Campi elettrici nella materia: polarizzazione di dielettrici ideali e con perdite

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1 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici PITOLO 5 ampi eleici nella maeia: polaizzazione di dieleici ideali e con pedie onenui: 5. Inoduzione Dieleici e dipoli eleici Momeno di dipolo eleico Dieleici polai e apolai Dieleici ideali Polaizzazione di un dieleico isoopo ed ideale Descizione fenomenologica della polaizzazione osane (o pemiivià o pemeabilià) dieleica elaiva Relazione a polaizzazione e campo eleico Induzione eleica (o sposameno dieleico) Relazione a caica di polaizzazione e caica libea Teoema di Gauss pplicazione del eoema di Gauss ad un condensaoe planae Maeiali feoeleici uado sinoico Effei di accoppiameno eleo-emo-meccanico nei dieleici Effeo piezoeleico Effeo pioeleico Effeo eleocaloico Odinameno degli insiemi dei maeiali dieleici Dieleici eali con pedie Meccanismi di polaizzazione della maeia e dispesione dieleica Dieleici con pedie pe ilassameno dieleico Dieleici con pedie ohmiche Dieleici con pedie sia pe ilassameno dieleico sia ohmiche Polaizzazione inefacciale...4 Rifeimeni bibliogafici...3 Maeiale didaico copeo da copyigh

2 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici 5. Inoduzione Il pesene capiolo ha lo scopo di pesenae alcune nozioni di base elaive ad ineazioni elemenai a campi eleici e maeia in elazione alle popieà dieleiche ideali o con pedie di essa. La conoscenza degli effei deivani da ali ineazioni isula infai funzionale pe lo sudio di diffeeni caegoie di fenomeni bioeleici come saà descio nel coso dei capioli segueni. 5. Dieleici e dipoli eleici Si definisce dieleico un maeiale isolane eleico pefeo (dieleico ideale) o debolmene conduoe (dieleico eale con pedie) con esisivià supeioe a 9 Ωm. Sebbene un maeiale dieleico sia di noma cosiuio da molecole eleicamene neue ogni molecola i-esima o ogni elemeno di volume ol i possono pesenae anche se eleicamene neui una sepaazione di caica q e q a disanza che cosiuisce ciò che si definisce un dipolo eleico (Fig..). Fig... Rappesenazione delle linee di campo di un dipolo eleico. Un dipolo eleico infai appesena una sepaazione a i baiceni delle caiche posiive e negaive di una molecola o più in geneale di un elemeno di volume. La sepaazione di caica del dipolo genea un campo eleico del dipolo E le cui linee di campo sono evidenziae in Fig... dipolo 5.. Momeno di dipolo eleico Ogni dipolo eleico è caaeizzao da una gandezza veoiale chiamaa momeno di dipolo eleico. Essendo un momeno esso è definio e calcolao ispeo ad un deeminao polo (o). Tale momeno gode della popieà d invaianza ispeo al polo scelo pe definilo come di seguio descio. Definendo q e q i veoi posizione delle caiche q e q ispeivamene ispeo al polo o scelo il momeno di dipolo ispeo ad o è così definio: P q o q q) ( (.a) q Maeiale didaico copeo da copyigh

3 Fedeico api Danilo De Rossi Scegliendo come polo o il baiceno della caica q si ha: eleico vale: P dipolo q e q q (.b) Fenomeni Bioeleici. Peano il momeno di dipolo P e E dipolo hanno vesi opposi (Fig...). Si noi che dipolo Si definisce inole momeno di dipolo eleico pe unià di volume di dieleico (o veoe di polaizzazione) il seguene veoe: N Pi i P (.c) ol dove P i è il momeno di dipolo del dipolo i-esimo e N è il numeo dei dipoli peseni nel volume ol. 5.. Dieleici polai e apolai I dieleici possono essee suddivisi nelle segueni due classi: dieleici con molecole polai e dieleici con molecole apolai. Le molecole dei dieleici polai ad esempio H O (Fig..) Nal ecc. possiedono dei dipoli sponanei P i ma oienai casualmene in modo che P. Fig... Molecola dell acqua e suo momeno di dipolo. I dieleici con molecole apolai ad esempio O H ecc. non possiedono dipoli sponanei ( P i ). Tuavia quesi possono essee indoi dall applicazione di un campo eleico E al dieleico ossia pe E si ha P i. Il campo eleico infai può defomae le molecole disanziando i baiceni della caica e (le caiche non possono meesi in moo peché il maeiale è dieleico peò possono sepaasi ) dando così oigine a dei dipoli indoi dal campo E applicao. 5.3 Dieleici ideali 5.3. Polaizzazione di un dieleico isoopo ed ideale Sia i dieleici polae che apolai subiscono quando sooposi ad un campo eleico E una polaizzazione (ossia si polaizzano) ovveo i dipoli al loo ineno (popi o indoi da E ) si allineano paallelamene ad E ui con lo sesso veso (Fig..3); ciò dà oigine ad un momeno di dipolo pe unià di volume (veoe di polaizzazione) non nullo: Maeiale didaico copeo da copyigh 3

4 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici P N i i ol P (.) Fig..3. Oienazione di dipoli indoa da un campo eleico eseno Descizione fenomenologica della polaizzazione Si considei un condensaoe planae a le cui amaue sia pesene il vuoo come affiguao in Fig..4. Fig..4. ondensaoe planae. Siano la diffeenza di poenziale (cosane) sabilia a le amaue il valoe assoluo della caica su ciascuna di esse l aea di ciascuna di esse z la disanza a di esse ed la pemiivià dieleica del vuoo ( F/m). Si ha: z E z dz E E z dz Ez (.3) dove E indica il modulo del veoe E. La capacià eleica del condensaoe vale: (.4) z Si supponga oa di immeee a le piase un maeiale dieleico diveso dal vuoo manenendo cosane. I dipoli del dieleico inizialmene oienai iegolamene si allineano soo l azione del campo eseno E es Maeiale didaico copeo da copyigh 4

5 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici applicao (Fig..5). seguio dell allineameno peò i dipoli ceano a loo vola un campo ineno al dieleico E di veso opposo a quello di in E (Fig..5). es Fig..5. Insezione di un dieleico a le amaue di un condensaoe planae. onseguenemene il campo eleico isulane all ineno del dieleico isula infeioe ispeo a quello che si avebbe in assenza del maeiale ossia ispeo al campo eleico E o es o es E : E E E < E (.5) in Inole sulle supefici del dieleico che si affacciano sugli eleodi appae una caica di polaizzazione dovua ai dipoli che si affacciano su ali supefici. es Fig..6. Polaizzazione di un maeiale dieleico a le amaue di un condensaoe planae. Poiché pe ipoesi è cosane la caica di polaizzazione (sulla supeficie del dieleico) ichiama ala caica libea (sugli eleodi) dal geneaoe e nel dieleico si sabilisce all equilibio il medesimo campo eleico E / z che si avebbe in assenza del maeiale. Pe quanificae ale caica libea aggiuniva è necessaio quanificae la caica di polaizzazione. ale scopo si sfua il seguene isulao: pe un mezzo dieleico di foma qualsiasi polaizzao unifomemene e inefacciao ad un conduoe ideale (che peseni un campo eleico nullo al suo ineno) o al vuoo la densià supeficiale della caica di polaizzazione è espessa dalla seguene elazione: Maeiale didaico copeo da copyigh 5

