Soluzioni cinematica rotazionale et altro

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1 Soluzioni cinematica otazionale et alto 1. Uno dei pimi calcoli di momenti d inezia si ealizza con le aste. Pe calcolae il momento di un asta di lunghezza L e densità di massa unifome ρ, ispetto ad un asse centale, si pocede nel seguente modo: I " h dm # " h dh V L / Ricodo che la distanza dall asse di otazione vale h, mente l elementino di massa dm ha volume pai a dh. Questa è un inesattezza poichè dh è un tatto di linea e non un volume. Pe semplicità si intende l asta avente una sola dimensione: la lunghezza. Peciò consideo ρ come una densità lineae [Kg/m]. Notate le dimensioni fisiche della densità di massa; petanto se si compie un contollo sulle unità di misua si ottiene che il momento d inezia ha unità [Kg. m ]. Questi contolli incociati sulle unità gaantiscono una maggioe affidabilità nei calcoli. Quindi fateli sempe!!! Pendiamo la sfea. Vale sempe la fomula: I h dm La filosofia è sempe quella, ovveo individuae l elementino di massa dm e calcolane la sua distanza al quadato dall asse ispetto a cui vogliamo calcolae il momento di inezia. Questa quantità va integata su tutto il volume. Oa, nel caso della palla, peò, pe semplificae i calcoli, è bene intodue le coodinate polai sfeiche. " V #L 3 1 d xρsinθcosφ yρsinθsinφ zρcosθ ρsinθdφ dθ

2 Qui l elementino di massa vale dunque: dv " sin# $ d% $ d $ d. Si calcola l integale in te vaiabili: ρ ta e R; θ ta e π; φ ta e π. Esplicitamente: I " h dm " " " h dv " " " h # sin$ # d% # d # d) V R R [ ] la distanza h dall asse di otazione vale pe ovvi motivi: h sin" segue I " dm " " " sin # $ sin# $ d% $ d $ d) " 4 d " sin 3 #d# " d V R R [ ] " # 4 d sin 3 $d$ # d% " R5 + # # sin 3 $d$ " R5 *# sin$ 1 cos $ ) d$ ), R " #R5 # # * ) sin$d$ % sin$ cos $ ) d$, " #R Se la densità è unifome alloa posso potala fuoi dai te integali ed inolte vale " M M ottenendo un momento d inezia totale: V sfea $ 4 % 3 #R3 ) I 5 MR Pe il calcolo di momenti di inezia di oggetti con asse di otazione lontano dal baicento applichiamo il teoema di Steine. Al momento d inezia del baicento va sommato il podotto della massa del oggetto pe il quadato della distanza ta il baicento ed l asse di otazione. Il caso del manubio indicato in figua, va icondotto ad una composizione di elementi più semplici. Ogni sfea ha un momento d inezia pai a: I 5 mr Poi, visto che l asse di otazione è posizionato in mezzo alla sbaa, il momento totale si ottiene: I sfea _ totale 5 mr + ml + R) Le sfee sono due, pe cui ci sono due contibuti del tipo I sfea_totale. In più aggiungiamo il momento totale dell asta calcolata nel pimo esempio con ρm/l:

3 # I manubio " 5 mr + ml + R) $ % + M 1 L Qui di seguito lascio indicate le modalità pe calcolae i momenti di inezia di Anello, Cubo, Cilindo, Disco, Cono, Asta con densità non unifome. Pe alcuni di essi è conveniente impiegae il volumetto della massettina dm in coodinate cilindiche. ANELLO: CUBO: DISCO:

4 CILINDRO asse di otazione paallelo alle geneatici): CILINDRO asse di otazione passante pe il cento ma pependicolae alle geneatici): CONO: ASTA CON DENSITA non UNIFORME: L oggetto ha densità di massa ρρx) con x che vaia ta ed L.

