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1 Sessione suppleiva di odinameno ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Indiizzo M: odinameno liceo della comunicazione CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppleiva 009 Tema di MATEMATICA Il candidao isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 dei 0 quesii del quesionaio. PROBLEMA I due segmeni adiaceni OA, AB sono uguali ed hanno una lunghezza daa a. Nel medesimo semipiano ispeo alla ea OB si descivano due semiciconfeenze di diamei ispeivi OA ed OB, e pe il puno O si conduca la semiea angene comune, sulla quale si penda il segmeno OC a. Con oigine O, si conduca una semiea, che foma con OB un angolo α e ineseca in P e Q le semiciconfeenze.. Si calcoli il appoo: e lo si espima in funzione di an( α ) CP (). Si faccia vedee che I() ende veso un limie finio quando ende a 0. Cosa appesena queso limie nel gafico pecedene? PQ a QC, conollando che isula: f ( ). Pescindendo dalla quesione geomeica, si sudi la funzione f() e se ne acci il gafico γ.. Si dica pe quale valoe di α si hanno ispeivamene il massimo e il minimo del appoo ().. Si deemini l aea della supeficie piana, finia, delimiaa dall asse delle odinae, dalla cuva γ e dal suo asinoo. PROBLEMA Sia daa la funzione: f ( ) 0, ( ln ) pe > 0 pe 0. Quesa funzione è coninua nel puno di ascissa 0? E deivabile in ale puno?. Si sudi la funzione f() e se ne acci il gafico γ, su un piano ifeio ad un sisema di assi caesiani oogonali (Oy).. Si calcoli l espessione, in funzione di ( > 0) I e, dell inegale () ( ln )d

2 Sessione suppleiva di odinameno QUESTIONARIO. Una piamide, avene aea di base B e alezza h, viene secaa con un piano paallelo alla base. Si calcoli a quale disanza dal veice si deve condue ale piano, affinché il pisma che ha pe basi la sezione di cui sopa e la sua poiezione oogonale sul piano di base della piamide abbia volume massimo. ln. Si calcoli il limie della funzione quando ende a. sin ( ). Si calcoli il volume del solido geneao dalla oazione aono all asse della pozione di piano limiaa dalla cuva y, dall asse e dalle ee,.. Dao un iangolo eangolo inscio in un semicechio, se sui suoi caei pesi come diamei ed esenamene si cosuiscono due semicechi, da quesi e dal dao semicechio sono deeminai due menischi, dei lunule d Ippocae. Si dimosi che la loo somma ha la sessa aea del iangolo. 5. Si deemini il luogo γ dei puni di inesezione delle due ee di equazioni: λ y (λ ) 0, ( λ) y 0, descio al vaiae di λ, paameo eale qualunque. Si disegni la cuva γ. 6. Sono dai un angolo α di π adiani e un angolo β di 59 gadi. Si veifichi che sono enambi maggioi di un angolo gio e minoi di due angoli gio. Si dica quale dei due è il maggioe. Si dica inole se è più gande il seno di α o il seno di β. 7. Il comandane di una nave decide di aggiungee il poo B paendo dal puno A e seguendo un pecoso eilineo. A causa di un eoe, peò, la nave inizia la sua navigazione lungo una oa leggemene divesa da quella pevisa. Dopo 5 oe ci si accoge dello sbaglio e il comandane odina di viae di un angolo di in modo da diigee oa esaamene veso il poo B, che viene aggiuno dopo oe. Se l imbacazione ha manenuo sempe una velocià cosane, quano empo si è peso a causa dell eoe? 8. Daa la paabola ay y (con a > 0), si deemini pe quale valoe di a l aea della pae finia di piano compesa a il suo gafico e l asse y è uguale a Si dimosi che un numeo di quao cife ue uguali è divisibile pe Si enunci il eoema di Rolle e si mosi, con oppouni esempi, che se una qualsiasi delle e condizioni pevise non è soddisfaa, il eoema non è valido. Duaa massima della pova: 6 oe. E consenio solano l uso di calcolaici non pogammabili. Non è ammesso lasciae l aula degli esami pima che siano ascose e oe dalla deaua del ema.