6 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici pol P n (.6a) dove n è il vesoe oogonale alla supeficie del dieleico nel veso uscene da esso. Una genealizzazione di ale elazione è pesenaa in una sezione successiva. Dalla Eq. (.6a) si icavano pe la configuazione di ipo condensaoe planae le segueni densià di caica di polaizzazione sulle supefici del dieleico: pol pol P P in possimià delleleodo negaivo in possimià delleleodo posiivo (.6b) ome ossevazione si noi che ale isulao può essee icavao anche dalle consideazioni di seguio ipoae ano semplicisiche quano efficaci. La caica di polaizzazione inefacciale è daa dalla somma delle caiche di polaizzazione peseni su ciascuna inefaccia: pol q i inef. polaiz. (.7) onsideando che pe una configuazione di dipoli oienai nello sesso veso vale si ha: pol Poli P oli inef. inef. polaiz. Pi qi P (.8) ol ol polaiz. i i ol inef. Pol inef. P (c.v.d.) (.9) dove P indica il modulo del veoe P. Dall Eq. (.6b) si ha che all equilibio sugli eleodi si sabilisce come appesenao in Fig..7 la seguene caica libea: lib ± ( P) (.) Fig..7. Disibuzione di caica all equilibio eleico. Maeiale didaico copeo da copyigh 6

7 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Ne consegue che la capacià eleica in pesenza del dieleico diviene: lib P (.) osane (o pemiivià o pemeabilià) dieleica elaiva Tale gandezza indicaa con può essee definia nel modo seguene: P P E P E (.) Si noi che pe il vuoo mene > pe qualsiasi dieleico diveso dal vuoo. d esempio 8 pe l acqua 3-5 pe gomme siliconiche e pe alcune ceamiche. Si soolinea che ali valoi sono fonii semplicemene come un indicazione sulle diffeeni popieà eleiche di divese ipologie di maeiali. In ealà come saà chiaio nel coso del pesene capiolo pe un qualsiasi mezzo dieleico eale la descizione sin qui pesenaa non è popiamene coea; in paicolae si ende necessaia una idefinizione della pemiivià dieleica e conseguenemene del significao dei valoi aibuibili a diffeeni mezzi Relazione a polaizzazione e campo eleico Dalla Eq. (.) discende la seguene espessione (con noazione veoiale): P ( ) E (.3) Essendo la polaizzazione dieamene popozionale al campo eleico applicao il dieleico è deo lineae. Il faoe è definio susceivià dieleica del maeiale Induzione eleica (o sposameno dieleico) Si definisce induzione eleica (o sposameno dieleico) la seguene gandezza: D P lib E E P D P E lib (.4) Relazione a caica di polaizzazione e caica libea Dalle pecedeni equazioni che quanificano la dipendenza della caica di polaizzazione dalla polaizzazione e di ques ulima dal campo eleico discende la seguene elazione a la caica di polaizzazione pol e la caica libea lib in possimià di una supeficie di aea di un dieleico: ossia: pol P n ( ) E n ( ) lib (.5) Maeiale didaico copeo da copyigh 7

8 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici ( ) (.6) pol lib Teoema di Gauss Il eoema di Gauss è un uile sumeno di validià geneale pe il calcolo del campo eleico geneao da una disibuzione di caica libea lib all ineno di un mezzo dieleico omogeneo isoopo e lineae di pemeabilià secondo la seguene elazione (si veda l ppendice): E n ds S lib (.7) dove S è una qualsiasi supeficie chiusa che acchiuda la caica libea e n è il vesoe oogonale alla supeficie S nel veso uscene. Dalla elazione a pol e lib discende la seguene foma equivalene del eoema: S E n ds lib pol (.8) pplicazione del eoema di Gauss ad un condensaoe planae Nel caso del condensaoe planae analizzao in pecedenza si considei convenienemene una supeficie S a foma di paallelepipedo che abbia due basi paallele alle amaue e acchiuda una di esse come in Fig..8. Fig..8. pplicazione del eoema di Gauss ad un condensaoe planae. Poiché il campo E è cosane all ineno del dieleico (ascuando gli effei ai bodi) e nullo fuoi si ha: E n ds S E (.9) uindi: lib P E (.) ome ossevazione si noi che la sessa espessione del campo può essee icavaa anche dalle segueni elazioni: Maeiale didaico copeo da copyigh 8

9 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici E z P (.) Infai: ( P) ( P) P E (.) z z z z 5.4 Maeiali feoeleici Un maeiale dieleico si definisce feoeleico se possiede una polaizzazione sponanea P in assenza di campo eleico applicao che possa essee inveia da un campo eleico eseno. Pe i feoeleici P non è popozionale ad E e peano essi non sono dieleici lineai; inole ali maeiali hanno valoi di molo maggioi di quelli dei dieleici lineai odinai. Esempi di ali maeiali includono divesi ipi di ceamiche (ad esempio niobai di piombo e magnesio con ) o copolimei (ad esempio poli(vinilidenefluouoesafluoopopilene) ossia P(DF-HFP) con 4). d una empeaua T c noa come empeaua di uie feoeleica i maeiali feoeleici subiscono una ansizione da sao feoeleico a dieleico odinaio (Fig..9). Fig..9. ndameno qualiaivo di in funzione di T pe un maeiale feoeleico. In paicolae si ha: ) pe T<T c : > e il maeiale mosa popieà feoeleiche esibendo domini polaizzai sepaai; T ) pe TT c : e il maeiale subisce una ansizione da feoeleico a dieleico odinaio; T ) pe T>T c : < e il maeiale mosa popieà ipiche di un dieleico odinaio. T Un andameno analogo a quello pesenao in Fig..9 sussise ipicamene anche pe la elazione a la cosane dieleica ed l inensià E del campo eleico applicao. La non lineaià dei feoeleici si manifesa in paicola modo nel diagamma di P (o D) in funzione di E con un ciclo di iseesi (Fig..). Maeiale didaico copeo da copyigh 9

