Le piastre circolari ed anulari

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1 oso i Pogeo i Suue POTENZA, a.a Le piase cicolai e anulai Do. aco VONA DiSGG, Univesià i Basilicaa maco.vona@unibas.i hp://.unibas.i/ueni/vona/

2 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Sono consieae ali le piase che abbiano caichi e vincoli oai i simmeia aiale Tue le ganee (sposameni, efomaioni, ensioni ) ipenono solano alla vaiabile aggio Il poblema si isolve con equaioni iffeeniali oinaie

3 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE L imposaione el poblema è analoga a quella el calcolo ella piasa in cooinae eangolai Pe agioni i simmeia le incognie si iucono a TE b onsieiamo un elemenino infiniesimo i una piasa cicolae θ

4 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE È eviene che sulle facce aiali si annullano i agli e ui i momeni oceni Le equaioni si iucono a: b equaioni i equilibio i collegameno a e θ

5 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equaioni i collegameno D χ χ χ χ uvaua aiale uvaua angeniale χ sposameno in P sposameno in P λ ( ) Da cui (a meno i infiniesimi el II oine): λ P P λ

6 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equaioni i collegameno icoano che la eivaa secona ell abbassameno è popio pai alla cuvaua si ha: χ λ χ Le equaioni i collegameno assumono quini la foma D

7 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equaioni i collegameno Ovveo icoano che la oaione ha la seguene espessione: ϕ Le equaioni i collegameno assumono quini la foma D ϕ ϕ

8 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio elle foe in ieione veicale (asse ) b La foa coisponene al caico eseno b assume la foma: b ϑ b Il coisponene valoe el aglio Q : Qϑ θ

9 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio elle foe in ieione veicale (asse ) b b θ L incemeno i aglio Q lungo un geneico elemeno θ ella piasa vale: [ Qϑ ( Q) ϑ] Q ( Q) ϑ

10 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio elle foe in ieione veicale (asse ) Quini l equaione i equilibio si può scivee come: b [ Q ϑ ] Q ( Q ) ϑ b ϑ 0 Ovveo: ( Q ) b Inegano lungo il aggio Q b Q b

11 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equaioni i equilibio onsieiamo un caico applicao su i ciconfeena i aggio Inegano e eneno cono elle coniioni al conono si ha πq π 0 b Da cui si icava Q 0 b

12 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Piase anulai vincolae lungo enambi i boi Il aglio iviene ipesaico nel caso i piase anulai vincolae lungo enambi i boi In ali casi il poblema ella soluione numeica si affona iconuceno il uo alla sovapposiione i ue o più casi a aglio isosaico Quini in geneale il aglio Q può essee sempe consieao noo In ali emini lo si aeà nel seguio

13 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE oniioni al conono In ui i casi i piasa cicolae eve essee Q 0 al ceno ( 0 ) ovveo: Q 0 b 0 0 Nel caso i piasa anulae libea a uno ei ue boi (supponiamo i aggio ) eve essee Q 0 pe quini il aglio si calcola come: Q b

14 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE oniioni al conono In ui quesi casi il aglio si può eeminae in base al solo equilibio ovveo il aglio è isosaico Inole, eve essee icoao che le espessioni pe il calcolo el aglio possono essee eeminae anche in base a coniioni i equilibio globale

15 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio ei momeni inono all asse angene Il momeno coisponene a vale: ϑ Il momeno coisponene a b è infiniesimo i oine supeioe L equaione i equilibio si scive come: Qϑ ( ) ϑ ϑ 0 Ovveo: ( ) Q

16 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio ei momeni inono all asse angene Il momeno coisponene al aglio Q vale: Qϑ Il momeno coisponene a vale: ϑ θ ( ) ϑ ϑ ϑ ( ) ( ) ϑ ϑ

17 LE PIASTE IOLAI AIATE ASSIALENTE Equilibio ei momeni inono all asse angene Qϑ ( ) ϑ ϑ 0 Ovveo: ( ) Q Equaioni i collegameno D ϕ x ϕ

18 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Sosiueno le equaioni i collegameno nell equaione i equilibio inono a si oiene: ϕ ϕ ϕ ϕ Q D Ovveo eivano uleiomene ispeo a e semplificano: ϕ ϕ ϕ he può essee messa nella foma : ϕ Q D Q D

19 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Tale espessione può isolvesi pe inegaioni successive ϕ Q D Inicano con il segno i apice la eivaa ispeo alla vaiabile ( ) Q D icoano l espessione el aglio Q b

20 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA oliplicano pe e eivano enambi i membi ( ) b D icoano che l equaione ella supeficie elasica È eviene l analogia con l equaione ella linea elasica

21 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA È un equaione iffeeniale oinaia, lineae a coefficieni vaiabili ( ) D b Da ale espessione si può icavae la cuvaua Q Q D ϕ χ 0 0 Q D ϕ χ

22 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA È un equaione iffeeniale oinaia, lineae a coefficieni vaiabili ( ) b D Da ale espessione si possono icavae i momeni ( ) Q Q ( ) ( ) ( ) Q Q ( ) ( )

