Deflusso di un liquido da una buretta

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1 Deflusso di un liquido da una buetta Espeimentatoi: Maco Eculiani ( n maticola 69.o. ) Noo Ian ( n maticola o. ) Mateiale utilizzato: Una buetta di altezza (58..) cm e di capacità ± V ± ( 5.) cm, un tubo capillae lungo ( ±.) cm con aggio (.5 ±.5) cm, un aso di eto, un temometo aente eoe di sensibilità di. C, un conometo elettonico con sensibilità impostata ai millesimi di secondo. Scopo dell espeienza: Lo scopo di questa espeienza è lo studio del deflusso di un liquido da una buetta. Si ceceà di eificae il egime laminae di deflusso all inteno di un tubo-capillae, e si detemineà il coefficiente di attito dinamico intinseco del fluido, cioè la sua iscosità. Un olume di fluido in condizioni di egime laminae, cioè in moimento a basse elocità tali da non ceae tubolenza, è immaginabile come una seie di stati libei di scoee uno sull'alto. Se consideiamo un fluido ideale il coefficiente d'attito ta le supefici a contatto è nulla, quindi le elocità dei singoli stati estano costanti. Natualmente questo non ale pe un liquido eale. Consideiamo uno spessoe d di fluido in moimento a egime laminae con elocità,e a contatto con una paete, come in Fig.. Figua : fluido a egime laminae a contatto con una paete. Figua : se il egime è laminae alloa il fluido si compota come una seie di stati uno in moimento sull alto. Gli stati sono isualizzati con linee tateggiate. Si nota ce all aumentee della distanza dalla paete di contatto gli stati di fluido anno una elocità sempe più eleata. Questo fenomento è douto dal fatto ce il fluido a una iscosità ( capacità all attito ) intinseca definita da un coefficiente. Vicino alla paete il fluido a una elocità pessocè nulla poicé c è un alto attito, mente se ci allontaniamo dalla paete l attito in gioco è quello ta due stati di fluido (iscosità) ce è sempe lo stesso nelle stesse condizioni, e la elocità aumenta lineamente. Non è detto, peò, ce l andamento della elocità sia sempe lineae, infatti, ci possono essee dei casi in cui dipenda dalla distanza dalla paete. Ciò non implica l inalidità di una elazione ce edemo ta poco (fomula ).

2 Si definisce, petanto, un gadiente di elocità come segue : ; () ce è costante, da come si ede ance in Fig., ma non è detto ce lo sia sempe. In un egime laminae di deflusso, la foza d'attito inteno pe unità di supeficie f, dipende unicamente dal gadiente di elocità, ed è definita come: f ( ) in cui F a è la foza d attito ed S la supeficie di contatto ta due stati contigui. Espandendo f in seie di Mc Lauin, otteniamo: f df d d f d ( ) f ( ) F S a d f d 6 n n n! n d f n d ; se si aesta la seie al pimo odine si a ce: df d f ( ) f ( ) η ; essendo f ( ) f con η, coefficiente di iscosità. Petanto, ta due stati di liquido ce scoono uno sull'alto, la foza d'attito ce si oppone al moto è:, e F ηs ; () Consideiamo oa un singolo tubo di flusso, scematizzato come una coona cilindica di fluido di spessoe infinitesimo. ( V. Fig..) Figua : tubo di flusso con una coona cilindica di fluido di spessoe infinitesimo. Figua : la coona cicolae è compesa ta la distanza dall asse ed d. F a è la foza d attito pesente sulla supeficie a sinista, ispetto al eso del flusso,

