F. Gamma Corso di Motori per Aeromobili CAP. 6 ESEMPI NUMERICI

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1 CAP. 6 ESEMPI NUMERICI

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8 ES. Si deve effettuae il pogetto di assia di un copessoe assiale avente le seguenti caatteistiche: Rappoto di copessione β c = 4.5 Tepeatua totale di ingesso T0 = 88K Pessione totale di ingesso p0 =.0 0 Potata = 0kg s Rendiento politopico η pol = 0.9 a 5 Pa SVOLGIMENTO Si può iniziae con la scelta della velocità di otazione e delle diensioni dell annulus. Pe scegliee la velocità di otazione, è consuetudine patie dalla velocità tangenziale all apice del otoe U ( speed), dalla velocità di ingesso assiale u e dal appoto adice/apice (hub/ atio) all ingesso del stadio. L espeienza suggeisce: Tip speed U = 350 s Velocità assiale u = s 50 s Hub/Tip atio hub = All ingesso si ha: u 50 T = T0 = 88 = 76.8K C 005 p γ 3.5 T γ 76.8 p = p0 = 0 = 87.9kPa T0 88 ρ p = = = RT kg 3 hub A = π ( hub ) = π Il aggio all apice della paletta si tova dall espessione della potata ( = ρua): 8

9 = = 0.6 hub πρu aggio all apice Di conseguenza si tova: hub = = 0.3 aggio alla adice hub + = = aggio edio h= 0.3 altezza paletta A = = π ( hub ) 0. ρ u sezione di ingesso Il nueo di gii è coelato alla speed ed al aggio all apice: U U = π n n = = 46.6 gii s π Si può quindi assuee n= 50 gii s = 5000 gii in e icalcolae la speed all ingesso: U = π n = s E oppotuno a questo punto veificae il n di Mach elativo all ingesso: M el u w = = = a + U + γ RT (tansonico) Le condizioni di uscita dal copessoe, assuendo costante la velocità assiale, valgono: p0 = βc p0 = = 49.5kPa pessione totale ( β ) γ γη pol T0 = T0 c = 45.5K tepeatua totale u 50 T = T0 = 45.5 = 44.3K C 005 p tepeatua statica 9

10 γ T p = p γ 0 = 383.8kPa T0 pessione statica p 3 ρ = = 3.03kg densità RT 0 A = ρ u = = sezione di uscita dall annulus Lo scabio enegetico specifico del copessoe vale: ( ) ( ) ( ) h0 = Cp T0 T0 = = J kg cop La stia dell altezza della paletta in uscita si può effettuae assuendo costante il aggio edio lungo il copessoe: ( ) ( )( ) A = π = π + = π h hub hub hub in cui natualente: + hub = e h = hub e petanto: h A = π = π = altezza paletta in uscita All uscita inolte si ha: h = + =.903 h hub = =.49 hub = 0.78 U = π n = π = 98.9 s Pe iassuee, a questo punto si ha: n= 50 gii s = cost nueo di gii u = 50 s= cost velocità assiale ax = 0.697= cost aggio edio 0

11 All ingesso: hub = 0.3 = 0.6 h= 0.3 hub ip = 0.5 A = 0. U = s All uscita: hub = 0.49 = h= 0.04 hub ip = 0.78 A = U = 98.9 s Pe stiae il nueo di stadi necessai, si può ifeisi ad uno stadio edio: U = π n = π = 66.6 s velocità tangenziale a aggio edio e consideando ancoa l ingesso assiale ( α = 0) si ha: w = u + U = + = s velocità elativa di ingesso allo stadio a ax aggio edio w = U = 66.6 s coponente tangenziale della w tan g Applicando il citeio di de Halle pe valutae la assia deviazione possibile della coente nel otoe, si ha: w = 0.7 w = 0. s velocità elativa di uscita dallo stadio a aggio edio w = w u = = 6. s coponente tangenziale della w tan g ax u = U w = = 05.4 s coponente tangenziale della u tan g tan g u = u + u = = 83.3 s velocità assoluta di uscita dallo stadio a ax tan g aggio edio

