Idraulica e Idrologia: Lezione 18 Agenda del giorno

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1 Idaulica e Idologia: Lezione 18 Agenda del giono L espeienza di Reynolds Regime laminae e tubolento Leggi di distibuzione pe tensioni tangenziali e velocità Legge di Hagen-Poiseuille Pg 1

2 Regimi laminae e tubolento: l espeienza di Reynolds O. Reynolds, pe mezzo di una famosa espeienza ed utilizzando oppotuni liquidi coloati (iniettati nel fluido da una speciale appaecchiatua), ha messo in chiaa evidenza l'esistenza dei due egimi (laminae e tubolento) a divese velocità (velocità del fluido attaveso il tubo). Filetti fluidi coloati, infatti, si pesentano distinti ento una massa liquida incoloe sino a deteminate velocità, olte le quali il coloe si diffonde in tutta la massa cicostante. All'inteno di una coente, poi, la tubolenza viene messa in evidenza dalle pulsazioni intono a valoi medi delle caatteistiche velocità e pessione. In egime tubolento non si può più palae di taiettoia come luogo delle posizioni successive che una paticella elementae occupa in ogni istante. Regime laminae Regime tubolento Pg

3 Royal Soc. Phil. Tans., 1883 `the colou band would all at once mix up with the suounding wate, and fill the est of the tube with a mass of coloued wate... On viewing the tube by the light of an electic spak, the mass of colou esolved itself into a mass of moe o less distinct culs, showing eddies.' Osbone Reynolds, Pg 3

4 L espeienza di Reynolds: la definizione del egime tubolento A Reynolds si deve anche la individuazione di un numeo Re indice, funzione delle gandezze e delle caatteistiche fisiche di un fluido, inteso a appesentae il appoto fa foze di natua ineziale e quelle viscose, nonché la deteminazione del paticolae valoe Rc di tale numeo che appesenta il limite di coesistenza ta i due egimi (laminae e ubolento). Indicate in la densità, in V la velocità media, in D la dimensione tasvesale media della coente e in la viscosità di un liquido, il numeo indice caatteistico del tipo di moto di tale liquido, o numeo di Reynolds, è dato dall'espessione seguente: Re V D velocità densità dim ensione vis VD cos ità foze ineziali foze vis cose tasvesal e coente Pg 4

5 Regime laminae e Regime tubolento Nel egime laminae, molto gaduale, lo sfozo tangenziale è dovuto all inteazione micoscopica fa le molecole; i distubi al flusso sono smozati dalle foze viscose. Il egime laminae, nei tubi, si ha pe numei di Reynolds infeioi a 000. Nei tubi il egime tubolento si instaua a patie da valoi del numeo di Reynolds maggioi di Il egime laminae nei canali si ha pe numei di Reynolds infeioi a Nel egime tubolento il flusso è caatteizzato da fluttuazioni ossevabili, che agiscono su scala macoscopica. Le popietà geneali del moto sono il isultato di tali fluttuazioni. Pg 5

6 Esempio La velocità media dell acqua a tempeatua ambiente in un tubo di diameto pai a 0.1m è 0.ms -1. Il egime del flusso è laminae o tubolento? (Ricoda: 0 =1x10 3 kgm -3, =1x10-3 Nsm - ) Calcolo del numeo di Reynolds: R e 0 vr (1x kgm )(0.ms -3-1x10 Nsm -1 )(0.1m) 0000 kgms N 0000 Maggioe di 3000, quindi tubolento. Pg 6

7 Regime laminae e tubolento Distibuzione di velocità e leggi di esistenza Pg 7

8 Espeimento di moto (egime laminae) indotto da vaiazioni di pessioni (P1 e P) sulle due supefici estemali P 1 P Q L La condotta è oizzontale, di lunghezza L. Una potata Q fluisce al suo inteno Pg 8

9 Tensioni (sfozi) tangenziali La tensione (sfozo) tangenziale agisce paallelamente alla supeficie (al contaio della pessione, che agisce nomalmente alla supeficie), ed è data dal appoto fa la foza paallela F e l aea della supeficie F tan genziale F tan genziale A F A Pg 9

10 Pofilo degli sfozi tangenziali -1 1 o x Bilancio delle foze sull elemento cilindico, di lunghezza Δx. Le foze sono: -pessione su supeficie 1; -pessione su supeficie ; -Sfozi tangenziali sul peimeto. Ovveo: P 1 P (P 1 P x ) x 0 (1) Pg 10

