Lezione XVII 17/04/2003 ora 14:30 16:30 Calcolo velocità del suono, eq. D'Alambert, grandezze sonore Originale di Coronella Pierre e Sirocchi Marco

Transcript

1 Lezione XVII 17/4/3 oa 14:3 16:3 Calcolo velocità del suono, eq. DAlambet, gandezze sonoe Oiginale di Coonella Piee e Siocchi Maco Pessione sonoa Abbiamo pecedentemente detto che affinchè il suono possa diffondesi, il mezzo attaveso cui viaggiano le onde sonoe deve essee elastico. Ritonando al caso del pistone mobile, possiamo die che, dal momento che laia è un mezzo elastico, la sua compessione, dovuta allavanzata del pistone, viaggia con velocità finita e quindi, ad un deteminato istante di tempo e ad una oppotuna distanza dal pistone, esisteà sempe uno stato di paticelle imaste feme che costituisce una baiea allavanzamento delle paticelle petubate dal moto del pistone. Si ha il cosiddetto fenomeno di confinamento ineziale il quale fa sì che, sebbene non vi sia una paete solida, il volume del gas diminuisca e che di conseguenza aumenti la pessione. Quando il pistone tona indieto, il volume e la pessione itonano ai loo valoi oiginai; possiamo quindi affemae che anche la pessione segue il moto del pistone fluttuando nel tempo con legge sinusoidale. Ricodando il significato enegetico e cinetico del suono, osseviamo che al contatto con un mezzo ho il passaggio da enegia cinetica ( movimento delle masse ) ad enegia potenziale, sotto foma di pessione. In ogni istante lenegia posseduta è sempe la stessa e saà la somma delle due. Se consideo un elemento di aia ad una distanza ( fig. 8a ), ho una compessione di questo volumetto ( fenomeno piuttosto apido ) e posso consideae la tasfomazione di enegia adiabatica e quindi vaà la legge: PV g =cost ( 9 ) Fig.8 :compessione del pistone e elativo gafico di oscillazione Il sistema, seguendo questa legge, oscilleà intono al punto ( P, V ), cioè intono alla pessione atmosfeica. Chiameemo Pessione sonoa P la diffeenza ta la pessione complessiva che fluttua nel tempo P (t) meno il valoe costante dato dalla pessione atmosfeica P. P = P(t) - P ( 1 ) Poiché si tatta di una gandezza elativa, cioè calcolata a patie da un valoe di ifeimento costante, che in questo caso è la pessione atmosfeica media, può assumee anche valoi negativi. Le pessioni coinvolte in campo sonoo sono sempe molto piccole. Si aggiunge una pessione di 1 Pa quando il suono ha un livello in decibel pai a 94 db che è un valoe supeioe a quello della voce umana.le due equazioni fondamentali che descivono la fluttuazione di pessione sonoa sono:

2 PV=RT ( 11 ) PV g =P V g ( 1 ) Da cui: Pρ -γ =P ρ -γ ( 13 ) P=P ρ -γ ρ γ ( 14 ) Dunque vedo che la pessione non cesce lineamente con la densità ma cesce con una sua potenza. Posso calcolami la pendenza di questa cuva effettuandone la deivata: P ρ = P γ ρ ρ γ 1 γ ( 15 ) Se calcoliamo il valoe locale nell oigine ( 15 ), nell ipotesi di piccoli spostamenti,otteniamo la pendenza della cuva in quel punto,e saà quindi possibile appossimae la cuva con una etta. P ρ = P ρ γ ρ γ 1 γ = P γ ρ ( 16 ) In paticolae scopiamo che questa deivata ha come dimensione quella di una velocità elevata al quadato, infatti icodando l equazione di Benoulli e che la velocità è quella del suono otteniamo: c ρ + P + ρgh cos t = γ P = ρ c E possibile oa esplicitae la velocità : c = P ρ γ = γrt ( 17 )

