Interpretazione matematica delle leggi di Keplero. Giuseppe Buccheri

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1 Intepetazione matematica delle leggi di Kepleo. Giuseppe Bucchei Giugno 006

2 Eh, mio eveendo amico, - gli dico io, seduto sul muello, col mento appoggiato al pomo del bastone, ment'egli attende alle sue lattughe. - Non mi pa più tempo, questo, di scive libi, neppue pe ischezo. In consideazione anche della letteatua, come pe tutto il esto, io debbo ipetee il mio solito itonello: Maledetto sia Copenico! [Luigi piandello, Il fu Mattia Pascal ]

3 3 Capitolo Pima di Kepleo. Difesa di un filosofo L uomo modeno ha sempe itenuto l opea di Claudio Tolomeo uno dei più imponenti feni che siano mai stati posti allo sviluppo della conoscenza umana del mondo e dell Univeso. Ciò avviene anche con una ceta dose di ipocisia da pate di un Occidente che sull onda di una tadizione di pensieo che va dalla ivoluzione scientifica ai nosti gioni, si atteggia a gaante di quell appoccio filosofico stoicamente definito scientifico. In ealtà saebbe oppotuno pelomeno inquadae l opea dell astonomo di Alessandia nell ambito della sua attività di matematico puo, e in tal senso l Almagesto appesenta un autentico atto di onestà intellettuale, uno dei più esemplai che la stoia ci abbia offeto. Tolomeo è un attento ossevatoe dei cieli di Alessandia e da essi attinge una gan mole di dati con l unico poposito di elaboae un impianto teoico che, pe quanto complesso, possa descivee in maniea coeente i meccanismi celesti; tale sistema imane valido a lungo e pe 500 anni appesenta il punto di ifeimento indiscusso del mondo filosofico e scientifico. Nel Seicento la nascita del sistema eliocentico mette in cisi la visione tolemaica dell univeso e Tolomeo enta nella schiea di quanti, come Aistotele, sono accusati di ave ostacolate le tappe dello sviluppo scientifico. In ealtà tale opinione, diffusa anco oggi anche nei salotti buoni, nasce da un eata intepetazione, toppo letteale fose, del pensieo del filosofo: Tolomeo è pima di tutto un matematico e quando pala dell Univeso nel suo Almagesto non intende die che esso è popio così ma che, dando pe validi taluni dati empiici, si ottiene un modello matematico che descive con buona appossimazione il mondo fisico. Si tatta di uno dei pimi esempi di teoia fisico-matematica nel senso modeno del temine, e di questo dobbiamo cetamente pendene atto.. Da Copenico Nel 530 l astonomo polacco Nicolò Copenico pubblica, pima di moie, la sua opea pincipale De ivolutionibus obium coelestium dove elaboa un modello fisico in cui pone il sole al cento dell Univeso mente gli alti pianeti, compesa la Tea, uotano intono ad esso. Il sistema solae è ancoa al cento dell Univeso, le obite sono cicolai, i movimenti sono ancoa causati da entità divine e spiituali ma il nuovo modello pemette di semplificae di molto la descizione del moto dei pianeti mantenendo al tempo stesso la coeenza del sistema Tolemaico. Anche Copenico, come Tolomeo, non poteva sapee con cetezza se l Univeso funzionasse veamente così come aveva pensato tant è che, pima di moie, consapevole della difficoltà che la sua teoia avebbe incontato, innega la sua opea dedicandola al Papa.

4 4.3 a Kepleo Le idee di Copenico iniziaono a cicolae come pue ipotesi matematiche senza gosse difficoltà finché Giodano Buno pima e Galileo Galilei dopo, sebbene in modalità del tutto diffeenti, ne diedeo un intepetazione fisica. Da alloa qualunque testo si ispiasse alla teoia copenicana fu messo al bando subendo la censua dell autoità ecclesiastica. E in questo clima di epessione cultuale che si colloca l opea dell astonomo danese Tycho Bahe che accoglie una mole steminata di dati elativi al moto e alla posizione dei pianeti duante l anno. Se Bahe imane palesemente peplesso di fonte ai dati, incapace di cogliee elazioni matematiche in una pletoa di numei e appunti, meglio iesce a fae il suo allievo, il giovane matematico Johannes Keple che alla mote del maesto diviene astonomo di cote. Kepleo esegue un lavoo di analisi e evisione dei dati accolti da Bahe che duò ben ventitè anni, al temine dei quali enunciò nella sua opea pincipale Hamonices mundi le te leggi che egolano il moto dei pianeti. Si tattava al momento di legge empiiche, suggeite dall espeienza, pive di una qualsiasi giustificazione di tipo matematico, ma ciò fu sufficiente peché mettesseo in moto il genio ceativo di una delle più gandi menti matematiche della stoia, quello di Si. Isaac Newton. Le te leggi, così come le aveva enunciate Kepleo, possono essee sintetizzate in questa foma: - i pianeti giano intono al Sole descivendo obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi - il aggio vettoe che congiunge il Sole con il pianeta spazza aee uguali in tempi uguali - il quadato del peiodo di ivoluzione è diettamente popozionale al cubo dell asse maggioe dell obita.

