ESAME DI STATO 2009 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

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1 4 9 chimede ESME DI STTO 9 SECOND PROV SCRITT PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINMENTO RTICOLO Il candidato isolva uno dei due poblemi e isponda a 5 dei quesiti del questionaio. È assegnato il settoe cicolae O di aggio e ampiezza ( e sono misuati, ispettivamente, in meti e adianti)..si povi che l aea S compesa fa l aco e la coda è espessa, in funzione di, da S ( ) = ( sin ) con [, π]..si studi come vaia S() e se ne disegni il gafico (avendo posto = ). 3.Si fissi l aea del settoe O pai a m. Si tovi il valoe di pe il quale è minimo il peimeto di O e si espima il coispondente O valoe di in gadi sessagesimali (è sufficiente l appossimazione al gado). 4.Sia = e = π 3. PROLEM Il settoe O è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani otogonali ad O sono tutte quadati. Si calcoli il volume di W. PROLEM Nel piano ifeito a coodinate catesiane, otogonali e monometiche, si tacci il gafico G f della funzione f() = log (logaitmo natuale)..sia il punto d intesezione con l asse y della tangente a G f in un suo punto P, sia il punto d intesezione con l asse y della paallela pe P all asse. Si dimosti che, qualsiasi sia P, il segmento ha lunghezza costante. Vale la stessa popietà pe il gafico G g della funzione g() = log a con a eale positivo diveso da?.sia δ l inclinazione sull asse della etta tangente a G g nel suo punto di ascissa. Pe quale valoe della base a è δ = 45? E pe quale valoe di a è δ = 35? 8

2 RTICOLO chimede Sia D la egione del pimo quadante delimitata dagli assi coodinati, da G f e dalla etta di equazione y =. Si calcoli l aea di D. 4.Si calcoli il volume del solido geneato da D nella otazione completa attono alla etta d equazione =. QUESTIONRIO.Si tovi la funzione f() la cui deivata è sen e il cui gafico passa pe il punto (, )..Sono dati gli insiemi = {,, 3, 4} e = {a, b, c}. Ta le possibili applicazioni (o funzioni) di in, ce ne sono di suiettive? Di iniettive? Di biiettive? 3.Pe quale o quali valoi di k la cuva di equazione y = 3 + k ha una sola tangente oizzontale? 4.«Esiste solo un poliedo egolae le cui facce sono esagoni». Si dica se questa affemazione è vea o falsa e si fonisca una esauiente spiegazione della isposta. 5.Si consideino le seguenti espessioni: ; ; ; quali di esse è possibile attibuie un valoe numeico? Si motivi la isposta. 6.Si calcoli: + lim. n n n k 7.Si dimosti l identità con n e k natuali e n > k. k + = k k + 8.Si povi che l equazione: = ha una sola adice compesa fa e. 9.Nei «Discosi e dimostazioni matematiche intono a due nuove scienze», Galileo Galilei descive la costuzione di un solido che chiama scodella consideando una semisfea di aggio e il cilindo ad essa cicoscitto. La scodella si ottiene togliendo la semisfea dal cilindo. D V C 8

3 4 9 chimede Si dimosti, utilizzando il pincipio di Cavaliei, che la scodella ha volume pai al cono di vetice V in figua.. Si detemini il peiodo della funzione f() = cos 5. RTICOLO Duata massima della pova: 6 oe. È consentito l uso della calcolatice non pogammabile. Non è consentito lasciae l Istituto pima che siano tascose 3 oe dalla dettatua del tema. RISOLUZIONE DEL PROLEM. L aea del tiangolo O vale O = sin = sin, mente l aea del settoe cicolae O è settoe O = =. Se = l aea compesa fa l aco e la coda è zeo. Se (, π) l aea compesa fa l aco e la coda (fig. ) è la diffeenza ta l aea del settoe cicolae O e quella del tiangolo O, cioè S ( ) = ( sin ). Se = π l aea compesa fa l aco e la coda (fig. ) è metà dell aea del cechio di aggio e quindi S ( ) = π. O O = π O Figua Figua Figua 3 Se (π, π) l aea compesa fa l aco e la coda (fig. 3) è la somma ta l aea del settoe cicolae O e quella del tiangolo O; ma, essendo negativo il valoe di sin, l aea ichiesta vale ancoa S ( ) = ( sin ). Infine, se = π l aea compesa fa l aco e la coda è l aea del cechio di aggio cioè S() = π. In definitiva, [, π] si ha S ( ) = ( sin ). 83

