1. SATELLITI ARTIFICIALI

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1 Calo Sintini Satelliti atificiali SATELLITI ARTIFICIALI Calo Sintini. IL MOTO DEI SATELLITI Il 4 ottobe 957 venne lanciato il imo satellite atificiale intono alla tea, ebbe inizio l'ea saziale e l'oinione ubblica cominciò a conoscee dai mass media i concetti fondamentali della navigazione saziale ed i temini ad essa elativi, come velocità di fuga, obita teeste, satellite geostazionaio, ecc. Quanti eò conoscono ealmente il significato fisico e matematico che si nasconde dieto tali temini? Suoniamo di tovaci su un'alta montagna come mostato nella figua a fianco, e di lanciae un coo in diezione oizzontale veso la ianua sottostante. Effettuando divesi lanci a velocità cescente otemo notae che il coo cadà seme iù lontano secondo un'obita che saiamo essee una aabola con asse veticale e concavità veso il basso. Con maggioe ecisione ossiamo affemae (e lo oveemo), che si tatta in ealtà di una ellisse fotemente eccentica: lo scostamento dalla aabola, inizialmente insensibile, diveà seme iù evidente man mano che la gittata aumenta e non saà iù ossibile itenee aallele fa loo le veticali nel unto di atenza e nel unto di aivo. La taiettoia ellittica ha un fuoco nel cento della tea e, se si scavasse una galleia il coo desciveebbe l'intea ellisse e toneebbe nel unto di atenza con la stessa velocità iniziale con cui ea atito (natualmente tascuando l'attito con l'aia). Pe velocità iniziali seme iù elevate la taiettoia si fa meno eccentica fino a quando, con una velocità di cica Km/h il coo ecoeebbe una taiettoia efettamente cicolae mantenendosi seme alla stessa quota costante ed effettuando un gio comleto intono alla tea in cica un'oa e mezza. Pe velocità maggioi il coo desciveà seme una ellisse, ma la tea si toveà nell'alto fuoco: in alte aole con una velocità iniziale minoe di quella caatteistica della ciconfeenza (8.000 Km/h) il unto di atenza del coo costituià il eigeo dell'obita, mente e velocità maggioi il unto di atenza costituià l'aogeo.

2 Calo Sintini Satelliti atificiali ENERGIA POTENZIALE IN UN PUNTO gli assi coodinati. L'enegia otenziale gavitazionale in funzione della distanza x dal coo di massa M che genea il camo, è Mm U G X Infatti l'enegia otenziale aumenta all'aumentae di x, deve essee nulla all'infinito, e eciò in tutti i unti intemedi deve avee valoe negativo. La funzione aesenta una iebole equilatea con gli asintoti coincidenti con 3. LA TRAIETTORIA DI UN SATELLITE diezione tasvesale sono d (dove V V ϕ d V cosα V senα Si abbia un ianeta di massa M ed un satellite di massa m con velocità V, ad una distanza dal ianeta. Pe il inciio di consevazione dell'enegia, la somma della sua enegia cinetica e della sua enegia otenziale è costante Mm mv G E Le due comonenti della velocità V lungo la diezione adiale e lungo la è una comune velocità mente è una velocità angolae). Sostituendo nella elazione ecedente, si ha

3 Calo Sintini Satelliti atificiali ( + V ) m V Mm G E d Mm m + E+ G Ma il momento della quantità di moto del satellite è q mv m da cui si icava che ϕ e sostituendo si ottiene d Mm m + E+ G m d Mm m E+ G m d ± ϕ E m + m Questa equazione diffeenziale si uò integae facilmente e seaazione di vaiabili, e si ottiene la vaiazione di in funzione di t, cioè la legge oaia del moto, ma noi intendiamo invece icavae la taiettoia del satellite, non la legge oaia. Dalle due elazioni m d E ± + m m occoe quindi eliminae il aameto t. Si dovà ottenee una funzione del tio ϕ f (). Dividendo membo a membo e semlificando, si ottiene d d In questa esessione oniamo oa ± Em m + Em ± m E + Em b e a Em m E m 3

4 Calo Sintini Satelliti atificiali dove a e b hanno entambe le dimensioni di una lunghezza e sono entambe ositive (come vedemo in seguito aesentano i semiassi della ellisse descitta dal satellite). Sostituendo si ha d ± a b + b d ± b a b + Integiamo i due membi con te sostituzioni successive: SOSTITUZIONE Ponendo t / si ha /d -/ d - e sostituendo nella (0) otteniamo b SOSTITUZIONE + at b t Ponendo s b t-a si ha t (s + a)/b ds/b e sostituendo si ottiene ds a b s 3 SOSTITUZIONE s Ponendo z a b e sostituendo si ottiene infine a dz b che è un integale immediato e fonisce a z b (a b ϕ accos z+ ϕ ) 0 dz z dove la costante di integazione φ 0 uò essee osta uguale a zeo con una ootuna scelta della misua dell'angolo φ, e il doio segno saisce eché cosz cos(-z). Si ha quindi, sostituendo al contaio fino a tonae alla vaiabile iniziale z b a s b t a ϕ accos z accos accos accos a b a b a b 4

