Esercizio n 7. al variare di di k tra 0 e.

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1 Esecizio n 7 In un sisema i sevizio con coa i capacià infinia e un unico sevene, queso è in gao i sevie in meia 6 pacchei/secono. Se il sisema iceve pacchei a una sogene poissoniana con una fequenza meia i.84 bps e la lunghezza ei pacchei è isibuia secono un esponenziale negaiva con valoe meio i 4 byes, eeminae i pincipali paamei che caaeizzano le pesazioni el sisema (numeo meio i ueni nel sisema, empo meio i pemanenza nel sisema, numeo meio i ueni in, empo meio i ). elle ipoesi el poblema il sisema i sevizio può essee suiao come se si aasse i un sisema M/M/. Le ganezze ichiese possono essee ue calcolae a paie alla isibuzione elle pobabilià i ovae ueni nel sisema in conizione i egime sazionaio. Tale isibuzione è caaeizzaa alla foma ( ) al vaiae i i a e. Come pima cosa, occoe unque eeminae il valoe i. e fae ciò si espime la fequenza meia i aivo in pacchei/sec..84 bps L bi.84 4 pacchei/sec L 4 8 µ 6 pacchei/sec 4 µ 6 Ossevazione Esseno il asso i uilizzazione ao al appoo a la fequenza meia i aivo e la fequenza meia i sevizio, nel caso specifico in cui siano in gioco pacchei, è possibile espimee come il appoo a il bi ae meio in ingesso e il bi ae meio in uscia. Infai µ L C L C ove si è inicao con C la capacià meia i sevizio el sisema espessa in bps. La confema numeica ell ossevazione peceene è.84 bps C bps 84 C 9776

2 A. umeo meio i ueni nel sisema (coasevene) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( Sosiueno i ai el poblema, B. Tempo meio i nel sisema (coasevene) T Dalla fomula i Lile, µ µ ) ( T Sosiueno i ai el poblema, T sec C. umeo meio i ueni in (coa) sevene ove sevene appesena il numeo meio i ueni all ineno el sevene. ( ) sevene Allo sesso isulao si saebbe pevenui consieano che la pobabilià i avee ueni in coa equivale i) alla pobabilià i avee o ueni nel sisema, ( ), se ; ii) alla pobabilià i avee () ueni nel sisema se. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) (

3 Sosiueno i ai el poblema, ( ) 4 D. Tempo meio i (coa) T T T T sevene ove T sevene appesena il empo meio i pemanenza nel sevene. µ T µ µ µ µ µ ( ) Sosiueno i ai el poblema,.67 T.5 sec 6 4 ESERCIZIO n 8 Un muliplaoe saisico è caicao al affico emesso a sogeni che geneano pacchei i lunghezza meia pai a 548 bye con un empo meio i ineaivo i 6 seconi. A. Deeminae la capacià uscia el muliplaoe che gaanisce che la pobabilià i avee un numeo i pacchei nel sisema maggioe o uguale a sia pai all %. La pobabilià che nel sisema sia pesene un numeo i pacchei maggioe o uguale a è pai a (numeo pacchei nel sisema ) i ( ) ( ) ( ) i i i Imponeno che ale pobabilià sia uguale all %, si eemina il asso i uilizzazione e eeminae la capacià el muliplaoe occoe pima valuae la fequenza meia egli aivi all ingesso el muliplaoe. In paicolae, la fequenza meia egli aivi, in pacchei al secono, che è possibile associae alla singola sogene è i.587 pacchei/sec 6

4 Teneno cono el numeo oale elle sogeni, isula. 587 pacchei/sec i A queso puno la capacià el muliplaoe può essee calcolaa come.587 µ. 999 pacchei/sec.794 oa la fequenza meia i sevizio µ, è possibile icavae la capacià uscia el muliplaoe C come C µ L ove L appesena la lunghezza meia ei pacchei. C bps e l ossevazione faa a poposio ell esecizio peceene, la capacià uscia C avebbe pouo essee icavaa conveeno sin all inizio la fequenza meia egli aivi nella coisponene fequenza meia egli aivi espessa in bps. Infai i bps bps i C bps.794 B. Deeminae la pobabilià che la pobabilià che il geneico paccheo ascoa nel sisema un empo maggioe i seconi. Inicao con il empo i che il geneico paccheo ascoe all ineno el sisema (coasevene), isula ( > ) ( ) F ( ) ove ( ) ( x) F appesena la isibuzione i pobabilià el empo i nel sisema F valuaa pe x sec. e isponee al quesio, occoe peano conoscee l anameno ella isibuzione i pobabilià el empo i nel sisema, i cui è sao icavao il valoe meio T meiane l applicazione ella legge i Lile. µ E possibile imosae che il empo i nel sisema è caaeizzao a una µ. In ale paole isibuzione esponenziale negaiva i paameo ( ) ( µ ) x F ( x) e oa la foma ella isibuzione i pobabilià el empo i, la pobabilià ichiesa al quesio può essee calcolaa come