10 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Fig... iclo di iseesi pe un maeiale feoeleico. umenando E a paie dal valoe nullo si ha che P aumena fino ad un valoe di sauazione P S. Diminuendo successivamene il campo E fino ad annullalo nuovamene il maeiale pesena una polaizzazione esidua P R. Pe depolaizzalo compleamene è necessaio applicae un campo di veso opposo (E<). umenando l inensià del campo in ale veso la polaizzazione cambia veso (P<). Si definisce campo coeciivo il valoe del campo E E ale che P mene si definisce polaizzazione esidua il valoe della polaizzazione P P R pe E. 5.5 uado sinoico La Fig.. pesena un iepilogo degli andameni qualiaivi di P D ed in funzione di E pe i mezzi dieleici sin qui descii. Fig... ndameni qualiaivi di P D ed in funzione di E pe il vuoo un dieleico lineae e un feoeleico. Maeiale didaico copeo da copyigh

11 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici 5.6 Effei di accoppiameno eleo-emo-meccanico nei dieleici Si ciano in quesa sezione alcuni effei di accoppiameno eleo-emo-meccanico ipici di alcune ipologie di dieleici. Tali effei possono essee peseni non solano in svaiai maeiali sineici (uilizzai ad esempio pe la ealizzazione di sensoi e auaoi) ma anche in mole ipologie di essui biologici e composi oganici popi degli essei viveni come descio in modo più appofondio nel capiolo Effeo piezoeleico L effeo piezoeleico si manifesa in paicolai dieleici chiamai piezoeleici aveni una suua cisallina non-cenosimmeica ossia caaeizzaa dall assenza di un ceno di simmeia (ad esempio cisalli di quazo). Il fenomeno consise nei due segueni effei cosiuivi: Effeo piezoeleico dieo: il maeiale piezoeleico manifesa una polaizzazione in seguio alla applicazione non solano di un campo eleico ma anche di uno sess (sfozo) meccanico. Effeo piezoeleico inveso: il maeiale piezoeleico può subie uno sain (defomazione pecenuale) in seguio alla applicazione non solano di uno sess meccanico ma anche di un campo eleico. algono in paicolae le segueni equazioni cosiuive piezoeleiche: D T E d T ( i ik k ikl kl D d T i E ikl kl k S E ij dkijek sijklt ( kl Sij d T kijek kl : effeo piezoeleico dieo) (.3) : effeo piezoeleico inveso) (.4) dove: ijkl xyz; s ensoe delle cedevolezze (compliance) meccaniche a campo eleico E cosane (ipicamene nullo); E ijkl T ik ensoe delle pemiivià dieleiche a sfozo meccanico T cosane; D i veoe delle componeni dello sposameno dieleico; E k veoe delle componeni del campo eleico; S ij ensoe degli sain (defomazioni pecenuali) meccanici; T kl ensoe degli sess (sfozi) meccanici; d ikl e d kij ensoi delle cosani piezoeleiche Effeo pioeleico Un maeiale dieleico si definisce pioeleico (ad esempio cisalli di omalina) se possiede una polaizzazione sponanea pe T<T c empeaua di uie (alimeni pe T>T c la polaizzazione scompae) che dipenda dalla empeaua ossia P / T pe un campo eleico cosane (evenualmene nullo) Effeo eleocaloico L effeo eleocaloico è il fenomeno inveso a quello pioeleico e consise in una vaiazione della empeaua di un dieleico al vaiae del campo eleico applicao ossia T / E Odinameno degli insiemi dei maeiali dieleici ale la seguene popieà fondamenale: se un maeiale è feoeleico ossia se pesena una polaizzazione sponanea (pe T<T c ) che possa essee inveia da un campo eleico applicao alloa esso è anche pioeleico e piezoeleico. La diffeenza a un maeiale pioeleico ed uno feoeleico isiede nel fao che pu pesenando enambi una polaizzazione sponanea pe un pioeleico ale polaizzazione non necessaiamene Maeiale didaico copeo da copyigh

12 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici è inveibile mediane l applicazione di un campo eleico; qualoa ciò si veifichi il maeiale è anche feoeleico. Peano l insieme dei maeiali dieleici può essee odinao in modo da compendee l insieme dei piezoeleici il quale a sua vola include quello dei pioeleici che infine acchiude quello dei feoeleici (Fig..). Fig... Odinameno degli insiemi dei maeiali piezoeleici pioeleici e feoeleici. Maeiale didaico copeo da copyigh

13 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici 5.7 Dieleici eali con pedie diffeenza del caso ideale un dieleico eale soggeo ad un campo eleico può essee pecoso al suo ineno da una debole coene eleica. Essa può essee causaa da due ipi di pedie dieleiche: pedie pe ilassameno dieleico e pedie ohmiche. Le pime sono dovue al ilassameno dei dipoli del maeiale a seguio dell applicazione del campo eleico. Le seconde sono espessione del moo sosenuo dal campo eleico applicao di caiche mobili all ineno del maeiale già peseni al suo ineno o inieabili dall eseno. Tali fenomeni sono descii di seguio dopo una inoduzione sui diffeeni meccanismi di polaizzazione della maeia Meccanismi di polaizzazione della maeia e dispesione dieleica seconda del ange di fequenze di lavoo del campo eleico applicao si disinguono quao fondamenali meccanismi di polaizzazione della maeia: polaizzazione pe defomazione eleonica pe defomazione aomica pe oienazione dipolae e polaizzazione inefacciale. Essi sono pesenai nelle sezioni segueni Polaizzazione pe defomazione eleonica Tale polaizzazione isula comune a ui i solidi e consise in uno sposameno della nuvola eleonica elaivamene al nucleo (Fig..3). Fig..3. Polaizzazione pe defomazione eleonica. Poiché ale pocesso coinvolge ineazioni con livelli enegeici discei la isposa in fequenza è caaeizzaa da un compoameno di ipo isonane. La polaizzazione pe defomazione eleonica è caaeizzaa da una cosane di empo caaeisica dell odine di -6 s. Peano ale polaizzazione è ipicamene pesene a fequenze caaeisiche della luce ulaviolea ( 5 Hz); pe ale moivo viene anche dea polaizzazione oica. Ne consegue che ale meccanismo di polaizzazione deemina vaiazioni della cosane dieleica e manifesazioni di pedie solo nella gamma di fequenze eleomagneiche oiche; quese vaiazioni si manifesano con linee di assobimeno nello speo di fequenza del visibile o dell ulavioleo. Nel campo delle fequenze oiche si fa ifeimeno di egola all indice di ifazione n più che alla cosane dieleica. Tuavia come noo la eoia eleomagneica pevede che se misuai alla sessa fequenza n ed pe un mezzo dieleico siano legai dalla elazione n. Pe la luce visibile l indice di ifazione pe i solidi e i liquidi in genee vaia a.4 e.; quindi si deduce che il conibuo della polaizzazione eleonica alla cosane dieleica dei solidi e dei liquidi ha un valoe compeso a e 4. Tale polaizzazione è inole paicamene indipendene dalla empeaua Polaizzazione pe defomazione aomica Secondo ale meccanismo di polaizzazione il campo eleico applicao disoce la disposizione dei nuclei aomici all ineno di una molecola. Peano essa è esa possibile dall elasicià dei legami chimici (Fig..4). La Fig..5 mosa un esempio di ale ipo di polaizzazione pe il guppo O. Maeiale didaico copeo da copyigh 3