3 La velocità di popagazione dipende solo dal mezzo e non dall ampiezza e fequenza del segnale ed è invece dipendente dalla tempeatua. Questa elazione è alla base della Temometia acustica, e saà possibile così misuae pe esempio la tempeatua in una camea di compessione misuando il tempo di popagazione nel mezzo.nei liquidi valgono elazioni analoghe: c = β ρ γ ( 18 ) dove b è il modulo di compessibilità isotema e vale: P = V β ( 19 ) V T = cost Questo modulo ha un valoe elevato e avemo una velocità di popagazione maggioe ispetto a quella dell aia.nella tabella sono illustate alcune ta le velocità di popagazione ifeite ai mezzi più usati: Mezzo Velocità del suono [m/s] Quazo 5486 Acciaio 696 Azoto (a 7 C e 1 BAR) 355 Azoto (a 7 C e 1 BAR) 379 Mecuio 1451 Gliceina 1895 Idogeno 181 Elio 6 Tabella 1 Valoe della velocità del suono in vai mezzi Osseviamo che l azoto non può essee consideato un gas pefetto peché la velocità del suono vaia con la pessione. E impotante notae lalto valoe dellacqua; olte ad essee abbastanza elevato, lacqua ha un bassissimo coefficiente di pedita: il suono infatti può pecoee in acqua anche centinaia di chilometi pima di pedee ampiezza. Questa velocità ha anche un aspetto negativo: infatti il tempo necessaio a aggiungee un oecchio è pessoché uguale a quello necessaio a aggiungee lalto.questo non ci pemette, in acqua, di localizzae coettamente loigine dei suoni. Il nosto sistema uditivo è infatti "calibato" pe ascoltae suoni povenienti dallaia: in base al itado che impiega un suono a giungee alle noste oecchie (IDT, inteaual delay time o ILD, inteaual level diffeence pe le alte fequenze), capiamo da dove aiva. In acqua, dove la velocità del suono è divesa, il nosto sistema uditivo non iesce a capie dove si tova la sogente; e peò sufficiente utilizzae un dispositivo come quelli utilizzati una volta dai sottomaini pe ovviae a questo poblema,infatti, essendo la velocità in acqua cica cinque volte

4 quella in aia, è sufficiente che si ascoltino, dallinteno di un involuco gande cinque volte la nosta testa (pe mezzo di stumenti chiamati idofoni) i suoni pecepiti agli estemi di tale oggetto; in tale modo, inolte, si mantiene la popozione anche con leffetto schemante della nosta testa. Siamo così in gado di localizzae coettamente loigine del suono. Pe i solidi infine vale la elazione : c E ρ = ( ) dove E è il modulo elastico [N/m ]. Ossevando i valoi della tabella e icodando la teoia dei modelli si possono fae impotanti consideazioni sulla pogettazione di pototipi in scala,infatti,icodando la fomula: ωl = cost c ( 1 ) si può ossevae che pe lunghezze caatteistiche del modello L molto basse la fequenza d onda aumenta in maniea eccessiva.si può isolvee questo poblema andando ad utilizzae un fluido che abbia una velocità del suono più bassa di quella dell aia,pemettendomi così di lavoae a fequenze più basse. Cechiamo oa di capie il legame ta pessione e velocità. Innanzitutto dobbiamo ossevae l esempio del pendolo, in cui possiamo facilmente ossevae i valoi di enegia potenziale ed enegia cinetica,ed andando a diagammae l andamento della velocità e la pessione vedo subito che quando una è massima l alta è nulla e vicevesa. Nell esempio consideato le funzioni che espimono la velocità e la pessione sono: u = Aω cos( ωτ kx) P = Pmax sin( ωτ kx )

