Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa Univesià degli Sudi di Milano Lezione n Poenziali eleodinamii. Tasfomazioni e invaianza di gauge Poenziali iadai Appossimazione quasi-saia Anno Aademio 7/8

2 Poenziale salae e poenziale veoe Vogliamo adesso ovae le elazioni fa ampi e poenziali nel aso di ampi vaiabili nel empo In seguio siveemo anhe l'equazione dell'onda pe i poenziali Riodiamo le equazioni di Maxwell nel vuoo E ρ ε B E B E B μ J + La divegenza del ampo magneio è nulla anhe in queso aso È peano possibile inodue il poenziale veoe anhe in eleodinamia A Inoduiamo quesa elazione nella legge di Faaday ( A) E B A A E + Abbiamo peano ovao una ombinazione di ampi a ooe nullo È il gadiene di un ampo salae A E + φ A φ Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 45 E

3 Equazioni pe i poenziali I ampi osì definii soddisfano auomaiamene le due equazioni di Maxwell Adesso uilizziamo le ale due equazioni di Maxwell (on le sogeni) pe ovae le equazioni diffeenziali a ui obbedisono i ampi A e φ La legge di Gauss E A φ B È un'equazione in ui i ampi A e φ sono aoppiai La legge di Ampèe (il ooe di B) E B μ J + Riodiamo la elazione (diaposiiva ) A Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 46 B B E ρ A E φ ε ( ) ρ ε φ A A μ J ( ) ( ) A A A φ A A A μ J

4 Equazioni pe i poenziali Elaboiamo A A μ J ( ) φ A A φ A μ J A ( ) A A + A μ J φ φ A ρ + ε Abbiamo peano un sisema di equazioni diffeenziali aoppiae Il poblema può essee semplifiao uilizzando la non uniià dei poenziali Abbiamo già noao he in eleosaia e in magneosaia i poenziali non sono definii univoamene Il poenziale salae è definio a meno di una osane Il poenziale veoe è definio a meno del gadiene di un ampo salae In eleodinamia le due non univoià devono essee aae insieme Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 47

5 Invaianza di gauge Riaviamo peano le ondizioni di invaianza in eleodinamia Tasfomiamo i poenziali φ(,) φ(,) + β(,) Cehiamo le ondizioni su α e β in modo he il ampo eleio e il ampo magneio deivai dai poenziali non ambino Pe il poenziale veoe è suffiiene he α α λ λ ( xyz,,, ) λ funzione abiaia Caloliamo il ampo eleio pima e dopo la asfomazione E φ A Pehé il ampo E non vai deve essee E A (,) A (,) + α(,) A φ β α α λ λ β + e anhe β + β + Peano l'agomeno del gadiene deve essee una funzione indipendene dalla posizione In paiolae possiamo segliee β λ + λ Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 48 β

6 Invaianza di gauge Peano, pe ogni funzione abiaia λ(x, y, z, ) la seguene asfomazione sui poenziali lasia invaiai i ampi eleio e magneio φ λ φ A A + λ La asfomazione peedene pende il nome di asfomazione di gauge L'invaianza di gauge dei poenziali può essee uilizzaa pe semplifiae le equazioni diffeenziali dei poenziali disaoppiando le equazioni Riodiamo due dei gauge più uilizzai Il gauge di Coulomb A Il gauge di Coulomb è uile pe meee in evidenza la naua asvesale dell'onda eleomagneia Semplifia le equazioni disaoppiandole nel aso di ρ Ha lo svanaggio di non essee elaivisiamene invaiane Il gauge di Loenz Il gauge di Loenz è elaivisiamene invaiane Disaoppia le due equazioni φ + A Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 49

7 Invaianza di gauge Dimosiamo he on una asfomazione di gauge possiamo sempe oenee dei poenziali he soddisfano le due ondizioni di gauge inodoe Gauge di Coulomb Supponiamo he A non sia nulla e he sia invee A f() Toviamo una λ() (indipendene da ) he enda nulla A A A + λ ( ) A A + λ ( ) f ( ) + λ ( ) Oeniamo l'equazione he deemina λ() (equazione di Poisson) λ ( ) f ( ) λ ( ) Ovviamene quesa asfomazione non modifia né φ né E Gauge di Loenz Analogamene al aso peedene oviamo l'equazione pe λ nell'ipoesi he La asfomazione di gauge è φ φ λ φ + A ( ) Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 4 f π 4 V (, ) f dv (, ) / A A + λ (, )

