Maturità suppletiva Problema 1. CP PQ QC y. 333Per il teorema di Carnot y 2. cos sin 1(sin cos ) 3cos 3cos sin.

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1 Maturità suppletiva 009 Problema CP PQ QC y a OP acos OQ a cos PQ OQ OP OQ a cos a cos a cos Per il teorema di Carnot CP OC OQ OC OQ a a a cos(90 ) 4 cos 4 cos sin QC OC OP OC OP a a a cos(90 ) cos cos sin a a cos acos sin a 4a cos 4a cos sin a cos y a y a 6a cos 6a cos sin (sin cos ) cos cos sin a (sin cos ) sin cos sin 4cos tan tan 4 4 sin cos tan y

2 4 y ; 4 4 y 0 sempre positiva Intersezione con gli assi. (0,4) O y= 4 lim ( )( ) ( )( 4) ( ) y ' 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y 0,4 ( ) 4 ( ) ( ) y,4 ( ) 4 Il minimo per la funzione f( ) 4 è anche minimo per f (tan ) dato che f '(tan ) cos Dato la la seconda quantità è sempre positiva e mai nulla quindi tan tan 8 8

3 Intersezione con il proprio asintoto Area d d d d d Area d d ln( ) arctan ln() 0 0 ln() PROBLEMA Sia data la funzione: ( ln ), 0 f( ) 0, 0. Questa funzione è continua nel punto di ascissa 0? ( ln ) lim ( ln ) 0 lim lim lim La funzione è continua E derivabile in tale punto? f '( ) ln ( ), f '( ) ln lim ln non deriva bile 0. Si studi la funzione f() e se ne tracci il grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy). ( ln ), 0 f( ) 0, 0 f( ) 0 ( ln ) 0 0 sempre ln 0 ln lim ( ln ) f '( ) ln 0 ln Ma (,) e. Si calcoli l espressione, in funzione di t (t>0), dell integrale e I( ) ( ln ) d per parti dove f g ln t f ' gd fg fg ' d e e e 5 e I( ) ( ln ) d ( ln ) ( ln ) ln t d d t t t e 5e e 5t t e 5t t e I( ) ln ln e ln t ln t t tende _ a _ 0

4 4 4. Si faccia vedere che I(t) tende verso un limite finito quando t tende a 0. Cosa rappresenta questo limite nel grafico precedente? QUESTIONARIO QUESTIONARIO. Una piramide, avente area di base B e altezza h, viene secata con un piano parallelo alla base. Si calcoli a quale distanza dal vertice si deve condurre tale piano, affinchè il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione ortogonale sul piano di base della piramide abbia volume massimo. V( prisma) Area h A'( h ) FK FE h base _ piramide base _ prisma prisma Areabase _ prisma Area ' FK Area Area FE Area Area base _ prisma base _ piramide da cui h V Area h A h A h A h ( ) base _ prisma prisma '( ) ( ) ( ) V A A '( ) ( ) ( ) 0 A' A h. Si calcoli il limite della funzione ln sin ln ln 0 lim lim sin 0 sin cos( ) quando tende a.. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano limitata dalla curva y, dall asse e dalle rette =, =. d d d d d

5 d arctan arctan arctan 4 4. Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametri ed esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio sono determinati due menischi, detti lunule d Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa area del triangolo. BC r cos BD r sin Area( triangolo) BC BD r sin cos r sin Area( segmentobc ) r (( ) sin( )) r (( ) sin( )) r r r sin Area( segmentobd ) r (sin( )) r r sin Area( lunulabc) r cos r r r sin Area( lunulabd) r sin r r sin Area( due _ lunule) r cos r r r sin r sin r r sin Area r (cos sin ) r r r sin r r sin Area r r r r r r r sin sin sin

6 5. Si determini il luogo γ dei punti di intersezione delle due rette di equazioni: λ y (λ + ) = 0, ( λ) + y + = 0, descritto al variare di λ, parametro reale qualunque. Si disegni la curva γ. y D y - D D y Quindi D = = = D D D y y ( )( ) ( ) y Oppure y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 0 y 0 y y 6. Sono dati un angolo α di radianti e un angolo β di 59 gradi. Si verifichi che sono entrambi maggiori di un angolo giro e minori di due angoli giro. Si dica quale dei due è il maggiore. Si dica inoltre se è più grande il seno di α o il seno di β.,4 ( ) Considerando che l angolo giro in radianti e che ho che e che

7 Portando i radianti in gradi ho che , sin sin(565, 60) sin(80 5, ) sin(5, ) sin sin(59 60) sin(80 ) sin() maggiore beta. 7. Il comandante di una nave decide di raggiungere il porto B partendo dal punto A e seguendo un percorso rettilineo. A causa di un errore, però, la nave inizia la sua navigazione lungo una rotta leggermente diversa da quella prevista. Dopo 5 ore ci si accorge dello sbaglio e il comandante ordina di virare di un angolo di in modo da dirigere ora esattamente verso il porto B, che viene raggiunto dopo ore. Se l imbarcazione ha mantenuto sempre una velocità costante, quanto tempo si è perso a causa dell errore? Se la nave viaggia con velocità v applicando il teorema di carnot E considerando il fatto che =vt ad ABD AD AB BD AB BD cos57 v t v 5 v 9v5 vcos57 v 5 v 9 0v cos57 t 5 9 0cos57 t 5 9 0cos57 7,85 8. Data la parabola ay y (con a > 0), si determini per quale valore di a l area della parte finita di piano compresa tra il suo grafico e l asse y è uguale a 7. La parabola incontra l asse y in 0 e in applicando il teorema di Archimede. ( ) 7 Area a y y a 6 a 9. Si dimostri che un numero di quattro cifre tutte uguali è divisibile per 0. kkkk k() k 0 0. Si enunci il teorema di Rolle e si mostri, con opportuni esempi, che se una qualsiasi delle tre condizioni previste non è soddisfatta, il teorema non è valido. ) se f ( a) f ( b) y, ) y non continua ) non derivabile y,, In tutti e tre i casi non esiste c.per cui f (c)=0

8 Durata massima della prova: 6 ore. E consentito