3 Sessione suppleiva di odinameno PROBLEMA I due segmeni adiaceni OA, AB sono uguali ed hanno una lunghezza daa a. Nel medesimo semipiano ispeo alla ea OB si descivano due semiciconfeenze di diamei ispeivi OA ed OB, e pe il puno O si conduca la semiea angene comune, sulla quale si penda il segmeno OC a. Con oigine O, si conduca una semiea, che foma con OB un angolo α e ineseca in P e Q le semiciconfeenze. Puno Si calcoli il appoo: e lo si espima in funzione di an( α ) CP () PQ a QC, conollando che isula: Si considei la figua seguene: f ( ) Poso P ÔA α con 0 < α < 90, applicando il eoema dei iangoli eangoli ai iangoli OPA e OQB si ha OP a cos( α ),OQ a cos( α ),PQ OQ OP a cos( α ). Applicando il eoema di Cano ai iangoli OCP e OCQ si ha: CP QC a a OC a OC a cos Alloa si ha: CP PQ a cos OP OC OP cos( 90 α ) ( α ) a acos( α ) sin( α ) a [ cos ( α ) sin( α )] OQ OC OQ cos( 90 α ) ( α ) a acos( α ) sin( α ) a cos ( α ) sin( α ) QC [ 6cos ( α ) sin( α ) ] a Ricodiamo che cos ( ) [ ] [ cos ( α ) sin( α )] a cos ( α ) a cos ( α ) sin( α ) ( α ) a α,sin ( α ) ( α ) an ( α ) pe cui an an [ ]

4 Sessione suppleiva di odinameno CP PQ a an QC ( α ) 6 an( α ) an ( α ) ( ) [ 6cos ( α ) sin( α ) ] an ( α ) 8 an ( α ) an( α ) an ( α ) ( ) 6 6 an an ( α ) ( α ) Pe an( α ) si ha ( ) CP PQ QC f. a Puno Pescindendo dalla quesione geomeica, si sudi la funzione f() e se ne acci il gafico γ. Sudiamo la funzione f ( ) Dominio: R Inesezione asse delle ascisse: la funzione f ( ) non ineseca mai l asse delle ascisse in quano il numeaoe è un faoe sempe posiivo; Inesezione asse delle odinae: 0 y Posiivià: la funzione f ( ) è posiiva in uo il dominio R Asinoi veicali: non esisono viso il dominio della funzione Asinoi oizzonale: lim f ( ) lim pe cui y è asinoo oizzonale deso e ± ± siniso; Asinoi obliqui: non esisono in quano esise l asinoo oizzonale e pe funzioni azionali fae la pesena dell asinoo oizzonale esclude la pesenza di quello obliquo e vicevesa; Cescenza e decescenza: ( ) ( ) ' ( ) f pe cui la funzione è seamene cescene in (, ) (, ), seamene decescene in (, ),. Quindi 5 m, è un minimo elaivo. e si annulla in 5 M, è un massimo elaivo e

5 Sessione suppleiva di odinameno Flessi: ''( ) ( )( ) ( ) 6 f pe cui in (, ) (, ) la funzione volge la concavià veso l alo e in (, ) (, ) veso il basso pe cui 7 7 ( ) F,, F,, F, sono flessi a angene obliqua. Il gafico è soo pesenao: Puno Si dica pe quale valoe di α si hanno ispeivamene il massimo e il minimo del appoo (). Il valoe massimo lo si ha pe an( α ) il valoe minimo lo si ha pe an ( ) 7π α mene 8 da cui acan( ) 57, 5 π α da cui α acan( ) 67, 5 8 Puno Si deemini l aea della supeficie piana, finia, delimiaa dall asse delle odinae, dalla cuva γ e dal suo asinoo. La cuva ( ) f ineseca il suo asinoo di equazione y nel puno ad ascissa. L aea da calcolae è in gigio nella figua seguene: 5

