Liceo scientifico e opzione scienze applicate

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1 PROVA D ESAME SESSIONE STRAORDINARIA 6 Liceo scietifico e opzioe scieze applicate Lo studete deve svolgee uo dei due poblemi e ispodee a quesiti del questioaio Duata massima della pova: 6 oe È cosetito l uso della calcolatice o pogammabile PROBLEMA Sei addetto alla gestioe di ua macchia utesile i cui è pesete u coteitoe di olio lubificate avete la foma di u coo cicolae etto col vetice ivolto veso il basso Il aggio di base del coo è cm mete l altezza h è cm I tale coteitoe, iizialmete vuoto, viee vesato automaticamete dell olio lubificate alla velocità di cm /s Devi assicuati che il pocesso avvega coettamete, seza podue taboccameti di olio Detemia l espessioe della fuzioe h(t), che appeseta il livello h (i cm) aggiuto dall olio all istate t (i secodi) e la velocità co la quale cesce il livello dell olio duate il iempimeto del coteitoe Al fie di pogammae il pocesso di vesameto da pate della macchia utesile, detemia il tempo t R ecessaio peché il coteitoe sia iempito fio al 7% della sua altezza Devi ealizzae u idicatoe gaduato, da poe lugo l apotema del coo, che idichi il volume V di olio pesete el ecipiete i coispodeza del livello aggiuto dall olio l A, misuato all apotema Idividua l espessioe della fuzioe V(l A ) da utilizzae pe ealizzae tale idicatoe gaduato A causa di u cambiameto ell utilizzo della macchia, ti viee ichiesto di pogettae u uovo e più capiete ecipiete coico, avete apotema a uguale a quello del coteitoe attualmete i uso Detemia i valoi di h e di i coispodeza dei quali il volume del coo è massimo e veifica, a paità di flusso di olio i igesso e di tempo di iempimeto t R, a quale livello di iempimeto si aiva È acoa pai al 7% dell altezza? PROBLEMA La fuzioe f: R " R è così defiita: f ^h si^h$ cos^h Dimosta che f è ua fuzioe dispai, che si ha f^h e che esiste u solo tale che f^ h Taccia iolte il gafico della fuzioe pe! 6 Detemia il valoe dell itegale defiito: f^hd e, sapedo che isulta: f ^hd, pova che isulta veificata la disequazioe: + 96 ache o cooscedo il valoe di Zaichelli Editoe,

2 Veifica che, qualsiasi sia! N, isulta: ^+ h f^hd, f ^ h d Dimosta che i massimi della fuzioe f ^h giaccioo su ua paabola e i miimi su ua etta, e scivi l equazioe della paabola e della etta QUESTIONARIO 6 7 Calcolae il limite: lim " si^cos^h h l cos ^ ^hh I media, il % dei passeggei dei tam di ua città o paga il biglietto Qual è la pobabilità che ci sia almeo u passeggeo seza biglietto i u tam co pesoe? Se il umeo di pesoe addoppia, la pobabilità addoppia? Detemiae il paameto eale a i modo che i gafici di e di + a, isultio tageti e stabilie le coodiate del puto di tageza Dati i puti A^; ; h e B^; ; h, detemiae l equazioe della supeficie sfeica di diameto AB e l equazioe del piao tagete alla sfea e passate pe A U azieda poduce, i due capaoi vicii, scatole da imballaggio Nel pimo capaoe si poducoo 6 scatole al gioo delle quali il % difettose, mete el secodo capaoe se e poducoo co il % di pezzi difettosi La poduzioe viee immagazziata i u uico capaoe dove, el coso di u cotollo casuale sulla poduzioe di ua gioata, si tova ua scatola difettosa Qual è la pobabilità che la scatola povega dal secodo capaoe? I u semicechio di aggio è iscitto u tiagolo i modo che due vetici si tovio sulla semicicofeeza e il tezo vetice si tovi el ceto del cechio Qual è l aea massima che può assumee tale tiagolo? Calcolae, se esiste, il limite della seguete successioe esplicitado il pocedimeto seguito: lim ` + " j 9 Data la fuzioe f^h + +, sia g la etta passate pe i puti A(; ) e B(; ) Si calcoli l aea della egioe coloata idicata i figua Dati i puti A^ ; ; h, B^ ; ; h, C^; ;h, D^ ; ; h, detemiae l equazioe del piao a passate pe i puti A, B, C e l equazioe della etta passate pe D e pepedicolae al piao a 6 A f Si cosidei, el piao catesiao, la egioe limitata R, coteuta el pimo quadate, compesa ta l asse ed i gafici di e Si detemiio i volumi dei solidi che si ottegoo uotado R attoo all asse e all asse Figua B O g Zaichelli Editoe,

