Moto in campi di forze centrali

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1 Abbiamo visto che il momento angolae di una pa5cella sogge6a ad un campo di foze centali si conseva d L dt = 0 D alta pate sappiamo che i campi di foze centali sono anche conseva5vi e, quindi, si conseva anche la sua enegia meccanica de dt = 0 con E = mv +U()

2 Una conseguenza della d L dt = 0 è che la pa5cella si muove su un piano fisso che con5ene la sogente del campo e la taie6oia della pa5cella (la diezione di L, pe definizione, è sempe pependicolae al piano obitale, e se L è costante, alloa il piano è fisso). Un alta conseguenza è che la velocità aeale ispe6o al punto O (popozionale al modulo del momento angolae) è costante. La pa5cella spazza aee uguali in tempi uguali. [nota: questa è la seconda legge di Kepleo] Quindi, dato il valoe iniziale del momento angolae (fissato ad esempio dalla posizione e velocità della pa5cella in un istante geneico abitaio), il moto è confinato in un piano obitale fisso. Si passa da 3D a D!! Possiamo intodue due vesoi e due coodinate polai, in modo da decompoe la velocità così: y ûθ v û θ v = û v + û θ v θ x

3 Cosa sono v e v θ? Basta consideae lo spostamento in dt nelle stesse diezioni: d = û d + û θ dθ spostamento adiale spostamento lungo la ciconfeenza di aggio Dunque v = d dt = û d dt + û θ dθ dt y ûθ v = d dt ; v û θ x v θ = dθ dt Alloa il momento angolae della pa5cella ispe6o a O è dato da L = p = m v = m (û v + û θ v θ ) = mv θ û û θ = mv θ û z = m dθ dt ûz y ûθ v û θ x vesoe pependicolae al piano dell obita 3

4 Possiamo scivee con ovveo L = m dθ dt dθ dt = L m L = Lû z x che lega le due coodinate al momento angolae (costante). No5amo che, quando il aggio dell obita diminuisce, la velocità angolae aumenta, e vicevesa, consistentemente con il fa6o che la velocità aeale è costante. y ûθ v û θ Possiamo anche iscivee la consevazione dell enegia usando la stessa decomposizione della velocità: E = mv +U() = m û v + û θ v θ +U() = mv + mv θ +U() y ûθ v û θ x = mv +! dθ $ m # & +U() " dt % 4

5 Quindi E = mv +! dθ $ m # & " dt % e possiamo usae l espessione pecedentemente tovata che lega la velocità angolae al momento angolae dθ dt = L m pe iscivee E nella foma +U() y ûθ v û θ E = mv + L m +U() x Riassumendo, abbiamo tovato che il moto di una pa5cella in un campo di foze centali segue le due leggi m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m +U() = E y ûθ v û θ x dove E e L sono costan5 del moto, fissate dalle condizioni iniziali. 5

6 m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m +U() = E Nota #: Una volta fissate le costan5 E e L, le due equazioni diffeenziali possono essee isolte pe tovae le leggi oaie (t), θ(t) e la taie6oia (θ). m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m +U() = E Nota #: Dato che sono state deivate dalla seconda legge di Newton, sono del tu6e equivalen5 a quest ul5ma in temini di contenuto fisico. In alti temini, isolvee le due equazioni sopa daà gli stessi isulta5 che isolvee l equazione del moto m d dt = F( ) 6

7 m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m +U() = E Nota #3: Nell enegia meccanica possiamo definie un enegia potenziale efficace U eff () = L m +U() in modo da idue la pima equazione al poblema della consevazione di E pe un moto D nella diezione adiale. con mv +U eff () = E U eff () = L m +U() Qual è il significato di U eff?? Nel sistema di ifeimento ineziale in cui la pa5cella ha velocità angolae istantanea dθ/dt, la quan5tà L /m è la pate di enegia cine@ca associata al moto di otazione a6ono alla sogente del campo. Essendo L costante, questo temine è una funzione soltanto di!! 7