23 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Infine, quini, la soluione i caaee geneale pe la supeficie elasica assume la foma: Soluione paicolae non omogenea ϕ D Soluione geneale omogenea associaa Q ln 3 4 La cosane 3 può essee posa nella foma 3 ln 3 on 3 a eeminasi in base alle coniioni al conono

24 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA La soluione i caaee geneale el poblema elle piase cicolai è quini la seguene D Q ϕ Da una pima inegaione i: Si oiene: Inegano ancoa Q D 0 ϕ Q D 0 ϕ Q D 0 0 ϕ

25 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Ovveo: La eivaa secona ello sposameno ha foma: Q D 0 0 ϕ ( ) ( ) x x x ϑ ϑ ϑ cosϑ cos x x x ϑ ϑ ϑ sin cos ( ) ( ) y y y ϑ ϑ ϑ sin ϑ sin ϑ ϑ cos sin

26 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Applicano l opeaoe i Laplace agli sposameni x y La eivaa secona ello sposameno ha foma: ( cos ϑ sin ϑ ) ( sin ϑ cos ϑ ) ( ) EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA ( ) b D

27 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA La eivaa pima ello sposameno ha foma: x x x ϑ ϑ y y y ϑ ϑ Pe un poblema i ipo assialsimmeico lo sposameno non Pe un poblema i ipo assialsimmeico lo sposameno non ipene a ϑ e unque si può scive : 0 ϑ cosϑ x sinϑ y Le eivae pime ello sposameno si semplificano quini nella foma :

28 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Deve essee ossevao che all equaione ella supeficie elasica si poeva pevenie consieano la asfomaione a cooinae caesiane a cooinae polai y x cosϑ y sinϑϑ ϑ x ϑ x acan y y x

29 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA y ϑ Le eivae pime elle nuove cooinae polai cosϑ x y x x x sinϑ y y x y y x ϑ y x y y x y x y x ϑ sinϑ x x x y y ϑ cosϑ

30 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Quini isula come già oenuo : ϕ D Piasa cicolae Q ln 3 4 Pe le piase cicolai, in viù ella simmeia, si può scivee ϕ 0 0 pe Da cui consegue: 0 Inole, isula anche pe 0 ( )

31 PIASTA INASTATA AL ONTONO I isulai esposi in peceena escivono le poceue necessaie pe aae il poblema elle piase cicolai e anulai caicae simmeicamene Le applicaione sui singoli casi si aggono i conseguena consieano i caichi assegnai, i vincoli e le consegueni coniioni al conono specifiche el poblema aao b b θ

32 PIASTA INASTATA AL ONTONO Deve essee icoao che in qualsiasi piasa cicolae caicaa simmeicamene una elle coniioni fonamenali è: ϕ 0 pe 0 Quini (soluione el poblema) : ϕ D 0 Q 0 0

33 L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA Da cui, icoano le espessioni ei momeni : ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) pe 0 ( ) In ogni piasa cicolae si annulla la cosane i inegaione 0 e i momeni angeniale e aiale sono uguali a loo al ceno ella piasa

34 PIASTA INASTATA AL ONTONO onsieiamo una coniione i vincolo i incaso lungo il boo : ϕ 0 pe Dalle coniioni al conono si icava la oaione 0 ϕ ( ) 0 0 Q 0 Q 0 0

35 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico unifomemene ipaio b In queso caso il caico eseno efinisce il valoe el aglio nel seguene moo: π Q π b Q Inegano b 0 Q 0 b b 4

36 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico unifomemene ipaio b ( ) b b b 6 D b ϕ

37 icoano l espessione egli abbassameni 0 ϕ asi paicolai aico unifomemene ipaio PIASTA INASTATA AL ONTONO 0 3 ln 4 Q D Esseno b b D

38 asi paicolai aico unifomemene ipaio PIASTA INASTATA AL ONTONO Viene eeminao in base alla coniione 0 3 Da cui Quini: 3 b b 64D pe Si può ossevae che non ipene a, come peveibile, poiché non compae ne nell equaione ella supeficie elasica ne nelle coniioni al conono

39 asi paicolai L EQUAZIONE DELLA SUPEFIIE ELASTIA aico unifomemene ipaio icoano le espessione ei momeni angeniale e aiale ( ) Q Q ( ) ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) Sosiueno i valoi icavai alle peceeni espessioni e consieano le coniioni al conono

40 PIASTA INASTATA AL ONTONO I momeni possono essee calcolai come: ( ) ( ) b b b asi paicolai aico unifomemene ipaio ( ) ( ) 3 6 b ( ) ( ) b b b ( ) ( ) 3 6 b

41 asi paicolai aico unifomemene ipaio PIASTA INASTATA AL ONTONO I iagammi ei momeni e i hanno anameni che sono qualiaivamene simili a quelli visi pe un ave incasaa agli esemi. I momeni ipenono a b ( ) ( 3 ) 6 ( ) ( 3 ) b 6 4 b 64D

42 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico ipaio lungo una ciconfeena Sia il caico ipaio su un aggio <. Sia P la isulane Pe 0 Q 0 Pe Q P π

43 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico ipaio lungo una ciconfeena Pe 0 0 Q 0 Pe Q π 0 Q P