4 RTICOLO chimede 4 9.Ponendo = la funzione diventa S ( ) = ( sin ) con [, π]. Calcolando i valoi agli estemi del campo di esistenza si itovano i isultati visti al punto pecedente pe via geometica: S() = e S(π) = π. y g() = sin () f() = Figua 4 Pe tovae gli zei della funzione bisogna isolvee l equazione sin =, che y= equivale al sistema Dal gafico delle due funzioni (fig. 4) si capisce y= sin. che nell intevallo [, π] esiste un unico zeo pe =. La condizione di tangenza ta la etta y = e la sinusoide nel punto di ascissa zeo si veifica apidamente con il calcolo della deivata. In ealtà, quindi, lo zeo è contato due volte, il che vuol die che il gafico della funzione S() è tangente all asse nell oigine. Sempe dall ossevazione del gafico delle due funzioni si icava che la funzione S() isulta positiva nell intevallo (, π]. La deivata pima S'( ) = ( cos ) si annulla quando cos =, e quindi pe = e pe = π. In tutti gli alti punti la deivata è positiva (cos < ): la funzione S(), nell intevallo consideato, è dunque monotona non decescente e i punti di coodinate (, ) e (π, π) sono due punti stazionai. La deivata seconda S''( ) = sin si annulla quando sin = e quindi pe =, = π, = π, mente è positiva nell intevallo (, π). Petanto, la funzione S(), nell intevallo consideato, ivolge la concavità veso l alto nell intevallo (, π) e veso il basso nell intevallo (π, π); il punto di coodinate (π, π/) è un flesso a tangente obliqua (fig. 5). 84

5 y π 4 9 chimede RTICOLO π/ F π π Figua 5 3.Nel testo, non è del tutto chiaa la ichiesta elativa al «peimeto di O», peché in genee la paola peimeto è usata di pefeenza con ifeimento ai poligoni. D alta pate, il tiangolo O non è mai menzionato nel testo, pe cui si deve senz alto intendee la lunghezza del contono del settoe O. Sia da cui = Essendo alloa. settoe O = = m, e =, il peimeto del settoe cicolae vale + = + con > π. O = O = La limitazione su deiva dal fatto che il settoe cicolae è contenu- to nel cechio di aggio e quindi l aea del cechio non può essee infeioe a m : da π > si deduce > e quindi > La deivata della funzione pecedente è π. π e si annulla pe = e = ; ma l unica soluzione accettabile è quella positiva; nell intevallo consideato, la deivata isulta negativa nell intevallo e positiva in (, + ). Quindi pe = si ottiene il minimo del peimeto del settoe. Sostituendo in π, = si ottiene = adianti; dalla popozione : = π : 8 si conclude 36 = 5. π 4.Con = e = π/3 consideiamo un sistema di assi catesiani otogonali nel quale il punto O sia l oigine del sistema di assi e un lato del settoe giaccia sul- 85

6 RTICOLO chimede 4 9 l asse come in figua 6. lloa: ha coodinate (, ), l alto lato del settoe appatiene alla etta y= 3, ha coodinate (, 3), l aco del settoe giace sulla semiciconfeenza di equazione y= 4 La ichiesta è simile ad alte compase negli anni scosi: il volume di W si calcola mediante l integale delle aee delle sezioni paallele del solido (che sono quadati), ottenute con piani pependicolai all asse.. 5 y 4 3 = (, 3) y= 3, y= (, ) = (, ) Figua 6 ( ) = + ( ) = VW = ( 3) d + 4 d 3 d 4 d = Il solido si può pensae come la somma di due pati: una piamide a base quadata con il vetice nell oigine (che ha volume ) e un alto 3 h= 3 3 = base solido, il cui volume si calcola solo icoendo al calcolo integale come visto in pecedenza. Il volume del solido W è quindi V W = 8/3. RISOLUZIONE DEL PROLEM Il gafico del logaitmo natuale è ipotato in figua 7..Consideiamo un punto P( P, log P ) appatenente a G f, con P > (fig. 8). 86

