LE ONDE ELETTROMAGNETICHE ASPETTI FISICO-MATEMATICI

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1 Isiuo di Fisica pplicaa N.Caaa - del Consiglio Nazionale delle Riceche Via Panciaichi, Fienze - Ialia LE ONDE ELETTROMGNETICHE SPETTI FISICO-MTEMTICI Maco Bini IFC-CNR, Fienze -Ialia ESI - oobe 005

2 Lo speo eleomagneico f λ c m s lcuni valoi ipici NON ionizzani Ionizzani ee RF MO IR Visib. UV X γ f (Hz) x0 4.x x0 0 λ (m) 6x x0-5 5x0-7.5x0-7 3x0-0.5x0 - hf (ev) x0-3 4x0-9 4x0-6 4x x x0 6 Enegia del foone, h J sec ev Hz oua legame covalene ESI - oobe 005

3 Veoi del campo eleomagneico (EM) E H veoe campo eleico veoe campo magneico (V/m) (/m) F q E v H / µ ) ( 0 Legge di Loenz: foza eseciaa su una caica q che si muove a velocià v (seve a definie E ed H) D ε E ε 0 ε E veoe induzione o sposameno eleico (C/m ) B µ H µ 0 µ H veoe induzione magneica (T) ε cosane dieleica o pemeivià; ε F/m (faad/meo), cos. diel. del vuoo; ε cosane dieleica elaiva; nel vuoo ε µ pemeabilià magneica; µ 0 4π 0-7 H/m (heny/meo), pemeabilià mag. del vuoo; µ pemeabilià mag. elaiva; nello spazio vuoo µ ESI - oobe 005 3

4 Equazioni di Maxwell: foma diffeenziale opeaoi diffeenziali B E - D H J B 0 D ρ J densià di coene [/m ] J f ( E) J i J f ( E) deeminaa da E es. : J σ E, coene di conduzione J i coene impessa V Equazione di coninuià J 0 V 0 ρ gadv div o ESI - oobe 005 4

5 Teoemi di analisi veoiale Dao un campo veoiale si hanno quese idenià: Teoema della divegenza: Il flusso di aaveso la supeficie chiusa S è uguale all inegale della divegenza di nel volume V acchiuso da S S n ˆ ds V dv Teoema della cicuiazione: la cicuiazione di sulla linea chiusa l è uguale al flusso del ooe di aaveso una qualsiasi supeficie S che si appoggia ad l nˆ ds l dl S nds ˆ ESI - oobe 005 5

6 Equazioni di Maxwell: foma inegale Flusso aaveso S di ambedue i membi Teoema della cicuiazione E - B B S E nds ˆ S B nds ˆ l E dl l E dl s B nˆ ds d d Φ S ( B) E B E La cicuiazione del veoe campo eleico E lungo una linea chiusa l è uguale al flusso dell induzione magneica B aaveso una qualsiasi supeficie S che ha l come bodo. ESI - oobe 005 6

7 Equazioni di Maxwell: foma inegale Flusso aaveso S di ambedue i membi Teoema della cicuiazione H J D J H D S S H nds ˆ D J nds ˆ H D J l H dl l H dl s D J nˆ ds I Φ La cicuiazione del veoe campo magneico H lungo una linea chiusa l è uguale alla coene oale, somma della coene vea e popia I e della coene di sposameno, flusso di D aaveso una qualsiasi supeficie S che ha l pe bodo. S D ESI - oobe 005 7

8 nalisi amonica Funzione amonica (oscillazione monocomaica): a( ) cos( ω ϕ) Im ω Re α e j cosα jsenα Fomula di Euleo a( ) cos( ω ϕ) 0 m ϕ j( ω ϕ ) jω Re( me ) Re( e ) con: jϕ m e m fasoe coispondene ad a() nalisi di Fouie: - Una funzione f() peiodica di peiodo T può essee oenua come somma di funzioni amoniche monocomaiche (seie di Fouie) - Ogni funzione f() che appeseni un fenomeno fisico può essee appesenaa come sovapposizione di funzioni amoniche monocomaiche (inegale di Fouie) f jnω 0 ( ) Fne con ω0 n j ω ω f ( ) F( ) e dω π π T ESI - oobe 005 8