12 Il elativo tiangolo delle velocità isulta petanto: Lo scabio enegetico specifico dello stadio vale: ( ) st ( ) ( ) tan g tan g tan g tan g h0 = U w w = U u u = J kg ( T ) Il salto di tepeatua dello stadio isulta essee: ( h ) 0 st 0 = = 7.96K st C p Valoi ici di questo paaeto vaiano ta 0 e 30K pe stadi subsonici, fino ad olte 45K pe stadi tansonici ad alte pestazioni. ( N ) Il nueo di stadi necessai (tascuando l effetto del wok-done facto λ ) peciò è dato da: ( h0 ) ( h ) cop = = = st st

13 ( N ) Oppue anche: ( T0 ) ( T ) cop 64.5 = = = st st Consideando l effetto di λ, si può assuee un nueo di stadi pai a 7, che deteinano un T pe stadio pai a: ( T ) ( T ) ( N ) cop 64.5 = = = 3.5 K stadio st 7 st Possiao infine deteinae gli angoli della palettatua dello stadio edio: w 66.6 tan β = = = tan g β uax 50 w 6. tan β = = = tan g β uax 50 u 05.4 tanα = = = tan g α uax 50 Gado di eazione dello stadio edio (a aggio edio): uax 50 R = ( tan β+ tan β) =.85 = 0.8 U 66.6 Diensionaento stadio pe stadio Si effettua valutando, pe ogni stadio, gli angoli α e β a aggio edio, supponendo stadi ipetuti. Il wok done facto λ vaia lungo il copessoe e valoi ici sono: 0.98 pe il stadio 0.93 pe il stadio 0.88 pe il 3 stadio 0.83 dal 4 al 7 stadio Tenendo pesente che il T edio pe stadio è di 3.5 K stadio, il T0 stadio può agionevolente assuee i seguenti valoi: 0K pe il e 7 stadio 5K pe gli alti stadi 3

14 e stadio (ingesso assiale u = 0 ) ( ) h = C T = λu u u = λu u 0 p 0 t t t U t 0 = 66.6 s u = 50 s T = 0K λ = 0.98 C u p = 005 J kgk Cp T0 = = 76.9 s λu w = U u = 89.7 s t t t U tan β = β = u w tan β = β = 5.67 t u u tanα = α = 7.4 t u 4

15 La deviazione della coente nel otoe è piuttosto odesta e vale: β β = 8.97 u = 76.9 s t La diffusione nel otoe può essee facilente veificata icoendo al nueo di de Halle: w u cos cos w = β β u cos β = cos β = w = s w = s Condizioni di uscita dal stadio Le condizioni di uscita dal pio stadio saanno anche le condizioni di ingesso al secondo stadio. Il appoto di copessione dello stadio si può deteinae dalla elazione: γ γ p 03 ηc T = + = + =.36 p0 T 0 88 nella quale al endiento adiabatico è stato attibuito il valoe del endiento politopico, tattandosi di un solo stadio. Le pessioni e tepeatue di uscita sono peciò: 5 5 p = p β = =.48 0 Pa ( 03 ) 0 ( c ) ( ) T = T + T = = 308K Gado di eazione R del stadio (a aggio edio) Si può icoee a vaie elazioni: u R = ( tan β+ tan β) = 0.85 U w t + wt R = = 0.85 U w w R = = 0.85 C T p 0 Il gado di eazione è piuttosto alto, peò questo valoe a aggio edio è necessaio pe evitae un gado di eazione negativo alla adice, pe bassi valoi del appoto hub/ (0.5 in questo caso). La speanza è di iuscie ad usae gadi di eazione dello 0.5, a patie dal tezo o quato stadio, ente pe il secondo stadio un valoe appopiato potebbe essee R=0.7. Pe il stadio possiao adottae: λ = 0.93 T0 = 5K e possiao deteinae β e β dalle seguenti elazioni: 3.5 5

