Piastre assial-simmetriche

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1 Piaste assial-sietiche Leone Coadi II vol. pag 58 Consideiao il caso di laste cicolai in condizioni di sietia polae, il cui copotaento si descive con il sistea di coodinate cilindiche 0;,, z z uscente dal piano La piasta sia di spessoe costante vincolata in odo assial-sietico caicata da caichi veticali noali al piano edio e distibuiti con sietia adiale

2 Piaste assialsietiche In queste condizioni di assial-sietia di geoetia, vincoli e caichi possiao die che in ogni sezione diaetale sono nulle le tensioni tangenziali le τz τz e τ ente possono essee divese da zeo le σ, σ e σ τ z σ σ d τ z τ z d σ σ Le coponenti di spostaento divese da zeo sono u e w dϑ

3 Cineatica IL capo di spostaento diviene,, w z w z u z u 0 0 ϕ IL capo di defoazione diviene ϕ γ ϕ ε ϕ ε d dw z z u z d d z d du z z,,, 0 0 3

4 Cineatica: caso flessionale puo IL capo di spostaento diviene,, w z w z z u 0 ϕ IL capo di defoazione diviene ϕ γ ϕ ε ϕ ε d dw z z z d d z z z,,, 4

5 Piaste sottili Ipotesi di scoiento nullo IL capo di defoazione diviene Dove si è posto d w ε, z z zχ d ϕ ε, z z z χ dw γ, z 0 ϕ z d d w dϕ χ d d ϕ dw χ d 5

6 Piaste assialsietiche Nel caso di ateiale ipeelastico lineae isotopo σ σ E υ E υ ε υε υε ε Ez υ Ez υ dϕ ϕ ν d dϕ ϕ υ d Integando sullo spessoe si definiscono i oenti genealizzati dϕ ϕ zσ dz D ν d dϕ ϕ zσ dz D υ d h / h / h / h / D χ D χ νχ νχ 6

7 Piaste assial-sietiche L equazione costitutiva in teini di vaiabili genealizzate si scive in foa copatta coe d d D D ϕ ϕ υ υ χ χ υ υ υ χ υ 3 υ Eh D 7

8 Equazioni di equilibio d t t t dt d z,w Equilibio alla otazione nel piano, z t d d z d t dt 8

9 Piaste assialsietiche Belluzzi vol 3 pag 8 9

10 Equazioni di equilibio t d d z d t dt Equilibio alla otazione nel piano, z d d t d 0 0

11 Piaste assial-sietiche L equazione della supeficie elastica si ottiene sostituendo nell equazione di equilibio il legae costitutivo in teini delle vaiabili genealizzate d d ϕ dϕ d ϕ t D

12 Piaste assial-sietiche si può scivee l espessione di t pe ogni condizine di caico sietico. Tuttavia discutiao il caso in cui si ha un caico unifoe q pe unità di supeficie della piasta ed un caico concentato P al cento Nella sezione cilindica geneica di aggio il taglio totale tπ deve fae equilibio al caico q π P P q qπ P πt t q P π t

13 Piaste assial-sietiche Sostituendo l espessione tovata di t nella equazione della supeficie elastica si ottiene d d dϕ d D q P π Il cui integale geneale si scive ϕ c c 3 q 6D P 8πD ln 3

14 Piaste assial-sietiche Nel caso di piaste sottili χ χ d w d ϕ dϕ d dw d Sostituendo tali espessioni nella equazione della supeficie elastica e deivando ispetto alla coodinata si ottiene la foa seguente della supeficie elastica 4 d w d 4 3 d w 3 d d w d 3 dw d q D 4

15 Piaste assial-sietiche Nel caso di piaste sottili 4 d w d 4 3 d w d w 3 3 d d dw d q D Aette il seguente integale 4 c q P w c ln c ln D 8Dπ Le costanti c,c,c3 vengono deteinate scivendo le condizioni al bodo esteno ed una condizione pe 0 5