3 SOLUZIONE SESSIONE STRAORDINARIA 6 Liceo scietifico e opzioe scieze applicate PROBLEMA Pe evitae ambiguità, divesamete dal testo del poblema, idichiamo co le lettee maiuscole H e R ispettivamete l altezza di cm e il aggio di cm del sebatoio a foma di coo, e co le lettee miuscole h(t) e (t) ispettivamete l altezza e il aggio del coo idividuato dalla pate di sebatoio iempito all istate t Pe la similitudie dei tiagoli VAB e VOC, è: VA : AB VO : OC " h^th: ^th : " h^th ^th L olio è vesato alla velocità q cm /s, quidi i t secodi vegoo vesati Q t cm di olio Impoiamo che il volume del coo di altezza h(t) e aggio (t) sia uguale a Q: h t t Q ^ h$ 6 ^ h@ " $ ^th$ 6^th@ t " 6 ^th@ t " ^th t Sempe pe l equivaleza h^th ^th, isulta: h^th t, co t $ Figua O R cm H cm A h(t) V (t) l A B C La velocità di cescita del livello dell olio è espessa dalla deivata pima della fuzioe h(t): t hl^th D : ^ th D $ t t t t t t ^ h $ ^ h $ ^ h Il 7% dell altezza del sebatoio coispode a: 7 H $ 9 cm L olio aggiuge tale livello dopo u tempo t R dato da: t 9 t t t 7 9 R " R " R " R s, Idicato co l VB A il livello aggiuto dall olio lugo l apotema del coo, icaviamo i coispodeti valoi di h(t) e (t): 6h^th@ + 6^th@ l " 6^th@ + 6^th@ l " 6^ th@ l " la la ^th, h^th A A A Il volume della pate di sebatoio occupato dall olio, i fuzioe del livello l A aggiuto, è: la la la la la Vl ^ Ah $ h^th$ 6 ^th@ $ $ $ ; E $ L apotema del sebatoio iiziale è lugo: a H + R + 6 " a 6 cm Zaichelli Editoe,

4 Nel uovo sebatoio, sempe a foma di coo e co apotema a, l altezza h e il aggio devoo essee tali che: a h + " a h 6 h Il volume di tale sebatoio, i fuzioe dell altezza h, è dato da: V $ h$ h^6 h h Detemiiamo il valoe di h che massimizza il volume Vl $ 6 ^6 h h + h^ hh@ $ ^6h h, Vl 6 " 6 h " h!! Poiché il gafico di Vl è ua paabola che volge la cocavità veso il basso, Vl è positivo pe valoi di h itei alle adici tovate e egativo pe valoi di h estei Cosideata la limitazioe h dovuta al cotesto eale, otteiamo il seguete schema V' + V ma Figua Il volume del uovo coo è duque massimo i coispodeza di: 6 h 7, cm, 6 h 6, m Rappesetiamo a lato il uovo sebatoio I questo caso, altezza e aggio soo legati dalla seguete elazioe: h: WD : DE " DE WD WD WD h $ $ Nell itevallo di tempo tr, s, co u flusso di iempimeto pai a q cm /s, il uovo sebatoio si iempie di: 9 q$ tr $ 7 cm di olio Impoiamo che il coo di altezza WD e aggio DE abbia volume 7 cm : WD $ DE 7 " WD $ WD " WD " WD cm, Quidi il uovo sebatoio, i, s, si iempie fio a cica, cm di altezza Poiché: 7 h h $ $ 7, $ 7,,, Figua il livello dell olio i questo caso o aggiuge il 7% dell altezza totale del sebatoio K h D W E F Zaichelli Editoe,