3 della coona cicolae, ce si oppone al moto del fluido nella coona, ed è causata da stati di fluido ce si toano a sinista della coona e ce anno più lenti. F a, inece, è la foza d attito sulla supeficie desta della coona, ed è causata da stati di fluido ce anno più eloci e ce quindi faoiscono il moto del fluido nella coona. F è la foza di pessione ce causa il moimento di tutto il liquido, mente F è la foza di pessione, di eazione a F, ce si oppone al moimento. Le foze agenti sul sistema sono: una foza di pessione nel eso dello spostamento e una analoga, ma in eso opposto F P πd, F P πd, una foza di attito sulla supeficie estena della coona cilindica F a ( d)( d) ηl π e una foza di attito sulla supeficie intena, di segno opposto ispetto ad F a F a πηl ; con L la lungezza del tubo di flusso. In un fluido in egime stazionaio, la isultante delle foze estene dee essee nulla, alloa: ( F ) ( F F ) F ( P ) πd πηl[ ( d)( d) ] P P π πη πη πη πη πη ; ( P ) d L Ld L d Ldd L questo punto tascuando il temine dd ce è un infinitesimo di odine supeioe ispetto a d e a d, e diidendo tutto pe πηld si ottiene: ( P P ) ηl d d d d P P d ηl d P P Posto,, sostituendo e deiando un podotto di due funzioni, ηl l equazione pecedente si scie nella foma : d d d d d d, ce possiamo ; sciee nella foma: membi si ottiene : d ( ) d ; a questo punto integando entambi i

4 ( ) d d ln ln ; oppue, solto nelle aiabili iniziali, cioè ponendo e d, sostituendo si a : d d d d d d d, integando ambi i membi si ottiene : d d d d ( ) ln ln d ( ) ln d ; Passando al limite pe (in coispondenza all asse del cilindo), si a ce: essendo ln lim questo punto ponendo pe R ( con R il aggio del cilindo ), dall equazione pecedente si toa ce R, e quindi in definitia si a la seguente espessione della elocità: ( ) R ;

5 Si può icaae il gadiente di elocità: ( R ) d ( P P ) P ; con P P P. d d ηl ηl ffincè il liquido scoa in maniea odinata ( questo dipende oiamente dalla elocità del liquido e dall entità della foza d attito), cioè a egime laminae, dee aloe la seguente espessione: f P P << cioè, sostituendo: η P P << fl η P P ( P P ) ηl << fl L << ; Quindi se pe il tubo-capillae ale R L La potata della coona cicolae isulta essee : <<, il egime di deflusso del fluido è laminae. dq dv dt dsdl dt ds ( R ) πd integando ambi i membi si ottiene: Q Q R dq ( R ) πd Q π 8 R Q Q π P P 8 ηl Q R. Doe Q è la potata coispondente all asse del condotto, il cui olume è nullo. Il numeo di Reynolds elatio al moto del fluido è : ρr R ; con la elocità media del fluido. η S L Siccome ce Q S alloa t icaata pecedentemente si a: Q. Sostituendo l espessione della potata S π 8 ( P P ) ( P P ) R R ; ηl πr 8η L 5

6 Sostituendo l espessione della elocità nella fomula del numeo di Reynolds si ottiene: ( P P ) R ρ R ; pe un fluido a egime laminae dee essee R < R C 8η L (aloe citico), cioè il aloe olte al quale si a il egime tubolento. Consideiamo oa una buetta di foma cilindica com in Fig.. Figua : buetta si sezione S e altezza. La potata di deflusso ale: 6 Q dv dt Se si considea la legge di Steino: pecedente si ottiene: π ρgr Q ; da cui si ottiene : 8 ηl si a ce: d t t d dt Bdt d S dt π 8 ( P P ) R ; S ηl P P ρg ; e sostituendo nell espessione d π ρgr dt 8 ηl S ; Ponendo π ρgr B 8 ηl d B B dt e integando ambi i membi isulta: ln B( t t ) ( tt ) S B e () ce descie l andamento dell altezza del liquido sulla buetta in funzione del tempo. è l altezza iniziale del liquido ce coisponde all altezza della buetta. La pima fomula coniciata appesenta una etta sul piano O; t;ln di pendenza B. Descizione dell appaato stumentale Gli stumenti utilizzati pe l'espeienza sono: Una buetta di altezza (58. ±.) cm, di capacità V ( 5 ±.) cm, con una scala gaduata taata in centimeti cubici, cui ea collegato un tubo capillae lungo ( ±.)cm ed il cui aggio ea (.5 ±.5) cm, posto in posizione oizzontale in modo da fae coincidee il suo asse con la tacca zeo della scala gaduata sulla buetta;

