2 x = dt. r r. 2 y = dt

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Mariangela Tosi
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1 Vittoio Banfi 1 RICERCHE DI J. BERNOULLI SUI RINCIIA DI NEWTON 1. Intoduzione J. Benoulli ( ) mise in eidenza, all inizio del 700, alcune imecisioni e qualche incomletezza nei inciia di I. Newton. In questo studio si consideano due di queste iceche: la ima iguada il oblema dei due coi (nella sua fomulazione adattata al sistema Soleianeta), la seconda concene lo stesso oblema, ma in esenza di un mezzo esistente con legge di esistenza assegnata.. Soluzione classica del oblema dei due coi atendo dalle te leggi di Keleo e dalle te della dinamica, Newton dedusse la legge di attazione uniesale (bibl. 1): questo è il cosiddetto teoema dietto. Il teoema ineso ossia, atendo dalla legge di attazione, dimostae che la taiettoia è una conica, è essochè consideato oio da Newton, almeno inteetando le sue stesse aole (bibl. 1)... si cous quodis lanetae i centieta quae sit ecioce oozionalis quadato distantiae a cento, simul agitetu; moebitu hoc cous in aliqua sectionum conicaum.... Ad una memoia del 1710 (bibl. ) Benoulli affida la dimostazione del teoema ineso. Essa, in alto modo, è iesa dallo stesso Newton nella seconda edizione dei inciia (1713). Esaminiamo oa questa dimostazione di J. Benoulli. Chiamando con ϕ() la funzione caatteistica della foza centale e con = x + la distanza ta l unità di massa (lanetaia) e l oigine (in cui è osta la massa gaitante M) sciiamo le equazioni diffeenziali di moto (Figua 1) d x = d = ϕ( ) ϕ( ) x (1) 1 Cento di Astodinamica G. Colombo

2 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton θ O x x Figua 1 - Il oblema dei due coi e semlicità nel iano. E stato assunto GM = 1 e successiamente si oà ϕ( ) ma ima Benoulli silua alcune assai imotanti consideazioni analitiche. Moltilicando la ima delle (1) e la seconda e x e sottaendo si ha = 1 ; x d d x d = x d dx = 0, ossia x d dx = c = costante () La () è la legge delle aee, oeo la seconda di Keleo. In coodinate olai d θ = x d dx = c. (3) Ancoa dalle (1), moltilicando la ima e dx abbiamo e la seconda e d e sommando, d x dx d d ϕ( ) + = x dx + d (4) 140

3 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton La (4) è subito integata; infatti dx = + d d h = ϕ( ) +, (5) essendo d = d (x + ) = x dx + d e h la costante di integazione. La () e la (5) sono noti oggi come gli integali imi del oblema dei due coi: a) conseazione del momento angolae (e unità di massa), b) conseazione dell enegia totale. I concetti di funzione otenziale, camo conseatio e elatii teoemi oiamente non sono ancoa noti a Benoulli. Tutto ciò saà siluato, nella seconda metà del 700, da Lagange e Lalace (bibl. 3). Cionondimeno Benoulli, atendo dalla (5), intoduce la funzione U così: U h con U d = + = ϕ( ). (6) ima di oe ϕ( ) = 1, Benoulli silua alcune dimostazioni geometiche in efetto stile newtoniano. Esaminiamo la Figua, che si uò consideae identica alla Figua 1, solo un o iù dettagliata. ds dθ dθ d θ ψ o O Figua - Ancoa il oblema dei due coi: la figua è iù dettagliata Sia la lunghezza del segmento O o, eendicolae alla tangente alla taiettoia in. Inolte dθ il aggio ettoe è dato da = O = ; è oi facile edee che ds = sinψ sinψ. 141

4 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton Eliminando sinψ dalle due ecedenti fomule otteniamo dθ ds =. (7) oichè ds = d + dθ, aemo dalla (7) 1 = d + dθ dθ. (8) e la (7) e la (3) ds = d θ = c, oeo ds dθ = = = c. Quest ultima, osta nella (6), oge c ( U h) = +. (9) La (9) è la fomula chiae e la dimostazione. Infatti dalla (8) abbiamo = + 4 d dθ. (10) Con la aiabile ausiliaia u d d 1 du = dθ dθ u 1 = u dθ e quindi dalla (10) 1 = u + du dθ = 1 icaiamo quest ultima, sostituita nella (9), oge: ; 14