14 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Fig..4. Polaizzazione pe defomazione aomica. Fig..5. Esempio di polaizzazione pe defomazione aomica. nalogamene alla polaizzazione pe defomazione eleonica anche ale pocesso coinvolge ineazioni con livelli enegeici discei; peano la isposa in fequenza è ancoa una vola caaeizzaa da un compoameno di ipo isonane. Tale meccanismo di polaizzazione è caaeizzao da cosani di empo caaeisiche dell odine di s. Peano si manifesa a fequenze dell odine di - 3 Hz ossia nell infaosso. nche ale polaizzazione è inole paicamene indipendene dalla empeaua Polaizzazione pe oienazione dipolae Tale polaizzazione si veifica in maeiali cosiuii da molecole polai. I elaivi dipoli possono modificae la popia oienazione spaziale e endono ad allineasi secondo il campo eleico applicao (Fig..6). Fig..6. Polaizzazione pe oienazione dipolae. La limiaa mobilià dei dipoli pemaneni dà ipicamene oigine a fenomeni dispesivi. In paicolae la isposa in fequenza associaa a ale meccanismo di polaizzazione pesena un andameno ipico di fenomeni di ilassameno descii nel seguio. Peano un meccanismo di polaizzazione pe oienazione si manifesa dalle basse fequenze fino ad una fequenza caaeisica popia del mezzo. Inole ale meccanismo è molo più leno dei meccanismi pe defomazione e la elaiva cosane di empo caaeisica può essee inclusa in un ampio ange ipicamene s. Peano una polaizzazione pe oienazione può manifesasi fino a fequenze dell odine di Hz ossia fino alle micoonde. seguio del movimeno di oienazione dipolae si può veificae un iscaldameno del mezzo che evidenzia le pedie dieleiche del maeiale. Un esempio comune di queso fenomeno è il iscaldameno a micoonde il quale sfua l oscillazione dei dipoli delle molecole d acqua peseni in un mezzo: il movimeno di ciascun dipolo che si oiena pe azione del campo eleico applicao disuba quelli vicini e li pone in moo disodinao; conseguenemene la empeaua all ineno dell ineo maeiale cesce. basse empeaue i dipoli endono a congelae in posizioni eicolai mene aumenando la empeaua l agiazione molecolae svincola i dipoli e li ende disponibili all oienazione. empeaue eccessivamene elevae l agiazione emica ende ad annullae il fenomeno. In paicolae P e quindi isulano invesamene popozionali alla empeaua T: P T < < T (.6) Maeiale didaico copeo da copyigh 4

15 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Polaizzazione inefacciale In aggiuna ai meccanismi di polaizzazione pe defomazione e pe oienazione è possibile oenee conibui alla polaizzazione dovui a sposameni limiai (diffusioni) di evenuali caiche spaziali peseni nel mezzo che vanno a localizzasi in possimià di inefacce di disconinuià inene al mezzo sesso. iò dà adio alla cosiddea polaizzazione inefacciale noa anche come polaizzazione di Maxwell-Wagne. Essa si veifica in maeiali in cui può avvenie una migazione di caiche su disanze macoscopiche. uando ale effeo è consisene il maeiale può degeneae in un conduoe ionico o in un eleolia solido. Si possono misuae in queso caso cosani dieleiche elaive dellodine di gandezza di 6 o 7 che peò a igoe non dipendono dalla naua dieleica del maeiale ma piuoso dalla mobilià di alcune caiche mobili inene. Tali caiche endono a migae soo linfluenza del campo eleico applicao concenandosi aono a supefici di disconinuià della suua. Su quese inefacce viene quindi a ceasi una diffeenza di poenziale che deemina un aleazione della polaizzazione. Ne consegue che anche la pemiivià dieleica subisce una vaiazione isulando ipicamene accesciua ispeo al valoe posseduo dalla suua del maeiale in sé. iò giusifica gli ali valoi della pemiivià dieleica che possono essee isconai in maeiali paicolamene soggei alla pesenza di inefacce di disconinuià al loo ineno. E queso ad esempio il caso dei essui biologici come saà descio nel capiolo 7. La limiaa mobilià delle caiche spaziali dà ipicamene oigine a fenomeni dispesivi analogamene a quano avviene pe la polaizzazione oienazionale. Peano la isposa in fequenza associaa ad una polaizzazione inefacciale pesena ancoa una vola un andameno ipico di fenomeni di ilassameno. Un meccanismo di polaizzazione inefacciale si manifesa quindi dalle basse fequenze fino ad una fequenza caaeisica popia del mezzo. Inole essendo queso meccanismo legao a migazioni di caiche e polaizzazioni pesso inefacce esso è endenzialmene il più leno a manifesasi fa ui i meccanismi pesi in esame. In paicolae esso ipicamene esibisce cosani di empo caaeisiche dell odine di s. lcuni aspei della polaizzazione inefacciale sono affonai in modo più appofondio in una sezione successiva Disibuzione speale dei diffeeni meccanismi di polaizzazione ome menzionao ciascuno dei meccanismi di polaizzazione della maeia è caaeizzao da una popia cosane di empo caaeisica. La Tab.. iassume gli odini di gandezza di ali empi caaeisici. Tab... aloi ipici (odini di gandezza) della cosane di empo e della fequenza caaeisiche pe i diffeeni meccanismi di polaizzazione. Polaizzazione τ [s] f τ [Hz] Banda Def. eleonica -6 5 U Def. aomica IR Oien. dipolae fino alle MicoOnde Inefacciale Pe ogni geneica fequenza del campo eleico applicao la polaizzazione effeiva del maeiale è daa dalla isulane dei conibui che ciascun meccanismo di polaizzazione può dae a quella fequenza. Peano essendo la pemiivià dieleica un espessione della polaizzazione del maeiale isula che il valoe effeivo della pemiivià dipende in ealà dalla fequenza. La dipendenza dalla fequenza esibia dalla pemiivià è noa come dispesione dieleica ed il mezzo dieleico è deo dispesivo. La polaizzazione pe defomazione eleonica è il meccanismo che si manifesa a fequenze più elevae dell odine dell ulavioleo. Ole ale soglia quindi in paica ogni meccanismo di polaizzazione ende a svanie e pe qualsiasi ipo di maeiale la pemiivià dieleica elaiva ende ad e la pemiivià assolua ende a coincidee con il valoe del vuoo. La Fig..7 mosa qualiaivamene la disibuzione in fequenza dei divesi meccanismi di polaizzazione. Maeiale didaico copeo da copyigh 5