8 con mv +U eff () = E U eff () = L m +U() Qual è il significato di U eff?? Nel sistema di ifeimento non ineziale che uota ispe6o al sistema ineziale con la stessa velocità angolae dθ/dt della pa5cella, la quan5tà L /m è l enegia potenziale associata alla foza appaente centifuga!! InfaV infav, possiamo icodae la elazione ta enegia potenziale e foza in un campo centale F = f ()û du d = f () e vedee cosa succede nel caso di L /m : d " L % $ ' = L d # m & m d d " $ # % ' = L " dθ % = m 3 $ ' & m # dt & dθ dt = L m 8

9 dunque d " L % " $ ' = m dθ % $ ' d # m & # dt & ma il membo di desta è popio la foza centifuga, essendo F c = mω ( ω ) = m dθ! $ # & û = f c ()û " dt % ω = dθ dt ûz No5amo che la foza centifuga ha la foma di un campo di foze centali e, dunque, amme6e un enegia potenziale (appaente), che è popio L /m. In conclusione: pe deteminae il moto di una pa5cella in un campo di foze centali si può, in altena5va, isolvee l equazione del moto m d dt = f ()û oppue isolvee le due equazioni m d! $ # & + L " dt % m +U() = E m dθ dt = L 9

10 Poblema di Kepleo Come esempio consideiamo il moto di un copo di massa m sogge6o all afazione gavitazionale di un copo di massa M fisso. Alloa e f ()= G mm U()= G mm Questo è noto come poblema di Kepleo, dato che include il caso delle obite dei piane5 a6ono al sole. Poblema di Kepleo Risolviamo il poblema usando le leggi di consevazione. m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m G mm = E Il caso L=0 (ovveo dθ/dt=0) è banale. Il moto è puamente adiale. La pa5cella si muove su una e6a che passa pe il cento di gavità: è in caduta libea. 0

11 Poblema di Kepleo Risolviamo il poblema usando le leggi di consevazione. m! d $ # & " dt % m dθ dt = L + L m G mm = E Ci poniamo nel caso L 0 e vogliamo deteminae la taie6oia (θ). Bisogna eleminae il tempo t dalle due equazioni sopa. No5amo che t enta solo nelle deivate. Possiamo usae le popietà delle deivate di funzione di funzione, in questo modo... Poblema di Kepleo... in questo modo: Inolte, pe comodità di calcolo, conviene intodue una nuova vaiabile u =/ in modo che d dt = d dt da cui! # " d dt dθ dt d dθ = L d m dθ! # $ " u% & = du u dt = u d dt $ & % = L m! du $ # & " dθ % L du m dθ = L m du dθ

12 Poblema di Kepleo Così l espessione pe l enegia meccanica m d! $ # & + L " dt % m G mm = E si tasfoma in L! du $ # & m " dθ % + L m u GmMu = E e possiamo impoe la consevazione di E in questo modo 0 = de dθ = L m! du $ # & d u " dθ % dθ + L! du $! # &u GmM du $ # & m " dθ % " dθ % Poblema di Kepleo Quindi, il fa6o che l enegia meccanica si conseva, impone L! du $ # & d u m " dθ % dθ + L! du $! # &u GmM du $ # & = 0 m " dθ % " dθ % Tolta la soluzione banale (du/dθ)=0, imane l equazione: d u dθ + u = Gm M L Il temine di desta è una costante e l equazione è fomalmente analoga a quella di un oscillatoe amonico sogge6o ad una foza estena costante [come pe un copo appeso al soffi;o tamite una molla, con pulsazione=].