8 Invaianza di gauge I nuovi poenziali devono soddisfae il gauge di Loenz φ + A φ λ + A + λ f ( ) + λ λ f (, ) Analogamene all'equazione di Poisson anhe quesa equazione ha una semplie soluzione In paia non è quasi mai neessaio alolae la funzione λ(x,y,z,) Sapendo he è possibile ovale si può impoe he la ondizione di Loenz o di Coulomb sia ispeaa e si isolvono le equazioni dei poenziali Vediamo l'espessione delle equazioni dei poenziali nel gauge di Loenz Sosiuendo λ A ρ Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 4 λ Poihé A e φ soddisfano φ A φ + ε il gauge di Loenz φ φ ρ ε Equazione dell'onda inomogenea

9 Esempio Un ampo eleomagneio, in un eo Gauge, ha i segueni poenziali q ˆ φ (,) A (,) 4πε Caloliamo il ampo eleio E(,) e il ampo di induzione magneia B(,) A q ˆ q ˆ q ˆ E φ B 4πε 4πε 4πε Peano si aa di un ampo eleosaio nonosane φ e A Naualmene pe un ampo eleosaio q φ(,) A(,) 4πε Toviamo la asfomazione di Gauge pe passae da φ A a φ A λ φ φ q λ 4πε q λ(,) () d f 4πε + q + f () 4πε q ˆ q A A + λ + + f () 4πε 4 πε q ˆ q 4πε 4πε ˆ + f () f () f () λ(,) Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 4 q 4πε

10 Equazioni pe i poenziali Consideammo adesso l'equazione pe il poenziale veoe A A + A μ J φ Poihé A e φ soddisfano il gauge di Loenz A A μ J Anhe il poenziale veoe soddisfa l'equazione dell'onda inomogenea Nel aso saio ioviamo le equazioni dell'eleosaia e della magneosaia μ J Conosiamo la soluzione (ihiedendo he i ampi si annullino all'infinio) φ ( ) ( ) A A 4πε V μ 4π V ρ ( ) ( ) J φ dv dv φ ρ ε φ ρ ε z dv x y Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 43

11 Poenziali iadai Nel aso dipendene dal empo la soluzione è, almeno fomalmene, molo semplie Le aihe onenue nel volume dv sono in movimeno ρ (, ) J(, ) Tuavia gli effei eleomagneii popagano on veloià Il poenziale φ(,) può ievee onibui solo dal valoe assuno da ρ e J ad un empo peedene Si può dimosae he le soluzioni sono φ (, ) 4πε V ρ (, ) dv (, ) A Duane l'inegazione la vaiabile ausiliaia vaia on Un uile eseizio (non banale) è veifiae he quese soluzioni veifiano l'equazione inomogenea della diaposiiva peedene In al aso iodasi he i poenziali dipendono da In modo evidene aaveso In modo meno evidene aaveso / μ 4π V x z dv (, ) J dv y Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 44

12 Poenziali iadai Nonosane quese soluzioni siano "inuiive" la loo sempliià va onsideaa in qualhe modo fouia Ad esempio le sesse fomule inuiive non valgono pe E e B ρ (, )( ), (, ) E dv B(, ) J 3 3 4πε V 4πε V Le fomule oee si possono iavae da φ e A ( ) ( ) Il alolo uavia è un po' laboioso. Diamo il isulao ρ(, )( ) ρ(, )( ) (, J ) E(, ) + dv 3 4πε V (, ) (, μ ) (, ) J + J B ( ) 3 dv 4π V Ovviamene pe e J indipendeni dal empo ioviamo le fomule dell'eleosaia e della magneosaia Dimosiamo he se J può essee appossimaa al pimo odine J( ) J ( ) + J μ (, ) ( )( ) B(, ) J ( ) dv 3 4π V Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 45 dv