7 y y chimede P RTICOLO f() = log() f() = log() Figua 7 Figua 8 Il punto ha coodinate (, log P ). Pe tovae le coodinate del punto deteminiamo l equazione della etta tangente a G f in P: il coefficiente angolae della tangente è f'( P ) = / P e quindi l equazione della etta è y log P = ( P) P cioè y = + log P P Il punto ha coodinate (, log P ) e di conseguenza la lunghezza del segmento è: = y y = log P log P + =, costante al vaiae di P. Se la funzione è g() = log a, con a eale positivo diveso da, il pocedimento è lo stesso, ma i calcoli sono leggemente divesi in quanto la deivata della funzione è g'( ) = log a e. Si tovano i due punti di coodinate (, log a P log a e) e (,log a P ); di conseguenza la lunghezza del segmento diventa: = y y e e che è ancoa costante, una = log a P log a P + log a = log a, volta fissato il valoe a della base, al vaiae di P su G g..die che δ è l inclinazione sull asse della tangente a G g nel suo punto di ascissa significa che δ è l angolo fomato con l asse dalla tangente consideata, cioè che il coefficiente angolae della etta tangente è tg δ. Tale coefficiente angolae vale g'() = log a e. Di conseguenza: se δ = 45 alloa tg δ = e quindi log a e =, cioè a = e; se δ = 35 alloa tg δ = e quindi log a e =, cioè a = /e (in questo secondo caso la funzione g() è decescente). 87

8 RTICOLO chimede È immediato che la etta y = inconta il gafico G f nel punto (e, ). L aea ichiesta, quella della egione coloata in figua 9, può essee calcolata come diffeenza ta l aea del ettangolo di base e ed altezza e l aea sottesa a G f nell intevallo [, e]. y P y 3 e e Figua 9 Figua e d [ ] e = = e ln = e ln e. D Un metodo più apido consiste nel calcolae l aea della egione D' simmetica di D ispetto alla bisettice del I e III quadante (figua ): D'. = e d= e = e 4.Pe calcolae il volume del solido ichiesto, conviene effettuae la taslazione di vettoe v(, ) in modo che l asse di otazione coincida con l asse y ; una taslazione non vaia il volume in quanto le misue come aee e volumi sono invaianti pe isometie. Viene peò modificata l equazione della cuva che diventa y = log ( ). Pe effettuae una otazione intono all asse y conviene tovae la funzione invesa di y = log ( ): da e y = segue = e y +. La egione D sottesa dal gafico di quest ultima funzione nell intevallo [, ] compende anche il quadato di vetici (, ), (, ), (, ), (, ), che non fa pate 88