16 ( tan tan ) ( tan tan ) h = C T = λuu β β = = β β 0 p 0 a u 50 R = a ( tan β+ tan β) 0.7 = ( tan β+ tan β) U 66.6 Si tova: Risolvendo: ( β β) ( β β ) tan tan = tan + tan =.49 β = β = 4.9 Dal tiangolo di velocità si ottiene: U = u t + w t = ut + wt = ua tanα+ ua tan β = ua tanα + ua tan β da cui si può icavae: α =.06 α = 4.05 u = u tanα = 9.3 s t a u = u tanα = 30.6 s t a u = 0.3 s t u = 5.8 s u = 98.9 s La deviazione e la diffusione della coente nel otoe valgono ispettivaente: β β = 5.5 w cos β = = 0.7 w cos β 6

17 w = 80.7 s w w w t t = 0.45 s = 37.3 s = s Condizioni di uscita dal stadio Il appoto di copessione, la pessione e la tepeatua saanno ispettivaente: 0 0 γ γ p 03 ηc T = + = + =.80 p T 308 ( 03 ) ( 03 ) ( βc ) ( ) ( ) p = p =.6 0 Pa T = T + T = 333K Stadio Si può effettuae un tentativo adottando un gado di eazione 0.5 ed usando λ = 0.88 e T0 = 5K. Pocedendo coe pia, si ha: Cp T tan β tan β = = = λuua UR tan β+ tan β = = =.777 ua 50 e isolvendo: β = 5.4 β = 8 Il coispondente nueo di de Halle vale: w cos β = = 0.7 w cos β Questo valoe è piuttosto basso e se si vuole auentalo pe idue la diffusione nel otoe, si possono fae vai tentativi, coe diinuie il gado di eazione, oppue auentae la velocità tangenziale U o la velocità assiale u a, a l appoccio iglioe è quello di idue l auento di tepeatua nello stadio. Ad esepio adottando T0 = 4, si ottiene: β = 50.9 β = 8.36 w = 0.78 w che può essee itenuto un isultato soddisfacente pe una pogettazione peliinae. 7

18 Condizioni di uscita dal 3 stadio Il appoto di copessione, la pessione e la tepeatua sono ispettivaente: γ γ p 03 ηc T = + = + =.46 p T p = p =.99 0 Pa 3 3 ( 03 ) ( 03 ) ( βc ) ( ) ( ) T = T + T = 357K Dalla sietia dei tiangoli di velocità (R=0.5) si ottiene: ut = wt = 8.9 s ut = wt = 84.7 s u = w = 7.4 s u = w = 37.9 s 4, 5,6 Stadio Iponendo λ = 0.83, T0 = 5K e R=0.5, si può pocedee coe pia, contollando che il nueo di de Halle non diinuisca toppo. Se ciò si veifica, può essee necessaio diinuie a 4K l auento di tepeatua nello stadio. Pocedendo coe pia (con T0 = 4K ), si tova: STADIO p 0 (Pa).99x x x0 5 T 0 (K) (p 03 /p 0 ) p 03 (Pa).447x x x0 5 T 03 (K) Si noti coe, sebbene ogni stadio sia pogettato pe uno stesso salto di tepeatua, pe effetto dell auento di tepeatua lungo il copessoe, il appoto di copessione pe stadio diinuisce all auentae degli stadi. 7 Stadio All ingesso dell ultio stadio si ha: 5 p0 = Pa T0 = 49K Il appoto di copessione assegnato è 4.5, pe cui la pessione di uscita dall ultio stadio dovà essee: 5 5 ( p03 ) = β p0 = = Pa out c 8

19 Il appoto di copessione del 7 stadio saà petanto: p = =.7 p Il salto di tepeatua elativo può essee calcolato dalla elazione: p 03 ηc T 0 = + =.77 p0 T 7 0 Dalla quale si ottiene: T0 =.8K Assuendo ancoa R=0.5 e pocedendo coe pia, si tova: β = α = β = α = 8.5 cos β = 0.77 cos β Che si possono consideae soddisfacenti. γ γ 9