Sommario: Campo elettrico

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1 Sommaio: ampo elettico ampo elettico: se F è la foza sulla caica q, il campo elettico è: F q Linee di foza: il campo si appesenta figuativamente mediante le sue linee di foza: in ogni punto il campo è sempe tangente alla linea; la densità delle linee indica l intensità del campo. Le linee escono dalle caiche positive che geneano il campo, ed entano in quelle negative ampo geneato da una caica puntifome Q: ampo geneato da un dipolo di caica q: (lungo l asse del dipolo). P è il momento di dipolo k Q k 3 z ˆ P P qd Dipolo P in un campo elettico: P

2 secizio: stampante a getto d inchiosto Nelle stampanti a getto d inchiosto, minuscole goccioline vengono spuzzate sul foglio di cata. sse vengono espulse da un sebatoio (G), e icevono una caica elettica attavesando l unità ; il segnale d ingesso elaboa l immagine da stampae e egola la quantità di caica immessa nella goccia da cui dipende la successiva taiettoia della goccia ed il punto del foglio di cata in cui la goccia va ad impattae. Ogni singolo caattee ichiede cica 1 gocce d inchiosto.

3 secizio: calcolo della deflessione m= Kg Q= v x =18 m/s (velocità d ingesso) L=1.8 cm = N/ alcolae la deflessione veticale subita dalla goccia nel punto di uscita dai piatti (supponendo tascuabile la foza di gavità) Pima dell ingesso ta I piatti la goccia è fema lungo y; ta i piatti la goccia subisce la foza del campo ed è acceleata veso l alto. La cinematica ci dice che la goccia si sposta lungo y secondo la legge: L acceleazione lungo y è data da: a y Q m N Kg 1 y( t) ayt m s Lungo x non ci sono foze applicate, dunque la goccia posegue del suo moto ettilineo unifome. Dunque: x( t) v x t La goccia aiva al bodo dei piatti (x=l) all istante t 1 : La deflessione lungo y nell istante di uscita è dunque: L.81 m t1 1 v 18( m/ s) x m 6 y( t1) ayt1 1 1 s 1 s 3 s m

4 Misua della caica elementae Nel 191 il fisico ameicano Robet Milliken utilizzò lo stumento in figua pe misuae la caica elementae. Goccioline d olio vengono intodotte nella camea mediante nebulizzatoe. Pe stofinio alcune gocce si caicano positivamente, alte negativamente pecipitando pe gavità sul piatto P1; attaveso un foo, alcune gocce penetano nella camea isolata delimitata dai piatti P1 e P. A cicuito chiuso si genea un campo elettico unifome ta i piatti conduttoi P1 (caico +) e P (caico -); la gocce caiche negativamente sono attatte veso l alto dal campo e veso il basso dalla gavità: all equilibio ta le due foze la goccia pocede con velocità unifome: ossevando col micoscopio la goccia nella camea si misua la sua velocità e da questa si icava la caica elettica. Misuando la velocità di un gan numeo di gocce, Milliken concluse che tutte le caiche eano sempe multiple di 1.59x1-19, un eccellente appossimazione del valoe esatto di e=1.6x1-19!! Pe questo eccezionale isultato Milliken vinse il Nobel pe la Fisica nel 193

5 Legge di Gauss Si deve al Fisico e Matematico tedesco al Fiedich Gauss la scopeta di una legge che appesenta un fomidabile stumento pe l analisi dei poblemi elettostatici. Johann Fiedich al Gauss (Baunschweig, 3 apile 1777 Gottinga, 3febbaio 1855). Matematico, astonomo e fisico. Definito "il Pincipe dei matematici", è annoveato fa i più impotanti scienziati della stoia avendo contibuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e natuali. Sfuttando la simmetia della distibuzione di caica, la legge di Gauss facilita la fomulazione analitica della elazione ta distibuzioni continue di caica e campi elettici da esse geneati. La legge di Gauss si fonda su un concetto matematico estemamente impotante non soltanto in elettomagnetismo, ma nelle Scienze in geneale: il concetto di FLUSSO di un campo vettoiale

6 Il flusso Immaginiamo un campo di velocità (v), ad esempio la velocità di un flusso d aia (campo di vento); consideiamo una spia quadata di aea A. Quanta aia attavesa la spia nell unità di tempo? (consideiamo v costante) Velocità pependicolae all aea: Velocità paallela all aea: Diezione qualunque della velocità: In geneale: v A v Acos() v A Il FLUSSO d aia è il podotto scalae di v e del vettoe aeale A (pependicolae al piano della spia, di modulo uguale ad A). NB: il flusso cambia segno se il vento invete diezione