9 nalisi simbolica I veoi e gli scalai del campo sono appesenai mediane il podoo di veoi e scalai complessi (funzioni dello spazio ma non del empo) pe la funzione e jω. jω Es.: Ee E, veoe complesso In ciascuna equazione, si sosiuisce l opeaoe deivaa ispeo al empo / con il faoe jω e l opeaoe d con / jω. Gli opeaoi che agiscono sulle coodinae imangono immuai; Si isolvono le Eq.i nelle funzioni incognie fasoiali e da quese si icava la soluzione nel empo moliplicando pe e jω e pendendo la pae eale. Esempio: E µ H e Le Eq.i di Maxwell divengono: jω E jωµ He E jωµ H E jωµ H equazioni diffeenziali nei veoi E ed H (complessi) che dipendono H jωε E J imp dalle sole coodinae spaziali jω ESI - oobe 005 9

10 Poenziali eleomagneici Poenziale scalae V Poenziale scalae ( vol) vol m sec Vaiabili ausiliaie che aiuano a isolvee le equazioni del campo Mezzo omogeneo con disibuzione di densià di caica ρ e di coene J; i poenziali obbediscono all Eq. di d lambe (pe quanià fasoiali) V k V ρ ε k µ J V ( Q) ( Q) 4πε µ 4π τ τ e J ( P) jk e ρ( P) jk dτ dτ Q P k è il numeo d onda: k ω εµ π f εµ Noi i poenziali, si calcolano i campi E ed H E B V jω ESI - oobe 005 0

11 ppossimazione quasi-saica (q.s.) I campi non vaiano nel empo o vaiano lenamene I campi sono quasi-saici (q.s.) quando il empo T di vaiazione del campo è molo maggioe del empo τ che le peubazioni del campo (che viaggiano alla velocià della luce c m/s) impiegano a pecoee la zona di spazio in cui i campi hanno valoi significaivi. Ovveo, la fequenza di oscillazione dei campi f /T è molo minoe di /τ. Maemaicamene: k 0 π f εµ 0 E H J ε H E - µ I campi E ed H isulano "disaccoppiai" ESI - oobe 005

12 Campo eleico quasi-saico E 0 V 4 πε E 4πε τ τ ρ dτ ρ d ˆ τ E V ρ E ε Caica punifome ρ P ) δ ( P P ) q ( E q 4πε ˆ caica negaiva caica posiiva Legge di Coulomb: una caica eleica q genea un campo eleico E le cui linee cenae su q hanno diezione adiale e punano veso q o se ne allonanano a seconda se q è negaivo o posiivo; inole l inensià di E decesce come / ESI - oobe 005

13 Dipolo eleico (q.s.). Un dipolo è l insieme di due caiche di uguale inensià q e segno opposo, pose ad una disanza che indichiamo con d;. Il campo E isula dalla somma veoiale del campo di ciascuna delle caiche; poiché il segno delle caiche è opposo i campi quasi si compensano 3. disanza >>d il campo del dipolo ha quesa espessione analiica: qd E 4πε [( cosθ ) ˆ (senθ ) ˆ θ ] 3 4. Il campo ha simmeia cilindica inono all asse del dipolo 5. La compensazione, dovua al segno opposo delle caiche, fa si che a disanza i campi si aenuino come / 3 (i emini in / si elidono) ESI - oobe 005 3

14 Campo magneico (q.s.) Dal poenziale veoe J ˆ H µ dτ 4π τ legge di Bio-Sava diffeenziale µ J dτ 4π τ dl ˆ H I 4π l I dl ˆ dh 4π Jdτ Idl Dalle Eq.i in foma inegale legge di mpèe l H dl S J nˆ ds m I m legge di Bio-Sava H I π a ˆ φ ESI - oobe 005 4

15 Campo eleico e magneico q.s. Macchina pe il aameno emico di maeiali Le linee del campo magneico si ichiudono in anelli inono alle coeni. Le linee del campo eleico vanno dall eleodo caldo veso l alo eleodo o veso la massa. La maggio pae sono concenae all ineno dell applicaoe; lcune peò escono anche all eseno (finging fields) e possono accoppiasi con suue mealliche vicine, pima di ichiudesi a massa. Le linee dei campi oscillano e inveono la diezione con la sessa fequenza del geneaoe. ESI - oobe 005 5

