Capitolo 4 - Campionamento ideale

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1 Apputi di Teoia dei egali apitolo 4 - ampioameto ideale Itoduzioe: deiizioe di campioameto... Ricostuzioe del segale a patie dai suoi campioi... osideazioi eegetiche...9 Esempio... INTRODUZIONE: DEFINIZIONE DI AMPIONAMENTO osideiamo u segale s(t) cotiuo. u questo segale acciamo come uica ipotesi quella pe cui deve essee ad ENERGIA FINITA, dove icodiamo che l eegia associata ad u segale vale pe deiizioe E s ( t ) dt Questa ipotesi compota ua seie di cosegueze odametali: la pima è che cetamete s(t) o può essee u segale peiodico, i quato sappiamo che questi segali soo segali di poteza (cioè ad eegia ulla); la secoda è che ci siamo gaatiti l esisteza dello spetto () di tale segale; iie, la teza è che ache () sia u segale ad eegia iita, i quato sappiamo che l eegia associata ad s(t) è la stessa associata ad (). Il segale s(t) ha ovviamete u ceto adameto el tempo: campioae s(t) sigiica cosideae i valoi che esso assume pe valoi disceti di t che siao multipli itei di ua quatità issa T. Pe esempio, suppoiamo che il osto segale s(t) abbia l adameto mostato ella igua seguete: s(t) t Pe campioae s(t), o dobbiamo a alto che scegliee u valoe T (eale positivo) e valutae i valoi che s(t) assume egli istati t T co -,..., -, -, 0, +, +,....

2 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 s(t) t Il valoe scelto pe T pede il ome di peiodo di campioameto: evidetemete, esso appeseta l itevallo di tempo che itecoe ta due misue successive del valoe di s(t). L iveso di T, ossia /T, pede ivece il ome di equeza di campioameto e appeseta il umeo di valoi di s(t) che si valutao ell uità di tempo. Quato più piccolo è T, tato maggioe è e quidi tati più campioi accogliamo ell uità di tempo. RIOTRUZIONE DEL EGNALE A PARTIRE DAI UOI AMPIONI i popoiamo di veiicae la possibilità di otteee l adameto esatto, cioè l adameto cotiuo el tempo, del segale s(t) a patie solo dalla coosceza dei suoi campioi. Vedemo peciò come è possibile ae questo e sotto quali ipotesi il isultato iale isulta valido. Itato, è ovvio che l isieme dei valoi di s(t) che otteiamo egli istati tt, cioè i osti campioi, costituiscoo ciò che oi abbiamo deiito segale disceto : lo possiamo duque idicae co la otazioe s(t). Pede ivece il ome di segale campioato di s(t) il segale che si ottiee mediate la omula s ( t) s( T) δ( t T) i tatta evidetemete di u segale ONTINUO costituito da ua successioe di impulsi, ciascuo taslato di ua quatità T ispetto all oigie e di aea pai al valoe del coispodete campioe s(t). Questo segale campioato ha la paticolaità di assumee, i ogi istate, il valoe che ivi assume s(t): pe esempio, possiamo veiicae come il valoe assuto dal segale campioato i t0 sia lo stesso che ivi assume s(t), ossia s ( t) s( 0 ). t 0 Pe la veiica, comiciamo a sviluppae pazialmete quella sommatoia: si ha che s ( t)... + s( T) δ( t + T) + s( T) δ( t + T) + s( 0) δ( 0) + s( T) δ( t T) + s( T) δ( t T) +... Quado t0, questa scittua diveta s ( t 0)... + s( T) δ( + T) + s( T) δ( + T) + s( 0) δ( 0) + s( T) δ( T) + s( T) δ( T) +... Ma gli impulsi δ assumoo valoe ullo egli istati divesi da 0, pe cui imae s ( t 0) s( 0) δ( 0)

3 ampioameto ideale Iolte, δ(0), pe cui cocludiamo che s ( t 0) s ( 0) che ea ciò che volevamo veiicae. Fatta questa veiica, vogliamo calcolae quato vale la tasomata di Fouie del segale campioato s (t). Itato, possiamo maipolae ulteiomete l espessioe di questo segale: iatti, cosideado che il podotto s(t)δ(t-t) ha seso solo pe tt, mete vale 0 altove, oi possiamo poe popio tt, i modo da otteee s ( t) s( T) δ( t T) s( t) δ( t T) s( t) δ( t T) A patie da questa espessioe, calcoliamo (), la quale saà evidetemete pai alla tasomata del secodo membo; questo secodo membo è costituito da u podotto: icodado alloa che u podotto el domiio del tempo equivale ad ua covoluzioe el domiio della equeza (popietà di covoluzioe i equeza), possiamo scivee che * Fouie δ( t T) I pecedeza abbiamo tovato che la tasomata di Fouie del segale g( t) δ( t T) che appeseta ua successioe di impulsi (ed è iatti chiamato pettie di impulsi o pettie di campioameto), è il segale G( ) δ T T che appeseta a sua volta ua successioe di impulsi: g(t) T T 3T t G() - - 3