7 Flusso del campo elettico Il concetto di flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie può essee applicato a qualsiasi gandezza vettoiale, non solo alla velocità. Pe esempio possiamo applicalo al campo elettico. A La supeficie non deve necessaiamente essee piana: possiamo definie il flusso attaveso una supeficie qualunque sfuttando il calcolo infinitesimale. onsideiamo la supeficie chiusa in figua, e scomponiamola in minuscoli quadatini di aea DA. Pe ogni quadatino si ha: D DA Pe il segno del flusso vale quanto visto nel caso del vento: il flusso è positivo se il campo è uscente dal quadatino, negativo se entante, nullo se paallelo al quadatino

8 Flusso del campo elettico Pe passae dal singolo quadatino alla supeficie totale, si pocede come al solito nel calcolo infinitesimale: si somma su tutti i quadatini facendo tendee a zeo l aea del singolo quadatino. iò coisponde a calcolae l integale di supeficie: da Il cechietto sul simbolo di integale indica che è calcolato su una supeficie chiusa. Dunque il calcolo del flusso ichiede la conoscenza del campo elettico su ogni punto della supeficie consideata. N m Il flusso è una quantità scalae; le sue dimensioni fisiche sono quelle di un campo elettico pe una supeficie, dunque si misua in Newton pe meto quado su oulomb

9 Flusso del campo elettico La densità delle linee di campo elettico che attavesano una supeficie è una misua dell intensità del campo. Ne segue che il flusso è popozionale al numeo di linee di campo pe unità di supeficie. 1 onsideiamo il flusso di un campo elettico unifome attaveso un paallelepipedo. Il campo è pependicolae alle facce 1 e, dunque attaveso le alte facce il flusso è nullo. ssendo unifome, il numeo di linee di flusso attaveso 1 e è lo stesso, ma attaveso 1 le linee di campo sono entanti, mente attaveso le linee sono uscenti, dunque se A è l aea delle facce: Il numeo di linee entanti è uguale al numeo di linee uscenti dal paallelepipedo: il flusso netto attaveso la supeficie chiusa è NULLO 1 A A 1 1

10 Poblema 3.1 alcolae il flusso di un campo elettico unifome attaveso il cilindo; l asse del cilindo è paallelo al campo. Questo caso è del tutto analogo al pecedente: si sfutta la simmetia pe deteminae il flusso totale; non fa alcuna diffeenza il fatto di avee un cilindo invece di un paallelepipedo a A b c A

11 onsideiamo un campo elettico NON UNIFORM a b c Poblema 3. d x xˆ alcolae il flusso attaveso il cubo di lato L= m disposto come in figua a b c d a c da b d y x 3x1 da 3x1 A 36 a Nm 4 Nm da 3x da 3x A 1 da 4 da 16 y da c b Nm 16 Nm y yˆ Nm N x 3x y 4 N

12 Legge di Gauss Il flusso totale del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è uguale alla caica elettica contenuta nella supeficie, divisa pe la costante dielettica del vuoto da ventuali caiche estene alla supeficie, non impota quanto gandi, non danno alcun contibuto al flusso. Non ha impotanza la foma e la posizione della caica intena: conta soltanto la caica totale ed il segno N m q int N m

13 Legge di Gauss onsideiamo un campo di dipolo di caica q, e calcoliamo il flusso attaveso le 4 supefici in figua 1 q q 3 La supeficie 1 contiene la caica positiva del dipolo La supeficie contiene la caica negativa del dipolo La supeficie 3 non ha caica al suo inteno 4 La supeficie 4 acchiude entambe le caiche, pe cui la caica netta è nulla

14 Poblema 3.3 onsideiamo la supeficie S in figua; le aee vedi appesentano alcune distibuzioni di caica; la moneta è neuta. alcoliamo il flusso elettico attaveso S q 1 q4 q q5 3.1n q3 3.1n 5.9n Solo q1, q, q3 contibuiscono al flusso; la moneta essendo neuta non contibuisce, anche se polaizzata pe induzione q1 q q3 5.9n N m 3 N m

15 quivalenza ta leggi di Gauss e di oulomb Le leggi di Gauss e oulomb, essendo entambe valide, debbono potesi icavae l una dall alta. Dimostiamo la loo equivalenza nel caso semplice di una singola caica puntifome acchiusa da una supeficie sfeica. Pe simmetia, il campo elettico è sempe pependicolae alla supeficie ed ha lo stesso modulo su ciascun punto della supeficie. Si può quindi scivee: S da 4 da S q è la supeficie della sfea q S 4 1 q Dalla legge di Gauss, sfuttando la simmetia sfeica, abbiamo icavato la legge di oulomb

16 Legge di Gauss e mateiali conduttoi In un conduttoe caico la caica si idistibuisce sulla supeficie: non ci sono caiche all inteno del mateiale. iò semba agionevole consideando che le caiche, potendo muovesi, tendono ad allontanasi il più possibile. Il teoema di Gauss ci fonisce una pova di questo compotamento. onsideiamo un conduttoe caico appeso ad un filo (dunque isolato); il campo elettico in ogni punto inteno al conduttoe deve essee nullo, altimenti si geneeebbeo coenti pepetue che ovviamente non esistono e violeebbeo la condizione di equilibio elettostatico. Dunque, su qualunque supeficie chiusa contenuta all inteno del mateiale il campo è sempe nullo, e di conseguenza il flusso attaveso la supeficie è nullo. Pe la legge di Gauss, concludiamo che non può esistee caica al suo inteno. Il flusso è diveso da zeo solo se la supeficie di gauss include la supeficie del mateiale.

17 Legge di Gauss e mateiali conduttoi se il conduttoe contiene una cavità all inteno? onsideiamo una supeficie gaussiana intena al mateiale, che acchiuda totalmente la cavità. Pe la legge di Gauss, non può esseci caica intena alla supeficie gaussiana, dunque non può esseci caica sulla supeficie della cavità. La caica può distibuisi soltanto sulla supeficie estena del conduttoe, non su una supeficie intena

18 Poblema 3.4 onsideiamo una sfea conduttiva neuta cava al suo inteno, con una caica negativa posta all inteno della egione cava, spostata di R/ ispetto al cento. Quali caiche compaiono pe induzione nel conduttoe? ome sono distibuite? All equilibio elettostatico il campo all inteno del conduttoe è nullo in tutti i punti; dunque, consideando la supeficie chiusa disegnata in osso, si ha che il flusso attaveso la supeficie deve essee nullo, e nulla deve essee anche la caica intena alla supeficie. Dunque, sulla supeficie intena della cavità deve essee distibuita una caica uguale ed opposta in segno a quella della caica puntuale negativa. La caica positiva geneata pe induzione sulla paete della cavità è disomogenea, poiché si addensa maggiomente vicino alla caica puntuale negativa, spostata latealmente ispetto al cento. Infine, poiché la sfea è neuta, una caica uguale e negativa deve geneasi sulla supeficie estena. Questa è distibuita unifomemente, poiché il campo della caica puntifome negativa e quello della caica indotta positiva si compensano, dunque la caica estena non isente delle alte caiche.

19 Poblema 3.4 osa succede se la pallina ha caica q=-5e, e la sfea conduttiva, invece di essee neuta ha caica Q=-1e? All equilibio elettostatico il campo all inteno del conduttoe è nullo in tutti i punti; dunque, consideando la supeficie chiusa disegnata in osso, si ha che il flusso attaveso la supeficie deve essee nullo, e tale deve essee anche la caica intena alla supeficie. Dunque, sulla supeficie intena della cavità deve essee distibuita una caica uguale ed opposta in segno a quella della caica puntuale negativa. Pe la consevazione della caica, sulla supeficie estena della sfea deve peciò essee distibuita una caica Q=-15e

20 ampo elettico esteno alla supeficie di un conduttoe onsideiamo una supeficie piana (o supponiamo di essee abbastanza vicini alla supeficie da pote tascuae la cuvatua) con densità s unifome. All equilibio elettostatico il campo deve essee pependicolae alla supeficie, altimenti le caiche si muoveebbeo sulla supeficie. alcoliamo il flusso attaveso la supeficie cilindica in Figua, contenente una pozione da di supeficie. Il flusso attaveso il cilindetto è dato inteamente dal flusso attaveso la base estena. Se da è l aea della base: d da dq s da s ampo unifome in modulo, diezione, e veso il fatto che il campo sia unifome NON dipende dalla posizione veticale del cilindetto, né da quanto il cilindetto è lungo, ma solo dalla legge di Gauss e dal fatto che s è unifome. L unica assunzione è che il campo sia pependicolae alla supeficie

