mm r r r r Si noti che: 1) F e centrale F F 3) e attrattiva soddisfa il principio di sovrapposizione:

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1 La legge univesale della gavitazione (dovuta ad Isaac Newton): Pe due punti ateiali,, sepaati da distanza, la foza di attazione gavitazionale e: = γ dove γ e la costante di gavitazione univesale: γ = 6.67 N kg Essendo diezionale, la foza puo essee definita in teini vettoiali. Scegliendo loigine delle coodinate coincidente con, alloa la foza gavitazionale su dovuta alla pesenza di e data da: = γ ˆ Si noti che: ) e centale ) ) e attattiva 4)! soddisfa il pincipio di sovapposizione:!! la foza totale e la soa delle foze individuali ta ed ognuna delle asse i. γ γ γ = = ˆ + ˆ + ˆ + = γ ˆ + ˆ + ˆ ( vale die che i i sono vettoi ) +

2 5) e indipendente del tipo di ateia 6) e una foza a distanza 7) 5 e la piu debole delle foze (~ foza elettoagnetica). Il capo Gavitazionale Un capo: una quantita fisica che si puo definie siultaneaente in ogni punto dello spazio. Un capo scalae: la quantita fisica possiede solo gandezza (es. pessione P(x,y,z,t) ) Un capo vettoiale: gandezza e diezione (es. velocita v (x,y,z,t) in un fluido in oto ) Un capo e detto stazionaio se non dipende dal tepo t, es. v (x,y,z) pe flusso stazionaio in un fluido Il capo gavitazionale, dovuto ad un unica assa stazionaia, viene definito ( in base alla foza gavitazionale ( ) che esecita su ): G = γ = ˆ cioe, la foza gavitazionale pe unita di assa. Unita: nel S.I. : N/kg. G isulta dunque essee un capo vettoiale stazionaio

3 Piu igoosaente, viene definito con ifeiento ad una assa pova. G = li ( ) / NB: noto il capo, la foza su assa pova in capo e data da: = G E chiao dalla definizione che il pincipio di sovapposizione vale anche pe il capo gavitazionale. Pe un insiee di punti ateiali: γ γ γ G = G = = G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ γ e pe una distibuzione continua di assa, il capo all oigine delle coodinate e dato da : G G G = d γ ˆ d Oppue, con ifeiento ad un sistea di if. abitaio, si calcola al punto d ( ʹ ) G( ) = γ ʹ ʹ ʹ ( ʹ ) G d

4 Un applicazione ipotante: pe una distibuzione di assa sfeica ed unifoe, pe si ottiene :!! d G() = "!!!!! * # (!! *)!!! * =!! ˆ Vale die che il capo gavitazonale e quello che si avebbe se tutta la assa fosse concentata al cento di gavita ( il cento geoetico della sfea). Non lo diosteeo qui, a lo studente inteessato puo falo copiendo lintegale. (Newton dovette inventasi il calcolo integale pe falo) ' G! * Con questo isultato siao in condizione di calcolae la foza peso vicino alla supeficie teeste in base alla legge univesale della gavitazione. Supponendo la tea sfeica, calcoliao la foza gavitazionale su assa, a distanza h dalla supeficie.! =!! ( + h) ˆ =!! + h e pe h << / γ = g costante ( ) ˆ =!! $! h # +... " % ' ˆ & ˆ 4 h

5 Sostituendo: γ = 6.67 si = 5.97 = 6.7 ottiene : g = 9.8 /s N.B. conoscendo g, e kg 6 4 γ kg s si calcola la assa teeste Si puo anche diostae che il capo gavitazonale allinteno di un guscio sfeico ed unifoe e nullo: pe pe < > i e G = G = γ ˆ e i ente, allesteno della sfea, il capo si copota coe se tutta la assa vi fosse concentata al cento 5

6 Ιl potenziale gavitazionale E facile veificae che = e consevativa. Si considei il capo G geneato da un punto ateiale :! "! d! = " d =!! d " = #! $ % # & ' = Lo stesso vale dunque pe qualsiasi insiee di punti ateiali od eleenti di caica. Segue che si puo definie un potenziale assoluto tale che: V G = d = G d VG e il lavoo copiuto conto G pe potae assa unitaia dall infinito a (indipendenteente dal caino ). Si sceglie linfinito quale punto di ifeiento peche G ovunque allinfinito. Es. Il potenziale gavitazionale coispondente al capo geneato da un punto ateiale ( oppue da una assa sfeica unifoe). G = γ ˆ d ' ' ' d G V G ( ' ) = G. d = γ = γ = γ ' icodiao che il capo e ecupeabile dal potenziale * : G = iˆ + ˆj + kˆ V G x y z d d 6 =