5 . Risolveemo questo esecizio tamite consideazioni unicamente enegetiche. All istante t, la sfea si tova ad una deteminta altezza. Il sistema è femo pe cui l unica enegia è quella potenziale gavitazionale UmgH elativa alla sfea. Scendendo lungo la ampa, pate di questa enegia potenziale della sfea si tasfoma in enegia cinetica. Tadotto significa che la sfea acquista velocità che saà massima alla base della ampa dove tutta l enegia potenziale si saà tasfomata in enegia cinetica. In geneale, dato un sistema chiuso in cui non ci sono passaggi di mateia e di enegia con l esteno, l enegia totale è costante. L enegia cinetica della sfea acquistata duante la discesa si può dividee in due contibuti. Il pimo contibuto appesenta l enegia del cento di massa della sfea che si muove con velocità v c ; mente il secondo temine è l enegia otazionale vea e popia. Kx) 1 m v cx) ) + 1 I sfea "x)) Non l ho ancoa detto ma fisso l asse delle x appoggiato alla ampa con lo zeo nell estemo più alto a desta e veso puntante la base del piano inclinato. Intanto che ci siamo fissiamo sempe lì, ma con diezione pependicolae ad x l asse delle odinate. Siccome l enegia totale si deve consevae alloa scivo che: E tot U iniziale mgh Kx) + Ux) 1 m v cx) ) + 1 I sfea "x)) + mg# hx) " mg H # hx) ) Kx) 1 m v cx) ) + 1 I sfea $x) ) Pe popietà geometiche scivo che H " hx) x sin# e v c x) " c x)r, segue alloa che: ) + 1 Kx) mgx sin" 1 m v c x) # # % $ 5 mr v cx) % $ R 7 1 m v c x) ) se deivo ispetto al tempo ottengo l espessione cecata pe l acceleazione: mg x sin" 7 5 m x x # x 5 7 gsin" Un alto modo pe pote isolvee questo esecizio sta nella isoluzione di una delle equazioni cadinali della dinamica, che icodo essee:

6 F estene d Q cioè la deivata ispetto al tempo della quantità di moto è pai alla foza estena isultante, M estene d P d [ P cento_ massa + cento _ massa " mv cento _ massa ] ovveo la deivata tempoale del momento angolae della quantità di moto calcolato ispetto ad un polo A) è uguale alla somma di tutti i momenti esteni. Consideiamo la seconda di queste equazioni e vediamo che il momento iniziale delle foze del sistema vale: M e " F estene # M e mgrsin$ pechè l unica foza pesente è quella di gavità che è applicata nel cento di massa della sfea distante R dal polo A. Questo vettoe ovviamente è otogonale al foglio ed il veso si detemina applicando la egola della mano desta. Il momento della quantità di moto è invece definito come: P I" + mrv cento _ massa # d P I" + mrv cento_ massa P I" + mrv cento _ massa # d P I" + mrv cento_ massa da cui: " v cento_ massa x 5 gsin#, che è lo stesso isultato di pima Simile all esecizio pecedente e sopattutto fatto in aula. 4. Pe pima cosa calcoliamo il momento di inezia del volano. Il tatto centale ha peso M, mente i due cilindetti hanno peso m e m: I totale m + 1 MR Il volano è soggetto ad un momento meccanico dovuto alla tensione del filo T che le è tasmessa a causa del peso del blocco. Poiettando sull asse veticale, pependicolae al piano, la seconda equazione cadinale, si ottiene: s M T d P d I" ) I " # T I" Applico la pima delle equazioni cadinali al blocco che sta cadendo e detemino l acceleazione:

7 m 1 g " T m 1 a # a $ m g " T 1 m 1 # " a m 1 + I % m $ 1 g " a m 1 g m 1 + I m 1 g " I $ m 1 5. Nel momento del contatto ta la sfea ed il gadino si ha una fase impulsiva, in cui il punto O imane adeente allo spigolo. Questo è un uto. Nell istante di contatto le uniche foze attive sono quella peso e la eazione vincolae sullo spigolo. La eazione vincolae ha, ispetto ad un polo in O, baccio nullo pe cui l unico momento è oiginato dal peso della sfea. Se integiamo questo momento pe un tempo piccolissimo otteniamo: M e d P " M e # dp " $t % M e # $ P " P const Questo significa che il momento della quantità di moto pima e dopo l uto si conseva. E un isultato impotantissimo pechè ci pemette di poseguie nei calcoli. Quanto vale il momento della quantità di moto iniziale? La sfea inizialmente sta uotando da sinista veso il gadino. Pe quanto sappiamo dalla teoia, possiamo die che il momento angolae calcolato ispetto allo spigolo O vale: da cui subito pima dell uto: P OC " mv c + I c # v P t1 a " m " v sin# + I c $ a " m " v sin# + I c a a" m " v a % h a + I v c a v ma % h) + I ) c a * + mente nell istante successivo all uto: P t1 +"t I O # I c +ma )# La fomula è popio questa pechè la sfea nell uto uota intono al punto O e quindi c è bisogno del momento d inezia calcolato ispetto ad un asse paallelo a quello baicentico posizionato in O. A questo punto eguaglio le due quantità di moto ed icavo la fomula della velocità iniziale: v ) a I c +ma [ ] # maa " h) + I c Se vogliamo conoscee il valoe minimo della velocità necessaio alla sfea pe supeae il gadino e di femasi, è necessaio impiegae la elazione

