Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 6. Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether

Transcript

1 Iteazioi Elettodeboli pof. Facesco Ragusa Uivesità di Milao Lezioe Opeatoe Numeo Fomalismo Lagagiao e Hamiltoiao Quatizzazioe caoica. Teoema di Noethe ao accademico 17-18

2 Opeatoi di campo Ritoiamo all espasioe del campo tamite l itegale di Fouie φ d i x + i x E 1 x = a e + a e ) Se sostituiamo alle fuzioi a gli opeatoi di ceazioe e distuzioe otteiamo u opeatoe (limitiamoci al caso t = ) 1 d (,) + i i = ae + ae ) E φ Qual è l effetto di questo opeatoe? Applichiamolo al vuoto 1 d i i φ (,) + = e a + e a ) E L opeatoe di distuzioe o cotibuisce 1 d i φ (,) = e a ) E Poiché a è uo stato di sigola paticella φ (,) è ua sovapposizioe di stati di sigola paticella Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 166 a =

3 Opeatoi di campo Abbiamo pecedetemete defiito uo stato co ua paticella di mometo defiito p Ea = p p Calcoliamo il podotto scalae dello stato p> co lo stato defiito tamite l opeatoe di campo 1 d i φ (,) = e a ) E 1 d + i φ p = Ee aa ) p p E Utilizzado le egole di commutazioe otteiamo p = p + p aa aa ) δ Itoduciamo ell itegale d + i φ p = Ee p δ( p) E Itepetiamo il isultato dicedo che φ() cea uo stato di ua paticella i = φ, Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 167 i p = e p i = e + p Ricodae la meccaica quatistica o elativistica

4 Opeatoe umeo e Hamiltoiaa Cotiuiamo co l aalogia co l oscillatoe amoico Defiiamo l opeatoe umeo N = aa È ua geealizzazioe dell opeatoe umeo dell oscillatoe amoico Adesso dipede dal mometo degli stati C è ua ifità (cotiua) di stati possibili L opeatoe è sigolae: deve essee utilizzato i u itegale N 1 1 ( d N α α ) ( d a a = = α π π) Ad esempio, cotiamo le paticelle ello stato p = Ea p p 1 1 N p = d a a E a ) p p = d a E a a π p p p p 1 = d E a a a + π δ p ) ( ) d E a δ p p = Ea p p = Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 168 p> cotiee 1 paticella = p N p = 1 p

5 Opeatoe umeo e Hamiltoiaa Utilizzado l opeatoe umeo si possoo costuie alti opeatoi impotati Ad esempio l eegia totale: l opeatoe Hamiltoiaa L eegia di uo stato > è E = + m Petato possiamo defiie l Hamiltoiaa Questa defiizioe è coetta i patica Allo stesso modo si potebbe defiie l opeatoe mometo P Tuttavia o è evidete che i due opeatoi fomio u 4-vettoe Iolte opeatoi più complicati soo meo ituitivi È oppotuo u appoccio sistematico più potete H 1 1 ( d E N = = π) d E a a ) Fomalismo di Lagage - Hamilto È u metodo potete pe discutee simmetie e leggi di cosevazioe È u metodo potete pe itodue le iteazioi Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 169

6 Lagagiaa di campo classico Suppoiamo di avee N oscillatoi classici accoppiati Ogi massa è collegata ad ua molla () Le masse soo legate fa di loo da ua coda seza massa che applica ua tesioe τ La Lagagiaa del sistema è N q q L = mq q τδx Δx = 1 Nel passaggio ad u sistema cotiuo m ρdx q ( t) φ( x, t) q q 1 κdx q ( t) φ τ x ( x, t) Δx Petato la Lagagiaa diveta φ L = ρ( φ ( x, t) ) κ( φ( x, t) ) τ dx x 1 φ Δ τ x L itegado è ua Lagagiaa pe uità di lughezza Desità di Lagagiaa L Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 17 L dx φ = L φφ,, dx x

7 Lagagiaa di campo classico Ache el caso cotiuo l equazioe di evoluzioe del sistema si ottiee miimizzado l azioe (,, x ) S = Ldt = dtdx L φφ φ La codizioe di miimo coduce alle equazioi di Euleo Lagage + = t φ x ( φ) φ x Applichiamo questa equazioe alla desità di Lagagiaa dell esempio della fue L = φ ( φ) x ρφ = τ L = κφ φ x φ L ( φφ,, xφ) = 1 ρφ 1 κφ 1 τ( xφ) φ φ ρ τ = κφ t x Itepetazioe meccaica dell equazioe di Klei-Godo Equazioe dell oda Mezzo dispesivo Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 171

8 Lagagiaa di campo classico Il fomalismo si estede facilmete al caso -dimesioale ( φφ,, xφ) L( φφ,, φ) La desità di Lagagiaa è fuzioe delle 4 deivate del campo e del campo stesso I otazioe covaiate L( φ, φ) Nel pimo caso l equazioe di Euleo - Lagage è Nel secodo caso, i otazioe covaiate L = t φ x φ y φ z φ φ ( ) ( ) x y z ( φ ) = φ La desità è adesso pe uità di volume L ( φ, φ) d x L = = ( φ, φ ) 4 = S Ldt d x L Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 17

9 Lagagiaa di campo classico Pe fiie, el caso i cui il campo abbia più di ua compoete Campo di Diac Campo Elettomagetico φ ψσ φ A σ = 1, 4 =, Campo di Klei Godo complesso φ φ1 + iφ φ1, φ φφ, I questo caso la desità di Lagagiaa dipede da tutte le compoeti L( φ, φ ) = 1, N Vale l equazioe di Euleo - Lagage pe ciascua compoete del campo = = φ ( φ ) 1, N Esempio: Lagagiaa pe il campo di Klei Godo complesso ( φ ) = φ L (,,, ) = m φ φ φ φ φ φ φ φ ( φ ) = φ L = m φ φ φ + m φ = L m φ φ = m φ + φ = Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 17

10 Quatizzazioe caoica Ache el caso cotiuo si può utilizzae il fomalismo Hamiltoiao Dobbiamo tovae il mometo coiugato della vaiabile diamica La vaiabile diamica è il campo φ p = π = q φ La desità Hamiltoiaa è H ( p, q) = pq L H( πφ,, φ) = πφ L ( φ, φ) H = ( πφ,, φ) d x H A questo puto si può pocedee come el caso della quatizzazioe dell oscillatoe amoico uidimesioale Si tasfomao la vaiabile diamica φ e il suo mometo coiugato π i opeatoi φ φ π π φ(, t) φ(, t) π(, t) π(, t) Osseviamo che si tatta di opeatoi dipedeti dal tempo I ealtà di famiglie di opeatoi che dipedoo dal paameto Si impogoo egole caoiche di commutazioe fa la vaiabile diamica e il mometo coiugato coispodete [ q ( t), p ( t) ] = i φ(, t), π(, t) Attezioe: t è lo stesso = iδ ( ) pe i due opeatoi Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 174

11 This image caot cuetly be displayed. Quatizzazioe caoica Poiché appeseta ua famiglia di opeatoi occoe fissae ache la egola di commutazioe pe i due opeatoi distiti φ(, t) e φ (, t) φ(, t), φ(, t) = Aalogamete π(, t), π(, t) = Adesso vogliamo scivee la elazioe pe tovae a e a i fuzioe di φ e π Richiamiamo la appesetazioe del campo che abbiamo già utilizzato 1 d i x i x φ ( x) + a e a e pe semplificae = + ) ω ω E = + m la otazioe Calcoliamo il mometo coiugato = ( ω, ) 1 d i x + i x π( x) φ( x) = ( iω) a e a e ) ω Cosideiamo adesso l espessioe p φ + iπ 1 d i x i x 1 d i x + i x + ( ii ω ) p + = ae + ae a e a e ) ω ) ω p φ 1 d i x + i x = ( p ω) ae + ( p ω) ae + iπ π ω Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 175