7 L Enegia Potenziale U G pe collocae una assa pova a e data da: U ( ) V ( ) G = G Coisponde al lavoo necessaio pe potae assa pova dall infinito ad. L enegia eccanica totale e dunque: E = K + U G E siccoe U G e negativo, lenegia eccanica totale puo essee negativa. In tali casi la assa evincolata. Es Velocita di fuga Nave spaziale pate dalla supeficie con velocita v. Al oento di patenza: E = v γ v Quando si tova a distanza olto gande (quando V G à ) alloa: E = v ( ) Dalla consevazione dell enegia eccanica: v = v γ Il caso liite ( v = ) coisponde dunque alla velocita iniziale ( v ) inia necessaia pe aggiungee linfinito: v = γ ( la velocita di fuga ) 7

8 oto dei pianeti (supposti distibuzioni di assa unifoe ) Abbiao gia visto che una sfea unifoe agisce su una assa estena coe se tutta la popia assa fosse concentata al cento della sfea, che coisponde al cento di assa ( c) della sfea. Segue che due sfee unifoi inteagiscono coe se la assa di entabi fosse concentata al c di ciascuna. Si considei oa le foze ta i due centi di assa: dv = a = Alloa, definendo la foza dinteazione dt dv = = a = dt segue che si puo scivee: pe cui + = a a = = d dt ( v v ) = a iodinando, si ottiene! = µ! a dove + µ = la assa idotta 8

9 = µ a E dunque l equazione di oto pe il oto elativo di due pianeti (o due copi qualsiasi soggetti a foze ta di loo), e µ = + e la assa idotta Si puo die che lo spostaento elativo dei due copi evolve coe quello di un punto ateiale di assa idotta che si uove intono ad un punto fisso ed e soggetto ad una foza centale. Conoscendo la foza ta di loo, e disponendo dellequazione di oto elativo, siao attezzati oa pe isolvee il poblea del oto dei pianeti. Le soluzioni non sono difficili da ottenee, a ichiedono tepo. Ci liitiao dunque ad elencane le caatteistiche pincipali: Sia E l enegia eccanica totale, alloa: Pe E< le obite sono elittiche ed il sistea e vincolato Pe E= l obita e paabolica Pe E> l obita e un ipebole Le pincipali caatteistiche di queste obite fuono dedotte da Johannes Keple (57-6) analizzando le isue di Ticho Bae (546-6). La legge della gavitazione fu finalente foulata da Newton (64-77). E inteessante seguine levoluzione. 9

10 Le leggi di Keple:. I pianeti descivono obite elittiche di cui il sole occupa uno dei fuochi.. La etta che congiunge il pianeta con il sole descive aee uguali in tepi uguali.. Il quadato del peiodo di ivoluzione di ogni pianeta e popozionale al cubo del seiasse aggioe dell elisse: dθ da τ = ka Da queste ossevazioni, si puo isalie alla legge univeale della gavitazione: La seconda legge di Keple dice che: da = cos tante e icodando che il oento angolae e : dt a da! dθ l = µ = µ ω d! Segue che, nel liite Δt : da dθ = = ω dt dt dt si vede che da l = dt µ a

11 Dalla seconda legge di Keple, si conclude che l e costante, e dunque che la foza ecentale da costante l costante dt e' centale (cioe oientata lungo la etta che collega il pianeta al sole) Si supponga oa che l obita sia cicolae. Alloa la foza centale deve assicuae l acceleazione centipeta. π = µω = µ τ e sostituendo dalla teza legge di Keple: τ = k dove la costante k dipende dalle cicostanze (non e sepe la stessa) 4π = µ k cioe dove = γ 4π γ = k + = ( ) 4π k µ = k 4π ( + )

12 Newton ipotizzo che fosse una costante univesale (non dipendesse dalle asse o dalla geoetia dellobita), e la veifica ea gia in pate ottenibile peche, pe un qualsiasi copo vicino la supeficie teeste (), con g g = γ = γ dove g ea gia stato veificato indipendente da (Galileo). Peo Newton dovette inventasi il calcolo integale pe capie che l azione della assa teeste si poteva tattae coe se tutta la assa fosse concentata al cento. Newton calcolo γ γ L L = L π τ γ = ω L L dal peiodo lunae e la distanza tea luna. L γ γ La pia isua dietta di ( e quindi di ) fu fatta da Cavendish (798) con una bilancia a tosione *.