11 Dalla (7.1) si ha che gli sfozi tangenziali vaiano lineamente con : P1 P x In coispondenza della paete (= o ): p Pofilo degli sfozi tangenziali - () o P P 1 x (3a) Ovveo: (P 1 P ) 4 x D p (3b) Pg 11

12 Pofilo degli sfozi tangenziali -3 Dalla (7.3b) si ottiene alloa che: p o o p o (4) Lo sfozo tangenziale è funzione della coodinata adiale. Nota che questo isultato è indipendente dal egime del fluido (vale quindi sia pe egime laminae che tubolento) Pg 1

13 Caso 1: Regime laminae (il egime laminae è dominante nel definie le caatteistiche dei campi di moto nelle falde) Pg 13

14 Legge di Newton sulla viscosità dv dy (5) [=N/m. s=pa. s]: Viscosità = / : viscosità cinematica [=m /s] Fluidi newtoniani: Fluidi che si compotano coeentemente con la legge di Newton: lo sfozo tangenziale è funzione lineae del gadiente di velocità. La viscosità di un fuido misua la sua esistenza al flusso a fonte di una assegnata foza applicata. Pg 14

15 Esempio: sfozi tangenziali Lo spazio fa due piaste è iempito con acqua. Deteminae lo sfozo tangeziale e la foza ichiesta pe muovee la piasta supeioe ad una velocità costante pai a 10 m/s (ispetto alla piasta infeioe). Lo spazio y 0 misua 0.1mm e l aea delle piaste è pai a 0. m. La viscosità dell acqua è Pa.s. y o V o A acqua F = F/A Pg 15

16 Regime laminae: pofilo di velocità - 1 La legge di Newton espessa in coodinate adiali può essee scitta nel modo seguente dv d Combinando le equazioni () e (6), ed integando, si ottiene: o (P1 - P ) V() 4 x (6) [7 (a)] V() (P1-4 P ) x o 1 o [7 (b)] Il pofilo di velocità è paabolico Pg 16

17 Regime laminae: pofilo di velocità - Velocità minima, V=0 sulla paete Velocità massima V max al cento della condotta (ovveo: ad =0): V max (P1-4 P ) x o (7.8) Il pofilo di velocità si può scivee petanto come: V() V max 1 o [7.7 (c)] Pg 17

18 Regime laminae nelle condotte cicolai: pofilo di sfozo e di velocità Sfozo tangenziale Velocità Veo sia pe egime laminae che tubolento Veo pe egime laminae Pg 18

19 La potata attaveso la condotta è: Legge di Hagen-Poiseuille Q V() da Q 4 o ( P1 P ) Do ( P1 P ) 8 x 18 x 4 (9) Pg 19

20 Enegia pesa a causa dell attito (foze viscose) L applicazione dell equazione dell enegia fa le sezioni 1 e poge P P1 V V1 ( ) ( ) (z z1) g g g g Pe flusso in una condotta oizzontale, in condizioni di moto pemanente e senza vaiazioni di diameto, si ha: F g F P 1 P In agione della (9) : F Q x 18 4 D o In agione della (3b): F 4 x D (1) (13) p Lo sfozo tangenziale sulla paete è esponsabile delle pedite di enegia Pg 0

21 Pedita di enegia La pedita di enegia si sviluppa in maniea continua lungo la condotta, e può quindi essee espessa come pedita pe unità di pecoso e di peso, J=(P 1 -P )/, da cui si ottiene: V() o 4 J La figua appesenta l evoluzione delle pedite di enegia nel moto lungo una condotta che collega due sebatoi posti a quota divesa. Le linee A-B e C-D descivono ispettivamente l andamento dei caichi totali (valoe dato dalla somma dei te temini enegetici: posizione, pessione e cinetico) e della pessione (valoe dato dalla somma dei temini di enegia di posizione e di pessione) nel caso di fluido ideale, mente le linee A-E e F-D appesentano I coispondenti andamenti nel caso di fluido eale. La velocità è unifoma nella condotta, e quindi le due linee (quella dei caichi totali A-E e quella dei caichi di pessione) sono paallelee di eguale pendenza (J). Tutta l enegia cinetica viene pesa nel momento in cui la condotta si vesa nel sebatoio a valle. Pg 1