IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA

Transcript

1 IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA Suppoiamo di vole dimostae ua ceta poposizioe Ρ che dipede da u umeo atuale; l idea che abbiamo dei umei atuali ci suggeisce che: se Ρ è vea pe il umeo 0, e se iolte il fatto che sia vea pe u geeico umeo atuale compota ecessaiamete che sia vea ache pe il successoe di, +, alloa è evidete che essu umeo atuale può sfuggie; la popietà Ρ è vea pe tutti i umei atuali. Questo è quato affema il Picipio di Iduzioe Matematica che caatteizza l isieme N: Se ua poposizioe P:. è vea pe 0 (base di iduzioe). se è vea pe, alloa è vea ache pe + (ipotesi d iduzioe) alloa P è vea pe ogi N. No è ecessaio patie da 0; spesso ua poposizioe diveta sigificativa da u ceto umeo atuale k i poi; pe esempio la poposizioe: La somma degli agoli itei di u poligoo di lati è ( ) 80 è sigificativa pe. È ovvio che il pimo passo della dimostazioe pe iduzioe cosiste el dimostae che la popietà è vea pe k, aziché pe k 0; la coclusioe è che la poposizioe è vea pe tutti i umei atuali. Il Picipio di Iduzioe si può così geealizzae: Se ua poposizioe P. è vea pe k,. e se tutte le volte che P è vea pe > k, alloa P è vea ache pe +, alloa P è vea pe tutti i umei atuali maggioi o uguali a k ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, il teoema seguete: La somma dei pimi umei dispai è. U umeo dispai può scivesi ella foma ( - ); la somma dei pimi umei dispai si può idicae el seguete modo: ( ) ( ) (pe esempio, la somma dei pimi umei dispai è: , i cui è ) La dimostazioe mediate il picipio di iduzioe si effettua i due passi:. l euciato è veo pe, ed è baale: ;. dimostiamo oa che il fatto che la () sia vea pe u ceto, implica ecessaiamete che sia vea ache pe il suo successoe ( + ). Pemesso che il umeo dispai successivo a ( ) è ( + ) ( + ), si ha: ( ) + ( + ) + + ( + ) cioè, la somma dei pimi ( + ) umei dispai è il quadato di ( + ). Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce.

2 Soo così soddisfatte le codizioi imposte dal picipio di iduzioe e, petato, il teoema isulta dimostato. Se accettiamo il picipio di iduzioe matematica dobbiamo cocludee che la () è vea pe tutti gli. La figua seguete offe, iolte u utile compesioe gafica del teoema sopa euciato, i cui si è iteuto di limitae la appesetazioe gafica al caso di ; l estesioe ad iteo qualsiasi è, tuttavia, ovvia. ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, il teoema seguete: Pe ogi >, la somma dei quadati dei pimi umei è data da: (... + ) ( + ). l euciato è veo pe ; ifatti è: ( + ). dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: (... + ) ( + ) alloa: ( ) ( + ) ( + )... ( ) + ( + ) ( + ) [ ( + ) + ( + ) ] ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce, ovveo: ( + ) [( + ) + ] [( ( + ) + ] ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, il teoema seguete: Pe ogi, la somma dei cubi dei pimi umei è data da: ( + ) l euciato è veo pe ; ifatti è: ( + ) + 9. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se:

3 alloa: ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) [ + ( + )] + ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce ; ifatti: ( ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, la posizioe seguete: Pe ogi, la somma dei temii elativi alla seguete elazioe vale: ( + ) +. l euciato è veo pe ; ifatti è: +. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: ( + ) + alloa: ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce, ovveo: ( + ) ( ) +

4 ESERCIZIO.5: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, il teoema seguete: Il umeo dei sotto isiemi di u isieme A coteete elemeti è dato da N S ( A ) ( 5 ) (se 0, l uico sottoisieme possibile è l isieme stesso, cioè l isieme vuoto).. l euciato è veo pe ; ifatti è: I sottoisiemi otteibili dall isieme A, costituito da u solo elemeto, soo: A ({X }, {Φ}). Essi soo i umeo di due e quidi N S (A )... l euciato è veo pe ; ifatti è: I sottoisiemi otteibili dall isieme A, costituito da due soli elemeti, soo: A ({X }, {X }, {X, X }, {Φ}). Essi isultao i umeo di quatto e petato è X X N S (A )... l euciato è veo pe ; ifatti è: I sotto isiemi otteibili dall isieme A, costituito da te elemeti, soo: A X ({X }, {X }, {X }, {X, X }, {X, X }, {X, X }, {X, X, X }, {Φ}). X X Essi isultao i umeo di otto e petato è veificato N S (A ) 8.. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Pe quato otteuto dalla costuzioe pecedete, si osseva che se gli elemeti dell isieme A si icemetao di ua uità, alloa il umeo dei sottoisiemi di A addoppia. Quidi se gli elemeti dell isieme A soo, il umeo dei sotto isiemi di A è pai a N S (A ) ; se gli elemeti di A divetao (+) alloa il umeo di sotto isiemi di A addoppia, ovveo: ( + ) NS ( A+ ) NS ( A ) Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe (5) i cui (+) sostituisce, ovveo: X ( + ) ( + ) Risultao così veificate le due codizioi stabilite dall euciato del Picipio di Iduzioe, petato esta dimostata la validità dell asseto, ovveo: Il umeo dei sotto isiemi di u isieme A che cotiee elemeti è dato da N S (A ). ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, la posizioe seguete: ette che o siao a due a due paallele e che o siao a te a te secati ello stesso puto, dividoo il piao i u umeo di egioi defiito da: Neg + + ( ) Il poblema cosiste el detemiae, applicado il picipio di iduzioe, il umeo di egioi i cui viee diviso il piao i seguito al tacciameto di alcue ette, ispettado detemiate codizioi. Osseviamo, pe ispezioe, che: co zeo ette, si ottiee ua egioe soltato, ovveo l iteo piao; co ua etta, si ottegoo due egioi, cioè i due semipiai (figua.a); co due ette, si ottegoo te egioi se le ette soo paallele, altimeti si ottegoo quatto egioi pe ette o paallele, come mostato i figua.b ed i figua.c. Peò l euciato del poblema idica che le ette o devoo essee a due a due paallele; petato, poiché dobbiamo suppoe che o ci siao coppie di ette paallele, si dovà cosideae solo il