7 Un aso di eto contenente acqua distillata; Un temometo aente eoe di sensibilità di. C, pe tenee contollata la tempeatua dell ambiente. Un conometo elettonico con sensibilità impostata ai millesimi di secondo. Opeazioni di misua: In pimo luogo abbiamo iempito quasi del tutto la buetta e fatto scoee ia dell'acqua pe eliminae eentuali bolle d'aia intene, fino a quando il liello è giunto in coispondenza dei 5 cc. Da questo istante in poi abbiamo azionato il conometo pendendo i tempi di deflusso ogni c.c. di aiazione del olume. bbiamo peso l ultimo aloe di tempo all aio dei c.c. del liello dell acqua. Sono stati icaati, quindi, aloi di tempo pe uno suotamento completo della buetta. bbiamo eseguito queste opeazioni pe te olte dopo ae peentiamente contollato la tempeatua dell'ambiente, ce si è mantenuta costantemente a 5. C. I dati accolti sono elencati nella tabella a seguito: Tabella : aloi di tempo pe te suotamenti completi della buetta (seie), coispondenti alle elatie tacce di olume della scala gaduata aggiunte dal liello del liquido. Volume (c.c.) Tempi (s) (pima seie) Tempi (s) (seconda seie) Tempi (s) (teza seie) 8, 6,,,, 8, 6,,,, 8, 6,,,, 8, 6,,,, 8, 6,,, 8, 7, 6,7 6, 6,9 57, 68,8 8,6 9,7 7,9,7 6,8 5, 7,5 9,67,9 8,89 66,5 98, 7,56 85,9 6,95 5,89 688,899 8,65 6,87 5,8 5, 5,6 56, 66,956 78, 9,67,9 8,96,95 5,9 68,78 88, 8,9,5 6,6 9,7 8,98 77, 6,9 5,959 67, 7,87 6,56 5,,589,57 5,597 65,58 77, 89,65,69 6,6,67 7,9 65, 8,86,8 8,5 5,99 85,75,9 67,9 5,89 59,9 657, 7

8 I isultati ottenuti sono stati ipotati su un gafico O; t,ln in modo tale da ispecciae la elazione: ln B( t t ), tenendo conto ce: V S V ln ln ln ; essendo costante la sezione della buetta. V S V Le indeteminazioni da associae ad ogni singolo aloe dei logaitmi e dei tempi sono: e dei tempi: ln ln ln o ; i i t σ log t (,7),,5 cost. i i bio ico sensibilità Pe quanto iguada gli eoi e i aloi dei logaitmi si ottengono i seguenti dati: Tabella : aloi degli eoi sui logaitmi e sui tempi pe ogni misua, coispondenti alla elatie altezze o olumi. 8 V ERRORE ERRORE Coispondente ln Volume (cc) ltezza (cm) t i 8, 55,87,585,5 6, 5,5,5858,5, 5,6,677,5, 8,888,76689,5, 6,56,86596,5 8,,,979,5 6,,9,6,5, 9,576,978,5, 7,8,9,5,,9,5888,5 8,,59,7867,5 6,,6,5,5, 7,96,597796,5, 5,68,56,5,,8,67,5 8,,95,6999,5 6, 8,6,787588,5, 6,96,7856,5,,968,88778,5