5 ( ) ( ) ( ) ( µ ) ( ) > F e e.6% Ossevazione e C possono essee usae ispeivamene al poso i e µ solo nel momeno in cui si ha a che fae col asso i uilizzazione, in cui compae il loo appoo. In ui gli ali casi (empo meio i nel sisema, empo meio i in coa, isibuzione i pobabilià el empo i, ec) i paamei e µ a cui ipenono sono a consieae come espessi in pacchei/sec. Tali ganezze si icavano infai agionano sulla singola unià fisica che il sisema iceve e emee: quesa è il paccheo e non il singolo bi. C. Deeminae il 99-imo pecenile el empo i o iao. Si efinisce pecenile el empo i nel sisema (coasevene) il valoe ale che la pobabilià che il empo i supei è pai a (-%); in ale paole l -imo pecenile el iao coincie col valoe el empo i che veà speimenao solo all (-%) i ueni el sisema. e eeminae l -imo pecenile, occoe peano impoe la conizione ( ) F ( ) % ( > ) Il 99-imo pecenile coincie alloa con l isane i empo 99 ale che ( µ ) 99 e. 99 ln. ln..86 µ sec Ossevazione E possibile noae la coeenza el isulao ovao in pesenza con quello appena ovao. Infai, la pobabilià che il empo i sia maggioe i sec è saa calcolaa nella sezione B e è isulaa pai all.6%. ella sezione B il moo i poceee è inveso, nel senso che si fissa il valoe i pobabilià e si eemina il coisponene valoe el empo i. Aveno fissao nella sezione C un valoe i pobabilià, l %, molo vicino ma minoe ispeo a quello ella sezione B,.64%, mi aspeo i ovae un empo i che sia i) molo vicino ispeo a quello eeminao nel puno B (infai.86 seconi è un valoe molo vicino a seconi), ii) maggioe ispeo al valoe eeminao nel puno B (infai.86 seconi è maggioe i seconi). A poposio ell ulimo puno, basi pensae che empi supeioi al valoe meio el empo i, T.48 µ seconi, vengono speimenai nell e 6.79 % ei casi e che più i valoi el empo i consieai si allonanano al valoe meio, minoe isula la pobabilià i speimenae empi supeioi.

6 ESERCIZIO n 9 Un Inene Sevice ovie (IS) è connesso meiane un oue, a un lao, alla ee elefonica con M 4 poe e, all alo lao, alla ee Inene. Si assuma che l IS iceva complessivamene 8 ichiese ogni 8 oe e che la uaa meia ella connessione sia oa. Duane la chiamaa, il flusso ai ell uene è caaeizzao a un bi ae meio F 8 bi/sec. A. Deeminae la capacià uscia che il muliplaoe eve avee se si vuole che il appoo i uilizzazione el muliplaoe sia.8. La figua soosane illusa schemaicamene il sisema che il poblema popone i suiae. Il affico complessivamene offeo agli ueni all ingesso el sisema è 7 A o 5 El 8 Se le poe a isposizione ell IS fosseo infinie, il affico offeo A si ioveebbe anche all ingesso el muliplaoe saisico che opea pe l IS. oiché peò le poe a isposizione ell IS non sono infinie ma solo 4, una pae el affico offeo A anà peua e solo la fazione smalia A s si iova all ingesso el muliplaoe saisico. e calcolae la fazione smalia el affico offeo A, occoe pima calcolae la pobabilià i peia meiane l uso elle abelle iee i Elang. In paicolae peia B ( 5,4). 54 Di conseguenza il affico che effeivamene si pesena all ingesso el muliplaoe è A s ( ) 5(.54). Ao peia El