5 PROBLEMA Cosideata f^h sicos, calcoliamo: f^ h si^h^hcos^ h si+ cos ^si cos hf^h, quidi la fuzioe f() è dispai Detemiiamo il sego della fuzioe icoedo allo studio della deivata pima: fl^h cos cos + si si Ossevato che e si soo positive ; 6, e si è ulla pe, otteiamo fl^h ; 6 e f l^ h La fuzioe f() è duque cescete ; 6 e ha u puto stazioaio i Poiché f^h, deduciamo che f^h ell ; 6 Pe l ;6 possiamo ivece fae i segueti agioameti: fl^h ;6 e f l^ h La fuzioe f() è duque decescete ; 6 e ha u puto stazioaio i, co f^h Quidi f^h, f^h e f() è decescete ;6: pe il pimo teoema di uicità dello zeo, esiste u solo ; 6 tale che f^ h Poiché f() o ha zei ; 6, imae dimostato che lo zeo di f() 6 ; è uico Pe disegae il gafico di f() pe! 6 estediamo a questo itevallo lo studio della cesceza e della decesceza della fuzioe π π π π π f' f π π π π π Figua Osseviamo che i miimi e i massimi elativi della fuzioe f() itei all itevallo 6 giaccioo sulle ette di equazioe ispettivamete e Ifatti i miimi elativi soo ^; h e ^; h e i massimi elativi soo ^ ; h e ^; h Iolte ache i e i, la tagete al gafico della fuzioe è oizzotale, essedo fl^h fl^ h Co le ifomazioi ote possiamo tacciae u gafico appossimativo della fuzioe f(), talasciado lo studio della deivata secoda π π π π π O π π π π π π π f() si cos π π Figua 6 Zaichelli Editoe,

6 Pima di calcolae l itegale defiito, calcoliamo pe pati l itegale del temie cos : cosd si sid si + cos + c L itegale defiito isulta alloa: f^hd ^si cos hd 6cos ^si + cosh@ 6 cos ` cos si j ^cos $ si h Pe dimostae la disuguagliaza + 96, osseviamo che i ; B la fuzioe f() è cesce te, co f^h e f ` j Risulta quidi # f^h # i ; B e petato f ^h# f^h i ; B I paticolae è f ^h f^h i B ; Passado agli itegali otteiamo alloa: f ^h# f^h " f ^hd f^hd " " " + 96 Ricodado che, pe il calcolo pecedete, è f^hd cos si + c, otteiamo 6! N: ^ + h ^ + h f^hd 6 cos 6 cos6^+ h@ ^+ h$ si6^ + h@@ ^cos $ si h+ + ; f ^ h d 6 cos 6 cos$ ^cos $ si h + I agioameti fatti al puto pe la fuzioe f () pe l itevallo 6 si possoo estedee a tutto R : f() si aulla i e ua e ua sola volta i ogi itevallo del k ; ^k+ h6, co k! Z " ;,; f() peseta miimi o massimi elativi i coispodeza di k, co k! Z ",, e fk ^ h k Pe la fuzioe f ^h possiamo alloa die che: f ^ h $ su R ed è cotiua e deivabile i R ; f ^ h si aulla dove si aulla f (), quidi i e ua e ua sola volta i ogi itevallo del k; ^k+ h6, co k! Z " ;,; D 6 f ^h@ f^h $ fl^ h, quidi i puti di massimo e miimo elativi vao cecati ta gli zei di f^h e di fl^h Gli zei di f^h soo puti di miimo di f ^h, quidi i massimi elativi di f ^h soo ta gli zei di fl^h I paticolae, f ^h peseta massimi elativi i coispodeza di k, co k! Z ",, e f ^kh ^kh Duque i miimi di f paabola di equazioe ^h giaccioo sull asse delle ascisse, mete i massimi di f ^h giaccioo sulla 6 Zaichelli Editoe,