9 4 9 chimede di D. Il volume ichiesto si detemina quindi sottaendo dal volume del solido ottenuto dalla otazione completa di D attono all asse y, il volume del cilindo di aggio di base ed altezza : RTICOLO V e y y e y e y = π ( + ) π = π ( + + ) y π = π y+ e y d d + e y π = e 5 = π + e. RISPOSTE L QUESTIONRIO.La famiglia delle pimitive di y = sin è sin d= cos + k. Imponendo il passaggio pe il punto di coodinate (, ) si tova + k = e quindi k = 3. La funzione è dunque y = cos + 3..Si veda la soluzione del quesito con lo stesso numeo nel tema PNI. 3.La famiglia è composta da cuve tutte deivabili e quindi continue in R; i punti a tangente «oizzontale» sono i punti nei quali la tangente ha coefficiente angolae uguale a zeo. Si tatta quindi di tovae i punti le cui ascisse annullano la deivata pima f'() = 3 + k + 3. La deivata si annulla una sola volta se e solo se l equazione 3 + k + 3 = ha disciminante nullo, cioè se e solo se Δ/4 = k 9 =, ovveo pe k = 3 e pe k = 3. 4.Si veda la soluzione del quesito con lo stesso numeo nel tema PNI. 5. Il contesto semba essee quello dei numei eali con le usuali opeazioni. La pima espessione è = pe definizione di divisione, in quanto è l unico nume- o che moltiplicato pe dà. ll espessione non si attibuisce un significato numeico: sempe in base alla definizione di divisione, come isultato si dovebbe accettae un qualunque numeo eale ( = pe ogni in R); e questo non è lecito dovendo essee unico il isultato di un opeazione. ll espessione non è possibile dae significato numeico peché non esiste un numeo che moltiplicato pe dia come isultato (il podotto di un qualsiasi numeo pe è sempe ). Pe l ultima espessione infine, in linea di pincipio, non c è un ostacolo che impedisca di attibuie un valoe numeico alla scittua, come è fatto pe a = (pe ogni a ) o pe n = (pe ogni n > ). Ma sono popio queste posizioni 89

10 RTICOLO chimede 4 9 che conducono alle due altenative inconciliabili = e = ; di conseguenza è pefeibile non attibuie alcun significato numeico all espessione. Questa conclusione è coeente con quanto si studia in un alto contesto, quello dell analisi, dove si dice che è una foma indeteminata, il che significa che se si consideano due funzioni f e g tali che lim f( ) = e lim g ( ) =, queste infomazioni non sono sufficienti pe deteminae il lim f( ). Pe una tattazione esauiente della questione si veda: V. Villani, «Cominciamo da Zeo», Pitagoa Editice ologna, pagg Il limite si pesenta nella foma indeteminata Conviene accogliee nel. adicando; tenendo pesente che = si ha: g ( ) + + lim = lim = lim + Visto che si considea il limite pe = e quindi si può suppoe < ; si ha alloa + + lim = lim = lim + =. È inteessante notae che la egola di De L Hospital è inefficace in questo caso, in quanto si ottiene la funzione ecipoca di quella data e, quindi, ancoa la stessa foma indeteminata. 7.Se n e k sono natuali e n > k, si ha n n k nn n k n k k k + = ( )... ( + ) k! k + = n( n )... ( n k+ )( n k) n =. ( k + )! k + 8.La funzione f () = , essendo un polinomio, è deivabile e quindi continua in R e, in paticolae, nell intevallo [, ]. gli estemi dell intevallo assume valoi discodi: infatti: f ( ) = 9 + = 9 e f () = +. Nell intevallo [, ] la funzione ammette dunque almeno uno zeo pe il teoema di esistenza degli zei che affema: «Data una funzione continua in un intevallo chiuso [a, b], se f (a) f (b) < esiste almeno un valoe c (a, b) tale che f (c) =». Inolte, la deivata f'() = isulta positiva pe ogni R. La funzione è dunque monotona cescente in tutto R e quindi nell intevallo [, ]: concludiamo che lo zeo è unico. 9

11 9.Il pincipio di Cavaliei affema che: «Se due solidi si possono collocae in modo tale che tutti i piani paalleli a un piano dato intesechino i due solidi secondo figue di ugual aea, alloa hanno lo stesso volume». Si intesechino scodella e cono con un qualsiasi piano paallelo alla base del D 4 9 V H Figua chimede C L M N RTICOLO cono. Sia VH = la distanza del vetice del cono dal piano; la sezione sulla scodella è una coona cicolae, cioè la diffeenza di due cechi, di aea ispettivamente ( ) π e πhm = π VM VH π. = L aea della coona cicolae è quindi π π( )= π. Lo stesso piano individua sul cono un cechio di aggio HL = VH = (l altezza del cono è uguale al aggio) e quindi di aea π. Poiché tutti i piani paalleli alla base individuano sui due solidi sezioni equivalenti, pe il pincipio di Cavaliei i due solidi sono equivalenti.. Nel testo si chiede il «peiodo» di una data funzione; saebbe stato pefeibile palae di «peiodo minimo», ma non cediamo che questa impecisione possa ave ceato incetezze nei candidati. Il gafico della funzione f () = cos 5 può essee icavato da quello della funzione g() = cos mediante l affinità di equazioni 5. ' = y' = y La tasfomazione, che «agisce» solo sulle ascisse, povoca un cambiamento nel peiodo della funzione (il gafico diventa più «fitto»). Nel nosto caso, essendo π π il peiodo di g() = cos, il peiodo di f( ) = cos 5 è. 5 y g() = cos(5) f() = cos() Figua 9