5 Fig.9 :Pendolo di compessione e gafico velocità / pessione Da notae inolte il paagone dell andamento di queste due gandezze con la tensione e la coente in u cicuito elettico,in cui similmente abbiamo due gandezze sfasate.il massimo taspoto di enegia lo avemo quando le due gandezze saanno in fase ( analogamente ai cicuiti elettici ). Nella situazione appesentata in figua avemo invece taspoto di enegia nullo ( le gandezze sono sfasate di 9 ) e all inteno del tubo avò un campo stazionaio e otteò delle onde stazionaie. Da questi due casi limite teoici si estapolano poi i casi eali, con la divisione dell enegia totale ta i due.avemo una quota di campo stazionaio e una quota di campo oscillante. Cenni peliminai pe l equazione di D Alambet La popagazione del suono è un fenomeno di natua ondulatoia; anche se in alcuni ambiti dell acustica è possibile tascuae questa natua ondulatoia del suono sviluppando un tattazione puamente enegetica, in alti, come ad esempio pe i fenomeni di intefeenza, di diffazione, tipici delle onde, è necessaio sviluppae un modello matematico che appesenti le caatteistiche ondulatoie dei fenomeni acustici. Ι legge di Newton Consideiamo un volumetto di fluido dv che in un sistema di ifeimento catesiano ha dimensioni dx, dy, dz: Fig.1 volumetto di fluido Pe esso andiamo a scivee l equazione di moto: u f = m a = m (1) dove u è la velocità d assieme, totale, del volumetto. Il volumetto di fluido avà peò una massa: dm = dv = dx dy dz () Anche se abbiamo visto che i fenomeni acustici consistono in un taspoto di enegia meccanica senza spostamento della mateia cioè il fluido attaveso il quale si popaga il suono è mediamente femo, nel caso più geneale in cui il volumetto di fluido è in movimento occoe scivee l equazione di moto in un ottica lagangiana ossia seguendo il movimento del volumetto; la

6 tattazione che ne isulta è tipica del moto di un copo dento un fluido cioè è competenza della fluidodinamica. Ammettendo che il volumetto si muova con una velocità d assieme u non nulla (quindi il mezzo petubato acusticamente non è in quiete) e che il fluido di pe sè non sia femo, pe un qualsiasi motivo (ad esempio pe coenti d aia), cioè ha una velocità media di taspoto u alloa posso definie la velocità acustica come lo scostamento della velocità del volumetto da quella media del fluido: u = u -u (3) In acustica genealmente si considea un campo in cui la velocità media del fluido nulla e così: u = u (4) Quindi la velocità acustica coincide con la velocità d assieme del fluido in moto e in questo caso la deivata della velocità ispetto al tempo, necessaia pe il calcolo dell acceleazione, deve essee fatta in modo sostanziale cioè seguendo il moto della paticella. Un esempio di deivata sostanziale nel tempo, di una gandezza qualsiasi che assume valoi divesi in base alla posizione nel campo, potebbe essee la seguente: D Dt = + u x + u y + uz 14 x 44 4 y z taspoto (5) la deivata sostanziale di = (t,x,y,z) è uguale alla deivata paziale della densità ispetto al tempo più i temini di taspoto ossia le deivate paziali della densità ispetto le te diezioni canoniche ciascuna moltiplicata pe la ispettiva componente catesiana della velocità. Tonando alla nosta tattazione la deivata della velocità ispetto al tempo deve essee fatta in modo sostanziale anche se in acustica si iduce ad una deivata odinaia peché la velocità del fluido, mediamente femo, è nulla. f = m a = m du dt (6) Effettuiamo oa il bilancio delle foze: Fig. schema degli sfozi

7 Dove: p 1 = p p p = p + dx x La isultante netta degli sfozi lungo l asse x è il podotto ta pessione isultante lungo quella diezione pe la supeficie inteessata A: p p = - (p - p ) A = - dx A = - dx dy dz (7) x x Fx 1 Analogamente pe le alte due diezioni: p F y = - dx dy dz (8) y p F z = - dx dy dz (9) z Le deivate della pessione sono paziali pe una dipendenza multipla di questa gandezza da alte ossia p = p(x,y,z,t). Andando a sostituie tali elazioni nell equazione di moto ottengo: p p p - i + j + k Ł x y z ł dx dy dz = dx dy dz Du Dt (1) da cui Du = -gad(p) Dt (11) Il segno meno significa che il gadiente è positivo nella diezione delle pessioni cescenti mente nel nosto caso la gandezza (p p 1 ) è positiva nella diezione opposta; fisicamente ciò significa che il fluido va veso le zone a pessione minoe.