16 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Fig..7. Disibuzione speale dei meccanismi di polaizzazione. Si ossevi che la polaizzazione pe oienazione dipolae è saa appesenaa con un andameno caaeisico idealmene di fenomeni dispesivi che pevede una diminuzione della polaizzazione in funzione della fequenza secondo un flesso obliquo. Tale andameno è peviso dal modello di Debye descio nel seguio. Si noi inole che anche l andameno coispondene alla polaizzazione inefacciale è sao appesenao in modo analogo. iò è dovuo al fao che ipicamene ale meccanismo si manifesa con caaeisiche analoghe a quelle della polaizzazione pe oienazione (anche se i due fenomeni hanno una diffeene oigine come pecedenemene discusso). Infine si soolinea che gli andameni elaivi alle due ipologie di polaizzazione pe defomazione sono sai appesenai con un compoameno a picco caaeisico di ui i fenomeni isonani 5.7. Dieleici con pedie pe ilassameno dieleico Rilassameno dieleico Geneicamene il emine ilassameno definisce un fenomeno pe mezzo del quale un sisema peubao ende all equilibio. Nel caso di un maeiale dieleico non ideale la polaizzazione non è in gado di seguie isananeamene ogni vaiazione del campo eleico applicao. In paicolae si definisce ilassameno dieleico il pocesso secondo il quale un maeiale dieleico solleciao da un campo eleico ende a aggiungee il valoe di equilibio della popia polaizzazione. d esempio nel caso in cui la polaizzazione avvenga mediane un oienazione dipolae il pocesso di ilassameno dieleico appesena la pogessiva oienazione dei dipoli del maeiale. Il aggiungimeno della polaizzazione di equilibio ossia del valoe massimo della polaizzazione (e quindi anche della cosane dieleica) avviene duane un deeminao inevallo empoale. Peano il fenomeno è caaeizzao da una popia cosane di empo di ilassameno dieleico τ alla quale inole coisponde una fequenza di ilassameno f τ /πτ. Si supponga ad esempio di applicae ad un dieleico un campo eleico cosane EE in un ceo isane ossia si supponga di applicae una funzione campo eleico E() a gadino: pe < E() E u() con u() (.5) pe Maeiale didaico copeo da copyigh 6

17 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici seguio del ilassameno dieleico la polaizzazione del maeiale aumeneà gadaamene con una cosane di empo τ da un valoe isananeo P (pe ossia pe fequenza f ) deo polaizzazione isananea ad un valoe di egime P S (pe ossia pe fequenza f ) deo polaizzazione saica (Fig..8). onseguenemene la cosane dieleica elaiva passeà da un valoe isananeo (pe ossia pe f ) deo cosane dieleica ad ala fequenza ad un valoe di egime s (pe ossia pe f ) deo cosane dieleica saica. Fig..8. Evoluzione empoale qualiaiva della polaizzazione e della pemiivià dieleica pe un dieleico solleciao da un gadino di campo eleico. Il ilassameno dieleico è una sogene di pedie dieleiche all ineno del mezzo come di seguio descio Pemiivià dieleica complessa l fine di descivee le popieà di un dieleico con pedie dovue a ilassameno dieleico si considei l applicazione del seguene campo eleico alenao: ( ) E E cos (.7) causa del ilassameno dieleico del maeiale la polaizzazione segue il campo eleico con un ceo iado τ i che si manifesa con uno sfasameno δ()τ i dell induzione D ispeo ad E: D D cos( ( τ i )) D cos( δ ( )) (.8) Richiamo: Noazione fasoiale Daa una gandezza sinusoidale () X cos( Φ ) x si definisce fasoe oane X () associao ad x() j Φ il numeo complesso X ( ) X e ( ) X cos( Φ ) jx sen( Φ ) con j ale che j -. Maeiale didaico copeo da copyigh 7

18 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Peano si ha x()re{ X ()} Indicando con E () e D () i fasoi oani associai alle funzioni E () e D () si ha: { } { } j ( ) E e E Re E ( ) j( δ ( )) ( ) D e D Re D ( ) E (.9) D Si definisce pemiivià (o pemeabilià) dieleica elaiva complessa di un dieleico con pedie pe ilassameno dieleico il numeo complesso ( ) ( ) j ( ) (.3) ale che Sosiuendo si ha: ossia ( ) ( ) E( ) D (.3) D e j ( ) j ( ) E e (.3) j jδ ( ) e D cos δ ( ) jdsenδ ( ) E ( ) j E ( ) (.33) Da ale equazione discendono le segueni elazioni: ( ) ( ) D cos δ E Dsenδ E ( ) ( ) (.34) La pae immaginaia " ( ) è chiamaa faoe di pedia dieleica in elazione al suo significao fisico pesenao nella sezione seguene. Si noi che pe un campo saico ossia in coninua si ha: nalogamene se il dieleico è pivo di pedie si ha: D ( ) δ ( ) E (.35) ( ) D ( ) δ ( ) E ( ) (.36) Maeiale didaico copeo da copyigh 8

19 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Si definisce faoe di dissipazione dieleica (o angene di pedia dieleica) la seguene gandezza: anδ ( ) ( ) ( ) (.37) Si definisce faoe di qualià del dieleico la seguene gandezza: ( ) an δ ( ) (.38) Significao fisico di () () e anδ() Si supponga di applicae una ensione alenaa ad un condensaoe planae con eleodi aveni aea e disanza z (Fig..9): Fig..9. ondensaoe planae solleciao in alenaa. Nel dieleico si insaua peano un campo alenao del ipo: E E cos( ) (.39) z Si definisce capacià complessa del condensaoe planae la seguene gandezza: ( ) ( ) (.4) con capacià del condensaoe avene come dieleico il vuoo. z I fasoi oani della ensione e della coene elaive al condensaoe sono dai dalle segueni espessioni: j ( ) e (.4) Maeiale didaico copeo da copyigh 9