5 5 Capitolo Intepetazione matematica. Il genio di Newton Intono al 666 Newton aveva intuito che tutti i copi dell Univeso si attaggono ta di loo con una foza diettamente popozionale al podotto delle loo masse e all inveso del quadato della distanza. Dopo una pausa duata dieci anni nel coso della quale Newton si dedicò allo studio dell ottica, nel 679 itonò ad occupasi del poblema del moto dei pianeti fote dell ausilio di quel potente stumento matematico che è il calcolo diffeenziale che lui stesso aveva elaboato. Il matematico espose i suoi isultati nella sua opea pincipale Philosophiae Natualis Pincipia Matematica che pubblicò nel 687. Nell opea Newton fomula ta l alto i pincipi della meccanica classica ed è gazie ad essi che iesce ad elaboae una giustificazione matematica delle te leggi che Kepleo aveva enunciato anni addieto.. Alcune consideazioni Quella che ipoteemo qui di seguito non è la dimostazione di Newton. E veo che il matematico inglese si sevì del calcolo diffeenziale pe dimostae le leggi di Kepleo ma lo fece sevendosi di un appaato teoico ancoa udimentale, pe ceti vesi caatteizzato ancoa dall opea di matematici come Isaac Baow, Catesio, Piee de Femat, Chistiaan Huygens e John Wallis che pima di lui si eano già mossi in tal senso. Il calcolo di cui si sevì Newton è ancoa molto lontano dalla veste fomale con cui lo conosciamo noi oggi e pesenta molte difficoltà legate a quell insieme di assiomi e definizioni che costituiscono le fondamenta di ogni teoia matematica 3. In beve: Newton dovette fae i conti con difficoltà matematiche notevoli, pe niente paagonabili a quelle che inconteemo noi ta poco..3 Le leggi di Kepleo A causa della consistenza della dimostazione elativa alla pima legge di Kepleo, notevolmente più complessa delle alte due, affonteemo dappima la dimostazione della seconda e della teza legge pe poi passae alla pima. N.B. In questo lavoo a indicheà il vettoe a. Si pendeanno in consideazione un copo di massa M e uno di massa m; si tascueà ogni effetto dovuto all attazione gavitazionale di alti copi esteni in modo tale che il sistema possa consideasi chiuso e isolato. m m In temini matematici si ha che: F = G i essendo F la foza e i il vesoe diezionale oientato come F. Newton e Leibniz elaboaono nello stesso peiodo e in modo del tutto autonomo il calcolo infinitesimale. 3 Un esempio che può essee ipotato a tal poposito è il seguente: Newton sviluppava in seie senza sapee cosa fosse una seie.

6 6 Seconda legge di Kepleo: il aggio vettoe che congiunge il Sole con il pianeta spazza aee uguali in tempi uguali. Qualitativamente significa che la velocità del pianeta è maggioe quando è più vicino al sole e minoe quando è più lontano. Tale legge è pefettamente equivalente al pincipio di consevazione del momento angolae. Si considei la seguente figua: L aea del tiangolo che si vede in figua è data da tale supeficie viene spazzata dal pianeta si ottiene deivando ispetto al tempo: da dt dθ dt = = ω (.) Il momento angolae del pianeta ispetto al sole è dato da A = θ ; la apidità istantanea con la quale = = ω = ω (.) L mv m m essendo v la componente del vettoe velocità pependicolae a. Eliminando (.) si ottiene: da L = (.3) dt m ω ta la (.) e la Se da è costante come affema la seconda legge di Kepleo, alloa anche L è costante; e ciò è dt coetto se si pate dall ipotesi, come abbiamo fatto noi, che il sistema è chiuso e isolato. La seconda legge di Kepleo è dunque equivalente al pincipio di consevazione del momento angolae che può essee dedotto facilmente dalle leggi della dinamica newtoniana. Ossevazione: l acceleazione cui è sottoposta una cometa quando passa nelle vicinanze del sole è un effetto di questo fenomeno e una dietta conseguenza del pincipio di consevazione del momento angolae.

