Struttura soggetta a forze o spostamenti la cui grandezza può essere rappresentata nel

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1 . RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA Stuttua soggetta a oze o spostamenti la cui gandezza può essee appesentata nel tempo da una unzione sen o cos... SISTEMA NON SMORZATO oza impessa ( t sent equaz. del moto: m& + sent & (. la soluzione può essee espessa come somma dell'integale geneale che soddisa all'equazione omogenea c ( t e di un integale paticolae ( t p ( t ( t ( t c + p L integale geneale è espesso dalla (.3: ( t c Acos t + Bsent m Si iceca un integale paticolae della oma: p ( t Y sent deivando e sostituendo nella (.:

2 & && p p Y cost Y sent m Y sent + Y sent ( m + Y sent si icava: Y m appoto di equenza Quindi: cos ( t A t + Bsent + sent (. pe & ( t ( sent sent (. La isposta è la sovapposizione di due temini amonici di dieenti equenze: peciò il moto non è amonico. Quando la equenza della ozante si avvicina alla equenza natuale del sistema,, la (. si può tasomae: ( t ( sent sent ( sen t sent + sen t cos t sen t cost il cui gaico, appesentato nella ig..9, illusta il enomeno dei BATTIMENTI: ig..9 3

3 Quando la equenza della ozante è uguale alla equenza natuale del sistema,, l'ampiezza del moto aumenta gadualmente ino all'ininito: si ha la RISONANZA. Inatti, la (. può essee scitta nella oma (egola di L Hospital: ( t ( t cost + sent t cost che appesenta un oscillazione amonica la cui ampiezza cesce all ininito. ig.... SISTEMA SMORZATO equaz. del moto: m& + c& + sent & (.3 La soluzione geneale pe il sistema sottosmozato ( c < c c è espessa dalla (.9: c ξt ( t e ( Acos t + Bsen t D D si iceca una soluzione paticolae del tipo ( t Y ( t p sen deivando e sostituendo nella (.3: & && p p Y cos Y sen m Y sen ( t ( t ( t + cy cos( t + Y sen( t sent 4

4 ponendo c mξ e dividendo pe m Y sen ( t + ξy cos( t + Y sen( t sent ( Y ( sent cosθ cost senθ + ξy ( cost cosθ + sent senθ sent [( Y ( senθ + ξy cosθ ] cost + [( Y cosθ + ξy senθ ] sent sent l equazione si isolve uguagliando i coeicienti di cos t e sen t ; si ha: ( Y ( senθ ( + ξy cosθ Y cosθ + ξy senθ Y tanθ ξ ( ( cosθ + ξ senθ icodando: si icava: sen θ cos θ tan θ + tan + tan θ θ p ( t ( + ( ξ sen ξ ( t tanθ (.4 è quindi: La isposta del sistema pe ( t sent ( 4 444D D + sen t 3 isposta tansitoia ( + ( ξ isposta pemanente ξt ( t e ( Acos t + B sen t (.5 La pesenza del attoe esponenziale a spaie apidamente la pate tansitoia cosicché il moto imane descitto dalla sola isposta pemanente: 5

5 ( t ( + ( ξ sen ξ ( t tanθ (.6 Se la oza eccitatice osse ( t cost La isposta pemanente avebbe la oma: ( t ( + ( ξ cos ξ ( t θ tanθ (.7 Le (.6 e (.7 possono essee scitte, ispettivamente: ξ ( t H ( sen( t tan ( t H ( cos( t tan θ (.6 ξ θ (.7 in cui H ( m + ξ "ATTORE DI AMPLIICAZIONE DINAMICA": Poiché è: st, delessione statica del sistema su cui agisce la statica, si può scivee: ( t st sen t ( + ( ξ ( (.8 Si deinisce "attoe di ampliicazione dinamica" il appoto a l ampiezza della vibazione e la coispondente delessione statica: Y D (.9 ( ( ξ st + 6