12 This image caot cuetly be displayed. This image caot cuetly be displayed. Quatizzazioe caoica 1 d i x p φ iπ + = ( p ω) a e ( p ω) ae ) ω + + Cosideiamo adesso l itegale ( p = (p, p) ) + i x p i d p ip x e ( φ + π) ip t ip e e = ( p φ + iπ) d p 1 d = + ) 4ωp ω ( p + ω) ae ( p ω) Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 176 i t + i + iωt i ip t ip e ae e e e d = p p 1 d iωt + i ip t i ( p ω ) ae e p = e e d ) 4ωp + = p p = ω δ ( p ) 1 1 i( ω p ) t = ( p + ω ) ae ) δ( ) d p ) p = a δ = a ( ) d p p p ip x e Notiamo che è ( p φ + iπ) d = a p p idipedete dal tempo = ω

13 Quatizzazioe caoica Aalogamete si dimosta che p i d a p ip x e = p ( φ π) ip x e p + i d = a p ( φ π) p A questo puto possiamo veificae che le elazioi di commutazioe sui campi implicao le egole di commutazioe sugli opeatoi di ceazioe e distuzioe ( ) ( i x,, ) ip x e e a a φ x iπ x p φ x iπ x p = + d d p ( ) i p t e i i ( φ( x) iπ( x) ),( p φ( x p = + ) iπ( x )) e e d d p x e x hao lo stesso t ( φ( x) iπ( x) ),( p φ( x + ) iπ( x )) = p φ x, φ x i φ x, π x ip = + π x, φ x + π x, π x [ ] ( ) δ( ) = ( + p ) δ ( ) = ii δ + i i p Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 177

14 Quatizzazioe caoica ( ) i p t e i i a, ( a φ x iπ x ),( p φ( x p ) iπ( x )) p = + e e d d = p δ ( ) i p t e i ip = + p e e d d p ( ) i p t e i( p ) = + p e d p ( i p ) t =1 + p e ( ) = π δ p = ) δ( p ) p Aalogamete si possoo veificae le alte egole di commutazioe Si può ache veificae l iveso Le egole di commutazioe sugli opeatoi di ceazioe e distuzioe implicao le egole di commutazioe sui campi Cocludiamo che i due isiemi di egole soo equivaleti δ p p = ( + p ) δ ( ) Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 178

15 Calcolo dell Hamiltoiaa Pe cotiuae a fae patica co gli opeatoi di campo e le egole di commutazioe possiamo espimee l Hamiltoiaa i fuzioe degli opeatoi di ceazioe e distuzioe pe il campo di Klei-Godo eale H( πφ,, φ) = πφ L ( φ, φ 1 ) L = [ φ φ φφ] m H = Hd H = φφ φ φ + φφ 1 1 m 1 = φφ + φ φ + m φφ H = 1 φφ + φ φ + m φφ d π = = φ φ 1 φ ( x) = a e + a e ) d i x + i x ω 1 φ x i a e a e ) d i x + i x ω = φ 1 d i x + i x x = iω a e a e ) ω Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 179

16 Calcolo dell Hamiltoiaa Comiciamo co il pezzo più complicato (poco più complicato) Pe semplicità defiiamo φ x φ 1 i i x + i x i i x i x d d a e a e + = a e a e d 6 ) ω ω 1 i i i i d d + a 6, te a, te + = a, te a e d, t ) ωω + i + i Co i divesi podotti compaioo due tipi di δ e e π δ + Il temie assume valoi divesi + i i e e π δ δ + = δ ( ) = x d i t + i t, t, t ae a ae a x x d d a, ta, t a, ta, t a, ta, t a, ta, t 1 φ φ ω = π Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 18

17 Calcolo dell Hamiltoiaa Veiamo al temie coteete il mometo coiugato φ x 1 iω i x + i x iω i x i x d d a e a e + = a e a e d 6 ) ω ω Questo itegale è quasi idetico a quello pecedete La diffeeza isiede el fatto che il temie ωω ha sempe lo stesso sego I temii co aa e aa compaioo co sego opposto ispetto al caso pecedete (sego egativo) φ x d x x d = d a, ta, t + a, ta, t + a, ta, t a, ta, t 1 ω φ φ ω π Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 181

