C3. Rette parallele e perpendicolari

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1 C. Rette paallele e pependicolai C.1 Rette pependicolai Due ette ed ono dette pependicolai e incociandoi fomano quatto angoli conguenti. Si cive. C. Teoema: ette pependicolai fomano angoli etti Due ette pependicolai fomano 4 angoli etti. Ipotei: due ette ono pependicolai. Tei: gli angoli che fomano incociandoi ono etti. Dimotazione: due ette pependicolai fomano 4 angoli uguali. La omma di queti quatto angoli uguali è un angolo gio. Un angolo gio divio in quatto pati uguali foma 4 angoli etti. Come i fa a capie e due ette ono pependicolai? Si contolla l ampiezza degli angoli che ee fomano incociandoi. Se fomano 4 angoli etti ono pependicolai. In ealtà bata che uno dei quatto ia etto, e uno lo è lo ono anche gli alti. C. Cotuzione della pependicolae oblema: data una etta e un punto tovae la pependicolae alla etta paante pe il punto. Metodo I: con iga e quadetta. Si fia la iga ulla etta e i fa coee la quada ulla iga fino a fae paae la quada pe il punto. Fig. C.1 Cotuzione della pependicolae con iga e quadetta. Metodo II: con iga e compao. Si taccia la ciconfeenza paante pe che inteeca la etta in e B. Si taccia la ciconfeenza di cento e aggio B. Si taccia la ciconfeenza di cento B e aggio B. Le ciconfeenze di centi e B e aggio B i inteecano in C e D. La etta paante pe C e D paa anche pe ed è la etta paante pe pependicolae a. Fig. C. Cotuzione della etta paante pe e pependicolae a. Teoia C-1

2 Metodo III: contando i quadetti nel foglio a quadetti. Queto metodo veà appofondito in eguito in geometia analitica. Il pocedimento vito pemette di tacciae la etta pependicolae alla etta paante pe un punto, ma e i vuole tacciae la pependicolae a una etta paante pe un punto il pocedimento è lo teo. C.4 oiezione e ditanza Fig. C. Cotuzione della pependicolae contando i quadetti. Data una etta e un punto i taccia la pependicolae alla etta paante pe il punto. Il punto d inteezione Q ta ed è detto poiezione di u, o anche piede della pependicolae. Il egmento Q è detto ditanza di da. La ditanza di un punto da una etta è dunque la ditanza ta il punto e il piede della pependicolae. Q Fig. C.4 Cotuzione della poiezione di u. Il pocedimento appena vito pemette di tovae la poiezione di un punto u una etta. E poibile deteminae anche la poiezione di un egmento u una etta con il pocedimento eguente. ocedimento pe deteminae la poiezione di un egmento B u una etta : Si taccia la etta pependicolae a paante pe. Si taccia la etta t pependicolae a paante pe B. Si tova il punto inteezione di ed. Si tova il punto B inteezione di e t. Il egmento B è detto poiezione otogonale del egmento B ulla etta. B B t Fig. C.5 Cotuzione della poiezione del egmento B u. Teoia C-

3 C.5 Rette incidenti, coincidenti e paallele Le ette che hanno un olo punto in comune ono dette incidenti. Le ette che hanno tutti i punti in comune (cioè ono ovappote) ono dette coincidenti. Due ette ed ono dette paallele e non hanno punti di inteezione oppue coincidono. Si cive \\. ette coincidenti ette enza punti in comune Fig. C.6 ette paallele Rette incidenti, coincidenti e paallele. C.6 Tacciae ette paallele a una etta data Come i fa a tacciae una etta paallela a una etta data paante pe un punto eteno ad ea? Metodo I: con iga e quadetta. Si fia un lato della quadetta ulla etta e l alto ulla iga. Tenendo fia la iga i fa coee la quada fino a fala paae pe il punto eteno. Il quinto potulato di Euclide affema popio che pe un punto qualiai del piano è poibile tacciae una ed una ola etta paallela alla etta data paante pe il punto. Fig. C.7 Tacciae con iga e quada una etta paallela ad una etta data paante pe un punto eteno ad ea. Metodo II: con iga e compao. ima pate: i taccia la etta pependicolae a e paante pe, come vito in C4., figua C4.. Seconda pate: una volta cotuita la etta pependicolae a paante pe i poegue coì Si taccia una ciconfeenza di cento e aggio qualiai, ea inteeca in F e G. Si taccia una ciconfeenza di cento F e aggio a piacee ma maggioe di F. Si taccia una ciconfeenza di cento G e aggio a piacee ma maggioe di G. Le due ciconfeenze di centi F e G i inteecano in H e I. La etta paante pe I e H paa anche pe ed è la etta t paante pe paallela a. Fig. C.8 Cotuzione della etta t paante pe e paallela a. Teoia C-

