La legge di Planck e l ipotesi dei quanti di luce Bose (Università di Dacca, India) Lo spazio delle fasi di un quanto di luce relativo ad un certo

Transcript

1 1 La legge di Planck e l ipotei dei quanti di luce Boe (Univeità di Dacca, India) (pevenuto il luglio 194) Lo pazio delle fai di un quanto di luce elativo ad un ceto volume viene divio in "celle" della dimenione h. Il numeo delle poibili ipatizioni u quete celle dei quanti di luce di una adiazione definita macocopicamente dà l entopia e quindi tutte le popietà temodinamiche della adiazione. La fomula di Planck pe la ipatizione dell enegia nella adiazione del copo neo cotituice il punto di patenza pe la teoia dei quanti, che è tata viluppata negli ultimi 0 anni e che ha potato icchi futti in tutti i campi della fiica. Dalla pubblicazione nell anno 1901 ono tate peentati molti modi di deivazione di queta legge. Si è iconociuto che le ipotei fondamentali della teoia dei quanti ono incompatibili con le leggi dell elettodinamica claica. Tutte le deivazioni pecedenti fanno uo della elazione 8 d d = E, c cioè della elazione ta la denità di adiazione e l enegia media di un ocillatoe, e fanno aunzioni ul numeo dei gadi di libetà dell etee, che inteviene nell equazione pecedente (pimo fattoe del econdo membo). Queto fattoe può tuttavia eee deunto olo dalla teoia claica. Queto è il punto inoddifacente in tutte le deivazioni, e non c è da tupii che vengano compiuti empe nuovi tentativi di dae una deivazione che ia eente da queto difetto logico. Una deivazione notevolmente elegante è tata data da Eintein. Queti ha iconociuto il difetto logico di tutte le deivazioni fatte finoa ed ha cecato di dedue la fomula indipendentemente dalla teoia claica. Patendo da aunzioni aai emplici ullo cambio d enegia ta molecole e campo di 1 Zeitch. f. Phy. 6, 178 (194). 1

2 adiazione, egli tova la elazione m n =. exp[( - )/kt]-1 m n Tuttavia, pe potae queta fomula in accodo con quella di Planck egli deve fa uo della legge dello potamento di Wien e del pincipio di coipondenza di Boh. La legge di Wien è fondata ulla teoia claica, ed il pincipio di coipondenza aume che la teoia dei quanti coincida con la teoia claica in ceti cai limite. In tutti i cai le deivazioni non mi paiono abbatanza coette dal punto di vita logico. Mi pae invece che l ipotei dei quanti di luce aieme alla meccanica tatitica (come è tata adattata da Planck ai biogni della teoia dei quanti) iano ufficienti pe la deivazione della legge indipendentemente dalla teoia claica. Delineeò in beve il metodo in quanto egue. La adiazione ia acchiua nel volume V e ia data la ua enegia totale E. Siano dati divei tipi di quanti di numeo ipettivamente N e d enegia h ( da 0 a ). L enegia totale E è quindi E = N h = V d. (1) La oluzione del poblema ichiede quindi la deteminazione degli N che deteminano. Se noi poiamo dae la pobabilità pe ogni ipatizione caatteizzata da N abitai, la oluzione è deteminata dalla condizione che queta pobabilità debba eee maima mantenendo veificata la condizione aggiuntiva (1). Cecheemo oa queta pobabilità. Il quanto ha un momento dell ammontae h /c nella diezione della ua popagazione. Lo tato itantaneo del quanto aà caatteizzato dalle ue coodinate x, y, z e dai coipondenti momenti p, p, p ; quete ei quantità poono eee intepex y z tate come coodinate di un punto in uno pazio eadimenionale, pe il quale abbiamo la elazione p + p + p = (h /c), x y z econdo la quale il punto uddetto è cotetto a etae u una

3 upeficie cilindica deteminata dalla fequenza del quanto. All intevallo di fequenza d appatiene in queto eno il volume di pazio delle fai h dxdydzdp dp dp = V 4 (h /c) hd /c = 4 Vd. x y z Se noi uddividiamo l inteo volume dello pazio delle fai in celle di volume h, all intevallo di fequenza d appatengono 4 V( /c )d celle. Riguado al modo di queta uddiviione non i può die niente di pecio. Tuttavia il numeo totale delle celle dev ee vito come il numeo delle poibili configuazioni di un quanto nel volume dato. Pe tene conto del fatto della polaizzazione appae offii la moltiplicazione di queto numeo pe, di modo che pe il numeo delle celle appatenenti a d otteniamo 8 V d /c. E facile oa calcolae la pobabilità temodinamica di uno tato (definito macocopicamente). Sia N il numeo dei quanti che appatengono all intevallo di fequenza d. In quanti modi poono eee ditibuiti ta le celle che appatengono a d? Sia p il numeo delle celle vuote, p il numeo di quelle che contengono un quanto, p il numeo delle celle che contengono due quanti, eccetea. Il numeo delle poibili ipatizioni è alloa c e dove A!, dove A = 8 d /c, p!p!... N = 0 p +1 p + p... è il numeo dei quanti che appatengono a d. La pobabilità dello tato definito da tutti i p A!. p!p!... è evidentemente Tenendo conto del fatto che poiamo tattae i p come numei gandi, abbiamo dove lgw = A lga - p lgp,

4 A = p. Quet epeione dev eee un maimo otto la condizione aggiuntiva E = N h ; N = p. L eecuzione della vaiazione poduce le condizioni p (1+lgp )=0, N h =0 Da qui egue p =0 N = p. 1 p (1+lgp + )+ h p = 0. Petanto i ottiene immediatamente Ma poichè p = B exp(-h / ). iulta A = B exp(-h / ) = B 1-exp(-h / ), -1 B = A 1-exp(-h / ). Si ha inolte N = p = A 1-exp(-h / ) exp(-h / ) A exp(-h / ) =. 1- exp(-h / ) Tenendo conto del valoe u tovato di A è quindi 8 h d exp(-h / ) E = V. c 1- exp(-h / ) Utilizzando il iultato pecedente i tova inolte 4

5 E S = k - A lg 1- exp(h / ), dalla quale, tenendo conto che S/ E=1/T, egue che =kt. Se i otituice queto nell equazione pecedente pe E i ottiene 8 h 1 E = V d, c exp(h /kt)-1 equazione equivalente alla fomula di Planck. (tadotto da A. Eintein.) Nota del taduttoe. Secondo la mia opinione la deivazione di Boe della fomula di Planck ignifica un pogeo impotante. Il metodo qui utilizzato poduce anche la teoia quantitica dei ga ideali, come epoò altove. 5