16 Caso della flessione unifoe Si definisce stato di cuvatua o di flessione unifoe una defoata pe cui le cuvatue sono tutte uguali e la defoata isulta una supeficie sfeica di aggio ρ χ χ χ e χ 0 Belluzzi III pag 78 ρ / χ 6

17 Caso della flessione unifoe In vitù delle equazioni costitutive genealizzate isulta anche che cos tan te Belluzzi III pag 78 D υ χ χ υ D ρ 7

18 Caso della flessione unifoe Ad esepio questo è il caso di un fondello di sebatoio ϕ 0 0 c 0 c c ϕ, χ χ c D υ cos tan te Se R è il aggio della piasta la otazione a al contono e la feccia f al cento isultano α R ρ R υ D f R 8ρ R ρ R υ D 8

19 Caso della flessione unifoe Alto esepio: stato di defoazione indotto da una diffeenza di tepeatua t ta le facce di una piasta cicolae di spessoe hcostante incastata la bodo B D Foula di Stone 9

20 Piasta cicolae incastata al bodo Deteinazione delle costanti ediante iposizione delle condizioni cineatiche al bodo Pe 0 ϕ 0 c 0 Pe R ϕ 0 c Pe R w 0 c 3 q 8 q 64D P ln 4πD P 6πD 0

21 Piasta cicolae incastata al bodo soggetta a caico distibuito feccia al oento oento cento 4 4 q 3 υ q f 3 64D 6 Eh q 6 q ν R 3ν 6 [ ν R 3 ν ] [ ] pe pe 0 q ν R 6 R qr υqr 8 8

22 Piasta cicolae incastata al bodo soggetta a caico concentato Piasta cicolae soggetta a caico concentato P 4π νp 4π feccia al oento oento cento PR f 6πD P R ν ln 4π P R ν ln υ 4π pe pe 0 e divegono R P 4π υp 4π

23 Piasta cicolae appoggiata al bodo Deteinazione delle costanti ediante iposizione delle condizioni cineatiche al bodo Pe 0 ϕ 0 c 0 0 Pe R 0 e wr 0 3

24 Piasta cicolae appoggiata al bodo soggetta a caico distibuito R q oento D qr bodo al otazione D qr f cento feccia al ν υ α υ υ [ ] R q oento R oento ν ν ν R q bodo al R q cento al υ ν 4

25 Piasta cicolae appoggiata al bodo soggetta a foza concentata feccia al cento 3 ν PR f ν 6πD otazione al bodo PR α ν 4πD oento P R ν ln 4π oento P R ν ln υ 4π al al cento bodo e 0 divegono υ P 4π 5

26 Tensioni indotte dal caico concentato A- il caico concentato è solo un caso liite, peché in ealtà il caico agisce su una zona di aggio a finito Se a è olto piccolo, non vale la teoia sviluppata in quanto cadono le ipotesi di consevazione delle sezioni piane, le cuvatue sono localente olto gandi.. a a B- valutazione appossiata dove si considea un oento logaitico a cui si sovappone un teine paabolico di intensità P/4π C- se a è olto piccolo, occoe effettuae veifiche a schiacciaento e punzonaento 6

27 Aatue A- fei adiali e ciconfeenziali 7

28 Aatue B- eti a passo vaiabile con odini di fei 8

29 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Piasta ettangolae appoggiata sotto caico sinusoidale LC II pag 97 9

30 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Piasta ettangolae appoggiata sotto caico sinusoidale LC II pag 97 nπ π p, Pn sin sin a b L equazione di Geain-Lagange diventa w w w Pn nπ π sin sin 4 4 D a b Il poblea aette la soluzione nπ w, Wn sin sin a dove W n Pn 4 π D n a b π b 30

31 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Nel caso di piasta quadata ab con n

32 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Andaenti delle sollecitazioni su a/ e lungo un bodo pe v0.3 3