4 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 Adado a sostituie ella espessioe di () otteiamo ( ) * δ * T T δ T T A questo puto, ci icodiamo che la covoluzioe ta u qualsiasi segale e l impulso taslato è pai al segale stesso calcolato ello stesso puto i cui è applicato l impulso, pe cui cocludiamo che lo spetto (cioè la tasomata di Fouie) del segale campioato è T T ome è atto questo spetto? Dato che la uzioe () o è alto che lo spetto del osto segale s(t), deduciamo che () cosiste i ua successioe di epliche, a meo del attoe costate /T, dello spetto di s(t), ciascua taslata ispetto all oigie di ua quatità pai ad u multiplo della equeza di campioameto /T: iatti, adado a sviluppae pazialmete quella sommatoia, toviamo evidetemete che ( ).. + T + T T T T T T T T Pe essee più chiai, suppoiamo che lo spetto di s(t) sia del tipo seguete: () - -w +w Lo spetto del segale campioato saà alloa del tipo seguete: () - -w +w - petto del segale campioato pe il segale della igua pecedete. Gli impulsi posizioati sulla equeza e sui suoi multipli appesetao lo spetto del pettie di campioameto, idicato al ie di evideziae l eetto della covoluzioe: () viee collocato a cavallo di ciascu impulso di campioameto (i equeza). I igua soo idicate solo le epliche a cavallo della equeza 0, di ± e di ±,, ma soo da cosideasi ache le epliche a cavallo degli iiiti alti multipli della equeza di campioameto 4

5 ampioameto ideale Quidi, io ad oa, oi abbiamo atto questo: ua volta oti i campioi del osto segale, abbiamo costuito i modo aalitico il segale campioato ed il suo spetto e abbiamo tovato che tale spetto è costituito da ua successioe di iiite epliche (a meo del temie /T) dello spetto di s(t). Alloa, è evidete che, se iusciamo ad isolae, a patie da queste iiite epliche, ua sola di esse, pe esempio quella cetata ell oigie, avemo otteuto popio lo spetto di s(t) dal quale potemo isalie, mediate la omula di atitasomazioe, all espessioe di s(t). i pogoo alloa due domade: come è possibile isolae lo spetto di s(t) a patie dallo spetto di s (t) e, i secodo luogo, quado è possibile a questo? La isposta alla pima domada è a oi ota: basta iatti moltiplicae () pe u ettagolo oppotuo, tale cioè che azzei tutte le alte epliche mete lasci più o meo ivaiata quella cetale (questo cocetto saà appoodito più avati). La isposta alla secoda domada discede a sua volta da quato appea detto: iatti, è ovvio che possiamo isolae (), cioè la eplica cetale, solo a codizioe che essa o sia sovapposta alle alte epliche. Iatti, è chiao che se () è quello disegato poco a, siamo i gado di tovae valoi -w,+w tali che il ettagolo avete pe estemi tali valoi acchiuda solo la eplica cetale mete o acchiuda le alte. Al cotaio, se () osse del tipo () - - è chiao che oi o potemo mai tovae u itevallo [-w,+w] che acchiuda solo la eplica cetale. Questo ci cosete duque di die che la codizioe ecessaia peché sia possibile icostuie il segale s(t) a patie dai suoi campioi è che le epliche di () che costituiscoo (), cioè lo spetto del segale campioato, o si sovappogao ecipocamete. Vediamo alloa cosa deve succedee aiché o ci sia la sovapposizioe delle epliche. E subito evidete che la posizioe delle epliche dipede stettamete dal valoe della equeza di campioameto (cioè dal valoe del peiodo di campioameto T): alloa, idicato co [-w,+w], dove w è la cosiddetta bada di (), l itevallo (simmetico ispetto all oigie) che acchiude la eplica cetale, ossia () - +w - -w è evidete che, aiché o si abbia la sovapposizioe delle epliche, deve essee w