21 Legge di Gauss: lamina isolante onsideiamo una lamina isolante di dimensione infinita (ad es. un foglio di plastica) caico positivamente su una faccia, con densità di caica unifome s; si calcoli il campo elettico a distanza dalla supeficie. Pe simmetia il campo deve essee pependicolae alla supeficie. onsideiamo il cilindetto il Figua, e valutiamo il flusso attaveso il cilindetto. Se da è l aea della base cilindica, tascuando lo spessoe del foglio, si ha: d s da da Il fattoe tiene conto del flusso attaveso le due basi del cilindo: su entambe campo e vettoe aeale sono paalleli e concodi s ampo unifome

22 Legge di Gauss: piasta conduttice onsideiamo una piasta conduttiva di dimensione infinita con caica positiva in eccesso. Al solito, il campo inteno al conduttoe è nullo e la caica si idistibuisce sulle supefici. Sia s 1 la densità di caica unifome sulle supefici. Utilizzando Gauss, abbiamo visto in pecedenza che il campo elettico all esteno della supeficie è: s1 Pe s 1 positiva il campo ai due lati della piasta è uscente dalla piasta; pe s 1 negativa il campo è lo stesso in modulo ma entante nella piasta Notiamo la diffeenza col caso del foglio isolante: s Qui la caica è fissa e non si idistibuisce sulle due facce: a paità di caica totale la densità s 1 deve essee metà di quella dell isolante, ed il campo all esteno è lo stesso nei due casi

23 Legge di Gauss: doppia piasta conduttiva onsideiamo due piaste conduttive infinite con densità di caica s uguali in modulo ma opposte in segno, poste una di fonte all alta. Poiché le caiche si attaggono, esse si depositano sulle supefici intene al doppio stato. Siano + ad - i campi elettici dovuti alle due distibuzioni di caica. Assumiamo al solito che i campi siano pependicolai alle piaste. Applichiamo Gauss al cilindetto aancione in figua pe calcolae il campo ta le due piaste. Solo una base del cilindo contibuisce al flusso: d da da dq s da s Applichiamo Gauss al cilindetto azzuo pe calcolae il campo esteno alle piaste. Adesso i campi sono discodi, e la caica intena al cilindo è nulla: d da da ;

24 Legge di Gauss: doppia piasta conduttice Due consideazioni impotanti: Se avessimo applicato Gauss a ciascuna piasta sepaatamente pe ottenee + ed - pe poi sommali, avemmo ottenuto un isultato sbagliato. Infatti si avebbe: s s Pe un conduttoe la distibuzione di caica della doppia piasta NON è uguale alla sovapposizione delle caiche in due piaste isolate. Si potebbe pensae che isultati elativi a piaste o fogli infiniti non siano applicabili nella ealtà. Al contaio, i isultati sono significativi anche pe piaste finite, a patto che i punti in cui si valuta il campo siano molto più lontani dai bodi della piasta che dalla pependicolae alla supeficie, in modo che i cosiddetti effetti di bodo siano tascuabili s D P

25 Poblema 3.6 onsideiamo due lamine isolanti paallele molto estese, con densità s + = 6.8 m/m e s - = -4.3 m/m. alcolae il campo ta le lamine e nelle egioni estene ssendo le lamine isolanti, le caiche sulle piaste sono fisse: si può applicae il pincipio di sovapposizione e calcolae il campo totale come somma dei campi di ciascuna piasta s ( / m ) N m N s ( / m N m 1 ) N Nella egione intena i campi si sommano: Nelle egioni estene si sottaggono: N N

26 Legge di Gauss: simmetia cilindica onsideiamo una bacchetta di plastica (isolante) di lunghezza infinita, con densità di caica lineae unifome l; sfuttiamo la legge di Gauss pe calcolae il campo della bacchetta in un punto. onsideiamo la supeficie cilindica in figua, di altezza h e aggio ; essendo la bacchetta infinita, il campo non può che essee pependicolae alla supeficie del cilindo. Dalla legge di Gauss: da h Questa espessione esta valida anche pe una bacchetta di dimensioni finite, a patto che la lunghezza della bacchetta sia gande ispetto alla distanza, in modo da pote tascuae gli effetti di bodo 1 l lh

27 Poblema 3.5 Fenomeni tempoaleschi sono in gado di caicae il nosto copo di gandi quantità di caica. La foto scattata al Sequoia National Pak (USA) mosta capelli caichi positivamente che si divaicano in modo spettacolae. Pe induzione, la caica negativa alla base di nuvole tempoalesche ha spinto via gli elettoni dal copo della agazza veso tea, lasciandola in stato di caica netta positiva. Questa peicolosa situazione avebbe potuto geneae una scaica di elettoni dall aia cicostante tendente a neutalizzae la caica, poducendo una coente fose motale.

