Calcolo delle Probabilità - S.T.A.D Cenni storici. Casi Possibili. Problema del Cavalier De Méré. Libri adottati

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1 Calcolo delle Pobabilità - STAD 0-03 Libi adottati Calcolo delle Pobabilità, Sheldo Ross, Apogeo, 007 Icetezza e Pobabilità, Romao Scozzafava, Zaichelli, 003 dispese e compiti di esame svolti dispoibili sul sito del docete Ulteioi appofodimeti dispese foite dal docete Calcolo delle Pobabilità, Giogio Dall Aglio, Zaichelli, 00 Calcolo delle Pobabilità, Paolo Baldi, McGaw-Hill (007, 0) Teoia delle Pobabilità, vol e vol, Buo de Fietti, Giu è (istampa 00) Calcolo delle Pobabilità ed Elemeti di Statistica, Luciao Daboi, Utet Cei stoici Il calcolo delle pobabilità si è sviluppato fa il XV e il XVI secolo, pevaletemete sulla base di studi e cosideazioi teoiche iguadati situazioi e poblemi coessi ai giochi d azzado Il pimo libo sul gioco d azzado (Libe de ludo aleae) èstato scitto, ache se pubblicato successivamete, agli iizi del 00 da Geolamo Cadao (matematico, fisico, medico e astologo italiao) Si è soliti fa isalie l oigii del CdP a cete questioi di scommessa poste dal Cavalie de Méé a Pascal e da questi discusse co Femat Lo sviluppo stoico del calcolo delle pobabilità è dovuto a gadi scieziati quali Galilei, Beoulli, Pascal, Femat, Laplace Nel secolo scoso la teoia delle pobabilità si è sviluppata i molte diezioi gazie al lavoo di famosi matematici, fa i quali Kolmogoov e Buo de Fietti Figua : Kolmogoov e de Fietti G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag Poblema del Cavalie De Méé Esempio Detemiae il più piccolo iteo tale che laciado volte u dado la pobabilità di avee almeo u 6 sia maggioe di Suppoiamo di laciae volte u dado e cosideiamo l eveto A : esce almeo ua volta la faccia 6 su laci Casi Possibili Ti viee poposto u gioco Hai due ue U,U coteeti pallie di ugual foma e che possoo di eie pe il coloe: biaca e ea ella pima ua, biaca e ee ella secoda Vici u pemio se ad occhi bedati iesci ad estae ua pallia biaca I quale ua ti coviee pescae? I casi favoevoli ad A si ottegoo più facilmete sottaedo dai 6 casi possibili (giudicati ugualmete possibili) quelli ei quali o si peseta il 6, che soo Petato si ottiee P (A ) 6 6 L iteo cecato è pai a come si evice dalla Tabella 3 P (A ) 0 0 Tabella : Valoi di P (A ) pe 3, Ua Ua Figua : I quale delle due ue ti coviee pescae? G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag

2 Oa disega elle due ue pallie biache e ee i modo che sia più coveiete pescae ella secoda ua Pe vicee u pemio devi estae pallia biaca I quale ua pescheesti? Ua Figua 3: Ua Ua Figua : Ua G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6 E i questo caso? E i questa situazioe i quale ua pescheesti? Mi coviee pescae da U, Mi coviee pescae da U, Idi eete, Ua Ua 0 Figua 6: Ua Ua Pechè? Figua : Calcola, pe ciascu ua, il appoto ta il umeo delle pallie biache ed il totale delle pallie a Ua pallie biache pallie totali ;Ua pallie biache pallie totali G Safilippo - CdP - STAD - - pag 7 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 8