13 Appossimazione quasi-saia Consideiamo una densià di oene le ui vaiazioni nel empo abbiano una sala di empi fissaa da un paameo τ Il paameo τ poebbe essee definio ome Pe sempliià abbiamo omesso la dipendenza da τ Consideiamo adesso J al empo iadao Supponiamo he e diffeisano poo u In quese ondizioni si può sivee una appossimazione pe J( ) ( ) ( ) + ( )( ) J J J Cehiamo anhe un'appossimazione pe J ( ) Dao he l'odine di gandezza del empo di vaiazione di J() è τ abbiamo ( ) Sviluppiamo J ( ) inono a J J ( ) τ u J(, ) ( ) ( ) J J τ ( )( ) ( ) J( ) J J τ ( ) ( ) + ( )( ) J J J J ( ) J ( ) τ Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 46

14 Appossimazione quasi-saia ( ) ( ) + ( )( ) J J J Abbiamo peano Inoduiamo nell'espessione pe B Il seondo e il ezo emine si elidono (, ) B ( ) ( ) ( ) ( ) + J J J (, ) J (, ) μ B(, ) J + ˆdV 4π V u u u μ (, ) (, )( ) (, ) ˆdV 4π J + J + J V u u u u μ (, ) (, ) u (, ) ˆdV 4π J J + J V u u u u μ (, ) J La legge di Bio e Sava è τ uˆ dv un'oima appossimazione pe π u τ 4 V τ J ( ) J ( ) + J( )( ) J ( ) τ ( ) J ( ) Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 47 J J ( ) τ

15 Poenziali di Liénad-Wiehe Consideiamo una aia q in movimeno Conosiamo la aieoia () La densià di aia e la densià oene sono ρ(,) [ ()] qδ J v δ (,) q ()[ ()] Caloliamo i poenziali iadai he geneano φ (, ) 4πε V ρ (, ) 3 Caloliamo il poenziale φ(,) Il alolo del poenziale A è analogo La ompliazione del alolo è nasosa in Risula più semplie sivee la densià di aia ome oigine Noiamo he la funzione ρ(, ) all'ineno dell'inegale dipende da un empo nomale, non iadao d (, ) A μ 4π, V ( ) 3 J + ρ(, ) ρ(, ) δ( + ) d q () d puno di ossevazione Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 48

16 Poenziali di Liénad-Wiehe φ(,) Oeniamo peano φ La pesenza della funzione δ[ - ()] ende immediao l'inegale in d 3 Definiamo φ ρ(, ) 3 d ρ(,) qδ[ ()] 4πε V + ρ(, ) ρ(, ) δ( + ) d qδ[ ( )] + 3 (,) δ( + ) dd 4πε V Il vesoe puna dalla posizione della aia al empo alla posizione del puno di ossevazione ( ) q ( ) φ(,) ( ) + δ + d 4 πε ( ) R() () nˆ( ) R () nˆ () + q R ( ), δ( + ) d 4 πε R ( ) oigine () nˆ( ) R() Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 49 puno di ossevazione

17 Poenziali di Liénad-Wiehe φ + q R ( ), δ( + ) d 4 πε R ( ) ( ) Elaboiamo la funzione δ Riodiamo he δ[ fx ( )] Abbiamo δ( x x ) i f ( x ) i i f ( x ) i oigine () R() () R () nˆ () R ( ) f ( ) + f ( ) è definio R ( ) dall'equazione Inole dr( ) f ( ) + R ( ) R( ) R( ) d dr d v d d dr( ) dr dr d ( R + R ) d R( ) R( ) d d R R ( ) d R v ( ) n ˆ ( ) R ( ) δ( ) f ( ) β( ) nˆ ( ) > δ( + ) β ( ) n ˆ( ) Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 43 nˆ( ) R() puno di ossevazione

18 Poenziali di Liénad-Wiehe Inseiamo il isulao nella fomula del poenziale iadao R ( ) δ( ) δ( ) ( ) ( ) φ + β ˆ n Abbiamo + q R ( ), δ( + ) d 4 πε R ( ) ( ) + q δ( ) d 4 πε g ( ) R ( ) δ ( ) g ( ) g () β() nˆ () q 4 πε R ( )( β( ) nˆ ( )) φ(,) q 4 πε ( ) β( ) nˆ ( ) E analogamene pe A(,) A (,) qv( ) 4 πε ( ) β( ) nˆ ( ) Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 43