8 enegetica ta i due stati. Il lavoo compiuto dalla foza peso si tasfoma in enegia otazionale in una otazione intono al punto O: L peso mgh 1 I O" min # " min mgh I c + ma ) ) a I c +ma " v min [ maa # h) + I c ] $ % a I c +ma min maa # h) + I c [ ] $ mgh I c + ma Sostituendo il valoe del momento d inezia si icava la velocità minima. 6. L unica foza in gioco in questo sistema è la foza peso dietta lungo l asse y. Lungo l asse x non c è alcuna foza che agisce peciò: F x dq x " Q x const mv Xcm Inizialmente peò la velocità del cento di massa è nulla pe cui v Xcm peciò la posizione in x del cento di massa imane fissa, pe cui mente l odinata: X cm L / Y cm L sin" Segue che l acceleazione: Y cm L " cos" # $ L Y cm cos" L v c cos" Oa peò guadiamo l equazione enegetica del sistema: mgy cm 1 mv c + I asta " 1 mv c + I asta 1 mv c + 1 " ml %" $ v c % $ # 1 # L cos ) g L sin v c 1 $ v c ) % L cos# * , 6 cos. / ) " v c cos# 3Lsin# 3cos # 7. Il cilindo inizia a uotae aggiungendo una ceta velocità angolae ω. A quell punto viene tiato un feno con coppia costante M A. Dal punto di vista enegetico possiamo scivee:

9 E iniziale m gh " yt 1 )) + 1 m v + I # E finale m gh " yt 1 ) " yt )) Pe cui, la vaiazione dell enegia è tutta assobita dalla coppia fenante. m gyt ) " 1 m v o + I # o yt M ) A R La deceleazione avviene con un coppia costante M A : M A R $ yt ) m gyt ) " 1 m v o + I # o % ) Quindi, dalla seconda legge della dinamica ed integando: M e totale I" #M A + m gr " #t) # o $ M A $ m gr) t I 8. Tutta l enegia cinetica iniziale se ne va nel lavoo compiuto dalla coppia fenante: 1 I c" M A # n # $ % M A 1 I c " n # $ m " 1n$ 9. Visto che non ci sono attiti possiamo scivee l equazione della consevazione dell enegia in temini molto semplici: mgy + 1 mv + 1 m" mgy + 1 mv + 1 m" Inizialmente la velocità baicentale e la velocità angolae sono nulle scala appoggiata al muo e fema), peciò: mgy + 1 mv + 1 I" mgy mgl / Espimo le geneiche coodinate x e y in funzione dell angolo θ, angolo compeso ta il muo e la scala: x l /)sin" # $ y l /)cos"% ) v x l /)cos" " * + v y l /)sin" "

10 segue che il modulo quado della velocità: sostituiamo: v v x + v y l /) " l 4 # glcos" + l 8 # + I m # gl / $ # gl 1% cos" l 8 + I ) + m* I ml 1 " # 1$ cos% 3g l Mettendo al posto di θ, 9 gadi, otteniamo la velocità con la quale la scala sbatte sul pavimento. La scala pede contatto dal muo quando la eazione vincolae N 1 nel punto P otogonale alla paete) diventa minoe o uguale a. Vi sono complessivamente due eazioni vincolai. La pima è N 1, mente la seconda, N, è dietta pependicolamente al teeno e punta in alto. Scomponendo le equazioni del moto lungo le diezioni x ed y, si icava pe N1: N 1 ma x mente deivando l equazione della velocità lungo x: N 1 m l d$ cos" # % l ) sin" #$ + * pe icavae la deivata di ω ispetto al tempo deivo la elazione icavata pecedentemente: quindi: d " ) " d" # d" 1 " $ d " ) 3g l sin% % N 1 m l cos" # % 1 $ # d $ )* + l ) sin" # $ % * m l ) cos" # % 3g l sin" * + l ) sin" # % 3g 1+ cos") ** l )) # m% 3g $ sin" # 3 % cos" )1 $

11 Sapendo che l angolo vaia ta e 9 gadi, si ha che il pimo fattoe è sempe maggioe di zeo. Resta che endee il secondo fattoe maggioe di zeo. Questo si veifica pe cos" ) # L unica foza attiva è quella d attito dietta tangenzialmente al piano ma di veso opposto al moto. La foza peso e la eazione vincolae si annullano. Scelto un polo qualunque O sul piano posso vedee che il momento della foza di attito è nullo poichè il aggio e la foza sono collineai. Petanto il momento angolae iniziale saà uguale a quello finale: mv sin" mv f sin" + I c # f I due angoli, ispetto al piano, sono quelli intecettati dalla etta che dal polo O congiunge il baicento della sfea in due istanti tempoali divesi T1 e T. Al tempo T1 la sfea avanza solo stisciando, ma al tempo T la sfea sta otolando. Inolte: R sin" sin" e I c 5 mr e " f v f R pe cui la velocità finale vale: v f 5v. L enegia dissipata dalla foza d attito si calcola facendo la 7 diffeenza ta l enegia cinetica iniziale e quella finale: E iniziale " E finale 1 mv " 1 mv f " I c # f mv 7