6 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 Questa, che pede il ome di codizioe di Nyquist, è la pima codizioe ecessaia pe la icostuzioe del segale s(t) a patie dal suo segale campioato: la equeza di campioameto deve essee scelta maggioe o al più uguale al doppio di w. Il valoe limite è ovviamete w, el quale caso avemmo () atto el modo seguete: () - +w - -w N.B. Ricodiamo che il atto pe cui gli estemi dell itevallo i cui è deiita ciascua eplica siao simmetici ispetto ad u valoe cetale deiva da ua popietà odametale della tasomata di Fouie: si tatta della popietà secodo cui la pate eale della tasomata di Fouie è ua uzioe pai i (pe maggioi dettagli vedee il paagao sulle popietà geeali della tasomata di Fouie) No è acoa iita: è ovvio che la codizioe di Nyquist o ha seso quado w, ossia quado lo spetto di s(t) NON è a bada limitata: ta l alto, i quel caso, tale spetto si estede da - e + ed è quidi ievitabile che le epliche, a pescidee dal valoe della equeza di campioameto, si sovappogao. Pe esempio, o saà mai possibile icostuie u segale s(t) il cui spetto sia ua uzioe peiodica. ome ache o saà mai possibile icostuie u segale il cui spetto sia ua costate, come pe esempio accade pe l impulso δ(t), il cui spetto è ua costate. Quidi, la secoda ed ultima codizioe pe pote icostuie s(t) a patie dai suoi campioi è che lo spetto di s(t) deve essee a bada limitata. otto, duque, le due codizioi esamiate, possiamo aivae alla espessioe di s(t) a patie dai valoi dei suoi campioi: acciamo ossevae che questa espessioe o è appossimata, ma è esatta. Ritoado adesso all aspetto matematico della questioe, abbiamo detto che pe isolae () a patie da () basta moltiplicae quest ultima uzioe pe u oppotuo ettagolo: vediamo alloa quali devoo essee le caatteistiche di questo ettagolo. I pimo luogo, icodado che l espessioe dello spetto del segale campioato è T T è chiao che le epliche di () di cui è composto soo a meo del attoe /T. Di cosegueza, se il ettagolo ha altezza pai popio a T, oi siamo ceti che il suo podotto pe () dà la eplica elle dimesioi coette. I secodo luogo è impotate la base del ettagolo, la quale deve essee tale da cosevae la eplica cui siamo iteessati e da azzeae tutte le alte. Alloa, suppoedo che () sia 6

7 ampioameto ideale () - +w - -w è chiao il ettagolo T -D +D t adà scelto co D [ + w, w[. olo i questo modo è possibile otteee l azzeameto di tutte le alte epliche. Al valoe di D si dà il ome di equeza di caico del ilto. Vediamo iie come si aiva, da u puto di vista matematico, al segale s(t) a patie dallo spetto del suo segale campioato: abbiamo detto che la pima cosa è la moltiplicazioe pe u oppotuo ettagolo, al ie di otteee popio lo spetto di s(t). Detto () l esito del podotto, abbiamo duque che ( ) ( ) Tect D A meo di iteeeze, () è duque esattamete lo spetto di s(t) (il pedice sta pe icostuito ). o ua opeazioe di atitasomazioe di Fouie, aiviamo all espessioe di s (t): dato che abbiamo u podotto el domiio della equeza, otteemo u podotto di covoluzioe el domiio del tempo, pe cui s ( t) Fouie [ ]* Fouie Tect D L atitasomata di () è il segale campioato, pe cui s ( t) s( T) δ( t T) * Fouie Tect D L atitasomata di u ettagolo di altezza T e base D è ivece DTsic( Dt), pe cui 7

8 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 s ( t) s( T) δ( t T) *[ DTsic( Dt) ] [ s( T) δ( t T) ]*[ DTsic( Dt) ] [( δ ) ] DTs( T) ( t T) * sic( Dt) DTs( T) sic D( t T) I coclusioe, la omula di icostuzioe del segale s(t) è la seguete: s ( t) DT s( T) sic D( t T) E ovvio che, avedo a che ae co ua seie di iiiti temii, questa omula di icostuzioe è ideale, ossia o è ealizzabile ella patica. Tuttavia, essa seve pe mostae che eettivamete la icostuzioe di s(t) a patie dai campioi è teoicamete possibile seza che vega eettuata alcua appossimazioe. Vedemo el seguito cosa si a i ealtà. Pima di poseguie, vediamo che cosa succede el caso paticolae i cui decidiamo di pedee la equeza di campioameto esattamete uguale al doppio della bada w dello spetto (), ossia w T. Questo implica che lo spetto del segale campioato sia del tipo () - +w - -w e quidi ache che la equeza di caico del ilto sia Dw, ossia pai alla bada dello spetto di s(t). Mettedo isieme queste due elazioi, si tova ovviamete che DT wt T I base a questa elazioe, la equeza di caico del ilto isulta essee la metà della equeza di campioameto, che è a sua volta pai al doppio della bada di s(t). I queste codizioi, la omula di icostuzioe si iduce a s ( t) s( T) sic ( t T) 8

