Fisica Generale A. Cinematica del punto materiale. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico Maurizio Piccinini

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1 Fisica Geneale A Cinematica del punto mateiale Scuola di Ingegneia e Achitettua UNIBO Cesena Anno Accademico 15 16

2 Cinematica La cinematica studia le gandezze fisiche ed i metodi che sevono pe descivee i possibili movimenti di un oggetto qualsiasi, senza occupasi delle cause che li deteminano. Punto mateiale: oggetto mobile puntifome (ossia di dimensioni tascuabili ispetto al contesto consideato). Ha senso affemae che un oggetto si muove (o sta femo) solo se si pecisa il sistema di ifeimento ispetto al quale si valuta il movimento: non esiste un sistema di ifeimento pivilegiato. Il moto è elativo Scelto un sistema di ifeimento, ai fini di una descizione analitica del moto si sceglie una tena catesiana di ifeimento solidale con quello.

3 Cinematica Sistema di Rifeimento Esempi 3

4 Cinematica La misua dello spazio e del tempo, gandezze fondamentali della cinematica Sono gandezze fisiche se si può dane una definizione opeativa, cioè individuae un pocedimento attaveso il quale misuale. 1 secondo (s) : In passato, 1 s 1/86 4 del giono solae medio È la duata di un numeo stabilito (1) di oscillazioni della adiazione emessa da un isotopo del Cesio in seguito alla sua tansizione ta due livelli definiti. (1) 1 s oscillazioni 1 meto (m) : In passato, 1 m 1-7 quadante di meidiano teeste È la lunghezza del tagitto pecoso dalla luce nel vuoto in una fazione di secondo pestabilita (quindi pai all inveso della sua velocità () ) () 1 m c 1/ s 4

5 Cinematica Ipotetica definizione opeativa (basata su misue) di meto: 1.Con un oologio al Cs si misua il tempo (mumeo N di oscillazioni) impiegato dalla luce pe pecoee una base lunga l ( meti, con incognita)..si icava t N/ , tempo in secondi impiegato dalla luce a pecoee la distanza l. 3.Assunta la velocità della luce c m/s, si icava ct. 4.Si divide la base l in pati: ognuna di queste misua 1 m. 5

6 Cinematica descizione del moto z ( t) P( t) O PP(t) Taiettoia Legge oaia + z(t) Descizione intinseca (t) (t) s s(t) ( ( t t ) ) z( t) Equazioni paametiche ( t) ( t) + ( t) i + ( t) + ( t) j z( t) + z( t) k Descizione catesiana 6

7 Cinematica velocità Velocità media v m ( t) s t s t + t s t Vel. istantanea: lim ( + ) s t t s t ds v v m t lim s ɺ t dt 7

8 Cinematica velocità s t kt + s Caso paticolae: Moto unifome k ( t + ) + s [ ] kt + s ( kt + k t + s kt s vm t ) k m t ds d v sɺ ( kt + s ) k dt dt Caso paticolae: Moto unif. accele. la velocità è costante uguale alle velocità istantanea s t kt + v t + s ( k( t t) v ( t) s kt v t s v ) kt m t k t kt t v t v t s kt v t s vm t t ds d dv d v sɺ kt + v t + s kt + v ɺɺ ( + ) dt dt a s kt v k dt dt 8

9 Cinematica velocità P ( t) P t P ( ) O ( + ) P P t + P t Velocità media vettoiale v m ( t) P ( + ) P t t P t Vel. Istantanea vettoiale ( + ) P t t P t dp v lim vm lim Pɺ t dt 9

10 P ( t) Cinematica velocità P t P ( ) O t P ( t) P t P ( ) O ( + ) v t ( + ) ( + ) t P t lim t P t dp P( t t) P( t) v t v t t v t t dt sɺ t ( + ) t s t lim t s t + s ( t + ) s ( t) P ( t t) P ( t) v + ( t) ( + ) lim lim Nella appesentazione intinseca: t s t t s t v( t) sɺ t v t sɺ ( t) t 1

11 z t ( t) z O Cinematica velocità t P t O t i t j z t k ( t) + + d t t t t v( t) lim dt ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) t t t t t t z t t z t lim i + j + k ( t) P(t) d d dz v t i + j + k dt dt dt v t i + v t j + v t k z Nella appesentazione catesiana: v t t i t j z t k ɺ + ɺ + ɺ 11

12 Cinematica velocità Velocità Aeolae S V A t lim A t lim t S S 1 SV ( t) P ( t) O P( t + t) P( t) senα lim S α 1 A( t) P( t) O v ( t) senβ V π β S V 1 A S ( + ) 1 P t t P t P ( t) O lim sen ( P O) v ( π β ) 1

13 Cinematica acceleazione Acceleazione media Acc. Istantanea a m ( t) v a lim a lim m t t v t t v t ( + ) v t t v t ( + ) t dv d P a a d a dt dt dt a v ɺ a Pɺ a ɺ ɺ 13

14 Cinematica acceleazione dt ds lim s s Taiettoia cicolae π α t ( + ) P s s P s 14

15 Cinematica acceleazione dt ds lim s s t ( + ) P s s P s Taiettoia cicolae dt dt dt t n lim ds ds ds s s n dt 1 P( Ps + s + s ) s P ( Ps ) s lim lim s s ds s s dt 1 ds NB.: La deivata di un vesoe ispetto a un qualsiasi paameto dal quale il vesoe dipende è un vettoe pependicolae al vesoe stesso. n 1 15