7 Si icoa inole che il valoe appena ovao è un valoe meio e appesena il numeo meio i connessioni smalie, ossia il numeo meio i ichiese i connessione che giunge al muliplaoe. Ossia bps eano se si vuole avee un asso i uilizzazione ell 8%, la capacià ella linea uscia el muliplaoe eve essee 77 C 467 bps.8 Esecizio n In un sisema i sevizio con coa i capacià nulla e ue seveni, aivano ichiese i ue ivesi ipi, fax e chiamae elefoniche. Le ichiese i fax sono inolae a una sola linea e possono essee sevie a un solo sevene. Se una ichiesa i fax giunge alla linea, mene una ichiesa i fax sa già veneno sevia all ineno el sisema, la linea scaa la ichiesa e non la inola al sisema. Alle ichiese i fax è inole associaa una fequenza meia i aivo pai a α e una fequenza meia i sevizio pai a β. Le ichiese i chiamae elefoniche aivano a più linee con una fequenza meia complessiva pai a e vengono sevie con un asso meio pai a µ. E. Deeminae le pobabilià i blocco elaive alle ichiese i fax e i chiamae elefoniche. Occoe come pima cosa eeminae il iagamma i ansizione egli sai e quini scegliee la moellizzazione più oppouna. Si noi a al poposio che il pocesso associao al numeo i ueni complessivamene peseni nel sisema (vaiabile a e ) non è una caena i Maov. Si icoa che sono le popieà che conaisinguono un pocesso i Maov: ) il empo i pemanenza in ogni sao è una vaiabile casuale con isibuzione esponenziale negaiva; ) le fequenze i ansizione i sao ipenono solo allo sao i paenza e non agli sai visiai peceenemene. el caso poposo, se si assume come sao il numeo i ueni nel sisema, la popieà è sicuamene veificaa, ma lo sesso non si può ie pe la popieà. Infai, il fao i sapee che un solo sevene è occupao non consene i sabilie come si evolveà il sisema nel caso i fine sevizio, viso che la fequenza i ansizione -> ipene al asso i sevizio e queso è iveso a secona che il cliene sevio sia una ichiesa fax o una ichiesa elefonica. Inole, anche il fao i sapee che enambi i seveni sono occupai non consene i ie come si evolveà il sisema in caso i fine sevizio, viso che la fequenza i ansizione -> ipene al asso i sevizio e queso è iveso a secona che il cliene sevio sia una ichiesa fax o una ichiesa elefonica. Se si assume invece come sao non solo il numeo i ueni el sisema, ma anche il ipo i ueni (ichiese fax e ichiese elefoniche) all ineno el sisema, queso ivena

8 moellizzabile in emini i una caena i Maov, viso che l infomazione fonia gaanisce in queso caso che le popieà e isulino soisfae. In paicolae, il iagamma i ansizione egli sai è il seguene: Il sisema che consene i eeminae le pobabilià sazionaie associae ai ivesi sai può essee eeminao imponeno la conizione i nomalizzazione e opeano a esempio i 4 agli ipoai nella figua soosane. Esso isula in paicolae

9 ( α ) ( β ) ( µ β ), F β µ, F, FC, CC, C α µ Risolveno, si ova,,,, F C FC CC, F, F, FC µ, C α, C, FC, C, CC βµ β αµ βµ αµ βµ αµ β αµ βµ αµ βµ βµ β αµ βµ αµ βµ αµ β αµ βµ αµ βµ β β αµ βµ αµ βµ e eeminae la pobabilià i blocco elaiva alla ichiesa i fax, occoe icoae che le ichiese sono asmesse al sisema solo se nessuno ei ue seveni sa già seveno una ichiesa i fax. In ali emini, il pocesso i aivo elle ichiese i fax ipene allo sao el sisema. Di conseguenza, si ha peia solo quano i ue seveni sanno enambi seveno una chiamaa elefonica. blocco, fax, CC Il pocesso i aivo elle ichiese i chiamae elefoniche non ipene invece allo sao el sisema e si ha peia quano enambi i seveni sono occupai, a pescinee al ipo i ichiesa che sa veneno sevia. blocco, elefonaa, FC, CC F. Deeminae le fequenze meie con cui le ichiese i fax e elefonae sono smalie al sisema. el caso elle ichiese i fax occoe enee in cono il fao che il pocesso egli aivi ipene allo sao el sisema. In conseguenza i ciò la fequenza meia el affico offeo non è α, ma saà pai alla sola fazione i α che la linea inola al sisema, ( ) o, fax α, C, CC Di ale fequenza el affico offeo la fazione peua è