5 caso mostato ella figua.c; (figua -.a) (figua -.b) (figua -.c) co te ette, il piao viee così diviso i sei egioi se le ette si itesecao tutte ello stesso puto, mete si ottegoo sette egioi i caso cotaio, come mostato i figua.d ed i figua.e. L euciato del poblema idica che o ci devoo essee più di due ette che si itesecao i u puto; petato, si dovà cosideae solo il caso mostato ella figua.e; Si tatta oa di geealizzae la pocedua e l aalisi al caso di ette.. l euciato è veo pe 0; ifatti è: [( + + )/] (0) l euciato è veo pe ; ifatti è: [( + + )/] (). suppoiamo, oa, che ette dividao il piao i ( + + )/ egioi, e dimostiamo che + ette lo dividoo i [(+) + (+) + )/] egioi. Ifatti quado viee tacciata la (+)_esima etta, poiché o è paallela ad alcua delle ette pecedetemete tacciate, iteseca ciascua di esse dado luogo a puti di itesezioe, e essuo di questi è a sua volta itesezioe di alte ette, come mostato i figua.f. Petato la (+)_esima etta geea ( + ) uove egioi. Il umeo totale delle egioi è defiito da: 5 (figua -.d) 7 5 (figua -.f) * * * 5 * Neg ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) + ( + ) + Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce, ovveo: 7 5 (figua -.e)

6 + + ( + ) + ( + ) + Neg ( + ) ( + ) Risultao così veificate le due codizioi stabilite dall euciato del Picipio di Iduzioe, petato esta dimostata la validità dell asseto, ovveo: ette che o siao a due a due paallele e che o siao a te a te secati ello stesso puto, dividoo il piao i u umeo di egioi defiito da: N eg ( + + )/. ESERCIZIO.7: Veificae, mediate il picipio di iduzioe, l asseto seguete: pemesso che pe quatto puti del piao, di cui te o siao mai allieati, passao sei ette distite, alloa el caso di puti le ette soo date dalla elazioe R ( )/ (7) Ricodiamo, sebbee ovvio, che il umeo miimo di puti ichiesti pe tacciae ua etta è dato da. Petato, la elazioe di cui si deve veificae la validità è da itedesi defiita pe. La dimostazioe mediate il picipio di iduzioe si effettua i due passi:. l euciato è veo pe, così come mostato i figua, otteedo u umeo di ette dato da: R ( )/ ;. l euciato è veo pe, come evideziato i figua a, otteedo u umeo di ette dato da: R ( )/. l euciato è veo pe, come evideziato i figua b, otteedo u umeo di ette dato da: R ( )/ R R R (figua - ) Dall ispezioe delle figue si evice che l aggiuta d u ulteioe puto, che o sia allieato co gli alti già peesisteti, costituisce u icemeto del umeo delle ette pai al umeo dei puti che soo stati collocati atecedetemete all iseimeto dell ultimo puto stesso..0 dimostiamo oa che il fatto che la (7) sia vea pe u ceto >, implica ecessaiamete che sia vea ache pe il suo successoe ( + ). Quato pemesso, osseviamo che: l aggiuta dello ( + )_esimo puto del piao icemeta il umeo di ette già tacciate di ua quatità pai a, così come mostato i figua c. Petato, il umeo complessivo di ette el caso di ( + ) puti è dato da: R 0 5 R + ( + ) (figua - a) (figua - c) R ( ) da cui si ottiee la elazioe: Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe (7) i cui (+) sostituisce, ovveo: (figua - b)