7 QUESTIONARIO Il limite si peseta ella foma idetemiata poiché sia il umeatoe f^h si^cos h sia il deomiatoe g^h l^cos h tedoo a quado tede a Possiamo applicae il teoema di De L Hospital i quato: f() e g() soo cotiue i u oppotuo itoo I di, co f^h g^h ; f() e g() soo deivabili i I ",, co fl^h si $ cos ^ cos h e si g l^ h cos si cos cos $ ^ h! i I ", Applichiamo duque il teoema: lim si^cos h fl^ h cos lim lim si cos cos l cos $ ^ h $ ` si jb ^ h gl^h " " " cos limcos^cos h$ B " Idichiamo co p, la pobabilità che u passeggeo o paghi il biglietto del tam Possiamo calcolae la pobabilità che su passeggei di u tam essuo sia seza biglietto mediate la distibuzioe biomiale: p^x h ` jp ^ ph $, $, 96 96,, dove X idica la vaiabile casuale «umeo di passeggei seza biglietto» La pobabilità che almeo u passeggeo sia seza biglietto è data dalla pobabilità complemetae: p^x$ h p^x h 96,, Se il umeo di passeggei addoppia, la pobabilità o può ceto addoppiae, dovedo imaee mioe o uguale a Cofemiamolo co il calcolo: p^x h ` jp ^ ph $, $, 96 96,, p^x$ h p^x h 96,, 96 Cosideiamo le fuzioi f^h e g^h + a Affiché i loo gafici isultio tageti i u puto, deve esistee u paticolae valoe di tale che f^h g^h e fl^ h gl^h Impoiamo tali codizioi: f g ^ h ^ h + a + $ a a ) " ( " ( " ( fl^ h gl^ h + I paticolae, il paameto a deve valee Iolte f^h g^h Quidi le due fuzioi soo tageti el puto di coodiate ^ ; h Cosideiamo i puti A^; ; h e B^; ; h La supeficie sfeica R, di diameto AB, ha ceto C el puto medio di AB: + C` ; ; j " C^; ; 6h Il aggio della supeficie sfeica è: AC ^ h + ^ h + ^ 6+ h Zaichelli Editoe,

8 La supeficie sfeica ha duque equazioe: ^ h + ^ h + ^z+ 6h " z + 6+ z " + + z + z + Il piao tagete alla supeficie R passate pe A è pepedicolae al aggio AC, il cui vettoe di diezioe è: AC^; ; 6+ h " AC^ ; ; h Il piao tagete ha duque equazioe: ^ h+ $ ^ h+ $ ^z+ h " + z+ " z Idichiamo co C e C i due capaoi dove vegoo podotti gli scatoloi I C vegoo podotte 6 scatole su u totale di, cioè il 6%, e di queste il % è difettoso I C vegoo podotte scatole su u totale di, cioè il %, e di queste il % è difettoso Rappesetiamo la situazioe el seguete diagamma ad albeo (dove D idica il amo delle scatole difettose e Q idica il amo delle scatole che hao supeato il cotollo qualità), D,6,,,6 C,97 Q,, D,,, C,9 Q Figua 7 La pobabilità che, avedo tovato ua scatola difettosa, questa povega dal secodo capaoe, può essee calcolata co il teoema di Baes: pc _ pc ^ h $ p_ D Ci, $, Di p D, +, ^ h,, 6 77, " 77, % 6 Rappesetiamo la situazioe i figua C D A O B Figua L aea del tiagolo ODC è idividuata dall agolo, co Ifatti l aea del tiagolo ODC è data da: a ^ h $ OC $ OD $ sicod $ $ $ si si Il tiagolo ha aea massima quado si, quidi pe, e vale a I paticolae, l aea è massima quado ODC è u tiagolo ettagolo Zaichelli Editoe,

