^ dove il versore tangente e quello calcolato per il moto circolare. Infatti r=(cos ^ ϑ, sen ϑ) e derivando si ottiene (dϑ/dt)t ^ ^

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1 Pe tattae il moto dei satelliti o dei pianeti utilizziamo le coodinate polai (, ϑ ) con ϑ angolo che foma il vettoe posizione con l asse x. Deivando il vettoe posizione (vedi figua) si ottengono 2 temini (la deivata del modulo di e la deivata del vesoe adiale) da cui la velocità in coodinate polai e data da: v=(d/dt) + (dϑ/dt)t dove il vesoe tangente e quello calcolato pe il moto cicolae. Infatti =(cos ϑ, sen ϑ) e deivando si ottiene (dϑ/dt)t con t=(-sen ϑ, cos ϑ) e (dϑ/dt)=ω. = ϑ O Polo Sul cento del copo che genea la foza x Da ossevae che pe il moto cicolae il modulo =costante (taiettoia e una ciconfeenza), nel caso del moto dei pianeti e vaiabile poiche il pianeta non ha distanza costante dal Sole, da cui una velocita con componente adiale. Inolte pe il calcolo del momento angolae (asse z pependicolae al foglio) l= x (m v )= x (m ω t) = m ω 2 k peche la componente adiale della velocita non contibuisce al podotto vettoiale. Leggi di Kepleo Pe lo sviluppo della gavitazione, la foza fondamentale più debole, fu fondamentale il modello copenicano del sistema solae. Dalle ossevazioni di Ticho Bahe, astonomo olandese del 1500, le posizioni dei pianeti eano note con pecisione. Kepleo, allievo di Bahe, fomulò sulla base delle misuazioni le seguenti te leggi empiiche: Pima legge) Le obite descitte dai pianeti attono al Sole sono ellissi in cui il Sole occupa uno dei fuochi (anno 1609); Seconda legge) Il aggio vettoe che congiunge il cento del Sole col cento di ogni pianeta spazza aee popozionali ai tempi impiegati a descivele (anno 1609); Teza legge) I quadati del peiodi di ivoluzione (T) sono popozionali ai cubi dei semiassi maggioi delle obite ellittiche (anno 1619). G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 2 1

2 Pima di Newton si iteneva che i copi celesti e quelli sulla Tea fosseo govenati da leggi diffeenti. Infatti i copi celesti continuano a muovesi mente i copi sulla Tea si femano (a causa degli attiti!). Inolte le obite dei pianeti eano cuve egolai e chiuse. Newton intuì che le leggi eano invece le stesse. La quantità diffeente ea la distanza dalla Tea, la foza gavitazionale dipende dalla distanza. Vediamo come siano icavabili le leggi di Kepleo (nella 3a legge assumeemo che la foza dipende dalla distanza come 1/ 2 ): 2a legge) la foza gavitazionale è centale, quindi il momento della quantità di moto del copo (polo sul Sole) si conseva l= mv=cost e in modulo l =m(ω)=mω 2 ; l aea spazzata in un tempo t è la somma dell aea dei 2 tiangoli (½) ( θ)+ (½) θ da cui ( A/ t)= (½) ( θ/ t)+(½) ( θ / t) ma pe t 0 si ha 0 e θ / t ω da cui (da/dt)=(1/2) 2 ω = ½ l /m quindi popozionale a l che è costante. + θ ~ang.etto θ + G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 3 3a legge) nell ipotesi di obite ellittiche con eccenticità nulla (ciconfeenze) l equazione di moto nella diezione adiale vale(acc.centipeta dovuta alla gavita ) - GmM/ 2 =-m ω 2 GM/ω 2 = 3 ; (GM/4π 2 )T 2 = 3 ; vicevesa se si pate dalla conoscenza della 3a legge di Kepleo si icava che la foza deve dipendee dalla distanza come - 2 1a legge) dalla consevazione del momento angolae la taiettoia è piana e giace sul piano individuato dal vettoe l (nomale al piano). Assumiamo che il piano dell obita sia quello xy. Il momento angolae vale l=mω 2 k. Sciviamo la velocità in coodinate polai: deivando la posizione = v=(d/dt) + (dϑ/dt)t v 2 =(d/dt) (dϑ/dt) 2 =(d/dt) ω 2 La foza gavitazionale è consevativa e si ha consevazione dell enegia E=K+U=(1/2)m v 2 +U()=(1/2)m(d/dt) 2 +(1/2)m 2 ω 2 +U()= (1/2)m(d/dt) 2 +V eff ()=costante dove il potenziale efficace è definito come V eff ()= (1/2)m 2 ω 2 +U()=(l 2 / 2m 2 )+ U( ) con l il modulo del momento angolae (costante). Questo potenziale tiene conto del fatto che se il copo si avvicina al Sole deve aumentae la sua velocita pe mantenee il mom.angolae costante. G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 4 2