19 Campi di Liénad-Wiehe Le fome ovae sono semplii solo appaenemene Pe passae ai ampi E e B bisogna eseguie le deivae pesando mola aenzione alle quanià "iadae" Un alolo deagliao è fao sul Giffihs (.3. ) Il isulao pe il ampo eleio è q ˆ ˆ ˆ E (,) + 4πε ( β )( n β) n (( n β) β) 3 3 gr gr e Il ampo isula da due onibui divesi E E v + E a Il emine E v deo ampo di veloià Queso emine vaia ome /R Il emine E a deo ampo di aeleazione Queso emine vaia ome /R Anhe il oispondene B v vaia ome /R Il veoe di Poyning dei ampi di aeleazione vaia ome /R Il flusso di enegia aaveso una supefiie di aggio R è osane Il ampo di aeleazione è la adiazione he viaggia Vedi Giffihs D. Inoduion o Eleodynamis 3 ed. Penie Hall 999 Vedi anhe Zangwill A. Moden Eleodynamis CUP p. 875 g () β() nˆ () deno le paenesi [ ] uo è alolao al empo Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 43

20 Campo di una aia on v osane Speializziamo la fomula al aso di una aia he si muove on moo eilineo unifome Abbiamo già analizzao queso poblema on ali meodi (vedi 4 84 ) Se la aia non aelea il ampo di aeleazione è nullo E a E (,) Consideiamo la aieoia della paiella in moo Consideiamo un puno di ossevazione (,) Al empo la posizione della paiella è () v Al empo la paiella è nella posizione ( ) v Il empo iadao è la soluzione dell'equazione ( ) Abbiamo peano Rappeseniamo i veoi q ( β )( n β) 3 ˆ n β R e 4 πε ( ) R ( ) Δ s v( ) βr( ) R ( ) nˆ( ) Δ s + R () nˆ() Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 433 ˆ R ( ) R ( ) nˆ ( ) ( ) v( ) βr( ) Δs () (,) R () nˆ ()

21 Campo di una aia on v osane Oeniamo peano R ( ) nˆ( ) Δ s + R () nˆ() nˆ( ) β R () nˆ () R ( ) R ( ) nˆ( ) βr ( ) + R ( ) nˆ( ) E (,) q 4 πε ( nˆ β) β ( )( ) R nˆ β 3 e Useemo quesa elazione pe sviluppae il numeaoe del ampo Consideiamo anoa il gafio R ( ) nˆ ( ) Caloliamo la poiezione AB di Δs su AC AB Inole Δ ˆ( ) ( ˆ( ) s n R)β n BC R( ) R( ) β nˆ ( ) R ( )[ nˆ ( )] R ( ) g ( ) β Consideiamo il iangolo eangolo BCD BD βr( )sinα ( ) () Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 434 A α B D Δ s C (,) R () nˆ () θ ( ) βr β R ( )sin α + R ( ) g ( ) R ( ) R R ()sin R ( ) g ( ) R () ( )sin α R ( )sinθ β θ +

22 Campo di una aia on v osane β R ()sin θ + R ( ) g ( ) R () Oeniamo g ( ) R ( ) R ( β sin θ) E (,) q 4 πε ( nˆ β) β ( )( ) R nˆ β 3 e g ( ) [ β nˆ ( )] Peano / g ( ) R ( ) R ( )( β sin θ) nˆ( ) β Inseiamo nell'espessione del ampo E (,) E (,) E (,) q ( β )( ) 3 ˆ n β R e 4 πε ( ) nˆ β ( β ) R( ) 3 3 q 4 πε ˆ ( n( ) β) R ( ) q ( β ) R( ) 3/ 3 4 πε ( β sin θ) R ( ) R () nˆ () R ( ) Idenio al isulao oenuo in Eleomagneismo Pof. Faneso Ragusa 435