13 Poblema di Kepleo L equazione d u dθ + u = Gm M L ha soluzione geneale u(θ) = Gm M L + Acos(θ +θ 0 ) dove A e θ 0 sono costan5 d integazione, da fissae con le condizioni iniziali. [che questa sia la soluzione lo si vede anche, banalmente, pe sos@tuzione nell equazione di patenza] Poblema di Kepleo Abbiamo quindi e possiamo iscivela in temini della coodinata adiale ovveo u(θ) = Gm M L + Acos(θ +θ 0 ) (θ) = Gm M + Acos(θ +θ L 0 ) (θ) = Gm M! + AL L Gm M cos(θ +θ $ # 0) & " % 3

14 Poblema di Kepleo MeVamoci nel caso θ 0 =0, che diffeisce dal caso geneale solo pe una otazione abitaia degli assi. Inolte, intoduciamo due nuove costan5 pe semplificae la notazione: p = Gm M, e = AL L Gm M alloa la soluzione diventa (θ) = p (+ ecosθ) (θ) = p (+ ecosθ) Questa è l equazione paametica delle sezioni coniche!! Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) paabola cechio e ellisse ipebole 4

15 Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) questa è de;a eccenticità Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) e = 0 Obita cicolae. La distanza = p è costante. 0 < e < Obite ellivche. La distanza è compesa ta p/(-e) e p/(+e). L oigine del campo coincide con un fuoco dell ellisse. In entambi i casi sono obite chiuse. 5

16 Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) e = Obita paabolica. La distanza minima è p/, la massima divege. Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) e = Obita paabolica. La distanza minima è p/, la massima divege. e > Obite ipeboliche. La distanza minima è p/(+e), la massima divege. In entambi i casi sono obite apete. 6

17 Poblema di Kepleo La taie6oia della pa5cella è una delle sezioni coniche p (θ) = (+ ecosθ) Poblema di Kepleo Dal punto di vista qualita5vo la diffeenza ta le obite si capisce facilmente dal diagamma dell enegia. mv +U eff () = E U eff L m U eff () = L m G mm 0 G mm 7

18 Poblema di Kepleo Fissiamo L e consideiamo divesi valoi di E. U eff 0 U 0 E 0 Pe E < U 0 non esiste soluzione, dato che si avebbe mv = E U eff () < 0 Ma l enegia cine5ca non può essee nega5va!! Poblema di Kepleo Il minimo di U eff si tova così: U eff! # " du eff d $ & % = 0 = d! L d m GmM $ # & " % 0 0 U 0 0 = L m GmM 0 = 0 E U 0 = G m 3 M L 0 = L Gm M = p 8

19 Poblema di Kepleo U eff 0 E Pe E=U 0 è ammessa solo la soluzione con aggio costante = 0 =p (enegia cine5ca adiale nulla). Il moto è cicolae unifome. L eccenticità dell obita è nulla. Inolte, icodiamo che 0 E =U 0 = m dθ dt = L e dunque abbiamo L m GmM = 0 0 m " dθ % 0 $ ' # dt & v θ GmM 0 Poblema di Kepleo U eff 0 E min max Pe U 0 < E < 0 l obita è compesa ta una distanza minima (peielio, peigeo, ecc.) e una distanza massima (afelio, apogeo, ecc.). Solo in ques5 pun5 l enegia cine5ca adiale è nulla. l obita è ellihca, chiusa. L eccenticità è data da max min e = + max min 9

20 Poblema di Kepleo U eff E min Pe E = 0 l obita è apeta, con una distanza minima min, ma non una massima. L eccenticità vale. L enegia cine5ca adiale tende a zeo quando la distanza tende all infinito. La taie6oia non ha e6e asinto5che. È una paabola. Poblema di Kepleo U eff E min Pe E > 0 l obita è apeta, con una distanza minima min, ma non una massima, come pima. Ma l eccenticità è maggioe di e l enegia cine5ca adiale tende ad un valoe costante non nullo quando la distanza va all infinito. La taie6oia amme6e quindi due e6e asinto5che che coispondono al moto unifome libeo. È un ipebole. 0

21 Poblema di Kepleo Possiamo vaiae il 5po di obita anche fissando il valoe di E, ma vaiando il valoe di L. Nella figua mostiamo le cuve pe divesi valoi U eff 0 <L <L < L 3 <L 4 0 E 0 L L 4 L 3 L L = 0 Pe L=L 4 nessuna soluzione. Pe L=L 3 obita cicolae. Pe L=L e L obita ellivca. Pe L=0 moto di caduta libea in diezione adiale. Poblema di Kepleo Esempi di obite ellivche: piane5 Pianeta distanza media (AU)* peiodo (anni) Mecuio Venee Tea 0.07 Mate Giove Satuno Uano Ne6uno * AU: unità astonomica = m eccenticità