16 Enegia del campo eleico e magneico In ogni volumeo di spazio dv di un campo eleomagneico è conenua una cea quanià di enegia espimibile con le fomule segueni dv Enegia eleica dw E DdV E dv e ε (J) 3 W e ε E (J/m ) densià di enegia NB. Se sono in uno sesso puno sono conempoaneamene peseni i due campi E ed E, l enegia oale W è in genee divesa dalla somma di quelle dei campi pesi sepaaamene W ( E E )( E E ) ( E E ) E E W W ( E E ) Le enegie sono sommabili solo se E E 0 (campi oogonali) Enegia magneica dw H BdV H dv m µ (J) 3 W m µ H (J/m ) densià di enegia ESI - oobe 005 6

17 Enegia del campo eleico e magneico Campi amonici (dipendenza e jω ) W e e W m sono valoi isananei. Se E ed H oscillano nel empo, anche W e e W m vaiano di conseguenza. Il valo medio (su un peiodo di oscillazione) è diveso da zeo ed è un paameo uile pe descivee gli scambi enegeici. W W ( ) d T T Valo medio dell enegia immagazzinaa W e 4 * * ε E E W m H H ε l aseisco (*) indica il complesso coniugao 4 Se E ed H sono espessi in valoe efficace (V m / ), alloa la fomula del valo medio sono fomalmene idenica a quella dei valoi isananei. Poenza scambiaa con le sogeni e dissipaa nel campo dp g dp d * E J imp dv σ E E dv dove: J imp coene impessa e σ conducibilià del mezzo * J imp dv ESI - oobe 005 7

18 Enegia e flusso di poenza nel campo EM In ogni volume V il campo EM cede enegia agli (evenuali) elemeni dissipaivi (coene di conduzione J c σe), ne acquisa dalle sogeni (J imp ) e la scambia con il mondo eseno aaveso la supeficie Σ, che delimia V; L applicazione del eoema della divegenza al veoe S E H* (veoe di Poyning)dà: * * * * µ H H ε E E E J imp dv σ E E dv jω dv S nd ˆ Σ V 4 4 V V Σ P jq in in P d W W m e P jq u u V J imp ds dv Σ nˆ Teoema di Poyning L uguaglianza delle pai eali espime la consevazione dell enegia (flusso di poenza): P * Re E J dv imp V in Poenza immessa dal geneaoe * E E dv σ 4 V P Poenza dissipaa d Re S ndσ ˆ Σ 443 P Poenza uscene da Σ Se si immagina che la supeficie Σ sia molo lonana, così che Q u 0, alloa si vede che le pai immaginaie espimono il bilancio della poenza eaiva: la poenza eaiva scambiaa dal geneaoe è uguale alla diffeenza fa le enegie medie immagazzinae W m -W e moliplicaa pe ω u ESI - oobe 005 8

19 Onde eleomagneiche: onda piana jk Un campo della foma E E0e è soluzione delle Eq.i di Maxwell dove, E 0 veoe complesso indipendene da x,y,z e k ω εµ k k x x k y y k z z k l piano pependicolae a disane l dall'oigine k Dalle Eq.i di Maxwell: 0 k E k H H k E η η µ 377Ω ε E ed H a k E ed H fa loo E, H, k ena desosa nel vuoo ESI - oobe 005 9

20 ... Onda piana jk jω Re E e e E0 cos ω kl ( 0 ) ( ) Quanià isananea E xe ˆ 0 cos E0 H yˆ cos η ( ω k z) ( ω k z) ω kz ω( ) k(z z) v z ω k εµ λ λ f T Nel vuoo c ε 8 0 µ m s L onda piana è un onda TEM ESI - oobe 005 0

21 ESI - oobe 005 Onde sfeiche ( ) [ ] ( ) [ ] ϕ ω φ θ φ ϕ ω φ θ θ k E H k E E cos ), ( ˆ ), ( cos ), ( ˆ ), ( 0 0 f T k c λ λ µ ε ω s m ω k ω( ) k( ) nche in queso caso si hanno onde TEM %

22 Popieà delle onde TEM E ed H giacciono su una suficie equifase al veoe di popagazione k Le supefici equifase si sposano a velocià 8 Nel vuoo la velocià è c 3 0 m/s ε 0µ 0 Il veoe di Poyning S è dieo come come k La densià di E, H ed S Skˆ poenza vale: S E H εµ E H η η sono una ena desosa di veoi pependicolai ESI - oobe 005