9 ampioameto ideale ONIDERAZIONI ENERGETIHE Abbiamo duque detto che la omula s ( t) DT s( T) sic D( t T) cosete ua icostuzioe esatta (teoica) del segale s(t) oti che siao i suoi campioi. ome coema ituitiva del atto che il segale disceto s(t) costituisca ua valida appesetazioe alteativa del segale s(t) (il che ci cosetià, più avati, di esamiae u alto metodo pe aivae all espessioe di s(t)), veiichiamo che l eegia associata a questi due segali, uo disceto e l alto cotiuo, sia esattamete la stessa. Pe deiizioe, l eegia associata al segale cotiuo s(t) è data da E s ( t ) dt mete quella associata ad u segale disceto s(t) è E' T s( T) Noi itediamo a vedee che E E. Patiamo dall espessioe di E : avedo detto che s(t)s (t), possiamo sostituie a s(t) l espessioe otteuta ella omula di icostuzioe, pe cui ( ) E DT s T sic D t T dt Pe comodità, acciamo l ipotesi di scegliee w: abbiamo detto che, i questo caso, la omula di icostuzioe isulta leggemete sempliicata, pe cui abbiamo che E s( T) sic ( t T) dt appiamo che il modulo di ua quatità complessa è pai al podotto della quatità stessa pe il suo complesso coiugato, pe cui E s( T) sic( ( t T) ) s( mt) sic( ( t mt) ) dt m * * s( T) sic( ( t T) ) [ s( mt) ] [ sic( ( t mt) )] dt m * 9

10 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 La uzioe seo cadiale è ua uzioe eale, pe cui l opeatoe complesso coiugato o la modiica i alcu modo: * E s( T) sic( ( t T) ) [ s( mt) ] sic( ( t mt) ) dt m * s( T) sic( ( t T) )[ s( mt) ] sic( ( t mt) ) dt m Possiamo adesso scambiae il sego di itegale co il sego di sommatoia: * [ ] E s( T) sic ( t T) s( mt) sic ( t mt) dt m * [ ] ( ) ( ) s( T) s( mt) sic ( t T) sic ( t mt) dt m A questo puto, utilizziamo u isultato odametale cica questo itegale: si dimosta iatti che esso vale T quado m mete vale 0 i tutti gli alti casi. E evidete, alloa, che possiamo a scompaie ua delle due sommatoie, scivedo che E T s( T) s( T) T s( T) * e questo ea quello che volevamo dimostae. Facciamo vedee adesso il isultato che poco a abbiamo dato pe buoo: dobbiamo cioè dimostae che T m sic( ( t T) ) sic( ( t mt) ) dt 0 m U pimo modo di eettuae la dimostazioe potebbe essee quello di sostituie al sic la sua espessioe e di ae i elativi calcoli. Noi ivece seguiamo u alta stada, che passa pe l applicazioe della cosiddetta popietà del valoe iiziale della tasomata di Fouie: questa popietà dice che, dato u segale g(t) che ammette tasomata di Fouie e data la sua tasomata G(), sussiste la elazioe G( 0 ) g(t) dt Vediamo come possiamo applicae questa popietà al osto caso: se oi cosideiamo come segale g(t) la uzioe itegada, ossia g(t) sic ( t T) sic ( t mt) 0

11 ampioameto ideale dobbiamo a vedee che T G( 0) 0 m m alcoliamo alloa quato vale la tasomata di Fouie di g(t): tattadosi di u podotto el domiio del tempo, avemo u podotto di covoluzioe el domiio della equeza; iolte, tattadosi del podotto ta due sic taslati, avemo u podotto di covoluzioe ta due ettagoli, ciascuo moltiplicato pe u temie espoeziale: j π G ect e * ect e jπ m Applicado adesso la deiizioe di podotto di covoluzioe, abbiamo che G( ) σ j σ ect e ect e σ ect e Vediamo oa cosa accade pe 0: πσ jπ( σ) jπσ jπ( σ) σ ect e dσ dσ G ( 0) σ ect e jπσ jπσ ect σ e dσ Il ect è ua uzioe pai, pe cui G ( 0) σ ect e jπσ jπσ σ ect e dσ Il podotto ta due ettagoli uguali è pai ad uo qualsiasi dei due ettagoli stessi, pe cui G ( 0) σ ect j j e πσ πσ e dσ Iolte, la uzioe del ect è semplicemete quella di azzeae la uzioe itegada al di uoi dell itevallo [- /,+ /]. Possiamo alloa elimiae il ect estigedo l itevallo di itegazioe: G( 0) + / + / πσ πσ jπσ( m ) j j e e d σ / / e dσ