7 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Risultao così veificate le due codizioi stabilite dall euciato del Picipio di Iduzioe, pe tato esta dimostata la validità dell asseto. ESERCIZIO.8: Veificae, mediate il picipio di iduzioe, l asseto seguete: pe ogi > è vea la disuguagliaza > + (8) La dimostazioe mediate il picipio di iduzioe si effettua i due passi:. l euciato è veo pe, ed è baale veificae che: > + ; ovveo: 9 > 7;. dimostiamo oa che il fatto che la (8) sia vea pe u ceto >, implica ecessaiamete che sia vea ache pe il suo successoe ( + ). Quato pemesso, osseviamo che: ( + ) + + > ( + ) + + > ( + ) + Poiché pe ipotesi deve essee >, saà veo, a maggio agioe, che: >. Cosideado quato detto, si ottiee la seguete disuguagliaza: ( + ) + + > ( + ) + > ( + ) + Ma l espessioe otteuta coicide co la elazioe assegata (8) ella quale la scittua (+) sostituisce. Risultao, alloa, veificate le due codizioi stabilite dall euciato del Picipio di Iduzioe, petato esta dimostata la validità dell asseto, pe ogi > isulta vea la disuguagliaza > +. ESERCIZIO.9: Veificae, mediate il picipio di iduzioe, l asseto seguete: pe ogi > è vea la disuguagliaza > (9) La dimostazioe mediate il picipio di iduzioe si effettua i due passi:. l euciato è veo pe 5, ed è baale veificae che: 5 > 5 ; ovveo: > 5;. dimostiamo oa che il fatto che la (9) sia vea pe u ceto >, implica ecessaiamete che sia vea ache pe il suo successoe ( + ). Atteso quato pemesso, si ossevi che, moltiplicado pe ambo i membi della (9) si ottiee: ( + ) ( + ) > > > + Ricoedo alla posizioe, già veificata pe ogi > ell esecizio pecedete, > +, si ottiee la elazioe seguete: ( + ) ( + ) > + > + ( + ) > ( + ) Ma l espessioe otteuta coicide co la elazioe assegata (9) ella quale la scittua (+) sostituisce. Risultao, così, veificate le due codizioi stabilite dall euciato del Picipio di Iduzioe, petato esta dimostata la validità dell asseto, pe ogi > isulta vea la disuguagliaza >. ESERCIZIO.0: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, la posizioe seguete: Pe ogi, la somma dei temii elativi alla seguete elazioe vale:

8 (... ( ) + ) ( + ). l euciato è veo pe ; ifatti è:. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: (... ( ) + ) ( + ) alloa, è pue vea la elazioe di seguito ipotata: ( + )( + ) ( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + )( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe (0) i cui (+) sostituisce ; ifatti: (0) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Soo così soddisfatte le codizioi imposte dal picipio di iduzioe e, petato, la elazioe isulta dimostato. Se accettiamo il picipio di iduzioe matematica dobbiamo cocludee che la (0) è vea pe tutti gli. ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, che pe ogi, vale la posizioe seguete:. l euciato è veo pe ; ifatti è: k. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: ( ) alloa, è pue vea la elazioe di seguito ipotata:

9 + + ( + ) ( + ) ) + Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce ; ifatti: ( + ) Soo così soddisfatte le codizioi imposte dal picipio di iduzioe e, petato, la elazioe isulta dimostata. Se accettiamo il picipio di iduzioe matematica dobbiamo cocludee che la () è vea pe tutti gli. ESERCIZIO.: Dimostae, mediate il picipio di iduzioe, che, h N, vale la posizioe seguete: + h h 0. l euciato è veo pe 0; ifatti è: 0+ 0 l euciato è veo pe ; ifatti è: + h ( + ) h 0 ( ) ( + ) ( + ). dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: si cosidea la scittua di seguito ipotata: + h () h 0 alloa, discete l ovvia elazioe: + h h h h 0 da cui, pocededo co le ecessaie semplificazioi algebiche, si icava; h ( ) ovveo, semplificado: h h h 0 Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+)

10 sostituisce ; ifatti: h h 0 + ( + ) + h h 0 Soo così soddisfatte le codizioi imposte dal picipio di iduzioe e, petato, la elazioe isulta dimostata. Se accettiamo il picipio di iduzioe matematica dobbiamo cocludee che la () è vea, supposto, pe tutti gli itei 0. ESERCIZIO.: Dimostae mediate il picipio d iduzioe matematica che N O vale l asseto seguete:! +! +! ! ( k k!) ( + )!. l euciato è veo pe ; ifatti è:! [( + )! ]! k. dimostiamo oa che se l euciato è veo pe u ceto, alloa è veo ache pe ( + ). Se: si cosidea la scittua di seguito ipotata:! +! +! ! ( + )! ( ) alloa, è pue vea la elazioe che di seguito si ipota co le elative ecessaie elaboazioi:! +! +! ! + ( + ) ( + )! ( + )! + ( + )( + )! ( + )!( + + ) ( + )!( + ) ( + )! Ma l espessioe otteuta coicide co il secodo membo della citata elazioe () i cui (+) sostituisce ; ifatti: ( ) [ ] ( ) +! ( + + )! +! ( + ) Soo così soddisfatte le codizioi imposte dal picipio di iduzioe e, petato, la elazioe isulta dimostata. Se accettiamo il picipio di iduzioe matematica dobbiamo cocludee che la () è vea pe tutti gli.