6 Sessione suppleiva di odinameno Tale aea vale: ( ) ( ) ( ) ln ln ln acan π π d d d S

7 Sessione suppleiva di odinameno PROBLEMA Sia daa la funzione: f ( ) 0, ( ln ) pe > 0 pe 0 Puno Quesa funzione è coninua nel puno di ascissa 0? E deivabile in ale puno? Sudiamo la coninuià della funzione f ( ) 0, ( ln ) pe > 0. Calcoliamo il limie pe pe 0 0 : lim 0 lim 0 ( ln ) ln lim lim ln 0 lim ln lim ln ( ln ) lim lim lim 0 Quindi la funzione ( ) ( ln ) De l'hospial f.i. 7 pe > 0 f è coninua in 0. 0, pe 0 Sudiamo la deivabilià: la deivaa pima della funzione pe > 0 lim f ' 0 ( ) lim[ ln( ) ] da cui deduciamo che la funzione f ( ) 0 non è deivabile in 0. è f '( ) ln( ) 0, pe cui ( ln ) pe > 0 pe 0 Puno Si sudi la funzione f() e se ne acci il gafico γ, su un piano ifeio ad un sisema di assi caesiani oogonali (Oy). ( ln ) pe > 0 Sudiamo la funzione f ( ) ed in paicolae g( ) ( ln ) pe > 0. Dominio: > 0 0, pe ; ln 0 e Inesezione asse delle ascisse: g( ) ( ln ) 0 definia Inesezione asse delle odinae: la funzione è polungabile pe coninuià in 0 pe cui 0 y 0 ;

8 Sessione suppleiva di odinameno g ln > 0 0 < < e ; Posiivià: la funzione ( ) ( ) Asinoi veicali: non esisono in quano lim ( ln ) 0 Asinoi oizzonale: g( ) Asinoi obliqui: non esisono in quano 0 come dimosao al puno ; lim pe cui non esisono asinoi oizzonali; ( ) g lim lim ( ln ) ; Cescenza e decescenza: g' ( ) ln pe cui la funzione è seamene cescene in (,e) seamene decescene in ( e, ) e si annulla in e. Flessi: g' '( ) 0, pe cui in uo il dominio la funzione volge la concavià veso il basso. Inole g ''() e < 0 pe cui M ( e, e) è un massimo elaivo ed assoluo. e Il gafico è soo pesenao: Puno Si calcoli l espessione, in funzione di ( > 0) Calcoliamo l inegale I() ( )d e I e, dell inegale () ( ln )d ln inegando pe pai. Si ha: ( ln ) d d ln d ln d ln ( 5 ln ) e e pe cui I() ( ln ) d ( 5 ln ) ( 5 ) ( 5 ln) ( 5 ln) Puno e e. 8

9 Sessione suppleiva di odinameno Si faccia vedee che I() ende veso un limie finio quando ende a 0. Cosa appesena queso limie nel gafico pecedene? Allo sesso modo con cui si è dimosao che la funzione è coninua in 0, si dimosa che lim 0 ( 5 ln) 0 compesa a la cuva ( ) di seguio: e pe cui lim I() lim ( 5 ln ) 0 ( ln ) 0 e che appesena l aea pe > 0 f e l asse delle ascisse, appesenaa in gigio 0, pe 0 9

10 Sessione suppleiva di odinameno QUESTIONARIO Quesio Una piamide, avene aea di base B e alezza h, viene secaa con un piano paallelo alla base. Si calcoli a quale disanza dal veice si deve condue ale piano, affinché il pisma che ha pe basi la sezione di cui sopa e la sua poiezione oogonale sul piano di base della piamide abbia volume massimo. Consideiamo la figua seguene: Poieando oogonalmene il poligono A'B'C'D' sul piano π, si oiene il pisma eo di base A'B'C'D' e alezza AA'. Consideiamo le piamidi VABCD e VA B C D'; il appoo a le aee S e S ' ' ' ' delle basi è uguale al appoo dei quadai delle alezze VA e VA, cioè S ABCD S ABCD A' B' C' D' A B C D VA VA' da cui VA' S A ' B ' C ' D ' S ABCD VA. Ponendo VA' con 0 h si ha [ ] B AA' h pe cui il volume del pisma saà VPRISMA( ) S AìBìCìD' AA' ( h ) con h 0 h. Calcoliamo la deivaa pima e seconda della funzione f ( ) ( h ) da massimizzae. Si ha f ' f '' ( ) h ( ) h 6 da cui deduciamo che la funzione volume è seamene cescene in decescene in h,h 0, h, seamene, concava veso l alo in 0, h h e veso il basso in,h. Inole 0

11 Sessione suppleiva di odinameno h f ''( 0) h > 0, f '' h < 0 pe cui il volume massimo lo si ha pe h e vale V h B h h h Bh PRISMA h 9 7. Quesio Si calcoli il limie della funzione ln sin ( ) quando ende a. Il limie si pesena nella foma indeeminaa 0 0 pe cui applicando il eoema di De L Hospial si ha lim ln sin lim ln ( ) sin( ) cos( ) 0. 0 Alenaivamene uilizzando i limii noevoli, effeuando pima la sosiuzione si ha: lim ln sin ( ) lim 0 ln ( ) ( ) sin ( ) lim 0 ( ) ln( ) sin lim 0 () ( ) lim 0 Quesio Si calcoli il volume del solido geneao dalla oazione aono all asse della pozione di piano limiaa dalla cuva y, dall asse e dalle ee,. Il volume ichieso, uilizzando il eoema di Guldino è pai a π π π π [ ( )] ( π ) acan π V π y d π d π d Quesio Dao un iangolo eangolo inscio in un semicechio, se sui suoi caei pesi come diamei ed esenamene si cosuiscono due semicechi, da quesi e dal dao semicechio sono deeminai due menischi, dei lunule d Ippocae. Si dimosi che la loo somma ha la sessa aea del iangolo. Consideiamo la figua seguene:

12 Sessione suppleiva di odinameno L aea del iangolo eangolo ABC, poso S AO OB OC, è ( ABC) AO OC sin( AÔC) OB OC sin( BÔC) sin ( α ) sin( π α ) sin( α ) sin( α ) sin( α ) Poniamo AC a, CB b con a b. L aea della lunula S la calcoliamo come diffeenza a l aea della semiciconfeenza di diameo AC a e l aea S. L aea della semiciconfeenza di diameo AC a è a π πa 8 mene l aea S è daa dalla diffeenza a l aea del seoe cicolae AOC e l aea del iangolo AOC, cioè ( AÔC) α sin( α ) S AO OC AÔC - AO OC sin [ ] pe cui [ α sin( α )] πa S. 8 Analogamene l aea della lunula S la calcoliamo come diffeenza a l aea della semiciconfeenza di diameo BC b e l aea S. L aea della semiciconfeenza di diameo b π πb BC b è mene l aea S è daa dalla diffeenza a l aea del seoe cicolae 8 BOC e l aea del iangolo BOC, cioè ( BÔC) π α sin( π α ) S CO OB BÔC - CO OB sin [ ] [ π α sin( α )] pe cui πb S 8 [ π α sin( α )]. Quindi πa S S 8 π 8 [ α sin( α )] [ π α sin( α )] ( a b ) π π ( ) ( a b ) sin α sin( α ) sin( α ) S( ABC) c.v.d. πb

13 Sessione suppleiva di odinameno Quesio 5 Si deemini il luogo γ dei puni di inesezione delle due ee di equazioni: λ y (λ ) 0, ( λ) y 0, descio al vaiae di λ, paameo eale qualunque. Si disegni la cuva γ. Sommando membo a membo le due equazioni si ha λ che sosiuia in una delle due equazioni dae fonisce il luogo y che appesena una paabola con concavià veso l alo, veice in in (, ) 9, 0. Di seguio il gafico del luogo: e che ineseca l asse delle ascisse in (,0),(,0) e quello delle odinae Quesio 6 Sono dai un angolo α di π adiani e un angolo β di 59 gadi. Si veifichi che sono enambi maggioi di un angolo gio e minoi di due angoli gio. Si dica quale dei due è il maggioe. Si dica inole se è più gande il seno di α o il seno di β. Espimendo l angolo π [ ad] < 80 α 80 π α in gadi si ha α ( 80π ). Poiché π π < π si ha 60 < ( 80π ) < 70 cioè l angolo π [ ad] α è maggioe di un angolo gio e minoe di due angoli gio. Pe l angolo β 59 si ha β 59 < 50 ( 80 ) ; poiché π < 60 cioè l angolo β 59 è maggioe di un angolo gio e si ha < 59 < ( 80 ) 50 < 70 minie di due angoli gio. Pe sabilie quale dei due angoli è minoe basa ossevae che π > pe 59 pe cui α > β. cui vale la seguene caena di disuguaglianze: β < ( 80 ) < ( 80 π ) α Calcoliamo oa sin ( α ), sin( β ) 60, si ha:. Ricodando che il seno è una funzione peiodica con peiodo pai a

