <0 c è asietia negativa. Indice di Asietia di Fishe ( GAMMA UNO ) L Indice di Asietia di Fishe è definito coe la Media aitetica delle teze potenze della vaiabile standadizzata: γ 1 x M ( ) u M Se γ 1 >0 c è asietia POSITIVA. Se γ 1 0 c è sietia. Se γ 1 <0 c è asietia NEGATIVA.

5 INDICI DI APPIATTIMENTO O CURTOSI L appiattiento è un alto aspetto della foa di una distibuzione che iguada il peso più o eno accentuato delle code ispetto alla pate centale della distibuzione. Pe la distibuzione NORMALE si diosta che vale la elazione: Da cui Mente di diosta che - Se la distibuzione è IPERNORMALE o LEPTOCURTICA alloa > ; - Se la distibuzione è IPONORMALE o PLATICURTICA alloa <. Indice di Cutosi di Peason ( BETA DUE ) L Indice di Cutosi di Peason è definito coe la Media aitetica delle quate potenze della vaiabile standadizzata: x β2 M ( ) u M

6 Se β 2 < la distibuzione è IPONORMALE. Se β 2 la distibuzione è NORMALE. Se β 2 > la distibuzione è IPERNORMALE. Talvolta si utilizza l Indice di Cutosi di Fishe ( GAMMA DUE ) γ β 2 2 Se γ 2 <0 la distibuzione è IPONORMALE. Se γ 2 0 la distibuzione è NORMALE. Se γ 2 >0 la distibuzione è IPERNORMALE.

7 ESERCIZIO Valutae la sietia e l appiattiento della seguente distibuzione: SOLUZIONI x f(x) La sietia si può valutae indiffeenteente con uno dei seguenti indici: Indice di Skewness S k (se la distibuzione pesenta la Moda) o γ 1. MODA 7,2 8 S k -0,9216 2,0 Essendo diveso da zeo e negativo significa che la distibuzione è asietica e obliqua a sinista (: asietia negativa). x f(x) x*f(x) (x-) 2 *f(x) , , , , M(x)2880/007,2 MODA(x)8 cui coisponde la ax fequenza. Va (x) 166 / 00, 16 2,0 x f(x) (x-7,2) *f(x) , , , , , ,6 (-281,6)/00-7,10

8 γ 1 (-7,10)/(2,0) -0,87 Essendo diveso da zeo e negativo significa che la distibuzione è asietica e obliqua a sinista (: asietia negativa). L appiattiento si può valutae indiffeenteente con uno dei seguenti indici: β 2 oppue γ 2. 56,882 β 2,287 (2,0) Essendo aggioe di significa che la distibuzione è leggeente ipenoale. x f(x) (x-7,2) *f(x) , , , , , , 2275,/0056,882 γ 2 β 2-0,28 Essendo aggioe di 0 significa che la distibuzione è leggeente ipenoale.

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