44 PIASTA INASTATA AL ONTONO La cosane i inegaione è pai a: aico ipaio lungo una ciconfeena P Q π P P ln ln π π µ Poso: Si ha: P ln µ µ µ µ µ π

45 PIASTA INASTATA AL ONTONO Inegano pe pai ( ) ln 4 P µ µ µ µ π aico ipaio lungo una ciconfeena ln 4 P π

46 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico ipaio lungo una ciconfeena 0 Pe ( ) ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) ( ) Q Q Dalle espessioni i e si icava ( ) ( ) ln 8 P π Il cechio i aggio è soggeo a momeni cos Esseno la cuvaua ella S efomaa uguale in ogni puno e in ogni ieione, si è in un caso i FLESSIONE SFEIA

47 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico ipaio lungo una ciconfeena Pe ( ) ( ) ( ) ln ln 8 P π ( ) ( ) ( ) ln ln 8 P π ( ) 8 π

48 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico ipaio su un cechio i aggio a Sia il caico ipaio su un cechio i aggio a < a

49 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico ipaio su un cechio i aggio a Il caico ipaio su un cechio i aggio a <, può suiviesi in anelli i aggio e laghea Il caico coisponene al singolo anello è: b π Qualunque effeo el caico può essee icavao pe sovapposiione egli effei ai isulai al caso peceenemene viso elaivo al caico ipaio su i una ciconfeena. A esempio i momeni al ceno ella piasa valgono: c c ( ) πb 8π a 0 ln

50 PIASTA INASTATA AL ONTONO Poneno aico ipaio su un cechio i aggio a µ ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ µ b a c c 0 3 ln 4 µ 0 ( ) 4 ln 4 a a a b c c Analogamene all incaso si oiene: 4 a a b inc inc c

51 PIASTA INASTATA AL ONTONO asi paicolai aico P concenao al ceno I momeni e isulano alle espessioni pe il caico ipaio su un cechio con che ene a eo 0

52 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico P concenao al ceno P 4π ( ) ln P 4π ( ) ln Si può ossevae che pe che ene a eo i ue momeni e enono a infinio iò può essee spiegao innaniuo ossevano che () il caico concenao è un asaione maemaica e che il caico saà in paica applicao a un aea molo piccola

53 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico P concenao al ceno Inole () vengono meno le ipoesi i base ella eoia, così come avviene anche pe i caichi non concenai ma ipaii su una aea molo piccola. In paicolae, le σ non saanno più ascuabili mene le foe i aglio in possimià el caico concenao saanno così gani a NON poesi più ammeee la ONSEVAZIONE DEI SEGENTI ETTILINEI

54 PIASTA INASTATA AL ONTONO aico P concenao al ceno In sosana ciò vuol ie che i isulai ella aaione el caico concenao sono valii solano a una cea isana al puno i applicaione el caico sesso In al moo sono sempe veificae le ipoesi i calcolo mene pe il pincipio i e Sain Venan non si isenono gli effei ella concenaione el caico La isana può essee assuna pai allo spessoe ella piasa Pe <h le ensioni evono essee eeminae uiliano la eoia ell elasicià

55 PIASTA INASTATA AL ONTONO Piasa appoggiaa al conono - - Si può opeae pe sovapposiione egli effei In una pima fase si consiea una piasa incasaa e si calcola il momeno aiale all incaso ovuo al caico In una secona fase si consiea la piasa appoggiaa soggea a un momeno negaivo applicao al boo - -

56 PIASTA INASTATA AL ONTONO Piasa appoggiaa al conono La soluione isuleà alla sovapposiione elle ue fasi. In paicolae isula: 0 Pe Dall equaione geneale ei momeni pe la piasa cicolae: ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) Q Q ( ) ( )

57 PIASTA APPOGGIATA AL ONTONO Piasa appoggiaa al conono Nella secona fase isula Q 0 e quini, icoano che in ale coniione isula: 0 ( ) ϕ D D( ) In sosana pe un momeno cosane applicao al conono, la piasa cicolae è soggea a FLESSIONE SFEIA

58 asi paicolai Il momeno all incaso ( ) vale: a) aico unifomemene ipaio 8 b inc Quini il momeno a applicae al boo vale 8 b inc PIASTA APPOGGIATA AL ONTONO 8 inc I momeni e ella piasa appoggiaa valgono: ( ) ( ) ( ) b b b ( ) ( ) ( ) b b b

59 asi paicolai All incaso ( ) si ha: a) aico ipaio lungo una ciconfeena i aggio < ( ) ( ) P P PIASTA APPOGGIATA AL ONTONO All ineno ella ciconfeena caicaa si ha: ( ) 4 8 π π ( ) 4 ln 8 P P π π

60 PIASTA APPOGGIATA AL ONTONO asi paicolai a) aico ipaio lungo una ciconfeena i aggio < All ineno ella ciconfeena caicaa si ha: ( ) P ln ( ) 8 π Analogamene si possono eeminae i momeni ella ciconfeena caicaa all eseno Segueno la sessa poceua è possibile suiae qualsiasi ala combinaione i caico