8 Equazione di continuità L equazione di continuità non ha senso in assenza di fenomeni di accumulo cioè quando in egime stazionaio la massa del volumetto di fluido esta costante. Questo peò non è il caso dell acustica dove peiodicamente massa enta ed esce dal volumetto in quantità divese fomando accumuli che implicano una vaiazione della densità del volumetto stesso. La vaiazione di densità è giustificata anche dal fatto che dento al volumetto vaia la velocità e la pessione del fluido; se l aia si compota come un gas pefetto è nomale che vaiando la pessione cambia anche popozionalmente la densità. Fig.3 accumuli di massa Pe valutae la vaiazione di densità nel tempo si potebbe pensae di icavae la diffeenza ta la densità in uscita dal volume e quella di ingesso ottenendo una gandezza popozionale al flusso del vettoe velocità attaveso la supeficie in questione. Attaveso il teoema della divegenza, che mi pemette di passae dall integale di supeficie della velocità (flusso della velocità sulla supeficie) all integale di volume della divegenza della velocità, giungo alla conclusione che: = -div( u) (1)

9 Equazione D Alembet Le equazioni icavate pecedentemente hanno una validità geneale, pe qualsiasi fluido in moto. Nel caso del campo acustico vengono fatte le seguenti semplificazioni legate alle caatteistiche intinseche del campo stesso: 1. La deivata sostanziale della velocità diventa una deivata odinaia peché il fluido è mediamente femo.. Ipotesi di piccole oscillazioni. L ipotesi di piccole oscillazioni affema che i fenomeni acustici petubano il mezzo coinvolto ma di poco cioè la vaiazione delle gandezze fisiche del mezzo da una situazione di equilibio, pima della sollecitazione acustica, ad una petubata, è piccola: p p + p = con p <<p = + con << p è la pessione acustica o meglio lo scostamento da quella media all equilibio ed è l unica esponsabile del movimento del volumetto di fluido; p è la pessione media atmosfeica, costante in ogni punto del volumetto in assenza di suono e che quindi non contibuiebbe al suo moto. è la vaiazione di densità del mezzo petubato ispetto alla situazione di equilibio; è la densità media, pima della sollecitazione acustica. Pe quel che iguada la velocità non possiamo die che u <<u peché avendo imposto u = nulla ispetto allo zeo può essee tascuato. In ogni caso u esta una gandezza piccola. Le appossimazioni fatte, dette di Boussinesq, ci pemettono di tascuae i temini isultanti dal podotto ta una quantità infinitesima e una finita ispetto le quantità finite. Alla luce delle appossimazioni viste sopa possiamo iscivee l equazione di moto e quella di continuità in questo modo: u ( + / ) = -gad(p/ + p ) (13) ( / + ) = -( + / ) div(u) (14) dove le deivate di gandezze costanti si annullano, gli infinitesimi si tascuano. Le equazioni isulteanno alloa in questa foma: u = - gad(p ) (15) questa equazione è detta anche di Euleo. = - div(u) (16) Alle quali posso aggiungee:

10 p = c (17) Visto che nella patica noi sappiamo misuae facilmente la pessione, attaveso un micofono, e la velocità del suono, tamite un anemometo, ma non abbiamo uno stumento di misua della densità, cechiamo di eliminae dalle equazioni la dipendenza dalla densità. che sostituita nella equazione di continuità: p = (18) c p = - c div(u) (19) L ultima vesione dell equazione di continuità appena vista assieme all equazione di moto scitta in pecedenza, costituiscono un sistema di due equazioni diffeenziali del pimo odine nelle vaiabili pessione e velocità che possiamo sostituie con un unica equazione diffeenziale del secondo odine. A tale poposito, ammettendo che il campo delle velocità sia solenoidale e quindi ammette potenziale, andiamo a definie una nuova gandezza chiamata potenziale della velocità: dove F è un campo potenziale scalae. gadf = u () Sostituendo la definizione di potenziale della velocità nell equazione di moto ottengo: F gad = -gad(p ) (1) Se due gadienti sono uguali, saanno uguali anche i loo agomenti: F = -p () Sostituendo l uguaglianza pecedente nella equazione di continuità nella nuova vesione assieme alla definizione di potenziale della velocità ottengo: F = c F (3) Equazione D Alembet Integando l equazione D Alembet icavo il potenziale della velocità F ( x, y, z, t) e quindi, attaveso il gadiente di quest ultimo, il campo della velocità; tamite le elazioni viste posso aivae a isolvee anche il campo delle pessioni.

11 In altenativa, una volta isolta l equazione D Alembet, posso, deivando nel tempo il potenziale, icavae il campo di pessione e attaveso l equazione di Euleo la velocità in ogni punto: = - gad(p u ) dt (4) Gazie alla misua della pessione, facilmente ealizzabile tamite micofoni, posso avee una analisi completa del campo acustico. La elazione pecedente, in cui la velocità viene icavata come integale nel tempo della deivata della pessione, è alla base del funzionamento degli anemometi acustici che misuano la velocità delle paticelle di fluido in un campo petubato acusticamente. Una pecisazione da fae è che l equazione D Alembet data la sua complessità, nella patica si intega solo in te casi: 1. Onda piana pogessiva, è quell onda che si sviluppa dento il tubo di lunghezza indefinita quando il fluido al suo inteno viene sollecitato da un pistone che si muove di moto amonico.. Onda sfeica pogessiva, geneata da una sogente sonoa di foma sfeica che iadia in ogni diezione il suono. 3. Onda piana stazionaia, è l onda geneata sempe dento un tubo pe effetto di un pistone che compime il fluido peiodicamente peò in questo caso il tubo è teminato, ha lunghezza finita. Fig.7 tubo ad onde stazionaie Quest ultimo tipo di onda ha un inteesse paticolae pe lo studio delle popietà fonoassobenti dei mateiali. Ammettendo infatti di teminae il pistone con un campione di mateiale ben peciso succede che l onda, geneata dalla compessione del fluido impessa dal pistone, giungendo alla teminazione del tubo veà iflessa in quantità maggioe o minoe a seconda delle popietà di assobimento del mateiale. L intefeenza ceatasi fa l onda dietta e quella iflessa geneeà una distibuzione di enegia acustica lungo il tubo, enegia associata all onda isultante dalla sovapposizione delle due, che saà caatteizzata da punti di minimo e di massimo. In alcuni punti l onda iflessa va a cancellae quella dietta ottenendo dei minimi, in alti va a sommasi ceando dei massimi. Dallo studio del campo di intefeenza ottenuto con questa pova iesco a dedue alcune popietà del mateiale posto alla teminazione del tubo. In paticolae modo misuando attaveso uno o più anemometi acustici la componente di itono dell onda sonoa, in possimità della supeficie di iflessione, iesco a classificae il mateiale come un buon assobente o meno. Questo tubo di lunghezza finita sollecitato dal pistone è un veo e popio stumento di misua chiamato tubo ad onde stazionaie.