12 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 Già a questo puto si ota che, quado m, G(0)T: iatti, se m, la uzioe itegada vale e quidi l itegale dà come isultato G( 0) T Vediamo ivece cosa succede quado m : itato, isolvedo l itegale di pima abbiamo che G( 0) + / j m e jπσ( m ) π( ) j m e e π ( ) / jπ( m ) jπ( m ) [ ] Applicado adesso le omule di Euleo, possiamo iscivee G(0) ella oma G( 0) π jπ( m ) jπ( m ) e e ( m ) j m si m π ( ) ( π( )) L agometo del eo, quado m, è u multiplo iteo di π e quidi il eo si aulla sempe. Dato che il deomiatoe è ivece o ullo, deduciamo che, quado m, G(0)0. EEMPIO uppoiamo di vole icostuie il segale x(t) sapedo che la sua bada è w (ovviamete limitata) e che i suoi campioi, misuati co ua equeza di campioameto /Tw, valgoo tutti 0 tae i segueti te: x( 0) x 0. w x + 0. w Dobbiamo semplicemete applicae la omula geeale di icostuzioe, che, pe w, è x ( t) x( T) sic ( t T) viluppado quella sommatoia e teedo coto che gli uici temii o ulli soo quelli pe -,0,+, abbiamo quato segue: 0 x ( t) x( T) sic ( t + T) + x sic t + x( T) sic ( t T) x w sic t T x sic t x w sic t T ( ) ( 0) ( ( ))

13 ampioameto ideale ostituedo i valoi dei campioi, otteiamo x ( t) 0. sic ( t + T) + sic t + 0. sic ( t T) ostituedo adesso l espessioe della uzioe sic otteiamo x ( π ( + )) si( π t) si( π ( t T) ) si t T ( t) π ( t + T) π t Ricodado che /T, abbiamo iolte che π ( t T) x si T t T si T t si T t T π ( + ) π π ( ) ( t) π ( t + T) π t π ( t T) t si si T T t t π + π π si π π) T π ( t + T) π t π ( t T) Adesso, icodado la popietà della uzioe eo secodo cui abbiamo che x si(α+π) - si(α) si(α-π) - si(α) t si si T T t t si si T T t π π π π ( t) ( t + T) t ( t T) π π π π t + T t T si T t π π si π T t π si t T t T t T T t π t T π si π t T t t t T w π t T t T t t T Poseguedo co i calcoli, si aiva al seguete isultato iale: si T t π x ( t ) πwt ( wt ) 3

14 Apputi di Teoia dei egali - apitolo 4 L adameto gaico di questo segale è il seguete (pe w): A titolo di esecizio, icaviamo l espessioe dello spetto di x (t): pe alo, patiamo dalla elazioe x ( t) 0. sic ( t + T) + sic t + 0. sic ( t T). sic w t + sic( wt). sic w t w w 0. sic wt + + sic wt + 0. sic wt + La tasomata di questo segale si può calcolae suttado ua seie di popietà a oi ote: i pimo luogo, applicado la popietà di lieaità oi abbiamo che [ ] [ ] [ ] X 0. Fouie sic wt + + Fouiee sic wt + 0. Fouie sic wt + Ricodadoci adesso che la tasomata del segale z( t) sic( ω t) si calcola mediate la popietà di dualità e vale Z w ect w abbiamo che X ( ). Fouie sic wt + + w ect 0 w. [ ] + 0Fouie sic( wt + ) [ ] Ricodadoci iie della popietà di taslazioe el tempo, cocludiamo che X jπ w w ect w e jπ w w ect w w ect w e 4

15 ampioameto ideale Possiamo iolte applicae le omule di Euleo, otteedo che X w ect j j e w e w + + w w ect cos + w π π π Da questa espessioe, i paticolae dalla peseza della uzioe ect, di ota che lo spetto X() del osto segale è cetamete a bada limitata, il che costituisce la codizioe odametale peché si possa opeae la icostuzioe di s(t) a patie dai suoi campioi. w Autoe: ANDRO PETRIZZELLI sady@iol.it sito pesoale: succusale: