Alcune curve e superfici
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- Daniella Randazzo
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1 Coso di Lauea in Disegno Indusiale Coso di Meodi Numeici pe il Design Leione 6 apile Cuve e Supefici nello Spaio F. Caliò Alcune cuve e supefici Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
2 Ciconfeena "la ciconfeena definia da un ceno C, un aggio e un piano di giaciua è l insieme di ui i puni del piano che disano da C" Ciconfeena di ceno O, aggio, piano c P(,,) cos u, v sen < π c u v O u v cos c sen [, π) R Equaione paameico-veoiale della ciconfeena 4 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
3 cosθ Supeficie sfeica "la supeficie sfeica definia da un ceno C e un aggio è l'insieme di ui i puni dello spaio che disano da C" Supeficie sfeica di ceno O, aggio cosθ O s senθ θ senθ u sen ϑcos u, v cosϑ, w senϑ sen P(,,) s u w v v senϑcos ϑ [, π) s cosϑ w [, π) senϑ sen Equaione paameico-veoiale della supeficie sfeica ϑ e sono i paamei 6 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
4 cosθ Supeficie sfeica di ceno C(,, ), aggio C cosθ s senθ θ senθ u P(,,) v w v s v u w v v O Equaione paameico-veoiale della supeficie sfeica ϑ e sono i paamei senϑcos s cosϑ senϑ sen ϑ [, π) [, π) 7 Supeficie cilindica "la supeficie cilindica definia da una ea dea asse e da un aggio è l'insieme di ui i puni dello spaio che disano dall asse" 8 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 4
5 Supeficie cilindica di asse, aggio cosϑ u v senϑ w h w P θ c u v w P(,,) O u v cosϑ c senϑ ϑ < π, h h R Equaione paameico-veoiale della supeficie cilindica ϑ e h sono i paamei 9 Elica Cilindica "L'elica cilindica definia da un asse, un aggio e un passo p è la accia lasciaa da un puno che si muove sulla supeficie cilindica di aggio, avanando a ogni gio di un passo p" Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
6 Elica cilindica di asse, aggio, passo p cosϑ u v senϑ w p ϑ π w P(,,) u O P v P θ c u v w cosϑ c senϑ p ϑ π ϑ R Equaione paameico-veoiale dell elica cilindica ϑ è l unico paameo ϑ vaia in uo R (più gii) Cuve e Supefici Equaioni in foma paameica ed equaioni in foma implicia Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 6
7 Piano in foma implicia (caesiana) (/) Dalla foma paameica scalae v u ' v u ' v u ' R,' R eliminando i paamei e alla foma caesiana: Luogo geomeico dei puni le cui coodinae soddisfano l equaione a b c d Piano in foma implicia (caesiana) (/) Dalla foma caesiana (inoducendo i paamei e ) a b c d alla foma paameica scalae: ' a c b c ' d c R,' R 4 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 7
8 Rea in foma implicia (caesiana) (/) Dalla foma paameica scalae (eliminando il paameo ) v v v R alla foma implicia: luogo geomeico dei puni le cui coodinae soddisfano il sisema di equaioni v v ( v ( v ) ) Rea come ineseione di due piani Rea in foma implicia (caesiana) (/) Dalla foma caesiana A B alla foma paameica scalae (inoducendo il paameo ) : C A C D B D R 6 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 8
9 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 9 7 Eseciio: ea dal veoiale all implicio Daa la ea in foma veoiale R R individuane una foma implicia. Una espessione paameica scalae è Da - oeniamo un espessione implicia ) ( 8 Eseciio: ea dall implicio al veoiale Daa la ea in foma caesiana R 7 R 7 individuane una foma veoiale. ) ( 7 foma implicia foma paameica scalae foma paameica veoiale.
10 Supeficie sfeica - ceno O, aggio - da foma paameica a foma implicia (/) Daa l'equaione paameica della supeficie sfeica sen ϑ cos cos ϑ sen ϑ sen ϑ π, π Foma scalae paameica quadando le e equaioni: sen cos sen ϑ cos ϑ ϑ sen ϑ π, π 9 Supeficie sfeica - ceno O, aggio - da foma paameica a foma implicia (/) sen cos sen ϑ cos ϑ sen sen ϑ(cos cos ϑ ϑ π, π ϑ Sommando la pima e ea equaione sen ) sen ϑ Sommando le due equaioni si eliminano enambi i paamei Foma implicia Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
11 Supeficie cilindica di asse e di aggio dalla foma paameica alla foma implicia cosϑ senϑ h ϑ π, h R Foma scalae paameica Quadando e sommando le pime due equaioni h (cos ϑ sen ϑ) h R con qualunque Foma implicia Ciconfeena cenaa in O, aggio, piano dalla foma paameica alla foma implicia cosϑ senϑ ϑ π Foma scalae paameica Quadando e sommando le pime due equaioni (cos ϑ sen ϑ) ϑ π Foma implicia Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
12 Ossevaioni Rea, ciconfeena, elica cilindica sono esempi di cuve nello spaio foma paameica ad un paameo foma caesiana (quando cosuibile) deeminaa da un doppio vincolo: che si inepea come ineseione di due supeficie Piano, supeficie sfeica, supeficie cilindica sono esempi di supefici nello spaio foma paameica a due paamei foma caesiana deeminaa da un unico vincolo In geneale una funione veoiale cuva nello spaio Ossevaioni f ( ) g( ) I R h( ) descive una una funione veoiale una supeficie f(u,v ) g(u,v ) h(u,v ) (u,v ) II' R descive 4 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
13 Eseciio: ea angene ad una cuva (/) Daa l'elica cilindica cosϑ c senϑ 9 ϑ π ϑ R Deeminae la ea angene all'elica cilindica daa, nel puno della cuva coispondene a ϑ π senϑ Il veoe c' cosϑ ϑ R appesena, al vaiae di ϑ, 9 la dieione angene la cuva π Eseciio: ea angene ad una cuva (/) cosϑ c senϑ 9 ϑ π senϑ c' cosϑ 9 π ϑ π Il puno di angena ha coodinae 9 P( cosπ, senπ, π) P(,, 9) π I paamei dieoi della ea angene in P sono: Un'equaione veoiale della ea angene in P la cuva daa è: 9 9 π R senπ cosπ 9 9 π π 6 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina
14 Eseciio: piano angene ad una supeficie (/) Daa la supeficie sfeica senϑcos cosϑ senϑsen ϑ π π Deeminae il piano angene alla supeficie sfeica daa nel puno della supeficie coispondene a ϑ π / e π/ Calcolo le funioni veoiali deivae paiali ispeo a ϑ e ispeivamene: cosϑcos senϑsen c' senϑ d' ϑ π π cosϑsen senϑcos 7 Eseciio: piano angene ad una supeficie (/) senϑcos cosϑ senϑsen cosϑcos c' senϑ cosϑsen senϑsen d' senϑcos Il puno di angena ha coodinae (,,) I veoi i giaciua del piano angene sono: Un'equaione veoiale del piano angene è: v u u,v R ϑ π / ; π/ 8 Leione 6 Apile Linee e Supefici nello spaio Pagina 4
Alcune curve e superfici. Circonferenza. Superficie sferica. Lezione 16 Aprile 2003 Linee e Superfici nello spazio Pagina 1
Coso di Laea in Disegno Indstiale Coso di Metodi Nmeii pe il Design Alne e e spefii Leione 16 apile 3 Ce e Spefii nello Spaio F. Caliò 1 Cionfeena di ento, aggio, piano Cionfeena P(,,) os t =, = sen t
Retta di minima distanza, sfere e circonferenza nello spazio Alcuni esercizi svolti
Rea di minima disana sfee e ciconfeena nello spaio Alcuni esecii svoli. Sabilie se le ee ed s sono complanai o sghembe. Nel pimo caso pecisae se esse sono paallele oppue incideni e ovae l equaione di un
Parallelismo fra rette nello spazio