6 D e tanθ vaiano con ξ ed. Il picco si ottiene deivando ispetto ad e ponendo Si vede che il picco si veiica pe <; pe ξ >, 7 non c'è picco. Pe sistemi leggemente smozati, l'ampiezza max si veiica pe vicino ad uno. Alla isonanza: ( D θ 9 o ξ pe qualsiasi ξ ξ. ig.. ig.. Nei diagammi delle igg.. e., sono ipotati ispettivamente l andamento del attoe di ampliicazione e dell angolo di ase in unzione del appoto di equenza pe divesi valoi del attoe di smozamento ξ. Si nota: pe ξ e, D diventa ininitamente gande, cioè il moto si ampliica indeinitamente pe gande, cioè pe >>, isulta D <<, cioè il sistema non isente paticamente dell eetto di ozanti con pulsazione elativa,, elevata. 7

7 ORZA TRASMESSA ALLA ONDAZIONE Consideiamo l oscillatoe smozato soggetto ad una oza amonica ( t sent La isposta pe lo stato pemanente è espessa dalla (.6: ( t Y sen( t Y ( + ( ξ ξ tanθ La oza tasmessa al sostegno attaveso la molla è e attaveso l elemento smozante è c&. Quindi la oza totale tasmessa è: T + c& deivando la (.6 e sostituendo, si ottiene: T T [ sen ( t + c cos( ] Y t Y c + c sen ( t + β tan β ξ quindi il valoe massimo della oza tasmessa alla base isulta: T ( ξ ( + ( ξ + (. La TRASMISSIBILITÀ T è deinita come il appoto ta la oza tasmessa alla base e l ampiezza della oza applicata: T ( ξ T + (. ( + ( ξ ig..3 8

8 Tale espessione isulta utile, ad esempio, in poblemi di isolamento dalle vibazioni podotte da motoi. Dal gaico che illusta l andamento di T, si vede che pe massimizzae l isolamento si può intevenie sia sullo smozamento che sulla equenza popia dell oscillatoe ( gande peciò piccolo, ovveo piccolo e/o m gande. Si nota che lo smozamento tende a idue l eicacia dell isolamento dalle vibazioni pe equenze coispondenti a >. DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DELLA REQUENZA PROPRIA E DELLO SMORZAMENTO: metodo delle oscillazioni ozate Un'alta tecnica pe valutae i paameti caatteistici di una stuttua si basa sull'ossevazione delle isposte pe lo stato pemanente ad eccitazioni amoniche in un campo di equenze possimo alla isonanza. Si applica una ozante amonica e si taccia la cuva di isposta ilevando le ampiezze di spostamento in unzione della equenza (ig..4. E utile tacciae anche il gaico dell angolo di ase in unzione della equenza. ig..4 9

9 L ampiezza della isposta aggiunge il valoe max in possimità della isonanza. Si commettono eoi tascuabili se si cononde l ampiezza massima con l ampiezza elativa ad. In coispondenza del massimo della isposta, si può quindi valutae, equenza natuale dell oscillatoe. Dal gaico dell angolo di ase, in coispondenza di o θ 9 (ig.., si può altesì icavae ; è oppotuno, specialmente se le egistazioni isultano distubate, eseguie entambe le ilevazioni. Metodo dell'ampiezza di banda (mezza-oza pe la valutazione dello smozamento E' basato sull'ossevazione che la oma delle cuve di isposta è contollata dallo smozamento, cioè le cuve sono tanto più stette quanto minoe è lo smozamento (ig... In paticolae, la "ampiezza di banda", dieenza a due equenze che coispondono allo stesso valoe di isposta, è coelata al valoe dello smozamento. Pe comodità di calcolo, conviene misuae la laghezza di banda a del picco della cuva; le equenze coispondenti vengono chiamate "punti di mezza oza", ed (v. ig..4. Analiticamente, i valoi di ed si deteminano ponendo la isposta uguale a pe l'ampiezza di isonanza. st ( + ( ξ st ξ ξ ± ξ + ξ + ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ξ + ξ ξ

10 Sottaendo la pima dalla seconda delle pecedenti, si ottiene: ξ ( ; poiché è : + pe la simmetia della cuva di isposta si ha : ξ +.3 RISPOSTA AL MOTO DEL SOSTEGNO Il sostegno (es: teeno si muove di moto amonico: s ( t sent (. equaz. del moto dell'oscillatoe: && & 444 & 4443 m (.3 { + c( s + ( s oze d'inezia assoluta dall'accel dipendono eaz. dipendono da spostamenti e velocita' elative al sostegno: la oza elastica e l'enegia dissipata dipendono dalla de omazione della stuttua e non dal suo moto assoluto