Moti relativi. dt dt dt. r r

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1 P Moi elaivi Se i due sisemi aslano solo fa di loo, i vesoi non vaiano nel empo. = + ' d d d' v = = + = v + d d d Leggi di asfomazione di velocià e acceleazione P P pe due sisemi che aslano l uno ispeo all alo Come descivee posizione, velocià e acceleazione di un puno maeiale P in due sisemi di ifeimeno caesiani O e O. Supponiamo O: fisso e O : mobile ' Veoe posizione di P ispeo a O a Veoe posizione di P ispeo a O = + ' = dv d Disanza O O dv = d + dv' d = a v' + a'

2 P P abbiamo Sisemi ineziali = + ' v = v + v' a = a + ' a Se O si muove di moo eilineo unifome ispeo ad O a OO ' = v 0 OO ' = cos a' = a = + ' v = v + v' a = a' Nel sisema di ifeimeno O si misua a e si deduce che la foza agene è F = ma Nel sisema di ifeimeno O, si misua la sessa a e si icava la sessa foza F = ma Non è possibile sabilie, amie misue effeuae in quesi due sisemi, se uno di essi è in quiee o è in moo. Tali sisemi si dicono sisemi ineziali. Sisemi ineziale: sisema i cui vale igoosamene la legge di inezia, un copo che si muove con velocià abiaia in qualunque diezione, si muove di moo eilineo unifome o, se è in quiee imane in quiee A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 2

3 P P Sisemi non ineziali = + ' v = v + v' a = a + ' a Se il sisema O si muove con velocià vaiabile v cos a OO ' 0 a ' = a a Pe cui un ossevaoe su O (nel sisema in quiee)vedà mene su O (sisema acceleao a OO 0)vedà F' F = ma ma' = m( a a OO )= F ma = ' Foza appaene: non deiva dalle ineazioni fondamenali ed esise solo nei sisemi non ineziali Un sisema acceleao è un sisema non ineziale: in queso sisema non vale la legge di inezia, F=0 non compoa a = 0 ma a =a OO. In un sisema non ineziale in assenza di foze fondamenali, agiscono foze appaeni F appaeni =ma OO Sono sisemi ineziali i sisemi in quiee o in moo eilineo unifome. I sisemi pe i quali a OO 0 non sono ineziali. I puni in ali sisemi sono soggei a foze appaeni

4 Sisemi non ineziali Esempio f = mg a f = mg a a f = ma f = mg a Ossevaoe ineziale Ossevaoe non ineziale A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 4

5 Moi elaivi O ' O' P ' P' Teoema delle velocià elaive ' v Taslazione vesoi non vaiano nel empo In geneale si può dimosae che: v = v' + v + ω ' Teoema delle velocià elaive ω Roazione vesoi vaiano nel empo Temine coeivo pe passae da un sisema all alo: velocià di ascinameno v v v v' = v ' + ω ' = OO se ω=0 se v OO = 0 ' v = v v = ω ' (solo aslazione -caso già viso) (solo oazione)

6 Moi elaivi Teoema delle acceleazioni elaive Nell ipoesi in cui ω: cosane, si può dimosae il eoema delle acceleazioni elaive: ( ω ') + 2ω v ' a = a' + a + ω OO ' a : acceleazione di ascinameno, dipende dai paamei del moo elaivo a i due sisemi di ifeimeno a c : acceleazione complemenae o di Coiolis e dipende dal moo di P ispeo al sisema mobile (v ) a = a' + a + a c se ω =0 se a = a' + a v 0 a = a ' + ω ( ω ') + 2ω v ' OO ' = (solo aslazione -caso già viso) (solo oazione) A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 6

7 Moi elaivi Taslazione z o Moo eilineo unifome a elaiva nulla Caso 1: ω=0 a OO = 0 ' z Caso 2: ω=0 a OO ' 0 o A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 7 Moo aslaoio a divesa da zeo

8 Moi elaivi Taslazione Tasfomazioni Galileiane Ripendiamo il pimo caso sudiao. O si muove lungo una aieoia eilinea Supponiamo il moo aslaoio lungo l asse (che coincide con l asse come mosao in figua) ω=0 Caso 1: = + ' a OO = 0 ' O e O : ineziali = v + ' O' v = v' + v + ω ' ( ω ') + 2ω v ' a = a ' + a + ω OO ' v = v' + v a=a' ' = - v O' ' = z ' = z Poieando sugli assi: v ' = v v v ' = v v z' = v z a' = a a' = a a' z = a z Quese asfomazioni a due sisemi ineziali si chiamano asfomazioni galileiane A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 8

9 Caso 2: Moi elaivi - aslazione a OO ' 0 a = a ω=0 O ineziale O non ineziale Se O ha un acceleazione cosane a e una velocià iniziale v in, paallele e concodi all asse. Posizione e velocià di O sono : 1 2 = = vin a v = v + a OO ' in OO ' + 2 = + ' v = v' + v + ω ' ( ω ') + 2ω v ' a = a ' + a + ω OO ' '= - v' = v a' = a v a Poieando sugli assi: ' = v a' - v ' = v = a in v 1 - a 2 in a a 2 a' = a A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 9 ' = v ' = v z ' = z v z' = v z a' z = a z