Coso di Lauea in Disegno Indusiale Coso di Meodi Numeici pe il Design Lezione mazo Posizioni ecipoche fa ee F. Caliò Paallelismo fa ee nello spazio Lezione de Mazo Paallelismo fa ee (/) Dae due ee ( ()
5) Equazioni delle rette tangenti ad una circonferenza condotte da un punto. 6) Equazione della retta tangente ad una circonferenza in un suo punto
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Unià Didaica N 8 : La ciconfeenza Equazione della ciconfeenza di ceno C e aggio Equazione geneale della ciconfeenza Ciconfeenza avene equazione paicolae
Risoluzione dei problemi
Risoluzione dei polemi a) Sudiamo il gafico di f ( ) D: R -]- ; [ - (-) f( ) - - - - - f ( ), quindi la funzione è dispai - Le inesezioni con l asse delle hanno ascisse + e - lim f ( ) lim " + " + - si
Origami: Geometria con la carta (II)
igami: Geomeia con a caa (II) E' possibie mosae (cf. Geeschage, 1995) che ognuna dee pocedue E1-E5 dea geomeia eucidea, può essee sosiuia da combinazioni dee pocedue 1-8 dea geomeia oigami. Infai abbiamo:
2 CINEMATICA. 2.1 Equazioni del moto (),
CINEMATICA Un copo si dice in moo elaivamene ad un alo copo quando la sua posiione misuaa ispeo all alo copo cambia nel empo Si dice cinemaica lo sudio del moo dei copo indipendenemene dalla cause che
25.2. Osservazione. Siccome F(x, y, z) = 0 è un equazione e non un identità, una superficie non contiene tutti gli 3 punti dello spazio.
. Cono e cilindro.. Definiione. Diremo superficie il luogo geomerico dei puni dello spaio le cui coordinae soddisfano un equaione del ipo F che viene dea equaione caresiana della superficie. Se F è un
dt (3.1) Se consideriamo un sistema di riferimento solidale con la particella P 1 , il vettore posizione di P 2 sarà:
3 MOTI RELATIVI La desciione del moo ichiede la specificaione di un sisema di ifeimeno; genealmene viene scelo quel ifeimeno il cui uso semplifica i calcoli e le ossevaioni. Tuavia poiché ossevaoi diffeeni
Moto di puro rotolamento
oto-taslaione di un copo igido di seione cicolae (disco,cilindo,sfea) su di un piano, pe il quale il punto (o i punti) di contatto ta il copo ed il piano è femo ispetto a questo ( non vi è stisciamento
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Esecizi svoli di geomeia delle aee Alibandi U., Fuschi P., Pisano A., Sofi A. ESERCZO n.3 Daa la sezione a doppio T ipoaa in Figua, deeminae: a) gli assi pincipali cenali di inezia; b) l ellisse pincipale
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Sessione suppleiva di odinameno 008 009 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Indiizzo M: odinameno liceo della comunicazione CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppleiva 009 Tema di MATEMATICA Il candidao isolva
Forze dipendenti dalla velocità. Attrito Viscoso Corpo in caduta libera in un fluido -> resistenza f R
Foze dipendeni dalla velocià Aio Viscoso Copo in cadua libea in un fluido -> esisenza f R del mezzo In casi semplici (geomeia semplice, bassa velocià, assenza di ubolenze nel fluido) vale f R = -k v (Legge
da cause di uno esterne, il porta in corpo si Per effetto una nuova bozza finale C. vettore (Figura 1). Figura 1 ha che la Se durante
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(b) Determinare l equazione parametrica della retta r passante per O e ortogonale
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SESSIONE SUPPLETIVA PROBLEMA 2
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Il formalismo vettoriale della cinematica rotazionale
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