3 Pe il moto adiale V eff ( ) è il potenziale da usae (quindi moto unidimensionale) e pe m M U=-G la foma di V eff ( ) è E mostata nella figua a fianco. ~1/ 2 Pe piccole distanze il potenziale divege a + a causa del temine centifugo l 2 / 2m 2. Invece a gande distanza ( ) l andamento è quello ~ -1/ dell enegia potenziale coulombiana. Osseviamo che la velocità angolae dipende dalla distanza attaveso la consevazione del momento angolae quindi con l atificio di consideae V eff ( ) possiamo tattae il poblema come se fosse unidimensionale nella sola coodinata adiale, nonostante il moto sia in un piano. In paticolae si può analizzae ove sono le egioni pemesse al moto pe ogni enegia. G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 5 Pe un enegia E=E min (<0) l obita è a *=costante (cicolae); pe E min <E<0 obite ellittiche ta 1 e 2, pe E=0 obita paabolica; pe E>0 obita ipebolica; la distanza minima viene detta peielio (ed esiste sempe) e afelio quella maggioe nel caso ellittico. Si dice che il sistema è legato se il copo non può abbandonae il cento di attazione (stato legato del sistema). E ~ -2 1 * 2 ~ -2 E min Taiettoia (ossa continua) confinata ta le ciconfeenze di aggi 1 e 2 G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 6 3

4 Cenno: Pe dimostae quale sia la foma dell obita consideiamo come fatto finoa l appossimazione che la massa del Sole sia M>>m in modo da tascuae il moto dei due copi attono al cento di massa comune (il cento di massa di un sistema veà definito successivamente). E=(1/2)m(d/dt) 2 +(1/2)m 2 ω 2 GmM/ e l=mω 2 sono costanti ω=dθ/dt=l/m 2 supponendo =(θ) e θ=θ(t) in modo da eliminae t si ha d/dt=(d/dθ) (dθ/dt) =(d/dθ)ω= (d/dθ) l/m 2, 2E+ 2GmM/ = (l 2 /m 4 )(d/dθ) 2 + (l 2 /m 4 ) 2 = (l 2 /m 4 ) ((d/dθ) ) Cambiamo vaiabile w= -1, (dw/dθ)=(dw/d)(d/dθ)=-(1/ 2 ) )(d/dθ) cioè (d/dθ)=- 2 (dw/dθ) 2E+2GMm w= (l 2 /m)(dw/dθ) 2 + (l 2 /m)w 2 da cui (dw/dθ) 2 + w 2 2 (GM m 2 /l 2 )w= 2(Em/l 2 ) completiamo il quadato (dw/dθ) 2 + w 2 2 (GM m 2 /l 2 )w+ (G 2 M 2 m 4 /l 4 ) = 2(Em/l 2 )+ (G 2 M 2 m 4 /l 4 ) Il secondo membo è una costante positiva, chiamiamola H 2, (dw/dθ) 2 + (w GM m 2 /l 2 ) 2 = H 2, cambiamo vaiabile u= (w GM m 2 /l 2 ) (du/dθ)=(dw/dθ) e quindi (du/dθ) 2 + u 2 = H 2, (du/dθ) = ± (H 2 -u 2 ) sepaando le vaiabili e scegliendo il segno + du/ (H 2 -u 2 ) = dθ si ottiene u=hcos(θ- θ i ) (col meno u=h sen(θ- θ i ) ma solo la condizione iniziale saebbe divesa).sostituendo a itoso pe tonae alla vaiabile si ottiene G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 7 w= (GM m 2 /l 2 )+ [2(Em/l 2 )+ (G 2 M 2 m 4 /l 4 )]cos(θ- θ i )= (GM m 2 /l 2 )(1+ [1+2(Em/l 2 )/ (G 2 M 2 m 4 /l 4 )]cos(θ- θ i ) infine =(l 2 /GM m 2 )/(1+ [1+2(E l 2 )/ (G 2 M 2 m 3 )]cos(θ- θ i )) Ricodiamo che l equazione delle coniche è del tipo =A/(1+ e cos(θ)) con e eccenticità (e=0 ciconfeenza, 0<e<1 ellisse, e=1 paabola, e>1 ipebole) e= 1+2(E l 2 / (G 2 M 2 m 3 )] L enegia minima si ha nel punto *, dv eff ( *) /d=0 da cui *= l 2 / GMm 2 e E min =E(*)=- G 2 M 2 m 3 /(2 l 2 ) (la velocità adiale è nulla poiché =*=costante) Con tale enegia e=0 ob.cicolae, pe valoi maggioi negativi 0<e<1ob.ellittica. Sezioni coniche 1. Paabola 2. cechio e ellisse 3. ipebole G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 8 4