9 ,,6,9,5 8, 9,,5696,5 6, 6,98,6656,5,,656,957,5,,8,67,5 questo punto tacciando il gafico di tutti aloi, compesi gli eoi, si ottengono te ette, e pe ogni etta i eletii ettangoli di eoe: Gafico : le te ette elatie ad ogni seie di misue. La etta nea iguada la pima seie, quella blu la seconda seie e quella ossa la teza seie. Rette toate -,5 - -,5 - -,5 - Ln(/) Tempo(s) questo punto il gafico sopastante è stato analizzato gaficamente pe aae una stima di B con una sua indeteminazione. (si icoda ce -B appesenta il coefficiente angolae delle ette in questione, ce sono diese, e qundi si anno te aloi di -B distinti.) Pe ottenee un singolo aloe di B si pocede con il seguente metodo: si taccia la etta di massima pendenza elatia alla etta più pendente ce è quella ossa, e passante pe tutti i ettangoli d eoe della etta in questione. Successiamente si taccia la etta di minima pendenza elatia alla etta meno pendente ce è quella nea, e passante pe tutti i ettangoli d eoe della etta in questione. Otteniamo, in questo modo, due ette geneali di pendenza massima e minima. Il isultato è stato isualizzato nel seguente gafico: 9

10 Gafico : ette di massima e minima pendenza toate. Rette di pendenza Max. e Min. -,5 - -,5 - -,5 - Ln(/) Tempo (s) questo punto si icaano gaficamente i coefficienti angolai delle ette di massima e minima pendenza tacciate sul gafico ce sono i aloi di B max e B min. y B max,98 x s y B min,85 x Si icaa quindi il alo medio con associta la sua indeteminazione: s Bmax Bmin B,89 s Bmax Bmin B, s Soluzione del poblema della misua Toata una stima di B, oa ci è possibile calcolae il coefficiente di iscosità dell acqua. Dalla elazione ista pecedentemente: π ρgr B 8 ηl S πρgr η ; Tenendo conto dei seguenti dati: 8BLS ρ (,9968±,)g/cm, densità dell acqua a (6,±,) C; g (98,665±,) cm/s, acceleazione di gaità; R (,5±,5) cm, aggio del tubo-capillae; L (±,) cm, lungezza del tubo-capillae;

11 S V 5 58,,859cm, sezione della buetta; πρgr Si ottiene ce ;, 8 BLS η dyne s N s (poise), ; cm m L indeteminazione da associae a η, tattandosi di eoi massimi, si ottiene con la fomula di popagazione degli eoi: η η η η η η η ρ g R B L S ρ g R B L S πgr πρr πρgr πρgr πρgr πρgr η ρ g R B L S ; 8BLS 8BLS BLS 8B LS 8BL S 8BLS L eoe da associae alla supeficie S è: S S V S V V V,cm dyne s Quindi, sostituendo i aloi numeici, isulta : η,65 cm ; Paagonando il aloe del coefficiente di iscosità toato con quello tabulato, dyne s ( η,±,) a C, si ottiene: cm Gafico : confonto dei coefficienti di iscosità. Quello neo è il aloe toato mente quello osso è il aloe tabulato. Confonto dei coeff. di iscosità coeff. di iscosità,,,,8,95, Si ede benissimo ce i due aloi con i ispettii intealli d eoe si intesecano. Petanto il aloe toato è conincente, nei limiti d eoe. Ricaato il aloe della iscosità si può calcolae il numeo di Reynolds tamite la elazione:

12 P P R R ρ nella quale sostituendo la fomula P P ρg si ottiene ce: 8η L ρ gr R 8η L 9, << (aloe citico). Si nota ce il numeo di Reynolds è molto al di sotto della soglia citica quindi possiamo dedue ce il egime di deflusso è laminae. Inolte abbiamo eificata la disuguaglianza: R l,5 <<, 5 << ; ce confema ulteiomente quanto detto. In definitia è stato toato un aloe del coefficiente di iscosità dell'acqua soddisfacente, in accodo con quello teoico nei limiti d eoe. E stata eificata con successo la pesenza di un egime laminae di deflusso nel tubo-capillae, in concodanza con le sue dimensioni.

13 t (s)