3 Si ha a Ua pallie biache pallie totali Defiizioe classica ;Ua pallie biache pallie totali Citeio classico di valutazioe della pobabilità I molti poblemi aleatoi, pe agioi di simmetia o di macaza di ifomazioi sul feomeo studiato, i casi possibili soo giudicati ugualmete possibili Ossevado i appoti si ituisce che è più pobabile estae ua pallia biaca dalla a Ua Ifatti si ha caso favoevole di estae la pallia biaca su 3 casi possibili Nella a Ua ivece i casi favoevoli soo 3 e i casi possibili soo 0 Citeio classico di valutazioe della pobabilità I tali situazioi, pe valutae il gado di attedibilità di u eveto A, è del tutto atuale basasi sul umeo di casi favoevoli a ciascuo degli eveti cosideati Defiizioe (Classica) Cosideato u espeimeto aleatoio co m casi possibili, giudicati ugualmete possibili, eduevetoe co E casi favoevoli, la pobabilità P (E) di E è uguale al appoto E m P (E) # casi favoevoli a E # casi possibili E m G Safilippo - CdP - STAD - - pag 9 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 0 Esempio (lacio di dadi) Idichiamo co X, Y il isultato dei due dadi e co Z X + Y il totale I casi possibili (le coppie (x, y)) soo 6 636; P (Z 3) 36 8, i quato le coppie favoevoli soo due : (, ), (, ) Calcolae P (Z h) pe h, 3,, Figua 7: Esempio 3 Suppoiamo di estae ua cata da u mazzo di cate facesi ( cate) Calcolae la pobabilità, pe ciascuo dei segueti eveti, come appoto ta casi favoevoli su casi possibili A Si estae ua cata di cuoi, P (A) B Si estae ua cata di quadi, P (B) 3 C Si estae ua cata di coloe osso, P (C) Osseva che P (C) P (A) +P (B), pechè? D Si estae u e, P (D) 3 E Si estae ua doa, P (E) 3 6 F Si estae u fate, P (F ) 3 7 G Si estae ua figua, P (G) 3 3 Osseva che P (G) P (D) +P (E) +P (F ) 8 H Si estae u e o ua cata ossa, P (H) Osseva che P (H) 6 P (C) +P (D) Pechè pe P (H) o vale la egola della somma? P (X >Y) 36, ifatti vi soo 6 coppie favoevoli all eveto (X Y ) edelle estati 30 quelle favoevoli all eveto (X >Y) soo G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag

4 Eveti e isiemi Hai ossevato che la pobabilità di u eveto come quello deomiato C è isultata uguale alla somma delle pobabilità dei due eveti A e B Ivece pe u eveto come H elativamete agli eveti C e D questo o avviee Eppue si ha che A e B uiti costituiscoo C; C e D uiti costituiscoo H Immagiiamo di associae a ciascu eveto u isieme: ad esempio all eveto A estazioe di ua cata di cuoi associamo l isieme A{le cate di cuoi del mazzo} Usiamo cioè la stessa lettea maiuscola pe appesetae l eveto e l isieme Quidi all eveto B Estazioe di ua cata di quadi associamo l isieme B {le cate di quadi del mazzo} E così via Osseviamo che C A [ B e che H C [ D Peò otiamo che A \ B ; e C \ D { e di cuoi, e di quadi 6 ;} Dati due eveti E, E e cosideata la loo appesetazioe isiemistica diciamo che: E,E si dicoo INCOMPATIBILI se E \ E ;, E,E si dicoo COMPATIBILI se E \ E 6 ; Ad esempio: A, B soo INCOMPATIBILI,mete C, D soo COMPATIBILI Semba che dati due eveti icompatibili valga la seguete fomula P (E [ E )P (E )+P (E ), se E \ E ; Dati ivece due eveti qualsiasi E,E cosa possiamo die della pobabilità di E [ E? Popietà Si può dimostae che vale la seguete popietà P (E [ E )P (E )+P (E ) P (E \ E ) Petato, i ifeimeto all esempio 3, si ha P (H) P (C [ D) P (C) +P (D) P (C \ D) Esecizio Suppoedo di estae cate da u mazzo di Calcolae la pobabilità dei segueti eveti: A Si ottiee ua sola Coppia B Si ottiee ua Doppia Coppia 3 C Si ottiee Poe E Si ottiee il Full ATTENZIONE La defiizioe classica è valida solo se i casi possibili soo cosideati ugualmete possibili Esempio Sia E l eveto Tu supei l esame di matuità Poichè i casi possibili soo (supei o o supei) itiei che P (E)? G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag Figua 8: Ruota della Fotua Quati soo i casi possibili? Casi Possibili B La lacetta idica il Blu V La lacetta idica il Vede R La lacetta idica il Rosso Figua 9: B, V, R soo ugualmete possibili? Ritiei che P (B) P (V )P (R) 3? G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6

5 Exta Cosideiamo u dado come i figua Si lacia ua volta il dado Supposto che sia uscito u quadato qual è la pobabilità che la figua sia scua? Figua : Figua 0: Casi possibili giudicati ugualmete possibili? E i La lacetta idica il settoe cicolae i i,,,0 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 7 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 8 Poposizioi logiche, eveti L aalisi di situazioi e poblemi eali spesso compota l esame di fatti e aspetti iceti, che potao successivamete isultae vei o falsi Nell esame di u poblema aleatoio si possoo distiguee sostazialmete due aspetti: uo i cui si applica la logica del ceto ed u alto, successivo, i cui si applica la logica del pobabile I fatti iceti soo fomalizzati (i modo o ambiguo) mediate poposizioi logiche che possoo assumee il valoe Veo oppue Falso Ua poposizioe o a emazioe logica si idica co il temie di eveto, che si può defiie come u etità logica a due valoi: veo (V )ofalso(f ) I ua pima fase, avedo u ifomazioe icompleta i elazioe al fissato espeimeto aleatoio, si aalizzao i fatti iceti idividuado l isieme delle evetualità possibili (detto ache isieme dei casi elemetai, o isieme dei casi possibili, o isieme dei costitueti) Di tali casi uo e uo solo isulteà veo Eveti I astatto, l isieme dei casi possibili potà essee appesetato co uo spazio e ogi caso elemetae saà appesetato co u puto di Alloa, ogi fissato sottoisieme E di appeseta u eveto, idicato co lo stesso simbolo, che saà veo oppue falso a secoda che il isultato dell espeimeto, ovveo il caso elemetae che si veifica, coispode ad u puto che appatiee oppue o ad E Due eveti paticolai soo: l eveto ceto, appesetato dall isieme, che isulta sicuamete veo; l eveto impossibile, appesetato dall isieme vuoto ;, che isulta sicuamete falso Gli eveti si idicao di solito co le lettee maiuscole: A, B,, E, H, Dato u eveto E, si defiisce Idicatoe di E la seguete quatità E Notae che si ha:, ; 0 ( se E è veo, 0 se E è falso G Safilippo - CdP - STAD - - pag 9 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 0

6 Negazioe L eveto cotaio o egazioe di u eveto E è l eveto che è veo quado E è falso ed è falso quado E è veo L eveto cotaio di E si idica co il simbolo E c Utilizzado gli idicatoi si ha che E c E E c ( veo falso se E falso, se E veo Opeazioi e elazioi logiche Implicazioe U eveto A implica u alto eveto B se quado è veo A segue che è veo ache B I simboli si scive A B A B equivale alla disuguagliaza A apple B A B Ω Figua 3: A B Figua : Negazioe Esempio Suppoiamo di fae laci di u dado E Esce almeo volte il umeo 6 E c Esce al più ua volta il umeo 6, Esempio Suppoiamo di fae laci di u dado A Esce almeo ua volta il umeo B Esce almeo ua volta u umeo pai Si ha A B Uguagliaza Due eveti A e B si dicoo uguali se oguo dei due implica l alto, cioè se A B e B A G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag Uioe L uioe o somma (logica) di due eveti A, B è l eveto che è veo quado almeo uo dei due eveti è veo ed è falso quado sia A che B soo falsi Si idica co A _ B oppue A [ B Esempio 6 Lacio di u dado A Esce il umeo o il umeo, B Esce il umeo o il umeo 3, A _ B Esce uo dei segueti umei,, 3 Popietà Uioe: associativa : (A _ B) _ C A _ (B _ C) A _ B _ C; commutativa : A _ B B _ A Ossevazioi: A _ ; A _; A ; A _ A A ; A _ A c Itesezioe L itesezioe (logica) o podotto (logico) di due eveti A, B è l eveto che è veo quado etambi gli eveti soo vei ed è falso quado almeo uo dei due eveti A, B è falso L eveto itesezioe di A, B si idica co A^B, oppue A\B, opiù semplicemeteab Esempio 7 Lacio di u dado A Esce il umeo o il umeo, B Esce il umeo o il umeo 3, AB Esce il umeo Popietà Itesezioe: associativa : (A ^ B) ^ C A ^ (B ^ C) A ^ B ^ C commutativa : A ^ B B ^ A Ossevazioi: A ^ A ; A ^; ; ; A ^ A A ; A ^ A c ; G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag

7 Icompatibilità Due eveti A, B si dicoo icompatibili se o possoo essee etambi vei, cioè se A ^ B AB ; Esempio 8 Lacio di u dado Sia A Esce il umeo e B Esce u umeo dispai si ha AB ; Popietà degli idicatoi: AB A B ; A _ B A + B AB, co A _ B A + B el caso i cui AB ; Alte popietà: AB A A _ B, AB B A _ B, ( AB apple A apple A _ B ) ( AB apple B apple A _ B ) Popietà distibutive : (A _ B) ^ C AC _ BC, (A ^ B) _ C (A _ C) ^ (B _ C) Fomule di De Moga : (A _ B) c A c ^ B c ; (A ^ B) c A c _ B c G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6 La coispodeza ta i valoi logici di due eveti A, B equellidiab e A _ B è ipotata ella Tabella Utilizzado gli idicatoi: A B AB A _ B V V V V V F F V F V F V F F F F Tabella : Tavola di Veità (Itesezioe e Uioe di due eveti) A B AB A _ B De Moga A B (A _ B) c A c ^ B c (A ^ B) c A c _ B c V V F F F F V F F F V V F V F F V V F F V V V V Tabella : Tavola di Veità delle leggi di De Moga Calcolae la tavola di veità pe l eveto A c _ B A B A c _ B V V V V F F F V V F F V Tabella : Tavola di Veità pe l eveto A c _ B Tabella 3: Tavola di Veità degli idicatoi Itesezioe e Uioe G Safilippo - CdP - STAD - - pag 7 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 8

8 Diagammi di Ve Cosetoo ua appesetazioe geometica degli eveti, utile pe esamiae le elazioi e opeazioi logiche Patizioe Ua famiglia di eveti {H,H,,H } costituisce ua patizioe di se valgoo le segueti due popietà : H i ^ H j ;, i 6 j ; H _ H _ _ H '$ AB &% '$ C D &% Eveti ceto impossibile cotaio implicazioe icompatibili uioe itesezioe Isiemi uiveso vuoto complemetae iclusioe disgiuti uioe itesezioe Utilizzado gli idicatoi si può facilmete veificae che la e la soo equivaleti a H + H + + H () Esempio 9 Lacio di u dado H i Esce il umeo i i,,,6 Gli eveti H,H,,H 6 fomao ua patizioe di Esempio 0 Lacio di u dado H i Esce il umeo i i,,, Gli eveti H,H,,H o fomao ua patizioe di Esempio Lacio di u dado A Esce u umeo maggioe o uguale a 3 B Esce u umeo mioe o uguale a 3 Gli eveti A, B o fomao ua patizioe di (pechè?) Tabella 6: Coispodeza ta isiemi ed eveti G Safilippo - CdP - STAD - - pag 9 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 30 Decomposizioe di u eveto Dato u eveto abitaio E ed ua patizioe {H, H c }, si ha: E E ^ E ^ (H _ H c )EH _ EH c () Più i geeale, data ua patizioe {H,H,,H },siha: Popietà fodametali della pobabilità Utilizzado la Defiizioe () si possoo dimostae le segueti popietà di base (assiomi) della pobabilità e E E ^ EH _ EH _ _ EH (3) E EH + EH + + EH () P P (E) 0, pe ogi eveto E; (il umeo di casi favoevoli è o egativo e quidi m 0) P P ( ) ; (pe l eveto ceto, siha m equidi m ) P3 se AB ;, alloa P (A _ B) P (A) +P (B) (popietà additiva) Dim di P3 Da AB ;, segue AB 0equidi Figua : Decomposizioe I molti casi le fomule () e ( 3) soo utili pe calcolae la pobabilità di E Petato P (A _ B) A_B m A_B A + B AB A + B A + B m A m + B P (A) +P (B) m G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3