12 A pate i te casi visti pecedentemente, l equazione D Alembet non si intega quasi mai; pe alcuni poblemi geometicamente complessi esistono metodi di isoluzione numeica dell equazione, chiamati metodi agli elementi finiti che peò vanno olte la nosta tattazione. Potenza sonoa W E la potenza (o enegia pe unità di tempo) che una sogente acustica tasmette al fluido cicostante petubato da onda sonoa e si misua in Watt. Nel caso di sogenti elettoacustiche: Si definisce endimento: Fig.8 diagamma delle potenze W W AC h = (7) EL Tale endimento è genealmente basso; pe altopalanti HI-FI vale 1 o % mente pe altopalanti a tomba vale 15% cioè pu non essendo ad alta fedeltà sono molto più efficaci pe podue molta pessione sonoa a patie da poca potenza elettica. Pe fae un esempio numeico se un altopalante di tipo commeciale è a 5W di potenza elettica e ha un endimento di.5%, la potenza acustica tasmessa al mezzo è di.65w, molto piccola tenendo pesente che la potenza acustica della voce non amplificata è dell odine di 5mW. Intensità sonoa media Consideando una sogente omnidiezionale di suono Fig.9 sogente sfeica omnidiezionale

13 Ponendomi ad una distanza d dal suo cento, definiamo intensità sonoa media: W W I = = (8) S 4pd Si nota che l intensità non è costante ma vaia con la distanza dalla sogente. Inolte vi è da tenee in consideazione che se la sogente è fotemente diezionale, come la maggioanza degli altopalanti commeciali, l enegia isulta essee tutta concentata come in un lobo diezionato e quindi non appena mi sposto angolamente dalla taiettoia segnata da questo lobo avveto una diminuzione di intensità pu imanendo alla stessa distanza dal cento della sogente. Intensità sonoa istantanea Fig.1 diezionalità dell altopalante Fig.11 vettoe velocità Peso un punto P del campo sonoo nel quale il vettoe velocità oscilla avanti e indieto lungo una ceta diezione e la pessione (campo scalae) oscilla anch essa attono al valoe medio atmosfeico, in questo punto si veifica un taspoto di enegia e si può definie l intensità sonoa istantanea così: i( t) = p ( t) u ( t) Si potebbe pensae alla pessione e alla velocità nel campo acustico come alla tensione e alla coente in un equivalente cicuito elettico in egime altenato: se le due gandezze sono in fase ho il massimo tasfeimento di enegia e i due campi si dicono sinconi; nel caso in cui sono sfasate fa di loo l enegia a volte cesce alte diminuisce e mediamente è nulla. L intensità media può essee icavata come media tempoale del valoe istantaneo: (9) 1 T I = (p u)dt (3) T Da notae è che in questo caso non occoe fae una media quadatica, data la pesenza del podotto di due gandezze misuabili, pessione e velocità; anticamente quando non si sapeva ancoa misuae la velocità dei fluidi si appossimava la intensità media con il quadato della pessione ed

14 effettivamente questo è agionevole se si pensa che se pessione e velocità sono in fase, posso vedee l una, ad esempio la velocità, come uguale all alta, la pessione, a meno di un coefficiente moltiplicativo, e quindi il loo podotto è una gandezza quadatica, il quadato della pessione, e si pesta bene ad appossimae l intensità media (questa situazione si veificata nel caso di onda piana pogessiva). Se pessione e velocità sono in fase, il loo podotto mediato nel tempo, che è poi l intensità media, è equivalente alla massima potenza tasfeita da un cicuito elettico in altenata dove tensione e coente sono in fase (V I) e ciò coisponde ad una situazione di massima enegia. Nel caso in cui le due gandezze non sono in fase la potenza media tasfeita, cioè l intensità media, diminuisce peché devo moltiplicae il loo podotto pe il coseno dello sfasamento j. Nel caso peggioe in cui lo sfasamento è di π/ l intensità media, la simbolica potenza media, si annulla ( cos(π/) = ) mente quella istantanea può essee anche divesa da zeo. Questa è la situazione che si genea dento al tubo ad onde stazionaie. fequenza doppia I = t pessione intensità velocità Fig.1 intensità in un tubo ad onde stazionaie Nel caso in cui pessione e velocità sono sfasate di π/ si può ossevae un fenomeno cuioso: l intensità istantanea è un segnale della stessa foma ma di fequenza doppia. Nel caso in cui pessione e velocità sono in fase l intensità istantanea è un segnale a fequenza doppia ispetto a quello di patenza (spettalmente contiene anche amoniche di fequenza supeioe) ma che ha peso la foma oiginaia. fequenza doppia non è una sinusoide t pessione e velocità intensità Fig.13 l intensità distoce l infomazione del campo sonoo