9 7 Ricoduciamo il limite ella foma del limite otevole lim ` + j e : "! $ $ ^ h lim ` + j lim + lim + lim + e " + " + e o " + e o " + > e o H e La etta g ha odiata all oigie q A e coefficiete agolae: B m B A A, quidi ha equazioe: + Cosideata la fuzioe g^h + coispodete alla etta g, possiamo calcolae l aea della egioe idicata ella figua del testo mediate l itegale defiito: 6 f^h g^h@ d d ^ + + hd B a + + k , 9 U geeico piao ello spazio ha equazioe a + b + cz + d co a, b e c umei eali o tutti ulli; impoiamo il passaggio di tale piao pe i puti A^ ; ; h, B^ ; ; h, C^; ;h: a+ c+ d a+ c+ d a+ c+ d * a+ b+ c+ d " * a+ ^ c+ dh+ c+ d " * a+ d " b c+ d b c+ d b c+ d ^ dh+ c+ d d+ c c d a d * a d " * a d " * a d " * b d b c+ d b c+ d b c+ d c d Poiché possiamo scegliee abitaiamete il valoe di d, puché diveso da zeo, poiamo d e otteiamo: a, b, c, d Il piao passate pe A, B, C ha duque equazioe: a: + z + Il vettoe v ^ ; ;h, fomato dai coefficieti delle icogite dell equazioe del piao a, isulta pepedicolae al piao stesso e costituisce quidi il vettoe di diezioe delle ette otogoali ad a Fa tutte cechiamo la etta passate pe D(; ; ), icoedo alle equazioi paametiche: * t : + t, co t! R z t 9 Zaichelli Editoe,

10 Detemiiamo le equazioi catesiae della etta : Z ] t t Z + t " t ] ] + * [ " [ " ( z z z t ] ] z ] t \ \ Disegiamo el piao catesiao la egioe R Nel pimo quadate le due cuve si icotao pe la pima volta el puto (; ) R O Figua 9 Il volume V del solido otteuto uotado la egioe R attoo all asse delle ascisse è dato dall itegale defiito: V ^ h d ^ h d d d : D : D l a k a l l k 6 a, l l k a l k 9 Pe calcolae il volume V del solido otteuto uotado la egioe R attoo all asse delle odiate, dobbiamo detemiae pima l espessioe delle fuzioi ivese: l l l " ^e h " e " l l ", co # # ; l ", co # # Il volume V è quidi dato da: l V _ i d c m d d l d l l Pe pocedee co il calcolo, sviluppiamo sepaatamete, pe pati, l itegale di l : l d l d l $ $ l $ d l $ l d Zaichelli Editoe,

11 l : l $ dd l : l dd l 6 + c l l + + c Possiamo poseguie co il calcolo del volume: V ; E 6 l l l a k 6 ^$ l $ $ l + $ h^$ l $ $ l + $ h@ l l l l l l l ^ $ $ + h ^ $ $ 6 $ + 6 h ^6 $ l 6$ l + 6h, l Alteativamete, avemmo potuto calcolae il volume V i modo più veloce utilizzado il metodo dei gusci cilidici che o ichiede il calcolo delle fuzioi ivese Co questo metodo, il volume V è dato dall itegale defiito: V $ $ d : $ d dd Sviluppiamo sepaatamete, pe pati, l itegale di $ Quidi: V $ $ $ d D: Dd d e l l l l + l $ $ l l l l : D ; a $ ka ke l a, l + l l k a l l k Zaichelli Editoe,