5 Semiassi a e b Almeno uno ta A B e C diveso da 0 Ellisse (A=C, B=0, ciconfeenza) paabola ipebole Eccenticita 5

6 Eccenticità: Pe le obite ellittiche può essee calcolata come distanza ta l'apoasse (distanza maggioe, pe obite attono al Sole afelio, pe obite attono alla Tea apogeo) A e il peiasse (distanza minoe, pe Sole peielio, pe Tea peigeo) P: e= (A-P)/(A+P) [A-P è anche la distanza fa i fuochi dell ellisse]. dove: P è il aggio di peicento, A è il aggio di apocento. Pe e=0 obite cicolai, 0<e<1 obite ellittiche, e=1 obite paaboliche, e>1 obite ipeboliche. Pe esempio, l'eccenticità dell'obita della Tea oggi è Nel tempo, l'eccenticità dell'obita teeste vaia lentamente, passando da quasi 0 a cica 0.05 come isultato dell'attazione gavitazionale ta i pianeti. Obite quasi cicolai Mecuy Venus Eath Mas Jupite Satun Uanus Neptune Pluto diamete (Ea th=1) diamete (km) mass (Ea th=1) mean dist fom Sun (AU) ob. peiod (Eath yeas) obital eccent G. Bacco Appunti di Fisica Geneale Se un copo ha un enegia (totale) negativa ispetto ad un pianeta non può abbandonalo peché a distanza finita la velocità adiale si annulleebbe. Pe libeae il copo è necessaia un enegia positiva e se il copo pate da una ceta distanza dal pianeta, occoe impimegli una velocità pai a quella di fuga. In paticolae, la velocità di fuga è quella minima pe potae all infinito il copo con enegia nulla E=K+U=0. Pe la Tea, patendo dalla supeficie, R T aggio della Tea, (1/2)m v 2 +U(R T )=0 da cui v f = 2G M T / R T =11.2 km/s M T = 5.98 x kg N Molecole in un gas hanno un enegia cinetica media E in base alla tempeatua del gas Da cui la velocita quad.media V= 3k B T Pe O 2 a T=273 K (0 C) v=461 m/s G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 12 6

7 Paameti dei pianeti del sistema solae Mecuy Venus Eath Mas Jupite Satun Uanus Neptune Pluto diamete ( Eath=1) diamete ( km) mass ( Eath=1) mean dist fom Sun (AU) ob. peiod ( Eath yeas) obital eccent mean ob. vel ( km/sec) otation peiod ( in Eath days) inclination of axis ( degees) mean temp. at -180 to 430 suface ( C ) to to gavity at equat ( Eath=1) escape vel ( km/sec) mean density ( wate=1) G. Bacco - Appunti di Fisica Geneale 13 Si puo deivae dall equazione maticiale Matice simmetica con deteminante diveso da zeo defisce una sezione conica. Deteminante di E quindi definisce il tipo di sezione conica E popozionale all opposto di Ellisse Ellissoide Con assi pincipali lungo X Y Z 7