7 7 Teza legge di Kepleo: il quadato del peiodo di ivoluzione è diettamente popozionale al cubo dell asse maggioe dell obita. Qualitativamente significa che i pianeti maggiomente lontani dal sole impiegheanno un tempo maggioe pe pecoee l obita ispetto a quelli più vicini. Anche questa è una dietta conseguenza delle leggi della dinamica classica. Dimostiamo questa legge pe un obita cicolae; pe la II legge della dinamica si ha che: F = ma (.4) Essendo l asse adiale dietto come la congiungente il pianeta con il sole. Passando in foma scalae e icodando che la foza centipeta 4 è in questo caso fomalmente eguale a quella gavitazionale si ha che: Mm = ω (.5) G m π semplificando la (.5) e icodando che ω = otteniamo T T 4π = GM 3 (.6) che è popio la teza legge di Kepleo. Ossevazioni: si dimosta che l equazione (.6) è valida anche pe obite ellittiche puché si sostituisca a il valoe del semiasse maggioe a. Notiamo anche che conoscendo i valoi di T e di a è possibile isalie alla massa M del copo centale. 4 Dalla dinamica otazionale icodiamo che pe un copo in moto lungo una ciconfeenza di aggio e velocità v si ha mv F = = mω

8 8 Pima legge di Kepleo: i pianeti giano intono al Sole descivendo obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi Si considei la legge di gavitazione univesale: mm F = G i (.7) essendo i il vesoe diezionale. A tale foza è associato un campo gavitazionale adiale dato da: M = G i (.8) Si dimosta facilmente che tale campo è consevativo, vale a die che può essee espesso come gadiente di una ceta funzione V() detta potenziale gavitazionale; in temini matematici si dimosta nella fattispecie che V V V = ( Φ x, Φ y, Φ z ) = V =,, x y z (.9) Patendo dall ipotesi che il campo gavitazionale possa essee espesso come gadiente della funzione potenziale è possibile dimostae che esso è un campo consevativo; si ha che = V (.0) moltiplicando scalamente ambo i membi pe il vettoe spostamento infinitesimo si ottiene ds = V ds (.) Dette A e B le posizioni iniziali e finali dello spostamento, integando pimo e secondo membo si ottiene B [ ] ds = V ( B) V ( A) = V ( A) V ( B) (.) A L integale che si tova a pimo membo è il lavoo svolto dal campo gavitazionale e poiché esso è funzione solo delle posizioni iniziali e finali come si può constatae guadando il secondo membo della (.), possiamo concludee che il campo gavitazionale è consevativo. 5 Poiché il campo gavitazionale è consevativo può essee definita, a meno di una costante, una funzione U() 6 detta enegia potenziale gavitazionale tale che Mm U ( ) = G + c (.3) 5 Un campo di dice consevativo quando il lavoo svolto lungo un ceto pecoso dipende solo dalle posizioni iniziali e finali. 6 Non dimosteemo come si icava l espessione di U() icodando tuttavia al lettoe che può essee dimostata a patie dalla elazione L = U valida pe i campi consevativi.

9 9 dove c è una costante che si pone genealmente uguale a zeo in modo che l enegia potenziale gavitazionale sia nulla all infinito dove quindi assume il valoe massimo. E noto dalla dinamica newtoniana che pe i campi consevativi, nell ambito di sistemi chiusi e isolati vige il pincipio di consevazione dell enegia meccanica E; ciò significa che la somma delle due quantità Mm mv G = E 7 (.4) è costante. Si considei la situazione schematizzata in figua dove consideiamo un sistema di ifeimento polae con l oigine in cui è posta la massa fissa M. In vitù delle condizioni inizialmente ipotizzate è lecito die che la isultante dei momenti tocenti agenti sul sistema dei due copi è nulla, quindi dl = = 0 (.5) ext dt da cui si deduce facilmente che L, il momento angolae del sistema, è costante. d La velocità ha due componenti, una adiale v = vcosα = e una tasvesale dt dϕ vϕ = vsinα = ω = tali che v = v + v ϕ. dt Tenendo conto di tali elazioni la (.4) diventa d dϕ Mm m + = E + G dt dt (.6) Il modulo del momento angolae, costante nel tempo, è dato da dϕ L = mvsinα = m dt (.7) 7 E lo stesso che scivee 0 de dt =