20 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Maeiale didaico copeo da copyigh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j I (.4) L espessione del fasoe della coene è compaibile con un cicuio eleico equivalene cosiuio dal paallelo a un esisoe ed un condensaoe ideali (Fig..). Fig... icuio eleico equivalene pe un condensaoe con dieleico con pedie pe ilassameno dieleico. Tale cicuio pesena la seguene ammeenza paallelo: j R Y (.43) e i segueni fasoi delle coeni: ) ( ) ( ) ( ) ( j I R I R (.44) con: ) ( ) ( ) ( I I I R (.45) onfonando le espessioni di R I () ed I () con quelle della pae eale ed immaginaia di I () si oiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j I I R (.46) Peano valgono le segueni espessioni: Resisenza equivalene: ( ) ( ) R (.47)

21 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici onducibilià equivalene: apacià equivalene: z σ ac( ) ( ) R( ) R( ) (.49) ( ) ( ) (.48) Sussisono quindi le segueni elazioni: ( ) ( ) ( ) σ ac ( ) (.5) > pe ogni dieleico diveso dal vuoo mene pe il vuoo essa vale. Si soolinea inole che poiché la componene I R della coene dissipa enegia nel dieleico mene la componene I della coene accumula enegia nel dieleico si ha che: Si noi che ( ) ( ) Enegia dissipaa / ciclo ( ) Enegia immagazzinaa / ciclo anδ ( ) (.5) " ome uleioe ossevazione è uile meee in evidenza che il modello eleico equivalene poposo non è l unico possibile. d esempio da un puno di visa puamene conceuale saebbe possibile schemaizzae il dieleico anche con un esisoe ed un condensaoe in seie e deeminae ( ) e ( ) in funzione della esisenza e capacià in seie. Tuavia il modello paallelo adoao è pu nella sua semplicià più indicaivo delle effeive popieà fisiche del sisema Modelli di ilassameno dieleico La pima aazione eoica degli effei del ilassameno dieleico fu poposa da Debye. Il modello di Debye (non aao in quesa sede) poa alla fomulazione della seguene espessione: ossia: * ( ) s jτ ( ) ( ) ( ) s ( τ ) ( ) s ( τ ) τ (.5) (.53) Maeiale didaico copeo da copyigh

22 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici dove s e appesenano la cosane dieleica ispeivamene saica ( s pe ) e ad ala fequenza ( s pe ) mene τ è la cosane di empo di ilassameno dieleico del maeiale alla quale coisponde la fequenza caaeisica di ilassameno f τ /(πτ). Un espessione più accuaa di quella elaiva al modello di Debye si deve ai faelli ole i quali inodusseo nell espessione della pemiivià dieleica un esponene empiico α dando luogo alla cosiddea equazione di ole-ole: * s ( ) ( α ) ( jτ ) (.54) con α<. Si noi che pe α si iova la legge di Debye. Un uleioe modifica all equazione di Debye è appesenaa dalla cosiddea equazione di ole-davidson: * s ( ) β ( jτ ) (.55) con <β. pplicando enambe ali modifiche all equazione oiginale di Debye si oiene la cosiddea equazione di Haviliak-Negami: * s ( ) ( α ) [ ( jτ ) ] β (.56) con α<e <β. I due esponeni α e β consenono di modificae la foma del ilassameno ed in paicolae caaeizzano gli andameni di coda ossia gli andameni di ala e bassa fequenza ispeo alla fequenza del picco di. In paicolae l esponene α conolla la laghezza del picco mene β ne conolla l asimmeia. Fissando i valoi α e β nell Eq.(.56) ioviamo l equazione di Debye. Lasciando libeo α e fissando β si oiene l equazione di ole-ole una equazione fenomenologica uile pe descive picchi di ilassameno molo allagai. Pe β libeo e α si ova l equazione di ole-davidson appopiaa pe appesenae picchi asimmeici (Fig..a). La appesenazione dei valoi di in funzione di fonisce in geneale il cosiddeo diagamma di ole-ole. Pe l equazione di Debye ale diagamma coincide con una semiciconfeenza che invece degenea in fome asimmeiche nel caso dell equazione di Haviliak-Negami (Fig..b). Fig... (a) ndameno delle pai eale e immaginaia della pemiivià dieleica in funzione della fequenza e (b) diagamma di ole-ole. In enambe le figue l equazione di Debye è appesenaa da linee coninue mene due esempi di applicazione dell equazione di Haviliak-Negami coispondono a cechi pieni (α.6 β) o linee aeggiae (α β.4). Maeiale didaico copeo da copyigh

23 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Dieleici con pedie ohmiche In un dieleico eale evenuali caiche mobili possono essee acceleae dal campo eleico applicao pe essee aspoae all ineno del dieleico. Tale effeo dà luogo ad una conducibilià in egime coninuo σ dc così chiamaa peché si manifesa anche in coninua e non solano in egime sinusoidale a diffeenza di quano accade pe la conducibilià σ ac ( ) deivane da pedie pe ilassameno dieleico. Ne consegue che pe un dieleico con pedie ohmiche vale un cicuio eleico equivalene cosiuio dal paallelo a un condensaoe e un esisoe avene esisenza R indipendene dalla fequenza (Fig..): Fig... icuio eleico equivalene pe un dieleico con pedie puamene ohmiche. Indicando con z e ispeivamene la disanza e l aea degli eleodi vale la elazione: z σ dc (.56b) R R Dieleici con pedie sia pe ilassameno dieleico sia ohmiche Nel caso più geneale un dieleico può pesenae conempoaneamene pedie pe ilassameno dieleico e pedie ohmiche. ssumendo un cicuio eleico equivalene di ipo esisoe-condensaoe in paallelo il esisoe deve essee ienuo a sua vola come il paallelo a un esisoe R() deivane dalla schemaizzazione delle pedie pe puo ilassameno dieleico ed un esisoe R deivane dalla schemaizzazione delle pedie puamene ohmiche. La Fig..3 mosa ale siuazione. Fig..3. icuio eleico equivalene pe un dieleico con pedie sia pe ilassameno dieleico sia ohmiche. La esisenza paallelo è daa da: Maeiale didaico copeo da copyigh 3

24 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici R // // R (.57) R ( ) R( ) ( ) R Pe ale dieleico si inoduce la cosiddea pemiivià (o pemeabilià) dieleica elaiva complessa efficace: j ( ) ( ) ( ) eff eff eff (.58) Eseguendo una aazione analoga a quella condoa pe il caso di pedie pe puo ilassameno dieleico si oengono le segueni espessioni pe la pae eale e quella immaginaia della pemiivià efficace: ( ) eff ( ) eff R // ( ) R ( ) R (.59) ossia: ( ) ( ) eff ( ) ( ) eff σ dc (.6) ale quindi la seguene espessione geneale: σ j (.6) ( ) ( ) dc ( ) eff ossia: σ ( ) σ ac dc ( ) ( ) j (.6) eff Si ossevi che in ale caso geneale la somma σ ac σ dc espime la conducibilià equivalene complessiva Polaizzazione inefacciale Il meccanismo della polaizzazione inefacciale o polaizzazione di Maxwell-Wagne è sao pecedenemene inodoo pe idenificae fenomeni di polaizzazione che non dipendono dalla naua dieleica del maeiale ma piuoso dalla mobilià di alcune caiche mobili inene ad esso. Tali caiche endono a migae soo linfluenza di un campo eleico applicao concenandosi aono a supefici di disconinuià della suua. Su quese inefacce viene quindi a ceasi una diffeenza di poenziale con conseguene aleazione della polaizzazione. In geneale gli effei Maxwell-Wagne si manifesano in pesenza di inefacce di ipo sia dieleico/dieleico che dieleico/conduoe. Tali inefacce possono essee peseni a livello micoscopico in Maeiale didaico copeo da copyigh 4