9 I paticolae, el caso B A c,applicadop e P3 si ottiee P (A c ) P (A) Se AB ;, poedo C (A _ B) c,siha P (C) P (A _ B) P (A) P (B), e quidi pe la patizioe {A, B, C} vale P (A) +P (B) +P (C) Se E,,E soo a due a due icompatibili, si ha che i due eveti A E _ _E, B E soo icompatibili Ifatti A ^ B (E _ _ E ) ^ E E E _ E E _ E E ; Petato, applicado ipetutamete tale isultato agli alti eveti, si ha Popietà di mootoia SeA B, siha B B ^ B ^ (A _ A c )AB _ A c B A _ A c B, A^ A c B ;, edap, P3 segue P (B) P (A _ A c B)P (A) +P (A c B) P (A) Pobabilità di A _ B Dati due eveti compatibili A e B, siha A _ B A _ A c B, P(A _ B) P (A) +P (A c B), B AB _ A c B, P(A c B)P (B) P (AB), P (E _ _ E ) P (E _ _ E )+P (E ) P (E _ _ E )+P (E )+P (E ) P (E )+P (E )+ + P (E ), I paticolae se E,,E fomao ua patizioe di si ha: P (E )+P (E )+ + P (E ) equidi P (A _ B) P (A) +P (B) P (AB) G Safilippo - CdP - STAD - - pag 33 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 Iteado la fomula delle pobabilità dell uioe di due eveti, pe l uioe di te eveti abitai A, B, C, si ottiee P (A _ B _ C) P (A) +P (B) +P (C)+ P (AB) P (AC) P (BC) +P (ABC), equivalete (cf De Moga) acheallafomula P (A _ B _ C) P (A c B c C c ) I geeale pe eveti E,E,,E si ha P (E _ E E ) X P (E i ) i X P (E i E j )+ X P (E i E j E )+ i<j i<j< +( ) + P (E E E ) Esecizio Poblema delle cocodaze o degli accoppiameti (vedi S Ross, Calcolo delle Pobabilità) Aspetti citici della defiizioe classica ) Scelta appopiata dei casi da giudicae ugualmete possibili Esempio U espeimeto aleatoio cosiste i due laci di ua moeta E : i almeo u lacio esce Testa Casi possibili: C : esce Testa al pimo lacio (e l espeimeto temia), C : esce Coce al pimo lacio e Testa al secodo lacio, 3 C 3 : esce Coce i etambi i laci, C e C soo favoevoli ad E Alloa, la pobabilità di E è 3? No agioevole! No è agioevole giudicae i te casi ugualmete possibili Ifatti, P (C ) (se Testa o Coce al pimo lacio si giudicao ugualmete possibili) C ed C 3 soo ugualmete possibili e la loo uioe logica coicide co l eveto Coce al pimo lacio; G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 36

10 I base alla popietà additiva hao ciascuo pobabilità e quidi ua valutazioe più adeguata di P (E) è 3 Tale valutazioe è quella che si ottiee diettamete se si cosideao come casi possibili (ugualmete possibili) i segueti quatto, i pimi te dei quali soo quelli favoevoli ad E: esce Testa i etambi i laci; esce Testa al pimo lacio e Coce al secodo lacio; 3 esce Coce al pimo lacio e Testa al secodo lacio; esce Coce i etambi i laci ) La Defiizioe o è applicabile sempe Esempio 3 Se uo studete sostiee u esame vi soo due casi possibili (lo studete può essee pomosso o bocciato) Nessuo, peò, si sogeebbe di cocludee che la pobabilità di essee pomosso è pai a Come si vede già da questo esempio baale, la valutazioe della pobabilità di uo o più eveti ichiede metodi geeali e solo i casi paticolai ci si può basae sulla Defiizioe 3) Cicolaità Il temie ugualmete possibili utilizzato ella Defiizioe Classica o può sigificae alto che ugualmete pobabili e quidi il cocetto di pobabilità viee defiito mediate se stesso A tale iguado è istuttiva questa iflessioe di Poicaé: Siamo costetti a defiie il pobabile dal pobabile G Safilippo - CdP - STAD - - pag 37 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 38 Impostazioi classica; fequetista; Richiami di calcolo combiatoio Esempio Te località A, B, C soo collegate el seguete modo : pe adae da A a B vi soo 3 pecosi distiti : p,p,p 3 ;dab a C vi soo pecosi distiti : s,s Defiizioe (fequetista) Cosideata ua successioe di pove idipedeti e ipetute elle stesse codizioi e idicado, pe u dato eveto E, co f N la fequeza elativa di successo sulle pime N pove si poe '$ A &% p p p 3 '$ B &% s s '$ C &% Assiomatica; P (E) lim f N N!+ I pecosi distiti (pe almeo u tatto) che vao da A a C passado pe B o soo 3+,ma3 6, cioè i segueti : (p,s ), (p,s ), (p,s ), (p,s ), (p 3,s ), (p 3,s ) P (E) 0, 8 E A, (o-egatività); P ( ),(omalizzazioe); P (A _ B) P (A) +P (B), 8 A, B A, tali che AB ;, (popietà additiva) Soggettiva Il picipio della moltiplicazioe iteviee spesso el calcolo combiatoio G Safilippo - CdP - STAD - - pag 39 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 0

