Binarizzazione basata sul colore

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1 A.a. 010/011 Binaizzazione basata sul coloe

2 Distanza Euclidea nello spazio RGB (1) In alcune applicazioni l oggetto di inteesse può essee segmentato ispetto allo sfondo (binaizzazione) sulla base del coloe. I Denotando quindi il coloe di un pixel come: I = Ig Ib la segmentazione di un immagine può essee ottenuta calcolando pe ogni pixel la distanza (e.g. euclidea) ispetto al coloe atteso ( μ ) dell oggetto di inteesse e macando come foegound i pixel pe i quali tale distanza è infeioe ad una soglia: p I : ( I ( ) μ) ( ) ( I ( ), μ) ( ) I ( ), μ d p O p = F d( p ) > O = B (( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) 1 μ μ μ d p I p I p I p, = + g g + b b

3 Distanza Euclidea nello spazio RGB () L appoccio descitto ichiede la conoscenza del coloe atteso μ, che viene tipicamente stimato a patie da una (o più) immagini di taining. Supponendo di ave estatto N pixel oggetto dalla totalità delle immagini di taining disponibili, ed indicando con I(p k ) il k-esimo taining sample: μ μ = μg = μ b 1 N N k = 1 I ( p ) k Intepetando quindi il coloe di un pixel dell oggetto come una vaiabile aleatoia a te dimensioni, il coloe atteso è ottenuto stimandone il valo medio a patie dai taining samples disponibili. E utile ossevae che la successiva segmentazione consiste nel classificae come oggetto tutti i pixel dell immagine da analizzae che sono contenuti in una sfea dello spazio RGB avente aggio e centata in μ.

4 Distanza di ahalanobis (1) Una più icca caatteizzazione pobabilistica della distibuzione dei coloi nell oggetto di inteesse può essee ottenuta stimando dai campioni non solo il valo medio ma anche la matice di covaianza: g b Σ= g gg gb b bg bb N 1 ij = ( Ii ( pk ) μi ) I j ( pk ) μj N k = 1 i, j {, g, b} ( ) Ricodando che la distanza euclidea può anche essee espessa come: ( ( ), ) ( ) (( ) ( ( ) )) 1 d I p μ = I p μ I p μ la distanza di ahalanobis è definita come: ( ( ), ) ( ) (( ) ( ( ) )) 1 1 d I p μ = I p μ Σ I p μ

5 Distanza di ahalanobis () Pe compendee la diffeenza fa le due distanze è utile consideae il caso in cui le componenti di I(p) sono indipendenti (matice di covaianza diagonale): Σ= 0 gg 0 Σ = 0 1 gg bb bb ( ( ), ) ( ) (( ) ( ( ) )) 1 1 d I p μ = I p μ Σ I p μ ( I μ ) I μ ( ) ( I μ ) g g gg b b bb d ( I, μ) ( ( ) μ ) Ig 1 ( μg) ( ( ) μ ) I p I p = + + b b gg bb

6 Distanza di ahalanobis (3) A diffeenza della distanza euclidea, la distanza di ahalanobis pesa diffeentemente le diffeenze delle componenti del vettoe aleatoio, in paticolae in maniea invesamente popozionale alla vaianza di ciascuna componente. Ciò significa che una data diffeenza in una componente contibuià in maniea maggioe o minoe alla distanza a seconda di qual è la dispesione della componente ispetto al suo valoe medio. Qual è la egione dello spazio RGB viene oa consideata pe la segmentazione? ( ( ) μ ) Ig ( μg) ( ( ) μ ) I p Ib p b d ( I, μ) = + + gg bb μ Ellissoide centato in: = μ μg μ b ed avente lunghezza dei semiassi pai a: L L = Lb = bb L g gg

7 Distanza di ahalanobis (4) L intepetazione della distanza di ahalanobis fonita pe il caso di matice di covaianza diagonale ha validità geneale. Difatti è sempe possibile deteminae una otazione del sistema di ifeimento (SdR) che ende la matice di covaianza diagonale. Nel nuovo SdR la distanza di ahalanobis è quindi espimibile come media pesata dei contibuti associati alle singole componenti, ove i pesi sono le vaianze ispetto ai nuovi assi. La pecedente popietà discende dalla decomposizione EVD (EigenValue Decomposition) di una matice eale e simmetica (Σ): e i λ1 0 0 Σ = RDR : R= ( e1 e e3), D= 0 λ λ 3 Dove gli sono gli autovettoi (otonomali) di Σ, λ i sono i coispondenti autovaloi ed R è la matice di otazione che tasfoma i dati nel nuovo SdR. Eseguendo la otazione la nuova matice di covaianza diviene D, quindi gli auovaloi di Σ appesentano le vaianze nelle diezioni degli autovettoi.

8 Un esempio di binaizzazione I ( ) O p = ( I ( ) μ) I ( ) μ 55, d p, 0, d ( p, ) >

9 Appendice - caso geneale di matice di covaianza non diagonale (1) ( ( ), ) ( ) 1 ( ) ( ( ) ) d I p μ = I p μ Σ I p μ ( ) ( ) ( ) Σ = RDR Σ = RDR = R RD = RD R Rotazione che pota I(p) e μ in un nuovo SdR avente come vesoi degli assi gli autovettoi di Σ ( ( ), ) ( ) 1 ( ) ( ( ) ) ' ' ( ) d I p μ = I p μ RD R I p μ [ ei eμ ei eμ ei eμ] I' μ' λ 1 I 1 ' ' g' μg' ' ' D ( I μ ) = ( I μ ) λ Ib' μ b' λ 3 I' μ' Ig' μg' Ib' μ b' ei 1 eμ 1 I μ = ei eμ ei 3 eμ 3

10 Appendice - caso geneale di matice di covaianza non diagonale () I' μ' λ 1 Ig' μg' d ( I, μ) = I' μ' Ig' μg' Ib' μb' λ Ib' μ b' λ3 d ( I, μ) ( I ) ( '( ) ' μ I ' g p μ g' ) ( Ib' μb' ) = + + λ λ λ 1 3 ( ( ) ) I, μ = d p Ellissoide avente semiassi di lunghezza λ i e gli assi oientati come gli autovettoi di Σ Nel caso geneale i contibuti delle componenti alla distanza sono pesati in maniea invesamente popozionale agli autovaloi di Σ, che appesentano le vaianze nelle diezioni degli autovettoi.

11 Appendice - caso geneale di matice di covaianza non diagonale (3) Veifichiamo infine che, nel nuovo SdR, ottenuto mediante la otazione data da R, la matice di covaianza, Σ, è diagonale ed i suoi elementi non nulli sono popio gli autovaloi di Σ. Dato un vettoe aleatoio x ad n dimensioni avente media m x e covaianza C x, consideiamo una geneica tasfomazione lineae definita dalla matice A di dimensione n n : y = Ax Si può dimostate che le nuove media e covaianza sono date da: m = Am, C = AC A y x y x Nel caso di nosto inteesse quindi: ( ) ( ) ( ) ' Σ R ΣR R RDR R R R D R R IDI D = = = = = dove con I è stata indicata la matice identità 3 3 : I= λ1 0 0 = 0 λ λ 3