18 Calcolo dell Hamiltoiaa Pe fiie il temie che cotiee il quadato del campo m φ x x d φ m 1 i x i x 1 i x i x d d + a e a e + = a e a e d 6 ) ω + ω + Otteiamo u isultato molto simile al pimo Tutti i podotti hao sego positivo =, t, t +, t, t +, t, t +, t, t 1 m ω m φ( x) φ( x) d d a a a a a a a a π Sommiamo i te itegali e moltiplichiamo pe ½ I temii co aa e aa avao u coefficiete ( icodiamo E = ω ) + m E = I temii imaeti avao u coefficiete + m + E = E 1 1 E H d d = H = a a + a a ) ω, t, t, t, t Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 18

19 Calcolo dell Hamiltoiaa Notiamo ifie che idipedeti dal tempo i t + i t ae a ae a a a = a a a a = a a, t, t, t, t, t, t H 1 1 ( d E ) a a a = + a π Il isultato che abbiamo tovato è molto simile a quato avevamo tovato ituitivamete (diapositiva ) Tasfomiamo ulteiomete l espessioe tovata usado le egole di commutazioe degli opeatoi di ceazioe e distuzioe a, a = 1 aa = 1+ aa 1 1 H = d E a a + ) L Hamiltoiaa è la somma delle eegie dei sigoli oscillatoi Il temie ½E è legato all eegia del vuoto ell oscillatoe Nel caso di u campo pota ad u cotibuto divegete Viee elimiato impoedo che i campi abbiao u odiameto omale I u podotto omale ( :AB: ) gli opeatoi di distuzioe stao a desta Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 18

20 Digessioe Il calcolo appea fatto, beché cocettualmete semplice, è u po laboioso + ip x + i x 1 e e Ua complicazioe deiva dagli itegali del tipo d ) p Ifatti, a diffeeza degli itegali co il sego + ip x i x 1 e e egativo ell espoete che cotiee x, questi d ) cotibuiscoo co fattoe u po più complicato p Coviee defiie ua pocedua stadad che coseta di semplificae i calcoli Iazitutto alcue otazioi i x e u ( x) =+ + m x = t Iolte f1 f f1( f) ( f1) f Si può veificae che le fuzioi u (x) olte alla elazioe stadad d 1 u ( x) u x = δ π Soddisfao alle segueti ulteioi egole di otogoalità geealizzata d d u ( x) i u x = δ ' u x i u x = δ ' π π d d u ( x) i u x = u x i u x = π π Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 184

21 Digessioe Tamite le fuzioi u le espasioi dei campi divetao 1 φ ( x ) ( d a π u x a u = + x 1 ) π x ( d i a π u x a u = x ) L ivesioe delle fomule si espime i modo più semplice a = u x p φ( x) + iπ( x) d a = u x i φ x d Come esempio, diveta elativamete facile il calcolo del commutatoe a, a p a, a u ( x) ( p φ( x) iπ( x) ) d, u ( x )( φ( x ) iπ( x )) d = + p p Soo divesi da zeo solo φ, π( ) = iδ ( ) π, φ = iδ Otteiamo petato p p ( φ π ) p = p a u ( x) p ( x) i ( x) d p p Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 185 ( δ( ) δ( )) = u x d u x d ip i i i p p = p φ a u ( x) i ( x) d = ( p + ) u ( x) u ( x) d p p = ) δ p = π δ p p d 1 u ( x) u x = π δ

22 Digessioe Ache il calcolo dell Hamiltoiaa i fuzioe degli opeatoi di ceazioe e distuzioe diveta più semplice 1 H = φφ + φ φ + m φφ d Iazitutto otiamo che Teoema di Gauss φ φ = φ φ φ φ φ φ d = φ φ da Iolte, pe l equazioe di KG φ φ + m φ = φ φ = φφ m φφ Petato l Hamiltoiaa si semplifica i 1 H = φφ φφ d 1 ( = ) φi iφ d Itoducedo le appesetazioi 1 φ ( x ) ( d a π u x a u = + x 1 ) φ x ( d i a π u x a u = x ) π Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 186 H = d d d p a u x + a u x i a u x a u x p p p p p Sopavvivoo solo (vedi diapositiva ) a a H 1 1 d d p = p aa p ( δp ) + aaδ ( π ) p p p p 1 1 d p p a a a a ) p p p p = +