11 Nell Esempio la scelta di u pecoso ichiede l esecuzioe di ua pocedua i due passi, co u ceto umeo di alteative i ogi passo: si sceglie il tatto da A a B (3 alteative); si sceglie il tatto da B a C ( alteative); il umeo di modi i cui si può svolgee l itea pocedua è pai al podotto delle alteative i ogi passo (3 6) Disposizioi I geeale, dato u isieme S fomato da oggetti a,a,,a,puòesseeutile cotae, pe u iteo, ilumeodidisposizioi o guppi odiati distiti (,, ), co i S, i,,, che si possoo fomae utilizzado gli elemeti di S Due guppi odiati di eiscoo se cotegoo almeo u elemeto diveso oppue se cotegoo gli stessi elemeti ma i odie diveso Pe scegliee u guppo odiato si esegue ua pocedua di passi Ogi pecoso coispode ad ua coppia odiata (p i,s j ), i,, 3; j, G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag Disposizioi Disposizioi co ipetizioe Le compoeti,, possoo essee (i pate o ache tutte) coicideti I questo caso si pala di disposizioi co ipetizioe di classe di oggetti Le alteative i ogi passo soo sempe ; petato, i base al picipio della moltiplicazioe visto ell Esempio (), idicado co D 0, il umeo di disposizioi co ipetizioe si ha D 0, () Disposizioi semplici o seza ipetizioe Se i 6 j,pei 6 j I questo caso si pala di disposizioi semplici o seza ipetizioe (di classe di oggetti) e dev essee ovviamete apple Idicado co D, il umeo di disposizioi seza ipetizioe si ha D, ( ) ( + ) (6) I paticolae, pe si ha +, da cui segue : D, ( )! (7) Pemutazioi Il umeo di disposizioi di oggetti di classe, cioèd,, si idica co P,eappeseta il umeo di pemutazioi o odiameti di oggetti P! l simbolo! si legge fattoialee appeseta il podotto di tutti i umei da sio a Ad esempio : 3! 3 6;! 0 Pe covezioe si poe 0! La defiizioe di! può esse data i foma icosiva:! ( ( )! se N se 0 Iolte :! D, ( ) ( + ) ( )! (9) Ad esempio : D,! 3! ; D 0, ! 6! (8) G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag

12 Combiazioi Cosideiamo pe l isieme S {a,a,,a } il calcolo del umeo di guppi o odiati distiti [,, ], dove i S, i,,, che si possoo fomae utilizzado gli elemeti di S Due guppi o odiati si dicoo distiti se di eiscoo pe almeo u elemeto Distiguiamo due casi: i 6 j,sei 6 j I questo caso si pala di combiazioi semplici (di classe di oggetti) e dev essee ovviamete apple Ogi combiazioe semplice appeseta u sottoisieme di oggetti di S e si idica co il simbolo {,, } le compoeti,, possoo essee (i pate o ache tutte) coicideti I questo caso si pala di combiazioi co ipetizioe (di classe di oggetti) Combiazioi Semplici Il umeo di combiazioi semplici si idica co il simbolo C, e appeseta il umeo di sottoisiemi distiti di oggetti che si possoo fomae co gli elemeti di S Ossevado che ogi combiazioe semplice dà luogo ad! disposizioi semplici (distite pe l odie), segue: D,! C,, equidi: Il simbolo C, D,!!!( )! (0) si legge coe ciete biomiale su Ovviamete essedo:!!( )!, segue che C, C, G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6 Esempio Popietà del coe ciete biomiale Si ha 0!!0! 0!!0!! 0!! ! 6!8! ! 6!8! U alta fomula utile è la seguete : +, 3!!( )! 0 ; ;, 0,,,; + P 6 0 ovveo: C, C, + C, Ifattisiha! ( + ) ( )!!( )!!( )! ( )! ( )!( )! + ( )( )!!( )( )! Figua : Tiagolo di Pascal o di Tataglia: Ogi umeo (o di fotiea) el tiagolo è la somma dei due umei supeioi, + G Safilippo - CdP - STAD - - pag 7 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 8