16 Cinematica acceleazione Ciconfeenza osculatice (nel piano osculatoe) t ρ aggio di cuvatua (funzione di s) dt ds 1 n ρ Espessione intinseca a v v ɺ st ɺ a ɺɺ st + st ɺ ɺ a dt dt ds t ɺ dt ds dt dt ds dt 1 ɺɺ st + sɺ a ɺɺ st + sɺ n ds ρ sɺ 16

17 Cinematica acceleazione Espessione catesiana a v ɺ v i ɺ + j ɺ + zk ɺ v i + v j + v z k a ɺɺ i + ɺɺ j + ɺɺ zk vɺ i + vɺ j + vɺ z k 17

18 Cinematica Riepilogo Velocità Accel.ne f f 1 ( z),, ( z) s s(t),, v t Descizione intinseca Equazioni della taiettoia Legge oaia s( t) t ( t) Descizione catesiana ( t) ( t) z ( t) Equazioni paametiche ɺ v ( t) ɺ ( t) i + ɺ ( t) j + zɺ ( t) k 1 ɺɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ a ( t) s ( t) t ( t) + s ( t) n t ρ ( t) a t t i + t j + z t k vɺ t i + vɺ t j + vɺ t k z

19 Cinematica coodinate cilindiche z t ( t) z k O ϕ î ĵ P ( t) k z P î î ϕ ϕ z + actan z z Posizione cosϕϕ senϕ P O t i t + z t k z 19

20 Cinematica coodinate cilindiche Z z (t) t P k î ϕ k O (t) ĵ (t) î ϕ z P î Y X

21 Cinematica coodinate cilindiche P Posizione O i + zk Velocità v Pɺ i ɺ ɺ + i + zk ɺ v ɺ t i t + t t i t + z t k ɺ ϕ ɺ φ 1

22 Cinematica coodinate cilindiche v i ɺ + ɺ ϕi ϕ + zk ɺ Acceleazione a ɺɺ i + i ɺ ɺ + ɺɺ ϕi + ɺɺ ϕi + ɺ ϕi ɺ + ɺɺ zk φ φ φ ɺɺ i ( ) ( ) + ɺ ɺ ϕiφ + ɺɺ ϕiφ + ɺɺ ϕiφ + ɺ ϕ ɺ ϕi + ɺɺ zk a ɺɺ i + ɺ + i + ɺɺ zk ( ɺ ϕ ) ( ɺ ϕ ɺɺ ϕ ) φ

23 Cinematica coodinate cilindiche Posizione Velocità P O t i t + z t k v ɺ t i t + t ɺ ϕ t i t + zɺ t k ϕ Acceleazione a ɺɺ i + ɺ + i + ɺɺ zk ( ɺ ϕ ) ( ɺ ϕ ɺɺ ϕ ) φ 3

24 (t) s O (, ) Cinematica Moto ettilineo unifome ĵj t v t + t v t + z t î s ( t) (t) P t R. I. v t a ɺɺ st + sɺ a + b z Taiettoia s ( t ) kt + s Equazione oaia t sɺ ( t) t sɺ t k v t kt 1 n ρ ɺɺ s ( t ) a ( t ) R. C. ɺ ɺ v t t v v t t v ɺɺ t ɺɺ t v t v i v + j a t Peché? Pechè ρ 4

25 Cinematica Moto ettilineo unifome O s s ( t) R. I. v t a ɺɺ st + sɺ z Taiettoia s ( t ) kt + s Equazione oaia t sɺ ( t) t sɺ t k v t kt 1 n ρ ɺɺ s ( t ) a ( t ) t t z t kt R. C. ɺ k ɺɺ ( t ) t v t ki a t 5

26 z Cinematica Moto amonico Taiettoia O l ωt + α s ( t) l sin ( ωt + α α ) Equazione oaia ω s l sinα +l -l s ampiezza fase fase iniziale pulsazione se T π s t + T s t ω T ν 1 T peiodo fequenza 6

27 Cinematica Moto amonico sin ( ω + α ) sɺ lω cos( ωt + α ) ɺɺ s lω sin ( ωt + α ) s l t ɺɺ s ω + s ω s l cos( ω t + α ) s l ω sin ( ω t + α ) ɺɺ s lω cos ω t + α ω s ɺ s sin ( ω + α ) + cos( ω + α ) s t l t l t s s c c 7

28 Cinematica Moto cicolae unifome R. I. + z Taiettoia s ( t ) kt + s Equazione oaia O s v t sɺ ( t) t a ɺɺ st + sɺ 1 n ρ v t a t kt v n Dipendenza dal tempo? 8

29 Cinematica Moto cicolae unifome t i ϕ ϕ ϕ O n i s v v t kt a ( t ) n k s s t ϕ ( t) t + ωt + α k v ɺ ϕ ( t ) ω k v ω sin ( ω + α ) + cos( ω + α ) ω ( ω + α ) + ω ( ω + α ) + t i sin t i cos t ϕ ϕ + ϕ j t i t j v t sin t i cos t j vi v j ( ω α ) sin ( ω α ) n i cosϕ t i sinϕ t j cos t + i t + j a ( t) ω cos( ωt + α ) i ω sin ( ωt + α ) j a i + a j 9

30 Cinematica Moto cicolae unifome ϕ ( t) O s t ϕ R. C. ( t) ( t ) i + ( t ) ( t ) cos ( ωt + α ) j ( t) sin ( ωt + α ) ω sin ( ω + α ) ω cos( ω + α ) v t t v t t k s a t + ω t cos + α t ω ωt + α Le componenti di si "muovono" di moto amonico v t v i v j t i t j + ω sin ( ω + α ) + ω cos( ω + α ) ω sin ( ω + α ) a t t a t a i a j t i t j + ω cos( ω + α ) ω sin ( ω + α ) a + ω a + ω 3