28 Poblema 3.5 Appossimiamo il copo della agazza con un cilindo conduttoe di altezza L=1.8 m e aggio R=.1 m; sia c =.4 MN/ il campo citico necessaio a scatenae il fulmine alcoliamo la caica citica Q di cui deve essee caica la agazza pe podue il fulmine. Poiché L>>R, sfuttiamo la legge di Gauss pe la distibuzione lineae di caica: 1 l 1 c R Q R L La caica coispondente al campo citico è quindi: essendo Q ll MNm Q R L c R Lc.41 k 9 Nm 91 4

29 Legge di Gauss: gusci a simmetia sfeica Utilizziamo la legge di Gauss pe dimostae i due teoemi dei gusci sfeici: Un guscio sfeico unifomemente caico attae o espinge una paticella caica posta al di fuoi del guscio come se tutta la caica fosse concentata nel cento del guscio. Un guscio sfeico unifomemente caico non esecita alcuna foza elettostatica su una paticella caica posta al suo inteno Patiamo dal pesupposto che il campo elettico è adiale in tutti i punti. Applichiamo Gauss alla supeficie S. Si ha: q 1 q da Ovveo il campo esteno al guscio è uguale a quello di una caica puntifome q collocata al cento. Applichiamo Gauss alla supeficie S 1 : 4 1 Ovveo il campo geneato dal guscio al suo inteno è nullo

30 (') Legge di Gauss: sfea isolante con densità adiale ' d' d ' 1 4 dq ' onsideiamo una sfea isolante avente densità di caica 3D adiale, ovveo dipendente soltanto dal modulo di : () Pe calcolae il campo possiamo scompoe la sfea in tanti gusci sottili concentici, ciascuno con la sua densità unifome (), ed applicae a ciascuno di essi le leggi dei gusci alcoliamo il campo nel punto esteno alla sfea caica. onsideiamo il guscio giallo in figua di aggio e spessoe infinitesimo d ; Il campo dovuto a questo guscio sottile è: dq ' ( ')4 ' d' è la caica del guscio Ripetendo il agionamento pe tutti i gusci, e sommando sui gusci si ha: 1 4 q Si itova lo stesso isultato ottenuto pe una sfea di caica omogenea: al di fuoi del guscio non impota se la caica sia omogenea o adiale; in entambe i casi il campo è quello di una caica puntifome collocata nel cento della sfea

31 Legge di Gauss: sfea isolante con densità adiale Stessa sfea con densità di caica adiale () (') ' d' alcoliamo adesso il campo in un punto INTRNO alla sfea. Scomponiamo la sfea in gusci di aggio maggioe e minoe di, ed applichiamo le egole dei gusci: i pimi non contibuiscono, mente i gusci inteni danno 1 4 Ovviamente adesso q non è la caica totale della sfea, ma soltanto quella dei gusci inteni q' Il campo in un punto inteno alla sfea di densità adiale è uguale al campo di una caica puntifome collocata nel cento della sfea, di caica uguale a tutta e solo la caica contenuta all INTRNO della supeficie di aggio.

32 Legge di Gauss: sfea isolante unifomemente caica ssendo la densità costante, si ha: R q Applichiamo il isultato ecedente al caso in cui la densità non sia adiale ma unifome, ovveo costante in tutti i punti della sfea costante Sia q la caica contenuta nella supeficie di aggio, e q la caica totale della sfea. 4 R 3 3 ; q' q' q' q R q R 4 3 Il campo in un punto inteno ad una sfea unifomemente caica è molto diveso da quello esteno, e cesce lineamente con la distanza dall oigine

33 Legge di Gauss: sfea unifomemente caica R isolante unifome Di conto, il campo inteno è molto diveso nei 3 casi: pe un guscio o una sfea conduttiva: pe una sfea unifomemente caica: Sfea unifomemente caica Sfea con simmetia adiale Guscio sfeico Il campo esteno è sempe lo stesso ed uguale a quello di una caica puntifome collocata nel cento della sfea: 1 4 pe la sfea a simmetia adiale il campo inteno è più complesso e dipende dal () valoe della densità R Guscio o conduttoe 1 Q R 4 3 Riepilogando, nei casi di: Q