14 Sessione suppleiva di odinameno sin ( α ) sin[ ( 80π ) ] sin[ ( 80π ) 60 ] sin[ 80( π ) ] ( β ) sin[ 59 ] sin[ ] sin[ 79 ] sin Oa poiché l angolo 79 si ova nel secondo quadane della ciconfeenza goniomeica, si ha ( β ) sin[ 79 ] 0, mene poiché < ( π ) < si ha < 80( ) < 70 sin > 80( π ) si ova nel ezo quadane pe cui sin ( α ) sin 80( π ) < ( α ) sin( β ) sin <. 80 π cioè [ ] 0. In conclusione Quesio 7 Il comandane di una nave decide di aggiungee il poo B paendo dal puno A e seguendo un pecoso eilineo. A causa di un eoe, peò, la nave inizia la sua navigazione lungo una oa leggemene divesa da quella pevisa. Dopo 5 oe ci si accoge dello sbaglio e il comandane odina di viae di un angolo di in modo da diigee oa esaamene veso il poo B, che viene aggiuno dopo oe. Se l imbacazione ha manenuo sempe una velocià cosane, quano empo si è peso a causa dell eoe? Consideiamo la figua seguene: Il pecoso AP in oe è lungo 5 oe, mene il pecoso PB oe, pe cui il empo oale impiegao pe aivae a B paendo da A e passando pe P è 8 oe. Applicando il eoema di Cano, il pecoso eilineo AB in oe è pai a ( 80 ) 0cos( ) 7,85 oe AB AP PB AP PB cos pe cui, a causa della oa sbagliaa, si è peso un empo pai a ( 8 7,85) oe 0,5 oe 9 minui Quesio 8 Δ. Daa la paabola ay y (con a > 0), si deemini pe quale valoe di a l aea della pae finia di piano compesa a il suo gafico e l asse y è uguale a 7. Consideiamo la figua seguene:

15 Sessione suppleiva di odinameno L aea compesa a la paabola di equazione ay y e l asse delle odinae, in gigio nella figua sopasane, è calcolabile aaveso il eoema di Achimede. Secondo queso eoema, l aea di un segmeno paabolico è pai ai dell aea del eangolo cicoscio ad esso. La paabola ay 9 y ha veice in V, a a 0. Il a ed ineseca l asse delle odinae in (,0), 0, 9 eangolo cicoscio avà un lao pai a ed un alo lao pai a e in coispondenza l aea a a 7 a vale S ( R). Imponendo che ( R) 7 ipoesi a > 0 la soluzione acceabile è a S si ha 9 ± 7 a a a e poiché pe a. Alenaivamene possiamo calcolae l aea amie inegale e si ha: S ( ay y) dy a ay y ed imponendo 0 a a a 9 S 7 a si ioiene la soluzione acceabile a. Quesio 9 Si dimosi che un numeo di quao cife ue uguali è divisibile pe 0. Indichiamo con kkkk il numeo di cife ue uguali con k >. Effeuando la divisione di kkkk pe 0 si ova facilmene che kkkk : 0 kk. Quesio 0 Si enunci il eoema di Rolle e si mosi, con oppouni esempi, che se una qualsiasi delle e condizioni pevise non è soddisfaa, il eoema non è valido. Il eoema di Rolle affema che se una funzione è coninua in un inevallo chiuso [ a, b], deivabile in ogni puno dell'inevallo apeo ( a, b) e assume valoi uguali f ( a) f ( b), esise almeno un puno ineno ad ( a, b) la cui deivaa si annulla, cioè f '( c) 0. 0

16 Sessione suppleiva di odinameno Fomalmene: Sia f : [ a, b] R. Se f è coninua in [ a, b], deivabile in ( a, b) e ale che ( a) f ( b) ( a, b) : f '( c) 0 c. f, alloa Mosiamo oa, con oppouni conoesempi, che se viene a cadee ognuna delle e ipoesi, il eoema non è valido.. Sia f [ 0,] R, : : la funzione è coninua in [0,] e deivabile in (0,), ma ( 0 ) 0 f ( ) f pe cui il eoema di Rolle non è applicabile. Infai la deivaa della funzione non è mai nulla, essendo '( ) f ;. Sia f : [, ] R, : la funzione è coninua in [0,], inole f ( ) f ( ) è deivabile in 0 (, ), ma non in cui pesena un puno angoloso pe cui il eoema di Rolle non è applicabile. Infai la deivaa della funzione, dove esise, non è mai nulla, essendo se > 0 f '( ) ; se < 0 0 se 0 <. Sia f : [ 0,] R, f ( ) : la funzione è deivabile in (,) ( 0 ) f ( ) 0 se 0, inole f, ma non è coninua in pe cui il eoema di Rolle non è applicabile. Infai la deivaa della funzione non è mai nulla. 6