10 0 da cui otteniamo che dϕ L = (.8) dt m Combinando la (.6) con la (.8) si giunge a d L Mm m + E G = + dt m (.9) da cui d E GM L = ± + (.0) dt m m Dividendo oa membo a membo la (.8) con la (.0) si ottiene ϕ ( ), l equazione polae della taiettoia. dϕ L ± = d m E GM L + m m (.) e cioè d ± dϕ = Em GMm + L L (.) Pe ottenee un equazione in foma chiusa della (.) è necessaio integae ambo i membi. A tal poposito opeiamo le seguenti sostituzioni GMm = k Em = a L GMm = km = b L L = u La funzione, scegliendone una qualsiasi ta quella con il meno e quella con il più, si iduce a du dϕ = (.3) a + bu u

11 il secondo è un integale notevole e isulta u b ϕ + c = cos b + 4a (.4) dove la costante c dipende dal valoe iniziale dell anomalia. Risostituendo i valoi e sistemando oppotunamente otteniamo: mk EL = + + cos( ϕ + c) L mk che appesenta l equazione polae di una conica 8 EL avente eccenticità e = + mk Ricavata l equazione polae = f ( ϕ) possiamo passae alla sua analisi. Caso : e = 0 (ciconfeenza) EL + = 0 mk mk E = L L enegia meccanica deve essee negativa e cioè Mm GM mv G < 0; v < La velocità tovata è detta velocità di fuga e appesenta il valoe della velocità di un copo olte il quale esso fugge dal campo gavitazionale di un pianeta di massa M. Condizione necessaia ma non sufficiente affinché l obita sia cicolae è che la velocità sia minoe di quella di fuga. La Tea si muove con una velocità media di cica 3 Km/sec, infeioe a quella di fuga che isulta essee dalla (.8) di cica 5 Km/sec. Si noti come il valoe della velocità di fuga non dipenda dalla massa m del copo. Caso : 0 < e < (ellisse) 0 < + EL < mk E < 0 β 8 L equazione polae di una conica è = + ecosθ. Se 0< e< la conica è un ellisse, se e= è una paabola, se e>, è un ipebole.

12 Anche in questo caso dunque la velocità deve essee infeioe a quella di fuga, mente il valoe di E è più elevato ispetto al caso pecedente. Le comete che costellano la nube di Oot hanno un obita così allungata peché il valoe della loo enegia meccanica è E 0. Caso 3: e = (paabola) E = 0 Quando l enegia cinetica di un copo iesce a bilanciae con una ceta appossimazione la sua enegia potenziale gavitazionale la taiettoia che ne isulta è paabolica. E il caso dei gavi che vengono lanciati sulla Tea. Caso 4: e > (ipebole) E > 0 Quest ultimo caso si veifica quando il copo ha una notevole quantità di enegia e una velocità supeioe a quella di fuga. E il caso dei meteooidi che passano nelle vicinanze della Tea ma che iescono a fuggie dal suo campo d attazione. In tal caso le taiettoie seguite da questi copi sono ami d ipebole..4 Una consideazione sull ultimo caso L esistenza di obite ipeboliche lascia pesuppoe la possibilità di effetti analoghi dovuti ad una foza gavitazionale epulsiva. Aldilà di qualsivoglia speculazione sulle più modene teoie cosmologiche e quantistiche sappiamo che una tale foza epulsiva non esiste. Tuttavia effetti del tutto equivalenti a quelli ipotizzati sopa si possono ossevae nell ambito dell elettomagnetismo: la foza di Coulomb è una legge che dipende, come quella di Newton, dall inveso del quadato della distanza 9 e che, a diffeenza di quest ultima è anche epulsiva. Ruthefod utilizzò questo dato pe calcolae la deflessione delle paticelle alfa quando venivano deviate nel passaggio da una lamina d oo. 9 L espessione fomale della legge di Coulomb è F = 4 πε 0 qq i

13 3 Bibliogafia [] Isaac Newton: Philosophiae Natualis Pincipia Matematica, 687 Testo da cui ho tatto ispiazione [] Le coniche: Pe la pate elativa all equazione polae delle coniche. [3] R. Feynman: La fisica del Feynman Pe la pate elativa alla teoia sui campi consevativi e pe tutto il esto.