4 Metodo III: contando i quadetti Queto metodo veà appofondito in eguito in geometia analitica. Fig. C.9 Cotuzione della paallela contando i quadetti. Si noti che nella cotuzione pecedente i è dato pe contato che due ette pependicolai alla tea etta iano paallele ta loo. Ciò è veo pe il teoema delle due pependicolai che veà dimotato in C.10. C.7 aallelimo come elazione di equivalenza Teoema Due ette ditinte paallele alla tea etta ono paallele ta loo. IOTESI: due ette ed ono paallele alla etta t. TESI: le ette e ed ono paallele. DIMOSTRZIONE Si upponga, pe audo, che ed i incontino in un punto. In tal cao eiteebbeo due ette ed paanti pe e paallele alla etta t. Ciò è in contaddizione con il quinto potulato di Euclide, che affema che eite una unica etta paante pe e paallela a t. Non è dunque poibile che eita un punto nel quale ed i incontano, e petanto ed ono paallele. Dal teoema pecedente i ha che tutte le ette paallele a una etta data ono paallele ta loo. Da ciò i deduce che il paallelimo è una elazione di equivalenza. Infatti valgono le popietà: o RIFLESSIV ogni etta è paallela a é tea, poiché è coincidente a é tea. o SIMMETRIC e la etta è paallela alla etta alloa la etta è paallela alla etta. o TRNSITIV e è paallela a ed è paallela a t alloa la etta è paallela a t. Valgono le te popietà ichiete quindi è una elazione di equivalenza. L inieme di tutte le ette paanti pe un punto è detto facio popio. Fig. C.10 Facio popio. L inieme di tutte le ette paallele a una etta data è detto facio impopio. Fig. C.11 Facio impopio. Teoia C-4

5 C.8 ngoli fomati da due ette tagliate da una taveale Se i pendono due ette non coincidenti ed e una etta t che le inteeca i ottengono angoli che vengono chiamati con dei nomi paticolai. Si indicano in figua C.1 gli angoli con dei numei pe comodità di notazione. t Fig. C.1 Due ette tagliate da una taveale. Sono detti angoli alteni inteni le coppie di angoli: 4 e 6; e 5. Sono detti angoli alteni eteni le coppie di angoli: 1 e 7; e 8. Sono detti angoli coipondenti le coppie di angoli: 1 e 5; e 6; e 7; 4 e 8. Sono detti angoli coniugati inteni le coppie di angoli: 4 e 5; e 6. Sono detti angoli coniugati eteni le coppie di angoli: e 7; 1 e 8. C.9 ngoli fomati da due ette paallele tagliate da una taveale E paticolamente impotante il cao in cui, nella definizione pecedente, le ette ed iano paallele. In tal cao gli angoli pecedentemente definiti aumono paticolai popietà. t Fig. C.1 Due ette paallele tagliate da una taveale. Se ed ono paallele alloa: Gli angoli alteni inteni ono conguenti. Gli angoli alteni eteni ono conguenti. Gli angoli coipondenti ono conguenti. Gli angoli coniugati inteni ono upplementai. Gli angoli coniugati eteni ono upplementai. Date due ette paallele tagliate da una taveale i fomano quindi angoli che ono conguenti o upplementai. Ci i chiede anche e vale anche il contaio, oia: e due ette paallele tagliate da una taveale fomano angoli conguenti o upplementai le ette ono paallele? La ipota è ì, come piegato qui di eguito. C.10 Citei di paallelimo I citeio: e due ette tagliate da una taveale fomano angoli alteni inteni conguenti alloa ono paallele. II citeio: e due ette tagliate da una taveale fomano angoli alteni eteni conguenti alloa ono paallele. III citeio: e due ette tagliate da una taveale fomano angoli coipondenti conguenti alloa ono paallele. IV citeio: e due ette tagliate da una taveale fomano angoli coniugati inteni upplementai alloa ono paallele. V citeio: e due ette tagliate da una taveale fomano angoli coniugati eteni upplementai alloa ono paallele. Il cao paticolae del paagafo C.9 e i citei di paallelimo del paagafo C.10 poono eee dimotati come teoemi. Se ne dimota uno come eempio. Teoia C-5