10 α p, fax, CC mene la fazione smalia è ( ) s, fax α, C el caso invece elle ichiese i chiamae elefoniche, il pocesso egli aivi non ipene allo sao el sisema. In conseguenza i ciò, la fequenza meia el affico offeo è esaamene, e le fequenze meie el affico peuo e smalio sono p, elefonaa s, elefonaa (, FC, CC ) ( ), FC, CC ESERCIZIO n Un muliplaoe a paccheo è caicao al affico emesso a 6 sogeni. Ogni sogene esibisce un compoameno peioico, nel senso che a inevalli i uaa meia T secono, uane i quali la singola sogene emee pacchei con empo i ineaivo isibuio esponenzialmene e valoe meio pai a 4 msec, seguono inevalli i uaa meia T 5 seconi, uane i quali la singola sogene emee pacchei con empo i ineaivo isibuio esponenzialmene e valoe meio pai a 5 msec. Se la lunghezza ei pacchei è isibuia esponenzialmene con valoe meio 6 bye, eeminae la capacià ella linea uscia che consene i avee un asso i uilizzazione el 9%. La fequenza con cui la singola sogene emee pacchei può assumee ue valoi ivesi, a secona che ci si ovi in un inevallo i empo i ipo T o in un inevallo i empo i ipo T. Inole la pobabilià che ci si ovi in un inevallo i empo i ipo T è pai a a T T T T T T, mene la pobabilià che ci si ovi in un inevallo i empo i ipo T è pai. Di conseguenza, la singola sogene emeeà pacchei alla fequenza meia T T 5 i.8 pacchei/sec T T 4 T T La fequenza meia complessiva con cui aivano pacchei al muliplaoe ovà enee cono el fao che le sogeni che caicano il muliplaoe sono M 6. M pacchei/sec i Se si vuole avee un asso i uilizzazione el muliplaoe pai al 9%, il asso i sevizio el sisema ovà essee

11 5 µ pacchei/sec..9 Sfuano il ao sulla lunghezza meia ei pacchei, è possibile icavae la capacià ella linea uscia C. In paicolae C Mbps ESERCIZIO n Un sisema con capacià i coa infinia e un solo sevene iceve pacchei secono un pocesso poissoniano e con un asso meio i aivo i 8 pacchei/sec. La lunghezza ei pacchei è isibuia secono un esponenziale negaiva con valoe meio i 5 bye. Si assuma inole che i valoi possibili pe la capacià uscia siano mulipli i 5 bps. B. Deeminae la capacià meia i sevizio el sisema che gaanisce che il 99-imo pecenile el empo i sia pai a vole il empo meio i sevizio. Il 99-imo pecenile el empo i ispone alla seguene elazione ( ) F ( ) % ( > ) ove si è inicao con il empo i nel sisema (coasevene) e ove ( µ ) ( > ) ( ) F ( ) e Imponeno che il 99-imo pecenile sia pai a vole il empo meio i sevizio, si ova che e ( µ ) µ 54%. µ ( µ ) ln(.) ( ) ln(.) ln(.) A queso puno si può icavae la fequenza meia i sevizio come 8 µ 4.8 pacchei/sec.54 Al valoe ovao in peceenza coispone una capacià meia C bps.46% Il valoe che la capacià meia i sevizio el sisema eve assumee è peano pai a bps.

12 C. ell ipoesi che la capacià i coa sia finia e pai a 9, eeminae la capacià meia i sevizio che gaanisce che la pobabilià i blocco sia infeioe all %. Se la capacià i coa è pai a 9, il sisema saà in gao i accogliee al più pacchei e quano ciò accae si ha blocco o peia. eano blocco Imponeno che ale pobabilià sia pai all %, si peviene all equazione non lineae ( ). e isolvee il poblema, si pocee alloa pe enaivi i) consieano una capacià C 5 i bps, con i,,,..., ii) calcolano il coisponene asso i uilizzazione come (, capacià meia i aivo, è pai a bps), iii) calcolano il C coisponene valoe ella pobabilià i blocco, iv) veificano se queso è infeioe all % (se si, ci si fema; ivesamene si pocee consieano i ). Si può innanziuo ossevae che pe la sabilià el sisema eve essee non ha senso effeuae il enaivo pe i. e i, C > e quini i blocco %.96 e i, i blocco %.64 Il valoe che la capacià meia i sevizio el sisema eve assumee è peano pai a 5 bps.