25 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici un ogni dieleico eale. Esse infai possono deivae dalla pesenza ad esempio di egioni di non omogeneià o di impuezze. Enambi ali faoi di disconinuià concoono a modificae le popieà dieleiche del maeiale. In paicolae in possimià di un inefaccia a due maeiali dieleici e/o conduoi aveni diffeeni pemiivià e/o conducibilià possono accumulasi caiche di polaizzazione ed evenualmene anche caiche libee come descio nel seguio Inefaccia dieleico/dieleico Si considei la affiguazione schemaica in Fig..4 di un inefaccia di sepaazione a due dieleici. Fig..4. Rappesenazione di un inefaccia a due dieleici. seguio di una polaizzazione sull inefaccia di aea si sabilisce come noo almeno una caica di polaizzazione pol. In paicolae Pe ale inefaccia valgono le segueni elazioni (valide sia nel caso di campi saici che nel caso di campi dinamici): pol lib ( P ) ( ) ( ) P n P P E E ( D ) D n D D E E E // E // Esenθ Esenθ (.63) (.64) (.65) dove n è il vesoe nomale all inefaccia oienao dal mezzo al mezzo (Fig..4). Si ossevi che nel caso in cui uno dei due dieleici coincida con il vuoo dall Eq. (.63) si oiene la seguene espessione: pol P n (.63b) dove n è il vesoe oogonale all inefaccia a il deeminao mezzo dieleico e il vuoo oienao nel veso uscene dal mezzo. Si ossevi inole che: lib E E (.66) Maeiale didaico copeo da copyigh 5

26 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici ondensaoe planae conenene due sai dieleici Il isulao pecedene può essee icavao facilmene anche nella configuazione paicolae cosiuia da un condensaoe planae con amaue di aea conenene due dieleici ciascuno di uguale spessoe z/ sepaai da un inefaccia paallela agli eleodi (Fig..5). pplicando il eoema di Gauss si oiene: Fig..5. ondensaoe planae conenene due dieleici di uguale spessoe. si evince quindi che: E E q (.67) q (.68) (cvd) (.69) E E ome ossevazione si icoda che la densià di enegia eleica (enegia pe unià di volume) immagazzinaa nei due dieleici è daa da: q u D E E (.7) u D E E q (.7) Si analizzano inole di seguio due casi paicolai coispondeni a dieleici aveni o meno una conducibilià in coninua. aso I: Dieleici con conducibilià in coninua (pedie ohmiche) In al caso la configuazione ammee il cicuio eleico equivalene di Fig..6. Maeiale didaico copeo da copyigh 6

27 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Fig..6. icuio eleico equivalene pe un condensaoe planae con due dieleici in seie. Si ha in al caso: σ σ dc dc R R z z (.7) ed inole: R R R R R R σ ( σ ) ( σ ) dc σ ( σ ) ( σ ) dc dc dc dc dc σ dc σ σ dc σ dc σ σ dc dc dc (.73) Peano: E E σ dc z σ σ dc σ dc z σ σ dc dc dc z z (.74) uindi vale: E σ E σ (.74b) dc dc Inole applicando pe ale configuazione il eoema di Gauss ad una supeficie chiusa S di ipo paallelepipedo che includa l inefaccia di aea a i due dieleici si oiene: S E n ds lib pol (.75) ossia: lib pol E E (.76) uindi la somma della caica di polaizzazione e della caica libea peseni sull inefaccia è daa da: Maeiale didaico copeo da copyigh 7

28 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici lib σ dc σ dc pol (.77) σ σ z dc dc La caica di polaizzazione pesene sull inefaccia è daa da: pol z dc ( ) E ( ) E ( ) ( ) σ dc σ σ dc dc σ dc σ dc z σ dc σ σ dc σ dc σ σ dc dc σ dc (.78) La caica libea pesene sull inefaccia può essee oenua sia come: sia come: lib D D (.79) lib σ lib pol pol dc dc (.8) z σ σ dc dc σ uindi pe un inefaccia a due dieleici con pedie ohmiche ( σ dc σ dc lib σ dc σ dc ) si ha: (.8) Tale caica può giungee sull inefaccia gazie alla conducibilià (pedia) dei dieleici. aso II: Dieleici pivi di conducibilià in coninua Nel caso in cui i due dieleici non pesenino una conducibilià in coninua il cicuio eleico equivalene di Fig..6 si iduce a quello di Fig..7. Fig..7. icuio eleico equivalene pe un condensaoe planae con due dieleici pivi di conducibilià ohmica algono dunque le segueni espessioni: σ σ dc dc (.8) eq (.8b) Maeiale didaico copeo da copyigh 8

29 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Maeiale didaico copeo da copyigh 9 z z z z z z q eq (.83) ( ) ( ) z q E z q E (.84) Si icoda che pe calcolae la densià di enegia eleica immagazzinaa nei due dieleici alenaivamene all espessione E D è possibile usae le segueni elazioni: q z/ q z/ q z/ z/ ol U u q z/ q z/ q z/ z/ ol U u (.85) Inefaccia dieleico/conduoe Si considei un inefaccia di aea di sepaazione a un conduoe ed un dieleico (Fig..8). Fig..8. Inefaccia a un conduoe e un dieleico. nche pe ale ipo di inefaccia coninuano a sussisee da un puno di visa geneale le segueni elazioni: ( ) ( ) ( ) E E P P n P P pol (.86a)