6 Teoema C.10a Se due ette tagliate da una taveale fomano angoli alteni inteni conguenti alloa ono paallele. IOTESI: Due ette ed ono tagliate da una taveale. Gli angoli alteni inteni ono conguenti. TESI: Le ette ed ono paallele. E B O C D F t Fig. C.14 Teoema degli angoli alteni inteni. DIMOSTRZIONE Sia O il punto medio del egmento EF. Si conidei la immetia centale di cento O. Secondo queta immetia ad E coiponde F e vicevea. L angolo EF ˆ è conguente all angolo EFD ˆ, quindi queti due angoli i coipondono nella immetia centale. lla emietta E coiponde alla emietta FD. Due ette che i coipondono in una immetia centale ono paallele, quindi le ette B e CD ono paallele. Oevazione impotante: Come i fa a capie e due ette ono paallele? Le i taglia con una taveale. Se gli angoli alteni inteni che ne iultano ono conguenti alloa le ette ono paallele. Quindi pe dimotae che due ette ono paallele bata motae che, tagliandole con una taveale, gli angoli alteni inteni ono conguenti. Utilizzando i citei di paallelimo è poibile dimotae che due ette pependicolai alla tea etta ono paallele, popietà che avevamo utilizzato pe cotuie geometicamente la paallela a una etta data. Teoema C.10b Due ette ed pependicolai alla tea etta t ono paallele. Fig. C.15 Due ette pependicolai alla tea etta ono paallele ta loo. IOTESI: t, t. TESI: \\. DIMOSTRZIONE t, quindi e t incontandoi fomano quatto angoli etti. t, quindi e t incontandoi fomano quatto angoli etti. Gli angoli alteni inteni ono peciò entambi etti, e quindi conguenti. Da ciò egue che \\. C.11 Teoemi u tiangoli e angoli In queto paagafo dimoteemo molte impotanti popietà di tiangoli e poligoni utilizzando alcuni impotanti teoemi. e iniziae è neceaio definie l angolo eteno di un tiangolo. L angolo ˆ BCE è detto angolo eteno del tiangolo. B β α γ C E Fig. C4.16 ngolo eteno di un tiangolo. Teoia C-6

7 Teoema (dell angolo eteno di un tiangolo) Ogni angolo eteno di un tiangolo è conguente alla omma degli angoli inteni non adiacenti. IOTESI: BC è un tiangolo. TESI: α + β BCE ˆ B D β β α γ α C E DIMOSTRZIONE: Si taccia la etta CD paallela ad B paante pe C. Si taccia il polungamento CE del egmento C. Le ette B e CD ono paallele, tagliate dalla taveale BC. Gli angoli β e β ono alteni inteni, quindi ono conguenti. Le ette B e CD ono paallele, tagliate dalla taveale E. Gli angoli α e α ono coipondenti, quindi ono conguenti. Si ha: α + β α' + β ' BCE ˆ. Coollaio La omma degli angoli inteni di un tiangolo è un angolo piatto. IOTESI: BC è un tiangolo. TESI: α + β + γ π Ci i ifeice empe al diegno in figua C.17. DIMOSTRZIONE: e il teoema pecedente i ha: α + β α' + β ' BCE ˆ. Vale anche ˆ CE π pe cotuzione. Da ciò egue α + β + γ α' + β' + γ CE ˆ π. e i teoemi eguenti i omette la dimotazione. Coollaio Gli angoli di un tiangolo equilateo hanno ampiezza π/. Coollaio Gli angoli acuti di un tiangolo ettangolo ono complementai, oia la loo omma è π/. Coollaio Gli angoli alla bae di un tiangolo iocele ono acuti. C.1 opietà degli angoli nei poligoni Fig. C.17 Teoema dell angolo eteno di un tiangolo. In bae a quanto detto è poibile calcolae la omma degli angoli inteni di un poligono conveo qualiai. Fig. C.18 opietà degli angoli nei poligoni. Si conidei un punto qualiai all inteno del poligono. E poibile, utilizzando tale punto, uddividee il poligono in tanti tiangoli quanti ono i uoi lati, come motato in figua C.17. Teoia C-7

8 Si indichi con n il numeo dei lati del poligono. La omma degli angoli di ogni tiangolo è π, quindi la omma degli angoli dei cinque tiangoli è nπ. e ottenee la omma degli angoli inteni del poligono biogna ottae l angolo gio elativo al punto inteno al poligono, oia i deve ottae π. Da ciò i può dedue che: La omma degli angoli inteni di un poligono conveo avente n lati è nπ-π. Eempio: Un eagono ha ei lati, la omma dei uoi angoli inteni è dunque 6π-π=4π. Eempio: La omma degli angoli inteni di un poligono conveo è π. Quanti ono i uoi lati? π=5π-π, quindi il poligono ha cinque lati. Teoia C-8