22 Poblema di Kepleo Esempi di obite cicolai: satelli5 geostazionai foto Eumetsat Poblema di Kepleo Esempi di obite cicolai: satelli5 geostazionai L = m 0 v = m 0 ω = m 0 π / T L 0 = Gm M T massa della tea peiodo= giono! 0 = GM T $ T # & " 4π % /3 Non dipende dalla massa del satellite e vale 0 = 468 Km foto Eumetsat

23 Poblema di Kepleo Esempi di obite (quasi) cicolai: ISS 0 = R T + h R T 6370 Km h = Km 3 4π 0 T = GM T / Il gio del mondo in 9 minu5, alla velocità di cica 7700 m/s (7740 km/h). 9 min Poblema di Kepleo Esempi di obite (quasi) paaboliche: comete Le obite sono ellissi con eccenticità possima a pe le comete di lungo peiodo. peiodo anni eccenticità= ul5mo passaggio = 996 3

24 Poblema di Kepleo In sintesi, gazie ai pincipi di Newton e all espessione della foza gavitazionale, siamo in gado di isolvee il poblema del moto planetaio, ma non solo. Si io6engono le leggi di Kepleo, che eano state intodo6e su basi empiiche, ma oa tovano una gius5ficazione più pofonda in temini di pincipi fisici. Si o6engono anche isulta5 nuovi, che vanno olte le leggi di Kepleo e mostano come la teoia abbia un fote potee pedivvo. Pincipio d inezia m a = F azione e eazione foza gavitazionale nuova visione del mondo e del sapee 4

25 Velocità di fuga Pima di chiudee l agomento, ecco una domanda inteessante: A quale velocità si deve essee lancia5 da un pianeta pe uscie dal suo campo di gavità? Uhmm, bisogneà imme6esi in un obita apeta, libea Velocità di fuga Ecco come Newton vedeva il legame ta caduta e obita. Al di so6o di una ceta velocità iniziale le obite sono chiuse. 5

26 Velocità di fuga L obita di fuga è l obita paabolica, con enegia meccanica nulla. Dunque, la condizione ci5ca è E = mv +U(R) = mv GmM R = 0 da cui! v = GM $ / # & = (gr) / " R % Velocità di fuga U () GmM R R E K In pa5ca occoe dae al veicolo un enegia cine5ca iniziale pai alla sua enegia potenziale (che è nega5va). U() = GmM 6

27 Velocità di fuga! v = GM $ # & " R % Qui M e R sono la massa e il aggio del pianeta, e g è la sua acceleazione di gavità in possimità della supeficie. Nel caso della tea la velocità di fuga è v = (gr) / = ( 9.8m/s m) / e non dipende dalla massa dei veicolo lanciato!! / 00m/s 40000Km/h = (gr) / Velocità di fuga Pe il sole:! v = GM $ # & " R % /! $ # & " % m/s / m/s Non è molto più gande che pe la tea, pechè il appoto M/R è più gande di un fa6oe cica 3000, e pendendo la adice quadata diventa un fa6oe 50 soltanto. 7

28 Velocità di fuga Ma se la massa del sole fosse concentata in una sfea di una decina di chilometi di aggio, come nelle stelle a neutoni, alloa si avebbe: $ v ' & ) % 0 4 ( / È cica un tezo della velocità della luce c m/s m/s 0 8 m/s E se la velocità di fuga fosse supeioe a c?? Si o6eebbe un buco neo!! Velocità di fuga Si ha un buco neo, pe definizione, quando una massa M è concentata ento una sfea di aggio R tale che! v = GM $ # & " R % / > c R < R S = GM c Raggio di Schwazschild Pe la tea il aggio di Schwazschild è cica cm, pe il sole è cica un chilometo e mezzo. 8