15 Ciò significa che di pe sè l intensità istantanea non contiene infomazioni sulla foma d onda sonoa di patenza peché è un segnale fotemente distoto. L intensità sonoa istantanea acquista un significato solo nel momento in cui la vado ad integae nel tempo tovando un valoe medio significativo dell enegia in gioco nel campo acustico. Questo mette in evidenza come una analisi intesimetica, enegetica, sia molto patica peché ci ispamia la isoluzione delle equazione delle onde ma compota una pedita dell infomazione associata al suono; l unica infomazione che si conseva è quella enegetica, ma non è sufficiente pe la compensione del messaggio contenuto in un suono. Impedenza acustica Z L impedenza acustica è il appoto fa i moduli di pessione e velocità: p Z = (31) u Questo appoto dipendeebbe dal tempo visto che sia pessione che velocità sono funzioni del tempo. Peò sia p che u sono segnali che copiano la stessa foma d onda di patenza e quindi il loo appoto non dipende dal tempo ma solo dal punto del campo sonoo in cui lo vado a calcolae. Inolte in casi geometici semplici, come quelli che noi tattiamo, anche la dipendenza spaziale della impedenza spaisce: Nelle onde piane stazionaie Z = costante; Nelle onde sfeiche Z = Z(d) cioè l impedenza dipende solo dalla distanza dal cento della sogente acustica e non dalle alte due coodinate angolai del sistema di ifeimento sfeico; L unità di misua dell impedenza è: Pa = (3) m / s [ Z ] = Rayl Fisicamente l impedenza acustica mi dice quanto un campo è mobido ossia in che modo eagisce alla sollecitazione di una foza quale può essee quella di pessione del suono. Concetto equivalente all impedenza acustica è l impedenza meccanica definita come: F Z M = (33) u ossia l impedenza acustica è pai ad una impedenza meccanica su unità di supeficie peché al posto della foza F ho la pessione p che è foza su unità di supeficie. L impedenza meccanica è una concetto legato alla defomabilità e capacità di vibae di un copo: se un copo ha una elevata impedenza meccanica sevono foze elevate pe ottenee appezzabili velocità ossia oscillazioni del copo stesso; se invece ha impedenza meccanica bassa con poca foza impimo foti oscillazioni al copo. Analogamente posso agionae con l impedenza acustica: in un campo acustico a bassa impedenza con poca pessione iesco ad ottenee velocità notevoli mente se il campo è ad alta impedenza sevono pessioni elevate pe ottenee velocità appezzabili.

16 Ragionando in modo duale pe avvicinaci di più alla ealtà possiamo die che genealmente lo scopo degli altopalanti è quello di geneae, mediante la velocità del padiglione impessa eletticamente, una pessione che poi veà pecepita dal nosto oecchio. Se mi tovo in un campo a bassa impedenza occoono velocità molto elevate pe pote geneae una pessione acustica appezzabile, una situazione che non è fa le più ideali; vicevesa se l impedenza è alta significa che con velocità basse, cioè con poca enegia meccanica sull altopalante, ottengo elevate pessioni, quindi questo tipo di campo è più favoevole pe l altopalante. L ultimo caso tattato è alla base del pincipio di funzionamento dell altopalante a tomba: Fig.14 adattatoe di impedenza Il diafamma mobile posto in possimità dell imboccatua della tomba vede una impedenza Z 1 molto alta ispetto a quella dell aia Z all alta estemità, quindi lavoa in condizioni ideali peché con basse velocità, poca enegia meccanica, sviluppa elevate pessioni. La tomba può quindi essee vista come un adattatoe di impedenza acustica, paagonabile al tasfomatoe pe i cicuiti elettici. Nella patica costuie degli altopalanti che funzionano a basse velocità è più facile che costuili pe velocità elevate peché pe funzionae con sollecitazioni molto apide dovebbeo essee costuiti di mateiale più leggeo e quindi meno obusto. Onde piane Lo studio delle onde piane viene affontato icavando i campi di pessione e velocità: 1. p = p(x,y,z,t). u = u(x,y,z,t) Ponendoci in una specifica situazione geometica icaviamo una soluzione dell equazione D Alembet, cioè il potenziale della velocità, dalla quale deiviamo la pessione e la velocità che mi pemetteanno anche di icavae l intensità media e l impedenza del campo. F = c F (34) u = gadf (35) F p = - (36) La situazione geometica in cui ci poniamo è un pistone piano infinito che si muove avanti e indieto lungo una diezione di moto amonico.