23 Inefeenza Fenomeno caaeisico della popagazione ondosa che si manifesa con infozi o indebolimeni quando due o più onde sono peseni conempoaneamene nello sesso puno. Due onde equivese, z) cos ( ω ) a ( kz ϕ a, z) cos ( ω ) ( kz ϕ a(, z) a(, z) a(, z) cos ( ω kz ϕ) ϕ ϕ acan cos( ϕ ϕ ) sin cos ( ϕ ϕ) ( ϕ ) ϕ ϕ ϕ Inefeenza cosuiva ϕ ϕ π Inefeenza disuiva ESI - oobe 005 3

24 ESI - oobe Inefeenza Due onde NON equivese ( ) cos ), ( ϕ ω ϕ kz z a e e jkz j ( ) cos ), ( ϕ ω ϕ kz z a e e jkz j ( ) ) ( )cos ( ), ( ), ( ), ( z kz z z a z a z a ω ϕ [ ] an acan ) ( ) ( cos ) ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ kz z kz z vaia con z, oscillando fa la somma e la diffeenza di e R.O.S. Rappoo di Onda Sazionaia

25 Iaggiameno EM del dipolo µ Id zˆ 4π e -ik E Id cosθ µω π k jk e jk E θ Id sinθ µω j 4π k jk e jk H φ Id sinθ jk e jk 4π jk I campi hanno simmeia cilindica inono all asse del dipolo (non dipendono da φ) L espessione assume espessioni più semplici a seconda se siamo vicini ( << λ) o lonani ( >> λ) dal dipolo ESI - oobe 005 5

26 Campo di possimià del dipolo, < λ / 0 (Nea fields) Sesso andameno dei campi quasi-saici E qd cosθ sinθ ˆ ˆ θ 3 3 4πε H Id sinθ ˆ φ 4π ESI - oobe 005 6

27 Campo lonano del dipolo, > λ (fa field) Rimangono solo i emini in / E H Id sinθ j η e λ Id sinθ j e λ jk jk ˆ θ ˆ φ Le supefici equifase sono sfee (onde sfeiche). I campi sono massimi pe θ 90 e nulli pe θ 0. I veoi E, H sono fa loo oogonali ed oogonali ad (onda TEM). L impedenza d onda η E/H vale 377 Ω I d La densià di poenza vale: S E H η 8λ * sin ( θ ) e va come ESI - oobe 005 7

28 Dipolo elemenae: veoe di Poyning Usando i campi del dipolo nella foma complea (ui i emini in /), si ha: Σ E H * ndσ ˆ η I π d 3 λ j ( k) 3 La pae eale è indipendene dalla disanza ed espime la densià di poenza iadiaa La pae immaginaia è elaiva alla poenza eaiva; il segno meno indica che essa è di ipo eleico; si aa di enegia palleggiaa fa il geneaoe e il condensaoe cosiuio dalla suua meallica del dipolo. ESI - oobe 005 8

29 Campo adiao da anenne Il campo EM podoo da un anenna è il isulao della somma (e il conseguene fenomeno dell inefeenza) dei campi iadiai dai dipoli elemenai, cosiuii dagli elemeni di coene che scoono sull anenna; Il campo lonano è quello che comunemene ha maggioe ineesse nella uilizzazione delle anenne La gandezza più significaiva pe caaeizzae un anenna è la funzione guadagno, la quale espime il appoo fa la densià di poenza S(,θ,φ) podoa dall anenna ad una cea disanza e quella podoa alla sessa disanza da un anenna isoopa G( θ, φ) S(, θ, φ) P 4π Poenza di anenna isoopa ESI - oobe 005 9

30 Zone di campo: campo vicino e campo lonano Pe < λ / 0 pevalgono i campi di naua eaiva (hanno la foma dei campi quasi saici) Pe > λ i campi hanno sosanzialmene popieà adiaive lle disanze inemedie la naua dei campi è via via sempe più di naua adiaiva Il confine fa zona di campo vicino e campo lonano è dao dalla maggioe delle quanià: λ e D λ ESI - oobe

31 Riflessione e ifazione Due mezzi omogenei sepaai da una supeficie piana θ θ i sinθ sinθ i k k i n n Leggi di Snell Fomule di Fesnel Onde TE Γ T TE TE η cosθi η cosθ η cosθ η cosθ i η cosθi η cosθ η cosθ i Onde TM Γ T TM TM η cosθ η cosθi η cosθ η cosθ η cosθi η cosθ η cosθ i i ESI - oobe 005 3