33 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Le eazioni sui vincoli: Sui quatto lati dove w0, le eazioni veticali sono fonite dai tagli di Kichhoff che isultano Si hanno inolte eazioni concentate ai quatto vetici che valgono 33

34 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Reazioni vincolai Reissne- Mindlin Kichhoff 34

35 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Il caico non è ai sinusoidale Tuttavia si diosta che è possibile espiee un qualunque caico sotto foa di seie doppia di Fouie tattazione di Navie n M N π π La soluzione dell equazione di Geain-Lagange diviene b a n P p n n π π sin sin, b a n b a n P D w n M N n π π π sin sin ] [, 4 35

36 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Lasta quadata con caico unifoe P n 6 p0 n,,3,5,k π n Feandosi al pio teine si coette un eoe del,5% Con 3 teini l eoe è < % 36

37 Soluzioni classiche pe la piasta di Kichhoff Lasta ettangolae con due lati opposti appoggiati a in w w, Soluzione in seie seplice di Lev; Si suppone che il caico tasvesale possa essee scitto coe Si assue la soluzione nella foa a n P p n N n π sin, a n Y w n N n π sin, 37

38 Genealizzazione della teoia delle piaste inflesse Piaste anisotope ed ototope Liiti dell ipotesi di piccoli spostaenti 38

39 Piaste anisotope Si pate dal odello cineatico descitto basato sulle ipotesi di indefoabilità della sezione tasvesale, consevazione delle sezioni piane Si considea ancoa uno stato piano di tensione nel piano della piasta Si intoducono equazioni costitutive di caattee geneale σ C ε ij ijhk hk Si ottiene quindi una genealizzazione delle teoie viste 39

40 Piaste ototope Esepi di piaste ototope 40

41 Piaste ototope Il legae costitutivo diventa 4

42 Piaste ototope Il legae genealizzato oento-cuvatua diviene 4

43 Piaste ototope L equazione di Sophie Geain Lagange nell ipotesi di piaste sottili diviene Hube, 99 dove: B è la igidezza tosionale effettiva 43

44 Alti esepi: piaste sandwich Szilad, p53 44

45 Piaste sandwich 45

46 Piaste sandwich LC II vol p80 46

47 Piaste lainate Le defoazioni taglianti non sono tascuabili Fist Ode Shea Defoation Theo 47

48 Lainati non sietici Defoazioni ebanali e flessionali sono accoppiate Stato di pessoflessione nello spessoe Es soffitti a cassettoni 48

49 Liiti delle ipotesi di piccoli spostaenti Al diinuie dello spessoe h della piasta, l ipotesi di piccoli spostaenti pede di validità, ed il odello di Kichhoff non tiene conto delle azioni ebanali che nella configuazione defoata concoono ad equilibae i caichi L ipotesi di piccoli spostaenti isulta adeguata solo pe spostaenti piccoli ispetto allo spessoe, equisito olto più estittivo pe le piaste ispetto alle tavi data l esiguità degli spessoi 49

50 Teoia di Von Kaan Piasta elastica in pesenza di spostaenti odeataente gandi 50

51 Teoia di Von Kaan Il poblea dell equilibio della piasta elastica in pesenza di spostaenti odeataente gandi è govenato dalle segquenti equazioni di equilibio alla taslazione A in N N N N 0 0 ed equilibio alla otazione A in w N w N w N p M M M 5

52 Intoduciao una funzione di sfozo Φ, da cui le azioni di ebana si ottengono attaveso le elazioni Teoia di Von Kaan N N N Φ Φ Φ Sostituendo nell equazione di equilibio alla otazione si ottiene A in w w w p M M M Φ Φ Φ 5

53 Se sostituiao le equazioni costitutive nell equazione di equilibio alla otazione si ottiene Teoia di Von Kaan D M D M D M χ υ υχ χ υχ χ 4 a A in w w w p w Φ Φ Φ Da accoppiae con l equazione di equilibio alla taslazione NB: Le a e b sono accoppiate in egie di spostaenti non tascuabili 4 b A in w w w Eh Φ 53