17 Fig.15 pistone piano infinito Pe l onda piana pogessiva la soluzione all equazione D Alembet è una funzione di tipo amonico: F = F cos[ wt kx] (37) - w con k = chiamato numeo d onda. c Espimiamo il potenziale della velocità in notazione complessa: { e } j( F wt kx) Re - F = (38) Genealmente si tende ad omettee l indicazione della pate eale della gandezza esponenziale solo pe comodità, sottintendendo che tutte le gandezze fisiche sono eali e anche se vengono appesentate in notazione complessa, pe comodità di calcolo, di esse dobbiamo consideae solo la pate eale: e j( -kx) F = F wt (39) Ricaviamo alloa la velocità come gadiente del potenziale di velocità; vista la situazione geometica in cui ci siamo posti il gadiente si iduce alla sola deivata diezionale lungo x: F u = gadf = x = - j k F e j( wt- kx) (4) Il valoe -j indica che la velocità è sfasata di -π/ ispetto al potenziale e quindi se quest ultimo è una gandezza cosinusoidale, la velocità saà una gandezza sinusoidale. Pe icavae la costante F impongo la condizione all oigine, in cui il pistone nella posizione centale dell oscillazione x = e all istante iniziale di ossevazione del fenomeno τ =, pesenta velocità massima: u = u (41) u = - j k F (4) Si può concludee che: u F = (43) k

18 Complessivamente icaviamo l espessione della velocità (o meglio solo la sua pate eale): u u e j( wt -kx) = (44) Passiamo oa al calcolo della pessione: p = - F (45) F = - u j k (46) c = Pe cui effettuando le oppotune sostituzioni: w k (47) p = c (48) Si può notae che pessione e velocità hanno espessioni molto simili fa di loo e diffeiscono pe il solo temine moltiplicativo costante: u p c L impedenza pe l onda piana pogessiva isulteà essee costante: p z = = c = 415 Rayls (5) u Si può notae anche che pessione e velocità sono in fase (hanno lo stesso temine esponenziale) e quindi il loo podotto, che saà un numeo complesso che ha pe modulo il podotto dei moduli, e pe fase la somma delle fasi, saà: j( wt- kx) = - j w F e j( kx) j( kx ) u e wt- wt- = p e j( wt- kx) = e (49) j( kx) p j( kx) u e wt- wt- = e c i( t ) = c (51) L intensità istantanea è in questo caso una gandezza che oscilla a fequenza doppia ispetto le gandezze caatteistiche del campo acustico, pessione o velocità. Visto che sto palando di gandezze sinusoidali posso sostituie i valoi massimi con i ispettivi valoi RMS: p prms = (5)

19 u u = RMS (53) Effettuando una media tempoale dell intensità istantanea icavo l intensità media: 1 I = c u = c urms (54) 1 p prms I = = (55) c c Nel caso di onda piana pogessiva pessione e velocità media sono popozionali all intensità media e questo nella patica significa che misuando attaveso un micofono la pessione e facendone il quadato iesco immediatamente a icavae l intensità del campo sonoo.