5 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton c u + du = + dθ ( U h). Risolendo la ecedente isetto a du dθ otteniamo dθ c = du U + h c u ( ). (11) Il oblema è otato infine alle quadatue. Dalla (11) abbiamo infatti θ = c du ( ) U + h c u ; (1) a questo unto Benoulli one U = 1 e dimosta che le obite sono sezioni coniche, il tio secifico di conica essendo fissato dalla costante h. A conclusione di questo imo agomento si uò affemae che, olte ad ae esentato la dimostazione inesa, lo studio di Benoulli è imotante e le seguenti agioni. Cetamente il teoema di conseazione dell enegia totale e la distinzione ta i due genei di enegia (cinetica e di osizione) sono imliciti nei contenuti dei inciia (bibl. 4), eò Benoulli illusta questa distinzione iù chiaamente, e in modo iù utile e essee siluata successiamente dalla meccanica analitica di Lagange. 3. Moto etubato in un netto esistente Questo agomento è affontato nei inciia nel Lib. II, Sect. IV, o. XV e XVI, come l effetto della esistenza dell aia sulla ogessia caduta del coo secondaio eso il coo centale (o imaio). In questo aagafo si considea solo il imo aoccio di Benoulli al oblema. Ciò consente di intodue la ben nota sua equazione diffeenziale del imo odine. Egli assume la foza etubatice (Figua 3) agente lungo la tangente alla taiettoia del unto mobile. Inolte la esistenza (modulo della ecedente foza) è eslicitata mediante la legge R = a n, con a > 0 ed n esonente inteo. 143

6 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton foza etubatice R foza newtoniana O x Figua 3 - Elementi geometici e dinamici elatii al moto keleiano etubato Ancoa indicando con ψ l angolo ta il aggio ettoe e la tangente alla taiettoia in (Figua 3) abbiamo: ψ d comonente sulla tangente = ϕ( ) cos ψ a n (13) comonente sulla nomale = ϕ( ) sinψ, ρ con ρ = aggio di cuatua dell obita in. D alta ate (Figua ) d cosψ = cot ψ = dθ sinψ d e quindi ϕ( ) cos ψ ψ ( ) ψ dθ sin d = = ρ dθ. Sostituendo la ecedente nella (13) icaiamo d d = ρ dθ a n, (14) che è la celebe equazione diffeenziale di Benoulli (bibl. 5). e ottenene la foma odiena basta modificae la (14) moltilicandola e ds ; aemo d 1 d ds n + + a ds = 0 (15) ρ dθ Osseiamo che, suosta la taiettoia fonita dalla elazione θ = θ( ), sia 144

7 Vittoio Banfi Riceche di J. Benoulli sui inciia di Newton ds = / dθ d d sia ρ, sono entambe funzioni della sola. Alloa oniamo B( ) 1 ds 1 ds = d = A( ) a ρ dθ e la (15) dienta d n + A( ) d + B( ) d = 0. Finalmente, moltilicando la ecedente e d deduciamo d d + A = B n 1 ( ) ( ), (16) che è la foma attuale dell equazione diffeenziale in discoso (bibl. 6). Nella memoia in ecedenza citata (bibl. 5) J. Benoulli esone il ocedimento e ottenee la comleta soluzione. BIBLIOGRAFIA 1. Newton, I. (1686), hilosohiae Natualis inciia Mathematica, S. es, Reg, Soc. aeses.. Benoulli, J. (1710), Mem. Acad. ais, Segè, E. (1996), esonaggi e scoete della Fisica Vol. I,. 154, Mondadoi, Milano. 4. Chandasekha, S. (1995), Newton s inciia fo the common eade, , Claendon ess, Oxfod. 5. Benoulli, J. (1697), Acta Euditoum De conoidibus et de shaeoidibus quaedam solutio analtica, Ince, E.L. (1969), Integazione delle equazioni diffeenziali odinaie,. 7, Cemonese, Roma. 145

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