5 Calo Sintini Satelliti atificiali cosϕ b a a b b a ϕ accos a b che è aunto la funzione del tio ϕ f () che volevamo ottenee. 4. L'ELLISSE IN COORDINATE POLARI Data una ellisse con semiassi a e b e semi distanza focale c a b immaginiamo che un ianeta, e esemio la tea, si tovi nel fuoco F e un satellite si tovi invece in un geneico unto P dell'ellisse. Si ha (alicando il teoema di Canot) Ma deve anche essee FP FP a F P F P + 4c 4ccosϕ + e eciò + + 4c 4c cosϕ a isolando il adicale, elevando al quadato e semlificando si ottiene b a c cosϕ che è facile constatae come sia efettamente identica alla ultima elazione inconiciata del aagafo ecedente. Quindi la taiettoia descitta da un satellite avente velocità V è una ellisse i cui aameti a b e c ossono essee calcolati icoendo alle fomule ecedenti. 5

6 Calo Sintini Satelliti atificiali Domandiamoci eò come avemmo dovuto cambiae il ocedimento se il ianeta si fosse tovato nel fuoco F invece che nel fuoco F. Dalla figua si uò vedee che con un ocedimento analogo si ottiene F P + 4c 4c cos( π ϕ) + 4c + 4c cosϕ F P e l'equazione dell'ellisse diviene in questo caso con un solo segno diveso. b a+ c cosϕ 5. CONCLUSIONI SULLA TRAIETTORIA Quindi un coo nello sazio, avente massa m e velocità V isetto ad un ianeta di massa M, descive una taiettoia data dalla equazione olae a(ε ) ε cosϕ dove e c/a è l'eccenticità (< e l'ellisse, > e l'iebole) e l'angolo ϕ non va confuso con l'angolo α (vedi figua seguente). In alte aole la taiettoia è seme una ellisse o una iebole a seconda che l'enegia totale E (esessa dalla fomula vista all'inizio) sia negativa o ositiva: nel imo caso il satellite è igionieo del camo gavitazionale del ianeta, e descive ciclicamente seme la stessa taiettoia; nel secondo caso invece il camo gavitazionale del ianeta iesce soltanto a deviae il satellite dalla sua diezione iniziale. Nel caso che tale enegia E sia nulla, dalla esessione icavata dal inciio di consevazione dell'enegia si ottiene (nel caso che il ianeta sia la tea e quindi sostituendo ad M la massa della tea) 6,67 0 5,98 0 6,37 0 V m sec 4087 km h che aesenta la velocità di fuga, cioè la velocità che deve avee un azzo eché iesca a libeasi dal camo gavitazionale teeste: e velocità minoi esso diveà 6

7 Calo Sintini Satelliti atificiali un satellite teeste, mente e velocità maggioi esso si edeà nello sazio lungo una taiettoia iebolica. Questa velocità di fuga ende anche il nome di PRIMA VELOCITA' DI FUGA. Se nella fomula oniamo invece la massa del sole, si ottiene la SECONDA VELOCITA' DI FUGA, cioè la velocità che deve avee il azzo e sfuggie al camo gavitazionale del sistema solae. Infine (sostituendo ad M la massa dell'intea galassia cui aateniamo), si uò deteminae la TERZA VELOCITA' DI FUGA, necessaia e sfuggie al camo gavitazionale della galassia. 6. SATELLITI GEOSTAZIONARI Con ifeimento alla figua a fianco, suoniamo che la velocità V sia soltanto tasvesale, cioè suoniamo che α 90 (saà quindi V 0 e V f V). La foza di gavità agente sul satellite a causa dell'attazione del ianeta, deve essee esattamente uguale e contaia alla foza centifuga dovuta alla otazione del satellite. Quindi onendo: Mm G (+ h) V V m + h + h si ottiene, e vai valoi della quota h h 0 h 000 Km h 3000 Km G 6,67 0 M 6,98 0 6, V Km/h V Km/h V Km/h Con tali velocità il satellite descive una efetta ciconfeenza. Si uò notae che all'aumentae della quota la velocità diminuisce. Se calcoliamo anche il eiodo T in funzione della quota h, si icava il secondo gafico della figua seguente, in cui il eiodo assa dal valoe iniziale di oa e 5 minuti nel caso in cui h0 (valoe teoico che non tiene conto della esenza fenante dell'atmosfea), a valoi seme iù gandi. 7

8 Calo Sintini Satelliti atificiali La fomula con cui si uò calcolae il eiodo in funzione della quota si icava dalla fomula inconiciata Sostituendo nel imo membo la fomula che esime la velocità tangenziale nel moto cicolae unifome, si ha 4π (+ h) T cioè, semlificando 4 π T (+ + h h) 3 V + h che aesenta anche la TERZA LEGGE DI KEPLERO. Risolvendo isetto a T si ottiene e isolvendo invece isetto ad h si ha (+ h) T π T 4π h 3 Ponendo T 4 oe sec si ottiene h 4000 Km. Quindi un satellite con questa velocità tasvesale (α 0) si muove lungo una efetta ciconfeenza e comie un gio inteo in un giono esatto. Se oi la velocità tasvesale è aallela e concode alla velocità della tea, esso sembeà immobile isetto alla tea stessa ed occueà seme la stessa osizione nel cielo. I satelliti geostazionai usati e le comunicazioni intecontinentali hanno aunto tale caatteistica. 3 8