30 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici lib ( D D ) n D D E E E // E // Esenθ Esenθ (.86b) (.86c) dove n è il vesoe nomale all inefaccia oienao dal mezzo al mezzo (Fig..8). Se il dieleico è omogeneo isoopo e lineae vale (come icavao in pecedenza): pol lib (.87) uindi affinché sulla supeficie di un dieleico (diveso dal vuoo) in possimià dell inefaccia con un conduoe possa sabilisi una caica di polaizzazione non nulla è necessaio che il conduoe peseni su ale inefaccia una caica libea non nulla. ues ulima può essee dovua ad esempio ad un geneaoe di foza eleomoice connesso al conduoe (come nel caso di un eleodo in un condensaoe) o ad una pedia ohmica del dieleico. Inole si osseva che in condizione di campo nullo all ineno del conduoe (E ) isula: pol ( P P ) n P ( ) E (.88) Tale elazione è saa uilizzaa nelle sezioni pecedeni pe deeminae la densià supeficiale di caica di polaizzazione pe un dieleico inseio a le amaue di un condensaoe. Uleioi ossevazioni isulano da una disinzione a i casi di seguio ipoai. aso I: ondizione di equilibio eleosaico L equilibio eleosaico è caaeizzao dall assenza di moo delle caiche eleiche. In ali condizioni il campo eleico ineno ad un conduoe è nullo e le evenuali caiche libee peseni su di esso si dispongono sempe sulla sua supeficie che diviene equipoenziale. Peano dalle Eq. (.86) si ha: E E E // E // (.89) Il poenziale eleico in ui i puni del conduoe è cosane e quindi anche la supeficie di sepaazione fa i due mezzi è equipoenziale. aso II: ampi saici (condizione di egime sazionaio) Nel caso di campi saici alle Eq. (.86) si affianca una uleioe condizione elaiva alla consevazione delle componeni nomali del veoe densià di coene eleica ( J σe ): v ( J J) n σe cosθ σ E cosθ Peano combinando le Eq. (.86c) e (.9) si ha: σ g (.9) θ σ gθ (.9) Maeiale didaico copeo da copyigh 3

31 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici Se il mezzo è un buon conduoe (conduoe ideale) ispeo al dieleico ossia σ / σ isula θ. uindi il campo nel dieleico ende ad oienasi oogonalmene alla supeficie dell inefaccia e il campo all ineno del conduoe ende ad avee componene paallela nulla (Eq. (.86c)): E E n σ / σ (.9) E // Si ne deduce quindi che in ale condizione analogamene al caso pecedene il poenziale eleico in ui i puni del conduoe è cosane e quindi la supeficie di sepaazione fa i due mezzi è equipoenziale. aso III: ampi dinamici In ale caso coninuano a sussisee le elazioni elaive al caso pecedene. Tuavia poichè i campi dinamici implicano la pesenza di onde eleomagneiche in ale caso isula uile anicipae alcune consideazioni che saanno specificae nel seguio (capiolo 7). Si definisce pofondià di peneazione δ di un onda eleomagneica in un mezzo la disanza dalla sogene del campo alla quale l inensià di esso si iduce di un faoe /e. Pe un mezzo conduoe ideale ossia pe σ si ha δ. Se quindi un onda eleomagneica geneaa nel mezzo dieleico incide sulla supeficie del mezzo conduoe ideale essa non penea all ineno del mezzo ossia ques ulimo ha un effeo schemane nei confoni dell onda. Inole pe un mezzo conduoe eale caaeizzao da una conducibilià finia si ha il cosiddeo effeo pelle: la pofondià di peneazione di un onda eleomagneica incidene sul mezzo ende a diminuie all aumenae della fequenza e l onda ende quindi a imanee sempe più confinaa nella pozione supeficiale (pelle) del mezzo Modello di Wagne di dieleici con inclusioni conduici Il modello di Wagne di dieleici coneneni inclusioni conduici è un valido sumeno di analisi delle popieà dieleiche di ali ipi di mezzi spiccaamene pedisposi a subie polaizzazioni di ipo inefacciale. Si considei un sisema cosiuio da sfee pazialmene conduici ( σ dc ) immese secondo una fazione volumeica υ in una maice dieleica ( ) avene conducibilià ascuabile ( σ dc << σ dc ). Il modello di Wagne pevede la seguene espessione della pemiivià complessa elaiva del maeiale composio isulane: con: j " (.93) k τ kτ τ (.94) dove: Maeiale didaico copeo da copyigh 3

32 Fedeico api Danilo De Rossi Fenomeni Bioeleici ( ) 3υ 9υ k ( ) τ σ dc (.95) onfonando ali espessioni con quelle elaive al modello di Debye del ilassameno dieleico si osseva che la pemiivià dieleica di un mezzo composio cosiuio da un dieleico con inclusioni conduici mosa una dispesione in fequenza con caaeisiche analoghe a quelle dovue al ilassameno dieleico. Può accadee peano che un dieleico che non possegga un accenuao ilassameno in ealà possa pesenae ugualmene un effeo di ilassameno appaene che in ealà è peò dovuo a fenomeni di polaizzazione inefacciale in pesenza delle inclusioni conduici. Inole si osseva che nel caso di inclusioni aveni pemiivià maggioe di quella della maice dieleica la cosane dieleica del composio isula accesciua ispeo a quella della maice. L incemeno inole aumena al cescee del quaniaivo di conduoe. Tale fenomeno è paicolamene evidene nel caso dei essui biologici cosiuii da mezzi ipicamene icchi di acqua come descio nel capiolo 7. Si noi infine che la pesenza delle inclusioni conduici accesce sia la pae eale che quella immaginaia della pemiivià; ciò significa che ad un aumeno dell enegia immagazzinaa coisponde anche un aumeno dell enegia pesa pe dissipazione Polaizzazione agli eleodi Nel caso in cui l inefaccia su cui il fenomeno di polaizzazione inefacciale si manifesa non sia inena al maeiale bensì coisponda alla egione di conao a la sua supeficie e un eleodo che applica il campo eleico il fenomeno pende il nome paicolae di polaizzazione agli eleodi. Un campione dieleico inseio a le amaue di un condensaoe non isula pefeamene connesso agli eleodi; peano si possono pesenae fenomeni legai a meccanismi di polaizzazione inefacciale deivani dalla ineviabile impefezione del conao eleodo/maeiale. Infai ale impefezione implica l esisenza di uno sao inefacciale (eleodo/maeiale) che pesena un ala impedenza eleica specialmene a bassa fequenza in quano ipicamene dovua alla fomazione di capacià paassie a l eleodo e il maeiale polaizzao. Duane la misua della pemiivià la capacià complessiva misuaa può isulae noevolmene accesciua. Peano la pemiivià dieleica misuaa (appaene) può essee molo maggioe di quella effeiva popia del maeiale ossia la misua può isulae falsaa. Pe idue gli effei di ale inconveniene è buona noma meallizzae pevenivamene le supefici del campione di maeiale di cui si vuole misuae la pemiivià. Rifeimeni bibliogafici [] Blyhe. R. Elecical popeies of polymes ambidge: ambidge Univesiy Pess (979). Maeiale didaico copeo da copyigh 3