10 Moi elaivi Taslazione Esecizio Un baello impiega due minui ad aavesae un fiume lago 150 mei. La velocià del baello ispeo all acqua è di 3 m/s. la velocià della coene del fiume è di 2 m/s. Quali sono i possibili puni di aivo? L v B v H 2O v H =2 m/s 2O L=150 m m v B1 = +2,73 s m v B2 = 2,73 s B v B =3 m/s = v 150= vb B = vb vb 9 = vb + 1, 25 v + Moo nel veso della coene: Moo cono-coene: T=2 min =120 s 150 m v B = = 1, s m v B = ±2,73 s conocoene: = (v + v ) = (-2,73+ 2) 120 = 87,2m nel veso della coene: 1 B1 H2O = (v + v ) = (2,73+ 2) 120 = 567m 2 B2 H2 O A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 10

11 Moi elaivi Taslazione Esecizio Nel sisema O viene lasciao cadee un puno lungo l asse z da un alezza h, cosa vede O, se si muove di moo eilineo unifome con velocià v O? = 0 v =0 a =0 Equazioni del moo nel sisema O: =0 v =0 a = z = h g 2 v z =-g a z = g In O si ha, secondo le asfomazioni galileiane: = v v = O' a =0 v O' A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 11 =0 v =0 a = z = h g 2 v z =-g a z = g In O il moo è composo da un moo eilineo unifome lungo l asse con velocià v O e da un unifomemene acceleao lungo l asse z: la aieoia è un aco di paabola Se invece il puno è inizialmene in quiee in O ed è lasciao cadee in queso sisema, la siuazione è quella appesenaa in figua:

12 O O Roazione Moi elaivi - oazione ω Si consideano due sisemi di ifeimeno con oigine in comune (= ), uno in oazione ispeo all alo ω=cosane a 0 v OO = 0 OO ' = ' = + ' v = v' + v + ω ' ( ω ') + 2ω v ' a = a ' + a + ω OO ' = + ' v = v' + ω ( ω ') + 2ω v ' a = a ' + ω ( ω ') 2ω v ' a' = a ω ma' = F + F cen + F Co Foze appaeni Con: F cen : foza cenifuga = m ω ( ω ') F cen F Co : foza di Coiolis F Co = 2m ω v ' A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 12

13 Es: Filo a piombo sospeso a puno fuoi asse di oazione su piaafoma oane Il filo si dispone con angolo θ che cesce con ω e con disanza da asse di oazione. O ineziale (fig b) vede copo soggeo a mg e T T + mg 2 = ma = mω u Tsenθ = mω. O che uoa (fig c) vede copo femo e soggeo a foze mg, T e F c. Le foze vee sono equilibae da F c appaene; g θ =ω 2 /g anche pe O. Se misuo θ ovo a ;Tcosθ = mg gθ = 2 ω 2 g F cen = T mg ; F cen = ma = mω 2 u A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 13

14 Moi elaivi oazione Esempio foza di cenifuga e foza di Coiolis Consideiamo due sisemi di ifeimeno, uno ineziale O, e l alo solidale con una piaafoma oane con velocià angolae ω. Si lega un puno P con filo all asse di oazione e diamo una velocià ω in modo che il puno uoi con la sessa velocià angolae del sisema O T v a Pe O il puno descive un moo cicolae unifome e l unica foza in gioco è la ensione del filo T O foza cenifuga Pe O il puno è femo v =0 e a =0, ma ossevando il filo eso, O è coseo ad ammeee che esise un ala foza che agisca veso l eseno bilanciando la ensione del filo: la foza cenifuga O T mv 2 ˆ A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 14

15 Moi elaivi oazione Esempio foza di cenifuga e foza di Coiolis O T mv 2 ˆ Pe veificae la sua ipoesi (esisenza di una foza cenifuga), O aglia il filo a l oigine ed il puno e immagina di vedee il puno allonanasi adialmene, soo l effeo della foza cenifuga Dopo il aglio: O T v a dopo il aglio, l ossevaoe in O vede il puno muovesi di moo eilineo unifome in diezione angene alla ciconfeenza dopo il aglio, l ossevaoe in O non osseva il moo aeso (eilineo lungo la diezione adiale), ma osseva un moo cuvilineo O deve ipoizzae che sul puno agisca un ala foza, che non si manifesa quando il copo è in quiee: è la foza di Coiolis A.Romeo Dinamica III Moi Relaivi 15

16 Moo della ea Quali sono i sisemi ineziali?un sisema con oigine nel ceno di massa del sisema solae e con assi diei a veso le selle fisse, è un buon sisema ineziale Nomalmene le misue sono fae ispeo al sisema di ifeimeno eese, ma qualsiasi ifeimeno solidale con la Tea non è un sisema ineziale! Nel sisema di ifeimeno eese: T=24 h = 8, s ω: cosane=2π/t=7, ad/s ( ω ') + 2ω v ' a = a ' + a + ω OO ' ( ω R ') + 2ω ' g 0 = g + ω v Acceleazione di gavià pe un Sisema Ineziale Acceleazione di gavià ispeo a un sisema eese Velocià di un oggeo ispeo al sisema eese ( ω R ') 2ω ' g = g 0 ω v Temine della Foza cenifuga Temine della Foza di Coiolis Il emine cenifugo è pependicolae ad asse eese. Coezione a g a laiudine di 45 0 è 2, m/s 2 cioè una deviazione di cica 0,1 0 A.Romeo 16