23 Teoema di Noethe Abbiamo già visto che le equazioi di campo si deducoo miimizzado l azioe S ( φ, φ) d 4 x L δ S = ( φ ) = = φ Il teoema di Noethe pemette deivae leggi di cosevazioi dalle popietà di simmetia dell Azioe (e quidi della Lagagiaa) L azioe può essee lasciata ivaiata da tasfomazioi Di simmetia itea (ad esempio isospi, gauge) Di simmetia spazio-tempoale (tasfomazioi di Loetz) Il teoema di Noethe asseisce che Ad ogi simmetia diffeeziabile che lascia ivaiata l azioe coispode ua coete cosevata e, di cosegueza, ua caica cosevata Dato che l azioe è u itegale su d 4 x la tasfomazioe di simmetia deve Lasciae ivaiata la lagagiaa δl = Al più vaiae la lagagiaa di ua 4-divegeza (δl = f ) che pe il teoema di Gauss 4-dimesioale o cotibuisce all azioe Emmy Noethe, Ivaiate Vaiatiospobleme. Göttige 1918, pp f d x = f ds Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 187

24 Teoema di Noethe Tipicamete, pe le simmetie itee il temie di 4-divegeza è ullo La 4-divegeza è o zeo el caso delle simmetie dello spazio-tempo Tasfomazioi del guppo di Poicaè:Tasfomazioi Loetz e taslazioi L applicazioe di ua tasfomazioe del guppo di simmetia povoca ua vaiazioe dei campi φ φ + δφ La vaiazioe dei campi iduce ua vaiazioe della Lagagiaa L L + δl Nel caso delle simmetie itee δl = Esiste ua coete j cosevata j = Nel caso delle simmetie dello spazio tempo δl = f Esiste ua coete j tale che j = f (j f ) = La coete cosevata implica l esisteza di ua caica cosevata ρ t = ρ j dv = dv t Q j Q = ρdv = t = d j a = S Pe campi che vao a zeo all'ifiito apidamete Pesi-Schoede A Itoductio to Quatum Field Theoy cap.. p. 17 Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 188

25 Teoema di Noethe Ua vaiazioe δφ(x) di u campo è ua fuzioe Ifiitesima δφ( x ) = φ 1 x φ x Che si aulla agli estemi δφ( xa ) = δφ( xb ) = L opeazioe di vaiazioe commuta co la deivazioe L espessioe φ è ua fuzioe (che dipede da φ) φ 1 x φ x x a x b [ ( x )] = ( x ) ( x) ( x) δ φ φ φ 1 x = [ φ1 φ ] = δφ( x ) Veiamo oa alla dimostazioe del teoema Pe geealità suppoiamo che la lagagiaa dipeda da più campi ( = 1,N) L = L( φ, φ ) Calcoliamo la vaiazioe della Lagagiaa N δl = L( φ + δφ, φ + δ φ ) L δφ = L + L δ φ 1 φ φ = Elaboiamo l espessioe Commutiamo δ co el secodo temie = Utilizziamo l equazioe di Euleo-Lagage el pimo ( φ ) φ N δ δφ L = + δφ φ φ = 1 Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 189

26 Teoema di Noethe δ δφ L = + φ φ δφ L espessioe può essee tasfomata i ua 4-divegeza δl = L δφ ( ) φ Se la tasfomazioe di simmetia modifica solo i campi ma lascia ivaiata la lagagiaa alloa la vaiazioe è ulla: δl = Otteiamo L δφ = ( ) φ Abbiamo iolte supposto che l opeazioe di simmetia sia diffeeziabile I geeale, la vaiazioe del campo dipede da M paameti abitai (ad esempio, ua otazioe dipede da paameti) M δφ δφ = δε δε = 1 Poiché la vaiazioe dei campi è abitaia possiamo vaiae gli M paameti idipedetemete (uo a uo) e otteiamo M espessioi δφ L = = 1, M φ δε Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 19

27 Teoema di Noethe δφ L = = 1, M δε ( φ ) Possiamo petato defiie le M coeti cosevate La atua dell idice dipede dal tipo di tasfomazioe Può essee u idice di Loetz I questo caso la coete è u tesoe Può essee u idice che idividua u gado di libetà iteo U esempio è l isospi δφ j = L = 1, M j =,, ( ) φ δε Iteazioi Elettodeboli Facesco Ragusa 191