12 RTICOLO chimede 4 9 In altenativa, senza usae le tasfomazioni, si peviene allo stesso isultato con la definizione di funzione peiodica. La funzione g() = cos ha peiodo π, petanto: cos (5 + kπ) = cos 5. Quindi si ha = cos 5, π cos5 + k cos ( 5 k ) 5 = + π = da cui si deduce che il peiodo di f() = cos 5 è π/5. CONSIDERZIONI E COMMENTI La pova di matematica pe i Licei Scientifici di odinamento non è paticolamente complessa. lcune indicazioni fomulate da associazioni di insegnanti, compase sotto foma di dibattito in liste di discussione come Cabinews o su aticoli di iviste specializzate, sembano essee state ecepite dagli estensoi della pova. Pe esempio, all inteno dei due poblemi le ichieste sono sostanzialmente indipendenti e di difficoltà cescente: queste caatteistiche da un lato assicuano gli alunni e consentono loo di svolgee pati del poblema senza bloccasi all inizio, e dall alto pemettono alle commissioni di individuae meglio conoscenze e competenze e quindi di valutale in modo più peciso. Rimangono invece ancoa disattese le ichieste che tutte le questioni iguadino agomenti dei pogammi vigenti (che pe il Liceo Scientifico di odinamento isalgono al 945) e che i quesiti siano ben fomulati con ichieste non ambigue e non geneiche. In paticolae, non sono esplicitamente pesenti nei pogammi la ichiesta del punto 4 del poblema, quella del punto 4 del poblema, né quella del quesito. Il pimo poblema è ben stuttuato con quesiti di difficoltà cescenti e indipendenti, contiene isultati di contollo (si veda il punto ) e i calcoli non sono paticolamente laboiosi. Tuttavia, alcuni «passaggi» possono avee ceato difficoltà agli studenti: pe esempio nel pimo punto ea necessaio giustificae l intevallo di vaiabilità dell incognita esplicitando almeno due casi, angolo compeso fa e π e angolo compeso fa π e π (la figua inseita nel testo, appesentando solo uno dei casi possibili, può tae in inganno). nche il secondo punto compota, nello studio di funzione, una isoluzione gafica di equazioni e di disequazioni che non è passi didattica consolidata nell indiizzo odinaio, ma è pu veo che si poteva intuie la situazione e pevenie comunque al gafico della funzione analizzando deivata pima e seconda. Il tezo non è banale se si considea il fatto che il testo suggeisce di individuae come incognita il aggio e non l angolo consideato in pecedenza; il quato infine è diventato un «classico», in quanto, nonostante il metodo non sia esplicitamente menzionato nei pogammi, molti insegnanti lo hanno inseito nel loo pecoso didattico visto che sono compasi esecizi simili nei compiti degli ultimi te anni. Il secondo poblema è più impegnativo nei calcoli ispetto al pimo anche se, come il pimo, è composto da quesiti sostanzialmente indipendenti; sicuamente non 9