13 Biomio di Newto Osseviamo che, voledo costuie u geeico sottoisieme I S, si deve eseguie ua pocedua di passi, co alteative i ogi passo Ifatti, occoe decidee pe ciascuo degli elemeti a,,a se icludelo oppue o i I Petato, il umeo di sottoisiemi di S, compeso il sottoisieme vuoto ; elostessos, è dato da X, 0 come segue ache dalla fomula del biomio di Newto poedo a b : (a + b) X 0 a b X 0 a b Dimostiamo pe iduzioe lo sviluppo della poteza -esima di u biomio, ovveo di (a + b) X 0 a b X 0 a b, N () E facile ossevae che la () è vea pe pe, Ifatti si ha (a + b) (a + b) X 0 X 0 a b a 0 0 b 0 + a b a + b a b a 0 0 b 0 + a b + a b Suppoiamo che la () sia valida pe e dimostiamo che la () è vea pe Sia pe ipotesi (a + b) P 0 a b a + a b + a 3 b a b + + ab + b () G Safilippo - CdP - STAD - - pag 9 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 0 Moltiplicado ambo i membi della () pe (a + b), si icava (a + b) a a + a b a b + + +b a + a b a b + + a 3 b + ab + b + a 3 b + ab + b a + [ + ]a b +[ + ]a b + +[ + ]a b + +[ + ]ab + b Ricodiamo che si ha Petato la elazioe (3) diveta (3) Esempio (Ambo el Gioco del Lotto) Si vuole valutae la pobabilità dell uscita di u fissato ambo (ad es,0)poichè o iteessa l odie co il quale compaioo gli elemeti della ciquia l isieme dei casi possibili che possoo essee giudicati ugualmete possibili è 90 costituito dalle ciquie che si possoo fomae co 90 umei il loo umeo è Petato la pobabilità di ogi ciquia è I casi favoevoli all eveto uscita ( 90 ) dell ambo soo le ciquie che assieme ai umei e 0 cotegoo alti te itei compesi ta e 90 Il loo umeo è pai a 88 3 La pobabilità cecata è data da p Si saebbe peveuto allo stesso isultato se avessimo cosideato come casi possibili le disposizioi di 90 umei i posti (i umeo pai a 90!) e come casi favoevoli le ciquie odiate i cui compaioo i umei e 0 (i umeo pai a 88 3! ) (a + b) a + a b + a b + + a b + + ab + b P 0 a b G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag

14 Fomula di Stilig! p + e Esecizi di Calcolo Combiatoio Esecizio 3 Suppoedo di estae cate da u mazzo di Calcolae la pobabilità dei segueti eveti: A Si ottiee ua sola Coppia B Si ottiee ua Doppia Coppia 3 C Si ottiee Poe E Si ottiee il Full Osseviamo che i casi possibili giudicati ugualmete possibili, poichè o iteessa l odie co il quale compaioo gli elemeti è pai a m (vedi Coppia Osseviamo che la coppia può essee di ciascuo dei 3 aghi e di dei semi Le imaeti 3 cate possoo essee qualsiasi 3 dei imaeti aghi e ciascua cata può essee di qualsiasi dei semi Quidi, il umeo totale di casi favoevoli all eveto A è p a i a 3 A G Safilippo - CdP - STAD - - pag 3 G Safilippo - CdP - STAD - - pag Petato si ha P (A) 3 A m ! Doppia Coppia Le due coppie possoo essee qualsiasi dei 3 aghi e ciascua coppia può essee di dei semi La cata imaete può essee qualsiasi dei imaeti aghi e di qualsiasi dei semi Quidi si ha Esecizio (de Meè ) Giocado a dadi è più pobabile otteee almeo ua volta 6 co laci di u solo dado, oppue almeo u doppio 6 co laci di due dadi? Esecizio Se i ua staza ci soo pesoe qual é la pobabilità che almeo due pesoe festeggio il compleao ello stesso gioo dell ao Sugg Cosideae l eveto tutti gli compleai soo divesi P (B) 3 3 ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) Poe P (C) 3 Full P (E) 3 3 R vo Mises, Ube Aufteilugs- ud Besetzugs-Wahscheilicheite, Revue de la Facultè des Scieces de l Uivesit è d Istabul, N S vol (938-39), pp -63 W Felle, Itoductio to Pobability Theoy ad Its Applicatios, vol, 3d ed S Ross, Calcolo delle Pobabilità, Apogeo, 007, Capitolo G Safilippo - CdP - STAD - - pag G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6

15 Da completae Poblema delle cocodaze P (A c Ac Ac ) X ( )! 0 Combiazioi co ipetizioe Ifie, i elazioe al umeo C 0, di combiazioi (co ipetizioe) di classe di oggetti, co u oppotuo agioameto combiatoio si potebbe veificae che isulta : C 0, + + I paticolae si dimosta che il umeo di soluzioi itee o egative di u equazioe x + x + + x è p a i a + + Questo agometo veà tattato i seguito G Safilippo - CdP - STAD - - pag 7 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 8 Ifatti, suppoiamo di dispoe pallie (idistiguibili) i ue, dove x,,, idividua il umeo di pallie peseti ella esima ua Il umeo di dislocazioi distite (poichè le pallie soo idistiguibili si ha che due dislocazioi saao distite se esiste almeo u ua che elle due dislocazioi ha u umeo diveso di pallie) è dato apputo dalle combiazioi co ipetizioe di elemeti di classe Osseviamo pe aalogia che le ue idividuao gli elemeti e pe ogi dislocazioe il umeo di pallie coteute ella esima ua idividua il umeo di ipetizioi (potedo essee ullo) dell oggetto esimo Scambiado co si ha e l equazioe diviee + C 0, + x + x + + x Coe ciete multiomiale 3 Dati itei 0,,,,,taliche + + +, sidefiisce coe ciete multiomiale il seguete:!!!! Esso idividua il umeo di modi i cui pallie distite si possoo ipatie i ue i modo che la esima ua cotega elemeti scatola scatola scatola Ifatti, idicado co U i,i la geeica ua, vi soo pallie dell ua U ; pe ogua di tale scelta vi soo dell ua U ; pe ogi scelta fatta elle ue U,U vi soo pe le pallie dell ua U 3 ; e così via sio ad avee pallie dell ua U Dalla egola della moltiplicazioe si ottiee scelte possibili pe le scelte possibili pe le pallie 3 scelte possibili scelte possibili pe le 3 Questo agometo veà tattato i seguito G Safilippo - CdP - STAD - - pag 9 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 60

16 Osseviamo che 3 3,,,quidi 3!( )!( )! ( )!( )!( )!! 0!! dove ( )!!!!, Esempio 6 Dieci agazzi voglioo fomae te squade di calcetto, due co cique compoeti e ua co sei compoeti Le suddivisioi possibili soo date da 6!!!6! Esempio 7 La pobabilità di otteee u poe (eveto C) estaedo cate da u mazzo di cate è pai a P (C) 3 P (C) 3,, Iolte si ha 3 3,, 0, 0, Più i geeale idicado, ta i casi favoevoli, co d 0 il umeo di aghi che o devoo compaie, co d il umeo di aghi sigoli che devoo compaie, co d il umeo di aghi doppi che devoo compaie, co d 3 il umeo di aghi tipli che devoo compaie e co d il umeo di aghi quadupli che devoo compaie, pe il poe si ha (d 0,d,d,d 3,d )(,, 0, 0, ) Deotiamo co d (d 0,d,d,d 3,d ) il vettoe di molteplicità dei aghi Pe calcolae la pobabilità che estaedo cate si ottega u fissato vettoe d (d 0,d,d,d 3,d ) si può usae la seguete fomula P (d) 3 d 0,d,d,d 3,d Q i0 Le pobabilità di otteee poe, tis, doppia coppia e coppia si possoo facilmete calcolae utilizzado la fomula pecedete (vedi Figua 6) i i G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6 G Safilippo - CdP - STAD - - pag 6 a umbe of ways flush* ( \0) (i) 0 fou of a id ( lll,ool :3 ) [C) ()J 6 full house [ (i)] 3,7 flush [ - (\0) J (i),08 C) [(i) - 0,00 thee of a id [ (i) (i)],9 two ( 'l HCH)J 0,,,00 l oe ( :3 )W):3()J :uo,o ",098,0 o pai [C;') (\0)] [(i)-,30,0 sm,98,960 flush Figua 6: G Safilippo - CdP - STAD - - pag 63