13 4 9 chimede è banale condue la dimostazione ichiesta nella pima domanda con le coodinate di un punto geneico. I quesiti pesentano minoi difficoltà e un alunno mediamente pepaato ha cetamente potuto tovane più della metà alla sua potata. Il pimo e il tezo quesito, ben fomulati e abbastanza facili, iguadano conoscenze fondamentali del pecoso del quint anno; anche il sesto si ifeisce a un agomento nomalmente svolto, la difficoltà maggioe sta nell ave ben acquisito il concetto di modulo e ave compeso che =. Il quesito 7 pesenta un esecizio di calcolo combinatoio sostanzialmente nozionistico, nel quale, come è capitato in alti anni, si ichiede semplicemente la conoscenza della fomula e non il significato dei coefficienti binomiali. Leggemente più difficili i quesiti 8 e 9 che comunque sono ben fomulati e iguadano agomenti che vengono nomalmente affontati. Facilissimo il quesito, anche se, pe come è fomulato, è poco significativo: si è indotti a pensae che sia necessaio solo applicae la fomula che espime il peiodo della funzione poposta. Un discoso a pate meita il quesito 5, che tanto dibattito ha sollevato anche nella lista Cabinews. Ci sono te questioni che lasciano peplessi: la ichiesta appae ambigua peché non è molto chiao quale isposta ci si attenda; non è chiao nemmeno il contesto di ifeimento: il pogamma appena svolto in quinta può indue a pensae le espessioni come isultati di limiti e non ad opeazioni ta numei eali; infine, la questione posta in meito all espessione è stata fonte di discussione anche ta insegnanti (pae ci siano divese «scuole di pensieo» sulla isposta da dae); questo ende sicuamente il quesito inteessante, ma difficile da valutae. Nel complesso, ispetto al passato, è appesentato in misua maggioe il pogamma del quinto anno e, come detto in pecedenza, la pova semba più in linea con le sollecitazioni che aivano, omai da alcuni anni e da più pati, al Ministeo. Ciò nonostante, l impessione è che anche quest anno la pova abbia messo in difficoltà una pate consideevole di studenti con una pepaazione sulla cata disceta, come ea già stato sottolineato dall indagine UMI-INVLSI elativa all esame del 7. Pe quale motivo i nosti agazzi affontano la pova con un caico d ansia a volte eccessivo, al punto da compomettene la lucidità e il endimento? I fattoi sono molteplici (si veda in poposito l intevento di Luigi Tomasi al Convegno UMI-CIIM a Roma nell ottobe 8), ma fose due sono i pincipali: RTICOLO pogammi obsoleti, con indicazioni geneiche che consentono di inseie nelle pove d esame i più dispaati agomenti e che hanno costetto in questi anni gli insegnanti ad adeguae pesonalmente i pecosi, seguendo i libi di testo e le mode del momento compase nei temi degli anni pecedenti; un quado oaio pe la matematica nel liceo di odinamento molto esiguo, che ischia di indue un insegnamento miato più all addestamento che non all acquisizione di conoscenze e competenze. 93

14 RTICOLO chimede 4 9 Queste difficoltà sono da anni sottolineate da un numeo consideevole di insegnanti, a patie dalla lettea inviata al Ministeo da un guppo di più di insegnanti dopo la pova del 7, pe aivae all ultimo documento dell associazione nimat, sottoscitto da olte 3 insegnanti pima della pova di quest anno. La pova ha ancoa evidenziato come sia necessaio ibadie queste ichieste, pime fa tutte che il Ministeo pubblichi un Syllabus che «indichi con chiaezza quali sono le conoscenze e le competenze matematiche ichieste pe le divese pove d esame» e, in secondo luogo, dia «un esplicita indicazione dei punteggi massimi da attibuie alla singole pati della pova endendo così più oggettiva e confontabile l autonoma valutazione da pate delle Commissioni d esame». Solo in questo modo, in attesa che venga definita una ifoma dei cuicoli, docenti e studenti saanno messi in condizione di aivae con seenità alla pova d esame: i pimi peché consapevoli di ave pogettato un pecoso didattico efficace e i secondi peché possono contae su una pepaazione adeguata che consenta di vivee questa pova non come un «teno al lotto». Nicoletta Nolli Liceo Scientifico G. selli, Cemona nico559@libeo.it 94